【文档说明】专题15.3 分式方程（教师版）-【帮课堂】2022-2023学年八年级数学上册同步精品讲义（人教版）.docx，共(32)页，1.053 MB，由envi的店铺上传

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专题15.3分式方程1、了解分式方程的概念和检验根的意义；2、会解可转化为一元一次方程的分式方程；掌握这种方程解法，掌握解方程中的化归思想；3、会列出分式方程解简单的应用题。知识点01分式方程及解分式方程知识点1.分母中含有未知数的方程叫做分式方程．注意

：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据．2．分式方程的解法（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母．（2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多

项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根．注意：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简

公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．3．增根在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．注意：增根虽然不是方程的根，但它是分式

方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解．【知识拓展1】分式方程的定义例1．（2022·山东省泰安八年级阶段练习）关于x的方程①212xxx−=；②3521143xxx+−−=

；③4220xx−=；④21102x−=．其中是分式方程是（）A．①②③B．①②C．①③D．①②④【答案】B知识精讲目标导航【分析】根据分式方程的定义对各方程进行逐一分析即可．【详解】解：方程①是分式方程，符合题意；方程②分母中含

有未知数，符合题意；方程③是整式方程，不符合题意；方程④是整式方程，不符合题意；故其中是分式方程的有：①②，故选：B．【点睛】本题考查的是分式方程的定义，熟知分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解答此题的关键．【即学即练】1

．（2022·湖南·八年级单元测试）已知方程：①22190xx−=；②212xxx+=③22222xxx+=+−−；④()4615xx+−=−．这四个方程中，分式方程的个数是（）A．4B．3C．2D．1【答案】B【分析】分

母中含有未知数的方程叫分式方程，根据定义判断即可．【详解】根据定义可知，①②③为分式方程，故选：B．【点睛】此题考查了分式方程的定义，熟记定义是解题的关键．【知识拓展2】解分式方程例2．（2022·河北·石家庄三模）小明和小亮在解答“解分式方程：23

11xxxx+−=−”的过程如框，对他们的解答过程（每一步只对上一步负责）有以下判断，判断错误的是（）小明的解法：解：去分母得：()2311xx+=−−①去括号得：2311xx+=−+②移项得：211

3xx+=+−③合并同类项得：31x=−④系数化为1得：3x=−⑤3x=−是原分式方程的解⑥小亮的解法：解：去分母得：()231xxx+=−−①去括号得：231xxx+=−+②移项得：231x=−+③合并同类项得：22x=−④系数化为1得：=1x−⑤A

．小明的步骤①错误，漏乘B．小明的步骤②、③、④都正确C．小明的步骤⑤错误D．小亮的解答完全正确【答案】D【分析】观察解方程的步骤，找出出错的即可．【详解】解：根据题意得：小亮的解答没有检验过程，出错；小明的步骤①错误

，漏乘，小明的步骤②、③、④都正确，小明的步骤⑤错误．故选：D．【点睛】此题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键．【即学即练】2.（2022·河北·八年级阶段练习）解方程：(1)233xx=+(2)2236111xxx+=+−−【答案】(

1)=6x(2)原方程无解【分析】（1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，最后检验根是否有意义，即可求解；（2）先将分式通分，再根据分式的加减法法则进行运算，最后把解的根代入原方程检验，若分式有意义则有解，原方程无意义则原方程无解．（1）解：原式变形得，2(3)3xx+=，且0x，3

x−2630xx+−=，∴=6x，代入原方程检验得，原方程左边：21=63，原方程右边：3316393==+，即=6x时，方程左边等于右边，且原方程有意义，故方程的解是：=6x．（2）解：原式通分得，2222(1)3(1)6111xx

xxx−++=−−−，且1x，222233611xxxx−++=−−，2251611xxx+=−−，∴516x+=，=1x，代入原方程检验：原方程分母为零，方程无意义，故原方程无解．【点睛】本题主要考查解分式方程，掌握

分式的加减法法则，通分，分式方程有意义是解题的关键．【知识拓展3】分式方程的增根与无解问题例3．（2022·浙江东阳·七年级期末）关于x的分式方程：223422mxxxx−=−−+．（1）当m＝3时，求此时方程的根；（2）若这个关于x的分式方程

会产生增根，试求m的值．【答案】（1）x=-5；（2）-4或6【分析】（1）把m=3代入分式方程，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整

式方程计算即可求出m的值．【详解】解：（1）把m=3代入方程得：2323422xxxx+=−−+，去分母得：3x+2x+4=3x-6，解得：x=-5，检验：当x=-5时，（x+2）（x-2）≠0，∴分式方程的解为x=-5；（2）去分母得：mx+2x+4=

3x-6，∵这个关于x的分式方程会产生增根，∴x=2或x=-2，把x=2代入整式方程得：2m+4+4=0，解得：m=-4；把x=-2代入整式方程得：-2m=-12，解得：m=6．【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式

方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．【即学即练】3（1）（2022·江苏九年级专题练习）关于x的分式方程512xaxx+−=−(其中a为常数)有增根，则增根为_____．【答案】2x=．【分析】

