【文档说明】专题4.1 几何图形（知识讲解）-2021-2022学年七年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）.docx，共(285)页，1.224 MB，由envi的店铺上传

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专题4.1几何图形（知识讲解）【学习目标】1．理解几何图形的概念，并能对具体图形进行识别或判断；2.掌握立体图形从不同方向看得到的平面图形及立体图形的平面展开图，在平面图形和立体图形相互转换的过程中，初步培养空间想象能力；3.理解点线面体

之间的关系，掌握怎样由平面图形旋转得到几何体，能够借助平面图形剖析常见几何体的形成过程.【要点梳理】要点一、几何图形1．定义：把从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形．特别说明：几何图形是从实物中抽象得到的，只注重物体的形状、大小、位置，而不注重它

的其它属性，如重量，颜色等.2．分类：几何图形包括立体图形和平面图形(1)立体图形：图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形，如长方体，圆柱，圆锥，球等.(2)平面图形：有些几何图形(如线段、角、三角形、圆等)的各部分都在同一平面内，它们是平面图形．特别说明：(

1)常见的立体图形有两种分类方法：(2)常见的平面图形有圆和多边形，其中多边形是由线段所围成的封闭图形，生活中常见的多边形有三角形、四边形、五边形、六边形等．（3）立体图形和平面图形是两类不同的几何图形，它们既有区别又有联系．要点二、从不同方向看从

不同的方向看立体图形，往往会得到不同形状的平面图形．一般是从以下三个方向：(1)从正面看；(2)从左面看；(3)从上面看．从这三个方向看到的图形分别称为正视图(也称主视图)、左视图、俯视图．要点三、简单立体图形的展开图有些立体图形是由一些平面图形围成

，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图．特别说明：(1)不是所有的立体图形都可以展成平面图形．例如，球便不能展成平面图形．(2)不同的立体图形可展成不同的平面图形；同一个立体图

形，沿不同的棱剪开，也可得到不同的平面图．要点四、点、线、面、体长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体,几何体也简称体；包围着体的是面,面有平的面和曲的面两种；面和面相交的地方形成线，线也分为

直线和曲线两种；线和线相交的地方形成点.从上面的描述中我们可以看出点、线、面、体之间的关系.此外，从运动的观点看：点动成线，线动成面，面动成体.【典型例题】类型一、几何体的识别1、将下列几何体与它的名称连起来【分析】根据常见立体图形的特征直接连线即可．注意正确区分各个几何体的特征．【详解】

连线如图所示：【点拨】本题考查了认识立体图形，掌握立体图形的特征是解题关键．举一反三：【变式1】（1）如图所示的这些基本图形你很熟悉吧，请你在括号内写出它们的名称；（2）把这些几何体分类，并写出分类的理由．【答案】（1）球、圆柱、圆锥、长方体、三棱锥；（2）按柱

体、椎体、球体划分：圆柱、长方体是柱体，圆锥、三棱锥为椎体，球是球体【分析】（1）相应填写名称即可；（2）按椎、柱、球进行分类即可（方法不唯一）.解：（1）从左向右依次是：球、圆柱、圆锥、长方体、三棱锥.（2）按柱体、椎体、球体划分：圆柱、长方体是柱体；圆锥、三棱锥为椎

体；球是球体.（或按组成面的平或曲划分，球、圆柱、圆锥为一类，组成它们的面中至少有一个是曲的；长方体、三棱锥是一类，组成它们的各面都是平的.或按有无顶点划分，球、圆柱是一类，无顶点；圆锥、长方体、三棱锥是一类，有顶点.）【点拨】本题考查

的简单几何体的识别，能够认识这些图形是解题的关键.【变式2】如图，请在每个几何体下面写出它们的名称___________________________________________________________

____【答案】（1）正方体（2）长方体（3）圆柱（4）三棱柱（5）圆锥（6）球（7）四棱锥（8）五棱柱【分析】根据图形特点写出名称即可.解：正方体长方体圆柱三棱柱圆锥球四棱锥五棱柱【点拨】此题考查了认识立

体图形，关键是注意观察图形的特点.类型二、组合几何体的构成2、如图所示，补画长方体．【分析】由题意直接根据长方体的特征12条棱分为互相平行的3组，每组4条棱的长度相等，6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相

等．长方体的长、宽、高决定长方体的形状和大小进行画图补全即可．解：如图所示：【点拨】本题考查认识立体图形-长方体，熟练掌握长方体的特征和立体图形的画法是解题的关键．举一反三：【变式1】一个几何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形

状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置上的小正方块的个数，请你画出从正面与左面看到的这个几何体的形状图．【答案】详见解析【分析】从正面看到的是三列，第一列是两层，第二列是三层，第三列是2层；从左面看到也是三列，每一列上分别是1

层、三层、两层．解：从正面看、左面看的图形如图所示：【点拨】本题考查简单几何体的三视图，关键是看到的是几列几层，同时还需注意“长对正，宽相等、高平齐”．【变式2】指出图中各物体是由哪些立体图形组成的．【答案】（1）由正

方体、圆柱、圆锥组成．(2)由圆柱、长方体、三棱柱组成．(3)由五棱柱、球组成．试题分析：（1）由图可知：由一个圆锥体、一个圆柱体、一个正方体组成；（2）由图可知由一个圆柱体、一个长方体、一个三棱柱组成；（3）由图可知由

一个五棱柱和一个球体组成.试题解析：（1）由正方体、圆柱、圆锥组成．(2)由圆柱、长方体、三棱柱组成．(3)由五棱柱、球组成．类型三、立体图形的分类3、将下列几何体分类，并说明理由。【答案】柱体有：（1）、（3）、（4）、（5）、（6）；椎体有（7）；球有（2）.【分析】根据几何体的特征按柱

