【文档说明】吉林省长春第二实验中学2024-2025学年高一上学期期中考试 数学 PDF版含解析（可编辑）.pdf，共(16)页，791.044 KB，由envi的店铺上传

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第1页/共4页学科网（北京）股份有限公司长春二实验中学高一上学期期中考试数学试卷考生注意：1．满分150分，考试时间120分钟．2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用

直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答．超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．3．本卷命题范围：人教A版必修第一册第四章4.4.2结束．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题

“1,1x，221xx”的否定是（）A.1,1x，221xxB.1,1x，221xxC.1,1x，221xxD.1,1x，221xx2.已知集合51,NMxxx，则M的子集的个数

是（）A.15B.8C.7D.163.若函数31fx的定义域为1,13，则函数2fx的定义域为（）A.0,1B.,1C.1,1D.1,134.设0.533,log6,

ln(ln3)abc，则（）A.abcB.bacC.acbD.bca第2页/共4页学科网（北京）股份有限公司5.函数3()33xxxfx的图象大致为（）A.B.C.D.6.声强级（单位：dB）由公

式1210lg10IIL给出，其中I为声强（单位：2W/m）．某班级为规范同学在公共场所说话的文明礼仪，开展了“不敢高声语，恐惊读书人”主题活动，要求课下同学之间交流时，每人的声强级不超过40dB．现已知3位同学课间交流时，每人的声强分别

为72510W/m，8210W/m，92210W/m，则这3人中达到班级要求的人数为（）A.0B.1C.2D.37.已知(12)2,0()1(1),02xaxaxfxax是xR上的增函数，那么a的取值范围是（）A.1(0,)2B.1(,1]2C.

(1,14)D.1(0,]48.“高斯函数”为yx，其中x表示不超过x的最大整数，例如：2.13，3,13．已知函数13fxxx，0,2x，则不等式fxx的解集为（）A.1,12B.3,14C

.1,22D.3,24二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知命

题2:430pxx，那么命题p成立的一个充分不必要条件是（）A.1xB.12xC.3xD.23x第3页/共4页学科网（北京）股份有限公司10.下列说法正确的有（）A.若12x，则1221xx的最小值是3B.若0ab，1ab，则12a

babC.若24ab，228ab，则42bD.若0a，0b，111ab，则1411ab的最小值是411.已知函数log1log3aafxxx（0a且1a）在定义域内存在最大值，且最大值为2，212xx

mgx，若对任意111,2x，存在21,1x，使得12fxgx，则实数m的取值可以是（）A.1B.0C.2log7D.3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数2

1(01)xfxaa的图象恒过定点P，则点P坐标为__________.13.若幂函数的图象过点14,4，则它在1,4上的最小值为____．14.若集合{0,}xxfxfx∣中恰

有k个元素，则称函数fx是“k阶准偶函数”.已知函数232,{23,xxafxxxa是“2阶准偶函数”，则a的取值范围是________四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（1）若3515ab，求55ab的值；

（2）求值：22ln1327lg5lg2lg503πe．16.已知集合1{|2}2Axx，211Bxmxm∣．（1）若12m，求RABð；（2）若“xA”是“xB”的必要条件，求实数m的取值范围

．第4页/共4页学科网（北京）股份有限公司17.已知lne1xfxax是偶函数，eexxgx（1）求a的值；（2）若不等式gfxgmx在1,上恒成立，求实数m的取值范围.18.2024年8月16日，商务部等7部门发布《关于

进一步做好汽车以旧换新工作的通知》.根据通知，对符合《汽车以旧换新补贴实施细则》规定，报废旧车并购买新车的个人消费者，补贴标准由购买新能源乘用车补1万元、购买燃油乘用车补7000元，分别提高至2万元和1.5万元，某新

能源汽车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件.已知生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产*(N)xx百件，需另投入成本Wx万元，且045x时，23260Wxxx；当45x时

，4900()501495020Wxxx，由市场调研知，该产品每件的售价为5万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.（1）分别写出045x与45x时，年利润y（万元）与年产量x（百件）的关系式（利润=销售收入-成本）；（2）当该产品的年产量为多少百件时，公司所获年利润最大？最大年

利润是多少？19.已知函数fx满足如下条件：①对任意0x，0fx；②11f；③对任意0x，0y，总有fxfyfxy.（1）写出一个符合上述条件的函数（写出即可，无需证明）；（2）证明：满足题干条件的函数fx在

0,上单调递增；（3）①证明：对任意的0s，22kkfsfs，其中*Nk；②证明：对任意的1*2,2Nkkxk，都有122xfxfxx.第1页/共12页学科网（北京）股份有限公司长春二实验