增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母()20xx−=，得到0x=或2x=，然后代入化为整式方程的方程算出a的值，检验是否符合题意即可．【详解】分式方程512xaxx+−=−的最简公分母为x(x﹣2)，去分

母得：()()()522xxaxxx+−−=−，令()20xx−=，得0x=或2x=，把0x=代入得：整式方程无解，即分式方程无解；把2x=代入得：2a=−，综上，分式方程的增根为2x=．故答案为：2x=．【点睛】本题考查分式

方程的增根的确定方法，确定增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定可能的增根；②化分式方程为整式方程；③把可能的增根代入整式方程，检验是否符合题意，将不合题意的舍去．（2）（2022·浙江杭州·初二月考）已知关于x的分式方程3xmx+−﹣1＝1x无解，则m

的值是（）A．﹣2或﹣3B．0或3C．﹣3或3D．﹣3或0【答案】A【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．【解析】解：两边都乘以x（x﹣3），得：x（x+

m）﹣x（x﹣3）＝x﹣3，整理，得：（m+2）x＝﹣3，解得：32xm=−+，①当m+2＝0，即m＝﹣2时整数方程无解，即分式方程无解，②∵关于x的分式方程3xmx+−﹣1＝1x无解，∴302m−=+或332m−=+，即m+2＝0或3（m+2）＝﹣

3，解得m＝﹣2或﹣3．∴m的值是﹣2或﹣3．故选：A．【点睛】本题考查了解分式方程，分式方程的解，解题的关键是熟练掌握解分式方程的方法，注意分母不等于0的条件．【知识拓展4】分式方程的特殊解问题例4．（2022·河南

八年级期末）如果关于x的方程211axx+=−的解为非负数，且关于x，y的二元一次方程组3133xyaxy+=++=解满足14xy+−，则满足条件的整数a有（）个．A．7B．6C．5D．4【答案】D【分

析】先解分式方程求出a的取值范围，然后由二元一次方程组求出a的范围，最后求出a的值．【详解】解：解方程211axx+=−，得31xa=−，301a−，1a，但当2a=−时，1x=是增根，2a−，1a

，且2a−，由二元一次方程组3133xyaxy+=++=得，444xya+=+，足14xy+−，441xy+−，41a+−，5a−，51a−，且2a−，a为整数，满足条件的整数a有4−，3−，1−，0，故选：D．【点睛】本题

考查了分式方程与二元一次方程组，能熟练解方程是解题的关键【即学即练】4.（1）（2022·安徽东至·七年级期末）已知关于x的方程211xkxx−=−−的解为正数，则k的取值范围为____．【答案】2k且1

k【分析】先求出分式方程的解，再根据解为正数，确定解的取值范围，解不等式，即可得到结论．【详解】解：去分母得，2(1)xxk−−=,解得：2xk=−，∵分式方程的解为正数，且1x,∴20k−且21k−,解得，2k且1k故答案为：2k且1

k．【点睛】本题考查解分式方程、分式方程的解、解一元一次不等式，解分式方程是解答的关键，注意不能产生增根，所以要使x≠1．（2）（2022·江苏苏州·八年级期中）已知关于x的分式方程211ax+=+的解是负数，则a的取值范围______．【答案】1a−且2a−【分析】先解分式方程得到

x=a+1，根据方程的解是负数，列不等式a+1<0，且a+20，求解即可得到答案．【详解】解：211ax+=+a+2=x+1x=a+1，∵方程的解是负数，x≠-1∴a+1<0，且a+20，解得a<-1，且a-2，故答

案为：1a−且2a−．【点睛】此题考查解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数的取值范围，解题中考虑分式的分母不等于0的情况．知识点02分式方程的应用知识点分式方程的应用（1）分式方程的应用主要涉及工程问题

，有工作量问题、行程问题等．每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝工作量工作效率，时间＝路程速度等．（2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答．【知

识拓展1】工程问题例1．（2022·内蒙古凉城·期末）为了支援青海省玉树地区人民抗震救灾，四川省某休闲用品有限公司主动承担了为灾区生产2万顶帐篷的任务，计划用10天完成．（1）按此计划，该公司平均每天应生产帐篷顶；（2

）生产2天后，公司又从其他部门抽调了50名工人参加帐篷生产，同时通过技术革新等手段使每位工人的工作效率比原计划提高了25%，结果提前2天完成了生产任务．求该公司原计划安排多少名工人生产帐篷？【答案】（1）2000；（2）该公司原计划安排750名工人生产帐篷．分析：（1）直接

利用20000÷10即可得到平均每天应生产帐篷多少顶；（2）设该公司原计划安排x名工人生产帐篷，那么原计划每名工人每天生产帐篷2000x顶，后来每名工人每天生产帐篷2000x×（1+25%）顶，然后根

据已知条件即可列出方程10-2-2=()20000220001.25502000xx−+，解方程即可求出该公司原计划安排多少名工人生产帐篷．【解析】（1）该公司平均每天应生产帐篷20000÷10=2000顶；（2）设该

公司原计划安排x名工人生产帐篷，依题意得，（10-2-2）×2000x×1.25×（x+50）=20000-2×2000，即16000x=15000（x+50），1000x=750000，解得x=750，经检验x=