体（包括棱柱和圆柱）,锥体（包括圆锥和棱锥）,球体进行划分即可.解：柱体有：（1）、（3）、（4）、（5）、（6）；椎体有（7）；球有（2）.【点拨】本题考查几何体的分类，解题的关键是掌握几何体分类的标准.举一反

三：【变式1】将图中的几何体进行分类，并说明理由．【解析】试题分析：对以上几何体进行分类标准有以下几种：（1）可根据柱体、椎体、球体进行划分；可根据组成几何体的面的类型进行划分，比如曲面或平面．若按柱、锥、球来划分：（2）（3）（5）（6）是一类，即柱体；（

4）是锥体；（1）是球体．若按组成几何体的面的平或曲来划分：（1）（4）（6）是一类，组成它们的面中至少有一个面是曲面；（2）（3）（5）是一类，组成它们的各面都是平面．【变式2】数学课上，左老师给出了这样一道题：将图

中的几何体进行分类，并简要说明理由.小明认为：若按柱、锥、球来划分：②③⑥是柱体；④⑤是锥体；①是球体.小彬认为：若按组成几何体的面是平面或曲面来划分：①④是一类，因为组成它们的面中至少有一面是曲面；②③⑤⑥是一类，因为组成它们的各个面都是平面.同学们，你认为小

明和小彬的划分方法正确吗？若不正确，请加以改正.【答案】都不正确，按柱、锥、球来划分：②③⑤⑥是柱体；④是锥体；①是球体；按组成几何体的面是平面或曲面来划分：①④⑥是一类，至少有一面为曲面；②③⑤是一类，没

有曲面.【分析】分别按柱、锥、球来分类与按平面或曲面来分类，分别求解即可.解：都不正确.若按柱、锥、球来划分：②③⑤⑥是柱体；④是锥体；①是球体.若按组成几何体的面是平面或曲面来划分：①④⑥是一类，至少有一面为曲面；②③⑤是一类，没有曲面

.【点拨】此题主要考查几何体的分类，解题的关键是熟知几何体的分类方式与方法.类型四、几何体中的点、棱、面4、欧拉（Euler，1707年～1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数V（Vert

ex）、棱数E（Edge）、面数F（Flatsurface）之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式．（1）观察下列多面体，并把表格补充完整：名称三棱锥三棱柱正方体正八面体图形顶点数V468棱数E612面数F458（2）分析表中的数据，你能发现V、E、F之间有什么关系吗？请写出关系式：．（

3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值．【答案】（1）6，9，12，6

；（2）V+F﹣E=2；（3）x+y=14【分析】（1）观察可得多面体的顶点数，棱数和面数；（2）依据表格中的数据，可得顶点数+面数-棱数=2；（3）根据条件得到多面体的棱数，即可求得面数，即为x+y的值．解：（1）三棱柱的棱数为9；正方体的面数为6；正八面体的顶点数为6，棱数为12；故答案为：

6，9，12，6；（2）由题可得，V+F-E=2，故答案为：V+F-E=2；（3）∵有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线，∴共有24×3÷2=36条棱，∵24+F-36=2，解得F=14，∴x+y=

14．【点拨】本题主要考查了欧拉公式，简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间的关系为：V+F-E=2．这个公式叫欧拉公式．公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律．举一反三：【变式1】欧拉（Euler，1707年～1783年）为世界著名的数学家、自然

科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数V（Vertex）、棱数E（Edge）、面数F（Flatsurface）之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式．（1）观察下列多面体，

并把下表补充完整：名称三棱锥三棱柱正方体正八面体图形顶点数V468________棱数E6________12________面数F________________________8（2）分析表中的数据，你能发现V、E、F之

间有什么关系吗？请写出关系式：_________．【答案】（1）6，9，12，4，5，6；（2）2VFE+−=．【分析】（1）直接数出三棱锥、三棱柱、正方体、正八面体所要补充的顶点数、棱数和面数即可；（2）根据表格中的数据归纳规律即可．解：（1）填表如下：名称三棱锥三棱柱正方体正八面体图

形顶点数V4686棱数E691212面数F4568（2）∵4462+−=，6592+−=，86122+−=，68122+−=，…，∴2VFE+−=．即V、E、F之间的关系式为：2VFE+−=．【点拨】本题主要考查了欧拉公式以及图形

规律题，通过表格归纳简单多面体顶点数、面数、棱数的规律成为解答本题的关键．【变式2】对于如图①、②、③、④所示的四个平面图我们规定：如图③，它的顶点为A、B、C、D、E共5个，区域为AED、ABE、BEC、CED共4个，边为A

E、EC、DE、EB、AB、BC、CD、DA共8条．（1）按此规定将图①、②、④的顶点①数、边数、区域数填入下列表格：图顶点数边数区域数①②③584④（2）观察上表，请你归纳上述平面图的顶点数、边数、区域数之间的数量关系．（3）若有一个平面图满足（2）中归纳所得的数量关系，它共有9个区域，且

每一个顶点出发都有3条边，则这个平面图共有多少条边？【答案】（1）见解析（2）顶点数＋区域数＝边数＋1；（3）若24条边【分析】（1）根据图形规定一一查顶点数，区域数，与边数填入表中即可；（2）观察表格两小数之和比大数多一，即顶点数＋区域数＝边数＋1；（3）每两点确定一直线，每一个顶点出发

都有3条边，共有32x条边，根据顶点数＋区域数＝边数＋1构造方程，解方程即可，解：（1）按此规定将图①、②、④的顶点数、边数、区域数填入下列表格：图顶点数边数区域数①463②694③584④10156（2）由表格得：顶点数＋区域数＝边数＋1，（3

）设顶点数为x，根据题意可知，x＋9＝32x＋1，得出x＝16每个顶点发出三个3边，有9个区域数，则有16个顶点，24条边．【点拨】本题考查认识平面图形，平面图形都是有点，线，面构成，本题中点、线段与区域之间有