中学高一上学期期中考试数学试卷考生注意：1．满分150分，考试时间120分钟．2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字

笔在答题卡上各题的答题区域内作答．超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．3．本卷命题范围：人教A版必修第一册第四章4.4.2结束．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“1,1x，221xx”的否定是（）A.1,1x，221xxB.1,1x，221xxC.1,1x，221xxD.1,1x，221xx【答案】C【解析】【分析】由命题

否定的定义即可得解.【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题，故命题“1,1x，221xx”的否定是“1,1x，221xx”.故选：C.2.已知集合51,NMxxx，则M的子集的个数

是（）A.15B.8C.7D.16【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质，结合子集个数公式进行求解即可.【详解】因为Nx，所以由51551,2,3,4xxMx，所以M的子集的个数是4216

，故选：D第2页/共12页学科网（北京）股份有限公司3.若函数31fx的定义域为1,13，则函数2fx的定义域为（）A.0,1B.,1C.1,1D.1,13【答案】A【解析】【分析】根据抽象函数的定义域即可得到答案.【详解】令31t

x，则310,2tx，则022x，解得01x，即定义域为0,1.故选：A.4.设0.533,log6,ln(ln3)abc，则（）A.abcB.bacC.acbD.bca【答案】B【解析】【分析】根据指数函数与对数函数

的单调性质将a，b，c分别与1与3比较即可．【详解】解：0.5133a，333log6log36log273b，ln(ln3)1c，bac．故选：B．5.函数3()33xxxfx的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据函

数的基本性质逐项排除即可.第3页/共12页学科网（北京）股份有限公司【详解】因为()fx的定义域为R，关于原点对称.3()()33xxxfxfx，所以函数()fx是奇函数，即()fx的图象关于原点对称，故B错误；当0x时，因为30x，330xx

，所以3033xxxfx，故C错误；因为1239627(1),(2)(1)33109341fff，所以()fx在(0,)上并不单调递增，故D错误.故选：A.6.声强级（单位：dB）由公式1210lg10IIL给出，

其中I为声强（单位：2W/m）．某班级为规范同学在公共场所说话的文明礼仪，开展了“不敢高声语，恐惊读书人”主题活动，要求课下同学之间交流时，每人的声强级不超过40dB．现已知3位同学课间交流时，每人的声强分别为72510W/m，8210W/m，92210W/m，则这3人中达到班

级要求的人数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】【分析】根据所给声强级公式计算声强级不超过40dB的声强，即可求解.【详解】依题意，1210lg4010IIL，∴810I，故声强为8210W/m，92

210W/m的两人达到要求，故选：C7.已知(12)2,0()1(1),02xaxaxfxax是xR上的增函数，那么a的取值范围是（）A.1(0,)2B.1(,1]2C.(1,14)D.1(0,]4【答案】D【解析】【

分析】利用函数的单调性，列出不等式组，转化求解a的范围即可．第4页/共12页学科网（北京）股份有限公司【详解】要使函数(12)2,0()1(1),02xaxaxfxax是R上的增函数，需12

011122aaa„，解得104a„，故选：D．8.“高斯函数”为yx，其中x表示不超过x的最大整数，例如：2.13，3,13．已知函数13fxxx，0,2x

，则不等式fxx的解集为（）A.1,12B.3,14C.1,22D.3,24【答案】D【解析】【分析】先将13fxxx，0,2x转化为分段函数，然后分类解fxx即可.【详解】

当0,1x时，0x，1x，此时3133fxxx，当1,2x时，1x，1x，此时2122fxxx，若fxx，当0,1x时，33fxxx，得34x

≥，故3,14x，当1,2x时，22fxxx，得2x，故1,2x，所以fxx得解集为3,24，故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给

出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知命题2:430pxx，那么命题p成立的一个充分不必要条件是（）A.1xB.12xC.3xD.23x【答案】BD【解析】第5页/共12页学科网（北京）股份有限公司【分析

】解出不等式，再根据充分不必要的条件的判定即可得到答案.【详解】2430xx，解得13x，设|13Axx则命题p成立的充分不必要条件是集合A的真子集，则BD选项符合题意.故选：BD.10.下列说法正确的有（）A.若1

2x，则1221xx的最小值是3B.若0ab，1ab，则12ababC.若24ab，228ab，则42bD.若0a，0b，111ab，则1411ab的最小值是4【答案】BCD【解析】【分析】根据基本不等式即可求解AD，根据不等式的性质即可求