750是方程的解，答：该公司原计划安排750名工人生产帐篷．考点：分式方程的应用．【即学即练1】1．（2022·山东临沂市·中考真题）某工厂生产A、B两种型号的扫地机器人．B型机器人比A型机器人每小时的清扫面积多50%；清扫2100m所用的时间A型机器人比B型机器人多用40分钟．两种型号扫地机器

人每小时分别清扫多少面积？若设A型扫地机器人每小时清扫2mx，根据题意可列方程为（）A．10010020.53xx=+B．10021000.53xx+=C．100210031.5xx+=D．10010021.53xx=+【答案】D【分析】根据清扫100m2所用的时间A型机器人比B型机器人多用

40分钟列出方程即可．【详解】解：设A型扫地机器人每小时清扫xm2，由题意可得：10010021.53xx=+，故选D．【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系．【知识拓展2】行程问题例2．（

2022·山东·武城县八年级期末）小张去离家2520米的奥体中心看演唱会，到奥体中心后，发现演唱会门票忘带了，此时离演唱会开始还有23分钟，于是他跑步回家，拿到票后立刻找到一辆“共享单车”原路赶回奥体中心，已知小张

骑车的时间比跑步的时间少用4分钟，且骑车的平均速度是跑步的平均速度的1.5倍．(1)求小张跑步的平均速度；(2)如果小张在家取票和寻找“共享单车”共用了5分钟，他能否在演唱会前赶到奥体中心？说明理由．【答案】(1)210米/分钟；(2)他不能在

演唱会前赶到奥体中心；理由见解析【分析】（1）设小张跑步的平均速度为x米/分钟，则小张骑车的平均速度为1.5x米/分钟，根据时间＝路程÷速度，结合小张骑车的时间比跑步的时间少用了4分钟，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论；（2）根据时间＝路

程÷速度，求出小张跑步回家的时间，由骑车与跑步所需时间之间的关系可得出骑车的时间，再加上取票和寻找“共享单车”共用的5分钟即可求出小张赶回奥体中心所需时间，将其与23进行比较后即可得出结论．【解析】(1)解：设小张跑步的平均速度为x米/分钟，则小张骑车的平均

速度为1.5x米/分钟，根据题意得：2520252041.5xx−=，解得：x＝210，经检验，x＝210是原分式方程的解．答：小张跑步的平均速度为210米/分钟．(2)小张跑步到家所需时间为2520÷210＝12（分钟），小张骑车所用时间为1

2−4＝8（分钟），小张从开始跑步回家到赶回奥体中心所需时间为12＋8＋5＝25（分钟），∵25＞23，∴小张不能在演唱会开始前赶到奥体中心．【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：（1）根据时间=路程÷速度，结合

小张骑车的时间比跑步的时间少用了4分钟，列出关于x的分式方程；（2）根据数量关系，列式计算．【即学即练2】2．（2022·竹溪县实验中学其他）某中学八年级学生去距学校10千米的景点参观，一部分学生骑自行车先走，过了30分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速

度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是()A．1010122xx−=B．1010302xx−=C．1010302xx−=D．1010122xx−=【答案】A【分析】关键描述语为：“过了30分后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达”；等量关系为：骑自行车

同学所用时间-乘车同学所用时间=3060小时，可以列出相应的方程．【解析】由题意可得：1010122xx−=，故选：A．【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．【知识拓展3】销售问题例3．（2022·重庆巴蜀

中学初三期中）某工厂计划生产一种创新产品，若生产一件这种产品需A种原料1.2千克、B种原料1千克.已知A种原料每千克的价格比B种原料每千克的价格多10元.（1）为使每件产品的成本价不超过34元，那么购入

的B种原料每千克的价格最高不超过多少元？（2）将这种产品投放市场批发销售一段时间后，为拓展销路又开展了零售业务，每件产品的零售价比批发价多30元.现用10000元通过批发价购买该产品的件数与用16000元通

过零售价购买该产品的件数相同，那么这种产品的批发价是多少元？【答案】（1）购入B种原料每千克的价格最高不超过10元；（2）这种产品的批发价为50元．【分析】（1）设B种原料每千克的价格为x元，则A种原料每千克的价格为（x＋10）元，根据使每件产品的成本价不超过34元列出不等式求解即可；（2

）设这种产品的批发价为a元，则零售价为（a＋30）元，根据“用10000元通过批发价购买该产品的件数与用16000元通过零售价购买该产品的件数相同，”正确列出分式方程即可.【解析】（1）设B种原料每千克的价格为x元，则A种原料每千克的价格为()10x+元

，根据题意得：()1.21034xx++„，解得：10x„．答：购入B种原料每千克的价格最高不超过10元．（2）设这种产品的批发价为a元，则零售价为()30a+元，根据题意得：100001600030aa=+，解

得：50a=，经检验，50a=是原方程的根，且符合实际．答：这种产品的批发价为50元．【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找

准等量关系，正确列出分式方程.【即学即练】3．（2020·四川广元·八年级期末）倡导健康生活推进全民健身，某社区去年购进A，B两种健身器材若干件，经了解，B种健身器材的单价是A种健身器材单价的1.5倍，用7200元购买A种健身器材比用5400元购买B种健身器材多10件．(1)A，B两种