规律，发现和掌握顶点数＋区域数＝边数＋1规律是解题关键．类型五、从不同方向看几何体5、由6个棱一样长的正方体组成的几何体如图所示．在指定的方格内画出该几何体从三个方向看到的形状图．【分析】根据三视图的画法分别画出从正面看、从左面看，从上面看所得到的图形即可．解：这个组合体的三视图如下：【点拨

】本题考查简单组合体的三视图，“长对正，宽相等，高平齐”是画三视图的基本原则．举一反三：【变式1】如图，由几个相同的小正方体搭成一个几何体，请画出这个几何体的三种视图．（在所提供的方格内涂上相应的阴影即可）【答案】见解析．【分析】几何体从正面看有4列，每列小正方

形数目分别为1，3，1，1；从左面看有2列，每列小正方形数目分别为3，2；从上面看有4列，每行小正方形数目分别为1，2，1，2，据此作图即可．解：如图所示：【点拨】本题考查从不同方向看几何体．几何体的三种视图就是从三个方向看到的平面图形．【变式2】由几个相同的棱长的小正方体

搭成的几何体的俯视图如图所示，正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数，在网格中画出这个几何体的主视图和左视图（注：网格中小正方形的边长等于小正方体的棱长）【分析】由已知条件可知，主视图有3列，每列小正

方数形数目从左到右分别为2，4，3；左视图有2列，每列小正方形数目从左到右分别为4，1．据此可画出图形．解：如图所示：【点拨】此题主要考查了几何体的三视图画法．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视

数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．类型六、几何体的展开图6、如图，上面的图形分别是下面哪个立

体图形展开的形状，请你把有对应关系的平面图形与立体图形连接起来．【答案】见解析．【分析】根据常见的各种立体几何图形的展开图的特征即可得答案．解：∵三个长方形和两个三角形如图摆放是三棱柱的展开图，一个扇形和一个圆是圆锥

如图摆放的展开图，六个长方形如图摆放是长方体的展开图，一个长方形和两个圆如图摆放是圆柱的展开图，∴连接如图：【点拨】本题考查常见立体几何图形的展开图，熟记各立体几何图形的展开图是解题关键．举一反三：【变式1】如

图是从三个方向看几何体得到的形状图．（1）说出这个几何体的名称；（2）画出它的一种表面展开图；（3）若从正面看到的形状图的宽为4cm，长为7cm，从左面看到的形状图的宽为3cm，从上面看到的形状图中斜边长为5c

m，求这个几何体所有棱长的和，以及它的表面积和体积．【答案】（1）三棱柱；（2）见解析；（3）这个几何体所有棱长的和为45cm，它的表面积为96cm2，体积为42cm3【分析】（1）根据三棱柱的三视图特征即可解答；

（2）根据三棱柱的三视图特征，画出其表面展开图即可，答案不唯一；（3）根据题意可知，侧棱为7，共3条，两个底面三角形的三边长为3、4、5，继而相加即可求得棱长的和，结合表面积等于三个侧面与两个底面的面积和求得表面积，根据体积＝底面

积×侧棱即可求解．解：（1）这个几何体是三棱柱，（2）表面展开图如图所示（答案不唯一）：（3）棱长和为：7×3+（3+4+5）×2=45cm表面积为：S=S（底）+S（侧）=12×3×4×2+（3+4+5）×7=96cm2体积为：V=S（底）×h=12×3×4×7=42cm3

故：这个几何体所有棱长的和为45cm，它的表面积为96cm2，体积为42cm3．【点拨】本题主要考查三棱柱有关知识，解题的关键是熟练掌握三棱柱的特征，三视图，表面积及体积计算公式．【变式2】我们知道，将一个正方体或长方体的表面沿某些棱剪开，可以展成一个平面图形．（1）下列图形中，是正

方体的表面展开图的是_______．（2）如图所示的长方体，长、宽、高分别为4、3、6，若将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形．则下列图形中，可能是该长方体表面展开图的有______（填序号）（3）下列图是题（2）中长方体的一种表面展开图，

它的外围周长为52，事实上，题（2）中长方体的表面展开图还有不少，聪明的你能画出一个使外围周长最大的表面展开图吗？请画出这个表面展开图，并求出它的外围周长．【答案】（1）B；（2）①②③；（3）画出这个表面展开图见解析；外围周长为70．【分析】（1）由平面图形的折

叠及立体图形的表面展开图的特点解题；（2）由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题；（3）画出图象，根据外围周长的定义计算即可．解：（1）A折叠后不可以组成正方体；B折叠后可以组成正方体；C都是“2-4”结构，出现重叠现象，不

能折成正方体，即不是正方体的表面展开图，故错误；D折叠后不可以组成正方体；故答案为：B；（2）可能是该长方体表面展开图的有①②③．故答案为：①②③；（3）外围周长最大的表面展开图，如图：观察展开图可知，外围周长为6×8+4×4+3×2=48+16+6=70．【点拨】本题考查

了几何体的展开图，解题的关键是熟练掌握几何体的展开图的特征，属于中考常考题型．类型七、由展形图计算几何体的表面积7、如图①，是一个边长为10cm正方形，按要求解答下列问题：（1）如图②，若将该正方形沿粗黑实线剪下4个边长为cm的小正方形

，拼成一个大正方形作为直四棱柱的一个底面，余下部分按虚线折叠成一个无盖直四棱柱，最后把两部分拼在一起，组成一个完整的直四棱柱，它的表面积等于原正方形的面积；（2）若该正方形是一个圆柱的侧面展开图，求该圆柱的体积．（结果保留π）【答案】（1）2.5；（2）圆柱的体积是250cm3【分析】（1）利