解BC.【详解】对于A，由题设210x，则111212121211211212xxxxxx，当且仅当121x，即0x时等号成立，A错误；对于B，因为1ab，0ab，所以10ab，则122aab，11222

aaba，所以12abab，B正确；对于C，∵228ab，∴822ba，∵24ab，∴4228ab，∵8224228baab，∴1236b，∴42b，故C正确；对于D，由题设

abab，而144545111babaababab，又1144445259babababaababab，当且仅当23ba时等号

成立，所以14411ab，D正确．故选:BCD．第6页/共12页学科网（北京）股份有限公司11.已知函数log1log3aafxxx（0a且1a）在定义域内存在最大值，且最大值为2，212

xxmgx，若对任意111,2x，存在21,1x，使得12fxgx，则实数m的取值可以是（）A.1B.0C.2log7D.3【答案】ABC【解析】【分析】先求出22log

14fxx，得到11,2x时，2log72,2.fx再由题意得到2log722m，即可求出m的范围，对照四个选项即可得到正确答案.【详解】fx定义域为3,1

.22log1log3log23log14aaaafxxxxxx由题意知1x时，2fx，即log42,2aa.此时22log14fxx，11,2x时，

2log72,2.fx1,1,12xgxmx时，min()2gxm，由2log722m得2log7m„.对照四个选项，可以选:ABC.故答案为：ABC三、填空题：本题共3小题

，每小题5分，共15分．12.函数21(01)xfxaa的图象恒过定点P，则点P坐标为__________.【答案】2,2【解析】【分析】根据20x，即可求解2x，代入即可得纵坐标.【详解】

令20x，则2x，故0212fa，因此P2,2，故答案为：2,213.若幂函数的图象过点14,4，则它在1,4上的最小值为____．【答案】14##0.25【解析】第7页/共12页学科网（北京）股份有限公司【分析】先求出解析式1fx

x，利用单调性求出fx在1,4上的最小值.【详解】设幂函数fxx.因为幂函数的图像过点14,4，所以1444f，解得：1.所以11fxxx.所以fx在1,4上单调递减，所以

fx在1,4上的最小值为144f.故答案为：1414.若集合{0,}xxfxfx∣中恰有k个元素，则称函数fx是“k阶准偶函数”.已知函数232,{23,xxafxxxa是“2阶准偶函数”

，则a的取值范围是________【答案】10,2【解析】【分析】根据题意分类讨论，0a时，其中2()23()fxxxa有部分具有偶函数性质，不符合题意；0a时，根据分段函数的解析式通过方程(0)fxfxx的解，确定a的范围．【详解】

根据题意，函数232,{23,xxafxxxa是“2阶准偶函数”，则集合0,xxfxfx中恰有2个元素，当0a时，函数232,23,xxafxxxa一段部分为22

3,yxxa，注意到函数223yx本身具有偶函数性质，故集合0,xxfxfx中不止有两个元素；当0a时，根据“2阶准偶函数”的定义得fx的可能取值为223x或32x，fx为32x，3232xx，故0x，方程无解，当

22332xx，解得12x或1x，第8页/共12页学科网（北京）股份有限公司故要使得集合0,xxfxfx中恰有2个元素，则需要满足12a，即102a，当0a时，函数232,0,23,0xxfxfxxx的取值为223x，fx为

32x，根据题意得：22332xx，解得12x或1x，满足恰有两个元素，故0a满足条件.综上，实数a的取值范围是10,2.故答案为：10,2.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（1）若3515ab

，求55ab的值；（2）求值：22ln1327lg5lg2lg503πe．【答案】（1）5；（2）14π【解析】【分析】（1）由指对互化求出a和b，再结合换底公式即可求解；（2）考虑将lg2lg50转化为

1lg51lg5，进而得解.【详解】（1）因为3515ab，所以35log15,log15ab，3551,1lo1g15lg1o1ab，则15151535551155log3log55log355log15log

15ab；（2）22223331027lg5lg2lg503π13lg5lglg105π31522223

lg51lg51lg5π413πlg51lg514π．16.已知集合1{|2}2Axx，211Bxmxm∣．（1）若12m，求RABð；（2）若“xA”是“xB”的必要条件，求实数m的取值范围．第9

页/共12页学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）3|22xx（2）3|124mmm或【解析】【分析】（1）根据题意，直接由集合的运算，即可得到结果；（2）根据题意，由条件可得BA，然后分B与B讨论，即可得到结果.【小问1详解】当12

m时，302Bxx∣，R|0Bxxð或32x，则R3|22ABxxð.【小问2详解】因为“xA”是“xB”的必要条件，则BA，当B时，则121mm，即2m；当B时，121121212mmmm

，解得314m，综上所述，m的取值范围为3|124mmm或.17.已知lne1xfxax是偶函数，eexxgx（1）求a的值；（2）若不等式gfxgmx在1,上恒成立，求实数m的取值范围.