健身器材的单价分别是多少元？(2)若今年A种健身器材的单价相较去年上涨了%a，B种健身器材的单价相较去年下降了%a，这样用7200元购买A种健身器材和用5400元购买B种健身器材的数量就一样多，求a的值．（保

留一位小数）【答案】(1)A种健身器材的单价是360元，B种健身器材的单价是540元(2)33.3【分析】（1）设A种健身器材的单价为x元，则B种健身器材的单价为1.5x元，根据用7200元购买A种健身器材数−用5400元购买B种健身器材数=10，列分式方程求解

即可；（2）用7200元购买A种健身器材的数量=用5400元购买B种健身器材的数量，列分式方程求解即可．【详解】（1）解：设A种健身器材的单价为x元，则B种健身器材的单价为1.5x元．根据题意，得7200

5400101.5xx−=，解得360x=，经检验，360x=是原方程的解，1.5360540=（元）．答：A种健身器材的单价是360元，B种健身器材的单价是540元；（2）解：根据题意，得()()720054003601%

5401%aa=+−，解得1003a=，经检验，1003a=是原方程的解，∴33.3a．【点睛】本题主要考查了分式方程在生活中的应用，根据题意找出等量关系列分式方程是解题的关键，解分式方程时检验是解题的易错点．【知

识拓展4】方案问题例4．（2022·内蒙古乌海·初二期末）在“双十二”期间，,AB两个超市开展促销活动，活动方式如下：A超市：购物金额打9折后，若超过2000元再优惠300元；B超市：购物金额打8折．某学校计划购买某品牌的篮球做奖品，该品牌的篮球在,AB两个超市的标价相同，根据

商场的活动方式：（1）若一次性付款4200元购买这种篮球，则在B商场购买的数量比在A商场购买的数量多5个，请求出这种篮球的标价；（2）学校计划购买100个篮球，请你设计一个购买方案，使所需的费用最少．（直接写出方案）【答案】（1）这种篮球的标

价为每个50元；（2）见解析【分析】（1）设这种篮球的标价为每个x元，根据题意可知在B超市可买篮球42000.8x个，在A超市可买篮球42003000.9x+个，根据在B商场比在A商场多买5个列方程进行求解即可；（2）分情况，单独在A超市买100个、单独

在B超市买100个、两家超市共买100个进行讨论即可得.【解析】（1）设这种篮球的标价为每个x元，依题意，得4200420030050.80.9xx+−=，解得：x=50，经检验：x=50是原方程的解，且符合题意，答：这种篮球的标价为每个50元；（2）购买100个篮球，最少的费用为385

0元，单独在A超市一次买100个，则需要费用：100×50×0.9-300=4200元，在A超市分两次购买，每次各买50个，则需要费用：2（50×50×0.9-300）=3900元，单独在B超市购买：100×50×0.8=4000元，在A、B两个超市共买

100个，根据A超市的方案可知在A超市一次购买：20000.950=4449，即购买45个时花费最小，为45×50×0.9-300=1725元，两次购买，每次各买45个，需要1725×2=3450元，其余1

0个在B超市购买，需要10×50×0.8=400元，这样一共需要3450+400=3850元，综上可知最少费用的购买方案：在A超市分两次购买，每次购买45个篮球，费用共为3450元；在B超市购买10个，费用400元，两超市购买100个篮球总费用3850元.【点睛】本题考查了分式方程

的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.【即学即练】4．（2022·湖南长沙·八年级期末）某电脑公司经销甲种型号电脑，受市场影响，电脑价格不断下降．今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价500元，如果卖出相

同数量的电脑，去年销售额为90000元，今年销售额只有80000元．(1)今年三月份甲种电脑每台售价多少元？(2)为了提高收入，电脑公司决定增加经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于66000元且不少于64000元的资金购进

这两种电脑共20台，问有几种进货方案？(3)如果乙种电脑每台售价为3700元，为扩大乙种电脑的销量，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金a元，要使（2）中所有方案获利相同，a值应是多少？【答案】(1)今年三月份甲种电脑每台售价

4000元(2)一共有5种进货方案(3)a的值为200【分析】（1）设今年三月份甲种电脑每台售价x元，则去年每台(500)x+元，然后由卖出相同数量的电脑，而去年销售额为90000元，今年销售额只有8000

0元列出方程求解即可；（2）设购甲种电脑m台，则乙种电脑()20m−台，然后由甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于66000元且不少于64000元的资金购进这两种电脑共20台，列出不等式求解即可得到答

案；（3）设甲种电脑m台，总获利为W元，然后根据题意求出关系式，再由使（2）中所有方案获利相同，求解即可．【解析】(1)设今年三月份甲种电脑每台售价x元，则去年每台()500x+元．依题意，得：90000800000500xx−=+，解得4000x=．检验可知4000x=是

方程的解，且符合题意．答：今年三月份甲种电脑每台售价4000元．(2)设购甲种电脑m台，则乙种电脑()20m−台．依题意，得：()64000350030002066000mm+−，解得：812m．∵m为正整数，∴8m=，9，10，11，12∴共有5种进货方案．答：一共