用剪下部分拼成的图形的边长等于棱柱的底面边长求解即可；（2）正方形的边长是圆柱的底面圆周长，代入圆柱的体积公式即可．解：（1）设粗黑实线剪下4个边长为xcm的小正方形，根据题意列方程2x＝10÷2解得x＝

2.5，故答案为：2.5；（2）∵正方形边长为10cm，∴圆柱的底面半径是10152=（cm），∴圆柱的体积是25250()10=（cm3）．答：圆柱的体积是250cm3．【点拨】本题考查了展开图折叠成几何体，解题的关键在于根据拼成棱柱的表面积与原图形的面

积相等，从而判断出剪下的部分拼成的图形应该是棱柱的一个底面．举一反三：【变式1】如图所示，一个无盖的长方体纸盒，其长宽高分别为5cm，4cm，3cm．请你画出一种表面展开图（大概示意图），并计算其表面积．【答案】表面

展开图见解析；74平方厘米．【分析】按长方体展开图的特征画图即可；分别计算五个面的面积相加即可解答．【详解】解：表面展开图如图所示：表面积=（5×3+4×3）×2+5×4=54+20=74（平方厘米）

，答：这个纸盒的表面积是74平方厘米．【点拨】此题考查的是理解掌握长方体展开图的特征，以及长方体表面积的计算．【变式2】如图，是一个几何体从三个方向看所得到的形状图.（1）写出这个几何体的名称；（2）画出它的一种表面展开图；（3）若从正面看长方形的高为3cm，从上面看三角形的边长为2cm，求

这个几何体的侧面积.【答案】（1）正三棱柱；（2）图见解析；（3）218cm．【分析】（1）只有棱柱的主视图和左视图才能出现长方形，根据俯视图是三角形，可以得到此几何体为正三棱柱；（2）表面展开图应会出现三个长方形，两个三角形；（3）侧面积为3个长方形，它的长和宽分别为3cm和2cm，

求出一个长方形的面积，再乘以3即可解答．解：（1）这个几何体的名称是正三棱柱；（2）表面展开图为：（答案不唯一，画出其中正确的一种即可）（3）33218=（2cm），∴这个几何体的侧面积为218cm．【点拨】此题主要考查从三个方向看几何体和利用展开图求几何体侧面积等的相关知

识，考查学生的空间想象能力；注意棱柱的侧面都是长方形，上下底面是几边形就是几棱柱．类型八、由展形图计算几何体的体积8、如图是长方体的展开图，若图中的正方形边长为6cm，长方形的长为8cm，宽为6cm，请求出由展开图折叠而成的长方体的表面积和体积．【答案

】表面积：264cm2，体积：288cm3【分析】根据表面积公式，可得答案；根据长方体的体积，可得答案．解：根据题意，则表面积=6×8×4+62×2=192+72=264cm2．折叠而成的长方体的体积=6×8×

6=288cm3．【点拨】本题考查了展开图折叠成几何题，利用长方体展开图中每个面都有一个全等的对面是解题关键．举一反三：【变式1】小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，

可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题：（1）小明总共剪开了条棱．（2）现在小明想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪断

的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助小明在①上补全．（3）小明说：已知这个长方体纸盒高为20cm，底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是880cm，求这个长方体纸盒的体积．【答案】（1）8；（2）见解析；（3）200000立方厘米【分析】1）根据长方体总共有12条棱，有4条棱未

剪开，即可得出剪开的棱的条数；（2）根据长方体的展开图的情况可知有4种情况；（3）设底面边长为acm，根据棱长的和是880cm，列出方程可求出底面边长，进而得到长方体纸盒的体积．解：（1）由图可得，小明共剪了8条棱，故答案为：8．（2）如图，粘贴的位置有四种情况如下：（3）

∵长方体纸盒的底面是一个正方形，∴可设底面边长acm，∵长方体纸盒所有棱长的和是880cm，长方体纸盒高为20cm，∴4×20+8a＝880，解得a＝100，∴这个长方体纸盒的体积为：20×100×100＝200000立方厘米．【点拨】本题主要考查了几何展开图，结合具体的问题，辨析几何体的

展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．【变式2】如图，小华用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图．拼完后，小华看来看去总觉得所拼图形似乎存在问题．（1）请你帮小华分析一下拼图是否存在问题

：若有多余，则把图中多余部分涂黑；若还缺少，则直接在原图中补全；（2）若图中的正方形边长为3cm，长方形的长为5cm，请求出修正后所折叠而成的长方体的体积．【答案】（1）有多余块；多余部分图见解析；（2）345cm【分析】（1）由于长方体有6个面，且相对的

两个面全等，所以展开图是6个长方形（包括正方形），而图中所拼图形共有7个面，所以有多余块，应该去掉一个；又所拼图形中有3个全等的正方形，结合平面图形的折叠可知，可将第二行最左边的一个正方形去掉；（2）由题意可知，此长

方体的长、宽、高可分别看作5厘米、3厘米和3厘米，将数据代入长方体的体积公式即可求解．解：（1）根据长方体有6个面，可得拼图中有多余块．多余部分如图所示：()()3233545cm=答：长方体的体积为345cm．【点拨】本题考查了

平面图形的折叠与长方体的展开图及其体积的计算，熟练掌握平面图形的折叠与长方体的展开图及其体积的计算是解题的关键．类型九、正方体展开图的识别9、如图，纸板上有5个相连的边是实线的小正方形．（1）请你再选画1个小正方形使这6个正方形能折叠成一个正方体；

（画两种方法）（2）若正方体相对面上的两个数互为相反数，求x、y的值．【答案】（1）见解析；（2）x＝﹣1，y＝1【分析】（1）根据正方体的展开与折叠解答即可；（2）正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，