【答案】（1）12a（2）1lne12m【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性的性质即可求a的值；（2）根据函数的单调性将不等式gfxgmx在1,＋上恒成立，转化为mfxx在1,上恒第10页/共12页学科网（北京）股

份有限公司成立，设hxfxx，求出其最小值，从而得出结果.【小问1详解】fx的定义域是R，因为fx是偶函数，所以fxfx恒成立，所以lne1lne1xxaxax，即lne1ln

e1xxxaxax，所以210ax恒成立，所以12a；【小问2详解】ee1eexxxxgx，xR，因为exy是增函数，1xye是减函数，所以1eexxgx是增函数，所以不等式

gfxgmx等价于fxmx，所以mfxx在1,上恒成立，设1lne12xhxfxxx，xR，因为lne1xy是增函数，12yx是增函数，所以1lne12xhxx是增函数，所以当1x

时，min11lne12hxh，所以1lne12m.18.2024年8月16日，商务部等7部门发布《关于进一步做好汽车以旧换新工作的通知》.根据通知，对符合《汽车以旧换新补贴实施细则》规定，报废旧车并购买新车的个人消费者，补贴标

准由购买新能源乘用车补1万元、购买燃油乘用车补7000元，分别提高至2万元和1.5万元，某新能源汽车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件.已知生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产*(N)xx百件，需另投入成本

Wx万元，且045x时，23260Wxxx；当45x时，4900()501495020Wxxx，由市场调研知，该产品每件的售价为5万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.（1）分别写出045x与45x时，年利润y（万元）与年产量

x（百件）的关系式（利润=销售收入-成本）；（2）当该产品的年产量为多少百件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？【答案】（1）答案见解析；第11页/共12页学科网（北京）股份有限公司（2）年产量为50百件

时，该企业所获年利润最大，最大年利润是2830万元【解析】【分析】（1）结合题意，分045x和45x时利用利润=销售收入-成本求出关系式即可；（2）当045x时，由二次函数求出最值，当45x时，由基本不等式求出最值，

再确定结果即可；【小问1详解】由题意可得当045x时，225003260200032000240yxxxxx，当45x时，49004900500(5014950)20002950()2020yxxxxx，【小问2详解】由

（1）得045x时，22324020003402800yxxx，此时40x（百件）时，max2800y（万元），当45x时，4900490049002950()2970(20)29702(20)29702702830202

020yxxxxxx，当且仅当49002020xx，即50x时等号成立，max2800y（万元），而28002830，故50x（百件）时，利润最大，综上所述，年产量为50百件时，该企业所获年利润最大，最大年利润是2830万元.19.已知函数

fx满足如下条件：①对任意0x，0fx；②11f；③对任意0x，0y，总有fxfyfxy.（1）写出一个符合上述条件的函数（写出即可，无需证明）；（2）证明：满足题干条件的函数fx在0,上单调递增

；（3）①证明：对任意的0s，22kkfsfs，其中*Nk；②证明：对任意的1*2,2Nkkxk，都有122xfxfxx.【答案】（1）1afxxa（答案不唯一）（2）证明见解析（3）①证

明见解析；②证明见解析【解析】【分析】（1）根据条件设计一个函数即可；（2）根据条件，运用函数单调性的定义推导即可；第12页/共12页学科网（北京）股份有限公司（3）运用递推的方法先证明①，再根据①的结论，考虑的

x的区间即可证明.【小问1详解】fxx，2fxx，3fxx等，即形如1fxx均可；【小问2详解】任取0xy，fxfyfxyyfy.因为0xy

，故fxyyfxyfy且0fxy.故0fxfyfxyyfyfxy.故fx在0,上单调递增.【小问3详解】①由题意可知：对任意正数s，都有0fs，且fsftfst

，在③中令xys，可得22fsfs，即22fsfs；故对任意正整数k与正数s，都有1122222222kkkkkkfsfsfsfsfsfsfsfs

；②由①可知：对任意正整数k与正数s，都有22kkfsfs，故对任意正整数k与正数s，都有1122kkfsfs，令12ks，则1112212kkkff；对任意1*2,2kkxk

N，可得112,2kkx，并且2122,2kkx12222kkx，又因为11f，所以由（2）中已经证明的单调性可知：11122122kkkxfxff，

111222kkffxx，所以122xfxfxx.【点睛】对于第二问，如何巧妙运用fxfyfxy要学习，抽象函数中经常会用到这个方法；对于第三问，可以把2ks看作2kssss

，再运用fxfyfxy可以证明①，再利用①的结论推出2xfx，12fxx.