有5种进货方案；(3)设甲种电脑m台，总获利为W元．则：()()()()4000350037003000202001400020Wmamama=−+−−−=−+−．∵要使（2）中所有方案获利相同，∴W的结果与m无关，∴2000a−

=，∴200a=．∴购买甲种电脑8台，乙种电脑12台时对公司更有利答：a的值为200．【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，函数关系式的使用，解题的关键在于能够准确读懂

题意，找到等量关系与不等关系，列出分式方程与不等式求解即可．考法01分式方程中的整数解问题【典例1】（2022·达州市·中考真题）若分式方程22411xaxaxx−−+−=−+的解为整数，则整数a=___________．【答案】【分析】直接移项后通分合并同类项，化

简、用a来表示x，再根据解为整数来确定a的值．【详解】解：22411xaxaxx−−+−=−+，22411xaxaxx−−+−=−+能力拓展(2)(1)(2)(1)4(1)(1)xaxaxxxx−+−−−=−+

整理得：2xa=若分式方程22411xaxaxx−−+−=−+的解为整数，a为整数，当1a=时，解得：2x=，经检验：10,10xx−+成立；当2a=时，解得：1x=，经检验：分母为0没有意义，故舍去；综上:1a=，

故答案是：．【点睛】本题考查了分式方程，解题的关键是：化简分式方程，最终用a来表示x，再根据解为整数来确定a的值，易错点，容易忽略对根的检验．变式1．（2022·河南南阳·八年级阶段练习）若实数a使得关于x的分式方程

12322axxxx−+=−−有正整数解，则所有满足条件的a的值之和是（）A．20B．17C．15D．12【答案】C【分析】根据分式方程12322axxxx−+=−−有正整数解，可得a的值，即可得到答案．【详解】解：分式方程12322ax

xxx−+=−−，去分母得：()1232axxx−+−=，去括号合并得：()620ax−−=，∴62xa=−，由题意得：622a−，即23a−且62a−是正整数，∴21a−=或22a−=或26a−=，∴3a=或4a=

或8a=，∴所有满足条件的a的值之和为3+4+8=15，故选：C．【点睛】本题考查了分式方程的正整数解等知识，解题的关键是求出a的范围，容易忽略2x的条件．变式2．（2022·重庆实验外国语学校）关于x的分式方程114211

axxx−−−=++有整数解，且关于y的不等式组116232(1)5yyya−−−−−有解，则所有满足条件的正整数a的和是（）A．6B．12C．14D．20【答案】A【分析】先用a表示出分式方程114211a

xxx−−−=++的解，再根据整数解求出a的可能值，然后再通过不等式组116232(1)5yyya−−−−−进一步确定a的值，最后求和即可．【详解】解：∵116232(1)5yyya−−−−−∴y＜52，y

≥32a−∵关于y的不等式组116232(1)5yyya−−−−−有解∴不等式组的解集为32a−≤y＜52，∴32a−＜52，即a-3＜5，可得a＜8由114211axxx−−−=++有整数解,可

得：x=22a−,即a为偶数∵x≠-1∴x≠6∵正整数a∴a=2或a=4∴4+2=6．故选A．【点睛】本题主要考查了解分式方程、解不等式组等知识点，正确求解分式方程成为解答本题的关键．题组A基础过关练分层提分1．（2022·山东枣庄·八年级阶段练习）下列方程①4xxyy−=+，

②15x=，③13xx−=−，④11=−xab中，是关于x的分式方程的有（）个．A．1B．2C．3D．4【答案】A【分析】根据分式方程的定义，即可判断．【详解】解：①4xxyy−=+是关于y的分式方程；②15x=是关于x的分式方程；③1

3xx−=−是关于x的整式方程；④11=−xab是关于x的整式方程；所以关于x的分式方程共有1个，故选：A．【点睛】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注

意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．2．（2022·湖南·八年级阶段练习）把分式方程11122xxx−−=−−的两边同时乘以2x−，约去分母，得（）A．()111x−−=B．()111x+−=C．()112xx−−=−D．()112xx+−=−【答案】D【分析

】方程两边同时乘以2x−进行化简即可．【详解】解：方程两边同时乘以2x−得：()112xx+−=−；故选D．【点睛】本题考查分式方程去分母．在去分母的时候，注意常数项不要漏乘．3．（2022·山东青州·初二期末）已

知关于x的分式方程22124xmxxx−−=+−无解，则m的值为（）A．0B．0或8−C．8−D．0或8−或4−【答案】D【分析】先求出分式方程的解，无解时，解中的分母为0或解等于±2即可.【解析】解：由22124xmxxx−−=+−得x=8m+4

∵分式方程无解∴8m+4=±2或m+4=0∴m=0或m=-8或4−∴0或8−或4−故答案为D.【点睛】本题考查了分式的解和分式方程的解法，解答的关键在于解分式方程和分式无解的条件.另外，让分式的解有意义是本题的易错点.4．（2022·广东·佛山市华英学校三模）A，B两地相距80千米，一辆大汽车从

A地开出2小时后，又从A地开出另一辆小汽车，已知小汽车的速度是大汽车速度的3倍，结果小汽车比大汽车早40分钟到达B地，求两种汽车每小时各走多少千米．设大汽车的速度为km/hx，则下面所列方程正确的是（）A