根据这一特点确定相对面，再根据相反数的定义求出x、y的值．解：（1）任选两种方法：（2）根据题意，得3x+1+x+3＝0，解得x＝﹣1，x+y＝0解得y＝1．【点拨】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．举一反三：【变式1】李明同

学设计了某个产品的正方体包装盒如图所示，由于粗心少设计了其中一个顶盖，请你把它补上，使其成为一个两面均有盖的正方体盒子．（1）共有种弥补方法；（2）任意画出一种成功的设计图（在图中补充）；（3）在你帮

忙设计成功的图中，要把-6，8，10，-10，-8，6这些数字分别填入六个小正方形，使得折成的正方体相对面上的两个数相加得0．（直接在图中填上）【答案】（1）4；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）根据正方体展开图特点：中间4联方，上下各一个，中间3

联方，上下各1，2，两个靠一起，不能出“田”字，符合第一种情况，中间四个连在一起，上面一个，下面有四个位置，所以有四种弥补方法；（2）利用（1）的分析画出图形即可；（3）想象出折叠后的立方体，把数字填上即可，注意答案不唯一．解：（

1）根据正方体展开图特点：中间4联方，上下各一个，中间3联方，上下各1，2，两个靠一起，不能出“田”字，符合第一种情况，中间四个连在一起，上面一个，下面有四个位置，所以共有4种弥补方法，故答案为：4；

（2）如图所示：；（3）如图所示：．【点拨】此题主要考查了立体图形的展开图，识记正方体展开图的基本特征是解决问题的关键．【变式2】在图1、图2中的无阴影的方格中选出两个画出阴影，使它们与图中4个有阴影的正方形一起可以构成一个正方体的表面展开图.【答案】详见解析【分

析】和正方体展开图的11种基本形式（如下图）相比较，从中选出符合要求的画出即可.解：（1）图1中对照基本型，可选下面六种中的一种：（2）图2对照基本型，可选下面四种中的一种：【点拨】熟悉正方体展开图的11种基本型，可以帮助我们解答类似的问题.类型十、正方体相对两

面的字10、如图，是一个正方体纸盒的展开图，请你任选三对非零的互为相反数，分别填入六个正方形，使得按虚线折成正方体后，相对面上的两数互为相反数．【答案】第一行1，3，第二行2，1−，2−，第三行3−举一反三：【变式1】如图

，是一个正方体纸盒的两个表面展开图，请把-4，3，9，6，-1，2分别填入六个面中，使得折成正方体后，相对面上的两数之和与-5互为相反数．【答案】答案见解析【分析】根据相反数的性质，得与-5互为相反数的数为：5，再根据有理数加法运算和正方体展开

图的性质分析，即可得到答案．解：与-5互为相反数的数为：5根据题意计算，展开图如下：．【点拨】本题考查了有理数和立方体展开图的知识；解题的关键是熟练掌握相反数、有理数加法运算、正方体展开图的性质，从而完成求

解．【变式2】若x＝1是方程23ax+＝6xbx−＋1的解．（1）判断a与b的关系；（2）如图是一个正方体的表面展开图每组相对面上所标的两个数都互为相反数，求a的值．【答案】（1）4a＋b＝5；（2）0.5【分析】（1）把x＝1代入方程23ax+＝6xbx−＋

1即可得出a、b之间的关系，（2）根据“相间、Z端是对面”由“相对面上所标的两个数互为相反数”，可求出b的值，代入a、b的关系式即可求出a的值．解：（1）∵x＝1是方程23ax+＝6xbx−＋1的解，∴将x＝1代入得：211136ab+−=+，即：4a＋b＝

5，（2）由正方体的展开图可知：“b”与“﹣3”是对面，因此，b＝3，代入4a＋b＝5，得：a＝0.5．【点拨】本题考查方程的解，以及立体图形的展开图识别，理解方程的解求出关系式是解题关键．类型十一、含图案的正方体展开图识别11、如图是一颗骰子的三种不同的放置方法．（1）根据图中三种放置方法，推出

“？”处的点数．（2）求这三个骰子下底面上点数和．【答案】（1）2；（2）11【分析】（1）由左侧两个图形可得，与2相邻的面为3，4，5，6，由第一个和第三个图可得，与6相邻的面为2，4，5，据此可得结论；（2）由第一个图可知，4的对面是5

，即可得到第二个图和第三个图的下底面都为5，进而得出这三个骰子下底面上点数和．解：（1）由左侧两个图形可得，与2相邻的面为3，4，5，6，故2的对面是1，即第一个图的下底面为1，又由第一个和第三个图可得，与6相邻的面为2，4，5，故第一个

图的左面是4，后面为3，故结合第一个和第三个图可得“？”处的点数为2；（2）由第一个图可知，4的对面是5，故第二个图和第三个图的下底面都为5，故这三个骰子下底面上点数和为5＋5＋1＝11．【点拨】本题主要考查学生的空间想象能力和推理能力，注意正方体的空间图形并从相对面入手是解题的关键．举一反三

：【变式1】如图，有一个无盖的正方体纸盒，下底面标有字母“M”，将其沿某些棱剪开展成平面图形，请借助给出的甲、乙网格纸，其中标有字母“M”的面已确定，用两种方案涂黑另外的四个面，画出展成的平面图形．【答案】见详解【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图

作图解答即可．解：如图所示：【点拨】此题考查作图问题，正方体共有11种表面展开图，把11种展开图都去掉一个面得无盖的正方体展开图，把相同的归为一种得无盖正方体有8种表面展开图．【变式2】已知图1为一个正方体，其棱长为

12，图2为图1的表面展开图（数字和字母写在外面），请根据要求回答问题：（1）若正方体相对面上的数互为相反数，则xy=_________；（2）用一个平面去截这个正方体，下列关于截面（截出的面）的形状的结论：①可能是锐角三角形；②可能是直角三角形；③可能是钝角三角形；④可能是平行四

边形．其中所有正确结论的序号是（）；A．①②B．①④C．①②④D．①②③④（3）图1中，,MN为所在棱的中点，请在图2标出点M的位置，并求出ABM的面积．【答案】（1）﹣12；（2）B；（3）图见解析，36或180．【分析】（1）根据相对面上的数互为相反数，找出与x，y

相对的数即可求出；（2）根据平面截正方体的特点即可判断；（3）根据M在正方体上相对的位置，可知点M所在的棱被剪开，因此有两个位置，再根据三角形的面积公式即可计算得出．解：（1）由展开图可知x的对面为2，∴x=-2，y的对面为-6，∴y=6∴2612xy=−=−故答案为：-12．（2）用一

个平面去截这个正方体，当平面截去正方体的一个角时，则截面为锐角三角形，当平面沿着棱AB截时，截面为平行四边形，∴截面可能是锐角三角形，平行四边形，∴①④正确，故答案为：B．（3）如图所示S△ABM1=12×12×6=36S△ABM2=12×12×30=180所以S△ABM的

面积为36或180．【点拨】本题考查了正方体及正方体的展开图，解题的关键是能够将正方体和展开图对应起来．类型十二、展开图两点折叠的距离12、地上有一个正方体物块，一只蜘蛛在正方体的顶点A处，一只蚊子在正方体的顶点B处，如图所示，现在蜘蛛想尽快捉到这只蚊子，那么它所走的最短路线是怎样的？在图上画

出来.这样的最短路线有几条？【答案】这样的最短线路一共有6条.【分析】求从点A到点B的最短路线，在立体图形中难以解决，可以考虑把正方体展开成平面图形来考虑．如图所示，我们都有这样的实际经验，在两点之间，走直线

路程最短，因而沿着从点A到点B的虚线走，路程最短，然后再把展开图折叠起来．解：所走的最短路线是正方体平面展开图中从点A到点B的连线．在正方体上，像这样的最短路线一共有六条，如图所示．【点拨】本题考查了几何体

的展开图，两点之间线段最短的应用，主要考查学生的空间想象能力和观察图形的能力．举一反三：【变式1】如图所示，图（1）为一个长方体，AD=AB=10,AE=6,图2为图1的表面展开图(字在外表面上)，请根据要求回答问题：（1）面“句”的对面是面____

__；（2）如果面“居”是右面,面“宜”在后面,哪一面会在上面？（3）图（1）中，M、N为所在棱的中点，试在图（2）中画出点M、N的位置；并求出图（2）中三角形ABM的面积.【答案】（1）“爱”；（2）“句”面会在上面；（3）25或105.【分析】（1）根据长方体展开图的特征判断即可；（2）根

据长方体展开图的特征和题意判断即可；（3）结合图（1）和图（2）即可判断M、N的位置（其中M有两种情况），然后再计算三角形ABM的面积即可.解：（1）根据长方体展开图的特征：面“句”的对面是面“爱”；（2）由图可知，如果面“居”是右面，

面“宜”在后面，“句”面会在上面；（3）由图（1）和图（2）即可判断M、N的位置（其中M有两种情况），如图所示；根据三角形边长求出，△ABM的面积为10×5×12=25或10×21×12=105.【点拨】此题考查的是长

方体的展开图，掌握长方体展开图的特征是解决此题的关键.类型十三、补一个面使图形围成正方体13、小名准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用5个大小一样的正方形制成如图所示的拼接图形（实线部分），经折叠后发现还少一个面，你能在图中的拼接图形

上再接一个正方形画出阴影，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子吗？请在下面的图①和图②中画出两种不同的补充方法．【分析】本题涉及的知识点是正方体的平面展开图；要想组成正方体，其平面展开图应是“一，四，一”、“三，三”、“二，二，二”、“一，三，二”中的一种，结合题目已给图形

，进行发散思维，即可得出对正方体展开图的补图.解：如图所示：新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子．【点拨】本题主要考查了正方体的展开图，掌握正方体展开图的特点是解题的关键.举一反三：【变式1】小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几

何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题：（1）小明总共剪开了条棱．（2）现在小明想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒

，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助小明在图上补全．（请在备用图中画出所有可能）（3）小明说：他所剪的所有棱中，最长的一条棱是最短的一条棱的4倍．现在已知这个长方体纸盒的底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是720cm，求

这个长方体纸盒的体积．【答案】（1）8,（2）四种可能,图形见详解（3）128000cm2【分析】（1）根据展开后的图形即可解题,（2）根据长方体的展开图的特点，进行画图，注意考虑周全.,（3）利用底面是正方形,最长的一条棱是最短的一条棱的4倍,棱长的和是720cm，求出长宽高

,即可解题.解：（1）由展开图发现,小明一共剪开了8条棱,故答案是8,（2）如下图,四种可能,（3）∵长方体纸盒的底面是一个正方形，∴设最短的棱长即高为acm，则长与宽相等为4acm.∵长方体纸盒所有棱长的和是720cm，∴4(a+4a+4a)=720，解得a=20这长方体纸盒的体积为20

×80×80=128000cm2故答案是8;四种情况；128000cm2【点拨】本题考查了立体图形的展开,属于简单题,熟悉立体图形的性质是解题关键.【变式2】小石准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用5个边长相等的正方形硬纸制作成如图所示的拼接图形（实线部分）．请

你在图中的拼接图形上再接上一个正方形，使得新拼接的图形经过折叠后能够成为一个封闭的正方体盒子（只需添加一个符合要求的正方形，并将添加的正方形用阴影表示）．是_______．【分析】结合正方体的平面展开图的特征，只要折叠后能围成正方体即可，答案不唯一．【详解