．8080403xx−=B．80802.43xx−=C．80802233xx−=+D．80802233xx+=−【答案】C【分析】设大汽车的速度为km/hx，则小汽车的速度为3km/hx，根据题意可得，同样走80千米，小汽车比大汽车少用223+小时，据此列方程．【详解】解：设

大汽车的速度为km/hx，则小汽车的速度为3km/hx，由题意得，80802233xx−=+．故选C．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．5．（202

2·陕西金台·）某公司为尽快给医院供应一批医用防护服，原计划x天生产1200防护服，由于采用新技术，每天增加生产30套，因此提前2天完成任务，列出方程为（）A．12001200302xx=−−B．12001200302xx=−+C．12001200302xx=−+D．12

001200302xx=−−【答案】A【分析】根据工作效率=工作总量÷时间结合采用新技术后每天多生产30套，即可得出关于x的分式方程，此题得解．【详解】解：依题意，得：12001200302xx=−−，故选：A．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方

程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．6．（2022·湖南·岳阳县甘田中学八年级阶段练习）方程1233xxx=+−−的解昰___________．【答案】7x=【分析】先去分母，把方程化为整式方程，再解整式方程并检

验即可.【详解】解：1233xxx=+−−去分母得：()123,xx=−−整理得：126,xx=−−解得：7,x=经检验：7x=是原方程的根，∴原方程的根为：7.x=故答案为：7x=【点睛】本题考查的是分式方程的解法,掌握“分式方程的解法与步骤”是解本题的关键.7．（202

2·湖南·永州市八年级阶段练习）如果方程12111kxx−−=−−的解是正数，那么k的取值范围为______．【答案】4k且3k【分析】先将分式方程的解用关于k的代数式表示出来，再结合题意和分式有意义的条件求解即可．【详解】解

：12111kxx−−=−−()112kx−−−=−4xk=−，∵该分式方程解为正数和使分式有意义的条件，∴40k−且41k−，∴4k且3k．故答案为：4k且3k．【点睛】本题考查了分时方程的解，解决本题的关键是注意分式有意义的条件．8．（2022·江苏

海陵·八年级期中）若解关于x的方程12xx−−＝2mx−+2时产生了增根，则m＝_____．【答案】﹣1．【分析】先将分式化成化为整式方程，求得x，然后令x=2，即可求得m的值即可【解析】解：原式去分母得：x﹣1＝﹣m+2

x﹣4，解得：x＝m+3，由分式方程有增根，得到x＝2，则有m+3＝2，解得：m＝﹣1，故答案为﹣1．【点睛】本题考查了分式方程的增根，求出用m表示的分式方程的解是解答本题的关键．9．（2022·湖南·岳阳县甘田中学八年级阶段练习）解方程：(1)512552x

xx+=−−(2)22211xxx=−+【答案】(1)0x=；(2)无解．【分析】分式方程去分母即可转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验后即可得到分式方程的解．【详解】（1）方程两边同时乘以()25x−得：525xx−=−，解得：0x=，检验：当0x=时，250x−所以分式

方程的解为0x=；（2）方程两边同时乘以()()11xxx+−得：21xx=−，解得：=1x−，检验：当=1x−时()()110xxx+−=，所以原分式方程无解．【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思路是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定要注意验根．10．（20

22·重庆一中九年级阶段练习）某山区突发森林大火，在这场与山火的拉锯战中，“以火灭火”的方式助力了阶段性胜利时刻的到来．浴火后的山区，一半青山一半黄，为了还山区一抹绿，志愿者协会组织开展“迎国庆植树活动

”，计划种植黄桷树和香樟这两种树．(1)该协会计划种植黄桷树和香樟共5000棵，其中黄桷树的数量比香樟的数量的2倍少1000棵，求计划种植黄桷树多少棵？(2)在实际种植过程中，为了加快进度，将参与活动的志愿者分成甲、乙两组，甲组负责种植香樟，乙组负责种植黄桷树，其中乙组每小

时种植的树苗比甲组多50棵，最终两个小组同时完成任务，求乙组每小时种植的数量．【答案】(1)3000棵(2)150棵【分析】（1）设计划种植香樟x棵，则计划种植黄桷树()21000x−棵，根据种植总数是5000列方程求解即可；（2）

设乙组每小时种植的数量为y棵，则甲每小时种植的数量为()50y−棵，根据两个小组同时完成任务即用时相等列方程求解即可．【详解】（1）解：设计划种植香樟x棵，则计划种植黄桷树()21000x−棵，则有：(

)210005000xx+−=，解得：2000x=，∴210002200010003000x−=−=答：计划种植黄桷树3000棵．（2）设乙组每小时种植的数量为y棵，则甲每小时种植的数量为()50y−棵，则有3000200050yy=−，解得：150y=，经

检验，150y=是原方程的根，且符合题意，答：乙组每小时种植的数量为150棵．【点睛】本题考查一元一次方程和分式方程的应用，找出题中的数量关系并用它列出方程是解题的关键．题组B能力提升练1．（2022·四川广元·八年级期末）方程2111xxxx−=−−的解为（）A．12x=−B．2x=