】解：如图所示：（答案不唯一）【点拨】考查了展开图折叠成几何体，掌握正方体的11种平面展开图，并灵活应用其进行准确判断是解题的关键，此类题重点培养学生的空间想象能力．类型十四、平面图形形状的识别14、分别写出在我们生活中常见的、类似于下面几何图形的两个实例．三角形：四边形：扇形：【答案】三角形：三

角板、瓦房的人字架．四边形：教室中的黑板面、学生用的书桌面．扇形：学生用的量角器、展开的扇子面．【分析】由题意分别根据三角形、四边形及扇形的特点结合生活实际进行解答即可．解：三角形：三角板、瓦房的人字架．四边形：教室中的黑板面、学生用的书

桌面．扇形：学生用的量角器、展开的扇子面．【点拨】本题考查的是认识平面图形，熟知三角形、四边形及扇形的特点是解答此题的关键．举一反三：【变式1】在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点都叫做格点．已知

线段AB的端点A、B都在格点上．（1）仅用直尺，在方格纸中画出正方形ABCD；（2）正方形ABCD的面积为．【答案】（1）见解析；（2）18.【分析】（1）根据正方形的四条边相等且垂直作出图形即可；（2）正方形ABCD的面积可拼接成18个小正方形的面积，计算即可.解：

（1）正方形ABCD如图所示：（2）正方形ABCD的面积为6×3=18.【点拨】本题考查格点中正方形的画法和计算面积，解题的关键是将正方形ABCD的面积转化为小正方形的面积.【变式2】把图中的平面图形

和相应的名称用线连接起来．【分析】根据平面图形找出对应的名称．【详解】【点拨】本题考查平面图形的识别，解题的关键是掌握基本平面图形的名称．类型十五、用七巧板拼图形15、七巧板是我国祖先的一项卓越创造．下列两幅图中

有一幅是小明用如图所示的七巧板拼成的，另一幅则不是．请选出不是小明拼成的那幅图，并说明选择的理由．【答案】图2不是，图2不满足勾股定理，见解析【分析】七巧板有5个等腰直角三角形；有大、小两对全等三角形；一个正方形；一个平

行四边形，根据这些图形的性质可解答．解：图1是由七巧板拼成的，图2不是，图2中上面的等腰直角三角形和①②不同．【点拨】本题运用了等腰直角三角形、全等三角形、正方形、平行四边形的性质，关键是把握好每一块中边的特征．举一反三：【变式1】美国著名的数学科普作家马丁•加德纳，他的妙趣横生的科普作品《

哈哈!灵机一动》让无数读者为数学着谜，下面的问题改编自马丁•加德纳的文集.最早的器具型趣题无疑是古代中国的七巧板（由如图1的七块板组成的，完整图案为一正方形）游戏，它可以引出一些不平凡的数学问题，例如用一副

七巧板可拼出多少种凸多边形（图形均在各边所在的直线的同侧）？1942年，中国浙江大学的两位数学家王福春和熊全治，证明了用一副七巧板只能拼出13种凸多边形.图2中给出了其中的一种凸六边形，请你参考图1，在图2中画出七巧

板中的七块.【答案】答案见解析．【分析】利用七巧板的性质结合已知图形作图即可．解：如图所示：【点拨】本题考查了图形的剪拼，掌握七巧板的性质是解答本题的关键．【变式2】动手做一做：某校教具制作车间有等腰三角形正方形、平行四边形的塑料若干，数学

兴趣小组的同学利用其中7块恰好拼成一个矩形（如图1），后来又用它们拼出了XYZ等字母模型（如图2、图3、图4），每个塑料板保持图1的标号不变，请你参与：（1）将图2中每块塑料板对应的标号填上去；（2）图3中，点画出了标号7的塑料板位置，请你适当画线，找出其他6块塑料板，并填上标号；（3）在图

4中，找出7块塑料板，并填上标号．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）根据划分，直接对号入座即可；（2）根据与7的斜边相等的编号是1或2的直角边的这突破口进行分析；（3）最上边从左边可作

出两个大的直角三角形为突破口分析解：（1）如下图（2）如下图（3）如下图【点拨】本题考查了应用与设计作图，认准分成的各块板的形状与大小是解题关键，另外本题渗透利用了七巧板的思路.类型十六、点、线、面、体四者关系16、在七年级第一章的学习中，我们已经学习过：点动成，线动成，动成体．比如

：（1）圆规在纸上划过会留下一个封闭的痕迹，这种现象说明．（2）一个人手里拿着一个绑在一根棍上的半圆面，当这个人把这个半圆面绕着这根棍飞快地旋转起来时就会看到一个球，这种现象说明．（3）聪明的你一定观察过生活中还有许多类似的现象，你能举出一个例子吗？并解释该现象．【答案】线，面

，面；（1）点动成线；（2）面动成体；（3）见解析（答案不唯一）【分析】根据点、线、面、体的含义，结合运动观点可得答案；（1）由点的运动，可得点动成线，从而可得答案；（2）由线的运动，可得线动成面，从而可得答案；（3）．如：彗星从天空中划过一道明亮的弧线，是点动成线的实例，从而可得答案

．解：（1）由点、线、面、体的含义知：点动成线，线动成面，面动成体．故答案为：线，面，面；（2）由点、线、面、体的关系得，点动成线，故答案为：点动成线；（3）由点、线、面、体的关系得，面动成体，故答案为：面动成体；（

4）例如：流星经过时，在天空中划过一道明亮的弧线，是点动成线的例子．【点拨】本题考查了点、线、面、体的知识，掌握理解点动成线、线动成面和面动成体的定义是解题关键．举一反三：【变式1】哥哥花瓶的表面可以看作由哪个平面图形绕虚线旋转一周

而得到？用线连一连．【分析】根据“面动成体”的原理，结合图形特征进行旋转，判断出旋转后的立体图形即可．解：如图所示：【点拨】本题主要考查的是点、线、面、体、认识几何体，根据平面图形的特点，判断出旋转后的