C．1x=D．原分式方程无解【答案】D【分析】利用去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，检验解分式方程即可．【详解】解：2111xxxx−=−−分式两边同乘2xx−得：221xxx−=−，移项合并同类项得：1x=，检验：当1x=，20xx−=，∴

1x=是原方程的增根，∴原方程无解；故选D．【点睛】本题考查解分式方程，注意使最简公分母为0的x的值，是方程的增根，要舍掉．2．（2022·绵阳市·八年级专题练习）将0.50.0110.20.03xx+−=的分母化为整数，得（）A．0.50.01123xx+−=

B．5051003xx+−=C．0.50.01100203xx+−=D．50513xx+−=【答案】D【分析】根据分式的基本性质求解．【详解】解：将0.50.0110.20.03xx+−=的分母化为整数

，可得50513xx+−=．故选：D．【点睛】本题考查一元一次方程的化简，熟练掌握分式的基本性质解题关键．3．（2022·浙江·模拟预测）已知关于x的方程133xmxx−=−−无解，则m的值为（）A．4B．3C．2D．1【答案

】C【分析】分式方程去掉分母化为整式方程，整式方程的解就是方程的增根，即x=3，据此即可求解．【详解】解：去分母得：x-1=m，解得：x=m+1，根据题意得：m+1=3，解得：m=2，故选：C．【点睛】本题考查了分式方程无解的条件，是需要识记的内容．4．（2022·石家庄市八年级期末）关于x的分式

方程52axx=−有解，则字母a的取值范围是（）A．2a=或0a=B．0aC．5aD．5a且0a【答案】D【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“关于x的分式方程52axx=−有解”，即x≠0且x≠2建立不等式即可求a的取

值范围．【详解】解：52axx=−，去分母得：5（x-2）=ax，去括号得：5x-10=ax，移项，合并同类项得：（5-a）x=10，∵关于x的分式方程52axx=−有解，∴5-a≠0，x≠0且x≠2，即a≠5，系数化为1得：105xa=−，∴

1005a−且1025a−，即a≠5，a≠0，综上所述：关于x的分式方程52axx=−有解，则字母a的取值范围是a≠5，a≠0，故选：D．【点睛】此题考查了求分式方程的解，由于我们的目的是求a的取值范围，根据方程

的解列出关于a的不等式．另外，解答本题时，容易漏掉5-a≠0，这应引起同学们的足够重视．5．（2022·广东·高州八年级阶段练习）已知关于x的分式方程211xmx+=+的解为负数，求m的取值范围．【答案】m>1且m≠2【分析】将

m当成常数，解分式方程，再根据分式方程解的情况，列不等式求解即可．【详解】211xmx+=+，解：21xmx+=+，21xxm−=−，1xm=−，∵方程的解为负数∴1-m＜0∴m>1∵x≠-1∴m≠2∴m>1且m≠2故答案为：m>1且m≠2．

【点睛】本题考查根据分式方程解的情况求参数的取值范围：将参数当成常数正确的解出分式方程的根是解题的关键，在求参数的值时，要注意分式的分母不能为0．6．（2022·河北张家口·初三二模）甲、乙两船从相距300km的A、B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行18

0km时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6km/h，若甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h，则求两船在静水中的速度可列方程为（）A．1806x+=1206x−B．1806x−=1206x+C．1806x+=120xD．180x=1206x−【答案】A分

析：直接利用两船的行驶距离除以速度=时间，得出等式求出答案．【解析】设甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h，则求两船在静水中的速度可列方程为：1806x+=1206x−．故选A．点睛：此题主要考查了由实际问题抽象出分式方

程，正确表示出行驶的时间和速度是解题关键．7．（2022·山东枣庄二模）若整数a使关于x的分式方程82axx−−﹣2＝2xx−有整数解，则符合条件的所有a之和为（）A．7B．11C．12D．13【答案】D【分析】根据分式方程的解为整数解，

即可得出a＝﹣1，1，2，4，7，据此计算即可．【详解】解：解分式方程82axx−−﹣2＝2xx−，得：x＝4-3a，∵分式方程的解为整数，且x≠2，∴当a＝﹣1时，x＝-1；当a＝1时，x＝-2；当a＝2时，x＝-4

；当a＝4时，x＝4；当a＝5时，x＝2（不符合题意，故舍去）；当a＝7时，x＝1；故符合条件的所有a之和为：﹣1+1+2+4+7＝13．故选：D．【点睛】本题考查了分式方程的解，注意分式方程中的解要满足分母不为0的情况．8．（2022·江苏·滨海

县八巨初级中学八年级阶段练习）某中学组织学生去离学校15km的东山农场，先遣队与大队同时出发，先遣队的速度是大队的速度的1.2倍，若先遣队比大队早到了0.5h，设大队的速度为km/hx，可得方程为_____________．【答案】15150.51.2xx−=【分

析】设大队的速度为xkm/h，则先遣队的速度为1.2xkm/h，根据先遣队比大队早到0.5h列出分式方程求解即可．【详解】解：设大队的速度为xkm/h，则先遣队的速度为1.2xkm/h，根据题意得：15150.51.2xx−=，故答案为：15150.51.2

xx−=．【点睛】本题考查分式方程的应用，理解题意，正确列出分式方程是解答的关键．9．（2022·江苏新吴·八年级期末）某文具店王老板用240元购进一批笔记本，很快售完；王老板又用600元购进第二批笔记