结合体的形状是解题的关键．【变式2】如图是一个长为8cm，宽为6cm的长方形纸片，该长方形纸片分别绕长、宽所在直线旋转一周（如图1，图2），会得到两个几何体，请你通过计算说明哪种方式得到的几何体的体积大.（结果保留π）【分析】绕长旋转得到的圆柱的底面半径为6cm，高为8cm，从而计算体

积即可；绕宽旋转得到的圆柱底面半径为8cm，高为6cm，从而计算体积即可．解：图1方式旋转得到几何体的体积：26888π2=（3cm）图2方式旋转得到几何体的体积：286384=（3cm）

.因为384π288π，所以图2方式得到的几何体的体积大.【点拨】本题考查了面动成体及圆柱体体积计算公式，掌握将长方形围绕着长与宽旋转所得的圆柱体的底面半径及高来计算体积是解题的关键.类型十七、平面图形旋转后的立体图形17、请找出图中相互对应的图形，并用线连接．【分析】利用面动成体解答即可．解

：本题考查平面图形旋转与几何体形成的一种方法，如图所示：【点拨】本题主要考察了点、线、面、体，解题的关键是培养学生的空间想象能力．举一反三：【变式1】如图所示，已知直角三角形纸板ABC，直角边AB4cm=，BC8cm=．()1将直

角三角形纸板绕三角形的边所在的直线旋转一周，能得到______种大小不同的几何体？()2分别计算绕三角形直角边所在的直线旋转一周，得到的几何体的体积？(圆锥的体积21πrh3=，其中π取3)【答案】（1）3；（2）以AB为轴得到的圆锥的体积是256立方厘米，以BC

为轴得到的圆锥的体积是128立方厘米．【分析】()1将直角三角形纸板ABC绕三角形的三条边所在的直线分别旋转一周即可．()2如果以AB所在的直线旋转一周得到的圆锥的底面半径是8厘米，高是4厘米；如果以BC所在的直线旋转一周得到的圆锥的底面半径是4厘米，高是8厘米，根据圆

锥的体积公式：21vπrh3=，把数据代入公式解答．解：（1）将直角三角形纸板ABC绕三角形的三条边所在的直线旋转一周，能得到3种大小不同的几何体，故答案为：3()2以AB为轴：2113843644256(33=

=立方厘米)；以BC为轴：2113483168128(33==立方厘米)．答：以AB为轴得到的圆锥的体积是256立方厘米，以BC为轴得到的圆锥的体积是128立方厘米．【点拨】此题考查了点、线、面、体，关键是理解掌握圆锥的特征，以及圆锥体积公式的灵活运用．【变式2】已知长方

形的长为5cm，宽为4cm，将其绕它的一边所在的直线旋转一周，得到一个立体图形．（1）得到的几何图形的名称为，这个现象用数学知识解释为．（2）求此几何体的表面积；(结果保留π)（3）求此几何体的体积．(结果保留π)【答案】（1

）圆柱，面动成体；（2）72πcm2；（3）80πcm3【分析】（1）长方形绕其一边所在直线旋转一周可得圆柱，这是典型的面动成体现象，据此解答即可；（2）圆柱的表面积=侧面积+底面积×2，据此代入数据计算即可；（3）根据圆柱的体积公式=底面积×高求解即可．解：（1）这个

几何体的名称为圆柱，这个现象用数学知识解释为面动成体；故答案为：圆柱，面动成体；（2）圆柱的表面积=224542+=72π(cm2)；答：这个几何体的表面积是72πcm2；（3）圆柱的体积=π×42×5=80π(cm3)．答：这个几何体的体积是80πcm3．【点拨】本题考查

了点、线、面、体以及圆柱的表面积和体积的计算，掌握圆柱的基本知识是解题的关键．类型十八、截一个几何体18、说出图中几何体截面的形状.①②③④【分析】根据图形观察即可得出结论.解：①是长方形；②是圆；③是梯形；④是长方形.【点拨】本题考查了截一个几何体，截面的形状，掌握截面形状与被截的几何体和截

面的角度和方向有关是解题的关键.举一反三：【变式1】如图所示，说出下列几何体截面（阴影部分）的形状．【答案】见解析.【分析】根据截面的定义：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面，以及几何体（正方体、圆锥、圆柱）

的形状，即可判断截面的形状．解：()1可以得到三角形截面；()2沿圆锥的高线切割，可得到等腰三角形截面；()3沿正方体的对角线切割，可得到长方形截面；()4截面与底平行，可以得到圆形截面．【点拨】考查了常见几何体以及截面的性质，截面的形状与被截几何体有关，还

与截面的角度和方向有关.【变式2】如图，由图1的正方体切去一角，分别可以得到图2-图5的几何体，请仔细观察，完成下题：（1）填表：顶点数a棱数b面数c图18126图2图3图4图5（2）若顶点数，棱数，面数分别用

a，b，c表示，请你猜测a，b，c之间满足怎样的数量关系?请直接写出你的结论．【答案】（1）见解析；（2）2acb+−=．【分析】（1）根据正方体原有的面数，顶点数，棱的条数，以及正方体截去一个角后，面、顶点、棱的变化情况，形数结合求解；（2）利用以上所求得出a，b，c之间应

满足的关系．【详解】（1）表格如下所示：顶点数a棱数b面数c图18126图210157图39147图48137图57127（2）由（1）可知：图1：86122+−=，图2：107152+−=，图3：97142+−=，图4：87132+−=，图5：77122

+−=，由此可得：2acb+−=．【点拨】本题考查了正方体的截面．关键是明确正方体的面数，顶点数，棱的条数，形数结合，求出截去一个角后得到的几何体的面数，顶点数，棱的条数．