本，所购本数是第一批的2倍，但进价比第一批每本多了2元．（1）第一批笔记本每本进价多少元？（2）王老板以每本12元的价格销售第二批笔记本，售出60%后，为了尽快售完，决定打折促销，要使第二批笔记本的销售总利润不少于48元，剩余的笔记本每本售价最低打几折？【答案】（1）第一批笔记本每

本进价为8元；（2）剩余的笔记本每本最低打七五折．【分析】（1）设第一批笔记本每本进价为x元，则第二批每本进价为()2x+元，则第一批购进240x本，第二批购进6002x+本，结合第二批的数量等于第一批的2倍，列方程，解方程即可；（2）由（1）得第二批购进60本，设剩余的笔记本每本最低打y折，由第

二批笔记本的销售总利润不少于48元，列不等式，再解不等式可得答案.【详解】解：（1）设第一批笔记本每本进价为x元，则第二批每本进价为()2x+元由题意得：24060022xx=+解之得：8x=经检验8

x=为原方程的解答：第一批笔记本每本进价为8元．（2）设剩余的笔记本每本最低打y折，而第二批购进6006082=+本，由题意得：()12106060%12106040%4810y−+−解之得：7.5y答：剩余的笔记本每本最低打七五折【点睛】本题考查的是分式方程的应

用，一元一次不等式的应用，熟悉购买数量等于购买总金额除以单价，每本笔记本的利润乘以销售的数量等于总利润是解本题的关键.10．（2022·山东德州·八年级期末）某商店准备购进A、B两种商品，A种商品每件的

进价比B种商品每件的进价多20元，用2000元购进A种商品和用1200元购进B种商品的数量相同．商店将A种商品每件的售价定为80元，B种商品每件的售价定为45元．(1)A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？(2)商店计划用不超过1560元的资

金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？【答案】(1)A种商品每件进价50元，B种商品每件进价30元；(2)商店共有5种进货方案【分析】（1）设A种商品每件的进价是x元，根据用2000元购进A种商品和用1200元购

进B种商品的数量相同，列分式方程，解出可得结论；（2）设购买A种商品a件，根据用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，列不等式组，解出取正整数可得结论．【解析】(1)设A种商品每件进价x元，则B种商品每件进价()20x−元，由题意得：

2000120020xx=−，解得：50x=，经检验，50x=是原方程的解，且符合题意，502030−=（元），答：A种商品每件进价50元，B种商品每件进价30元．(2)设购买A种商品a件，则B种商()40a−件，由题意得：()5030401560402aaaa+−−

，解得，40183a，∵a为整数，∴14a=、15、16、17、18，∴商店共有5种进货方案．【点睛】本题考查了分式方程和一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程可不等式组求解，分式方程

要注意检验．11．（2021·浙江长兴·初二月考）某市文化宫学习十九大有关优先发展教育的精神，举办了为某贫困山区小学捐赠书包活动．首次用2000元在商店购进一批学生书包，活动进行后发现书包数量不够，又购

进第二批同样的书包，所购数量是第一批数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元．(1)求文化官第一批购进书包的单价是多少？(2)商店两批书包每个的进价分别是68元和70元，这两批书包全部售给文化宫后，商店共盈利多少元？【答案】（1）第一批购进书包的单价为

80元（2）商店共盈利1350元分析：（1）设第一批购进书包的单价为x元，则可以表示出第二批书包的单价为（x+4）元；根据购进第一批和第二批书包的成本，可分别表示出购进第一批与第二批书包的数量；利用等量关系“第二批所购数量是第一批购进数量的3倍”列方程解答即可，注意分式方程要验根；（2）用每批

书的数量乘以每本书的利润，再把两批书的利润相加.【解析】(1)设第一批购进书包的单价为x元.依题意,得,整理,得20(x+4)=21x,解得x=80.检验：当x=80时，x(x+4)≠0∴x=80是原分式方程的解.答:第一批购进书包的单价为80元.(2)()()2

0006300806884708084−+−=300+1050=1350答:商店共盈利1350元.点睛：列分式方程解应用题的一般步骤：①审题；②设未知数；③找出能够表示题目全部含x的相等关系，列出分式方程；④解分式方程；⑤验根；⑥写出答案.本题第（1）问，即是根据“第二批所购数量是第一批购

进数量的3倍”列方程解答的.题组C培优拔尖练1．（2020·黑龙江鹤岗市·中考真题）已知关于x的分式方程433xkxx−=−−的解为非正数，则k的取值范围是（）A．12k−B．12k−≥C．12k−D．12k−【答案】A【分析】表示出分式方程的解，由解为非正数得出关于k的不等式，解出k的

范围即可．【详解】解：方程433xkxx−=−−两边同时乘以(3)x−得：4(3)xxk−−=−，∴412xxk−+=−，∴312xk−=−−，∴43kx=+，∵解为非正数，∴403k+，∴12k−，故选：A．【点睛】本题考查了分式方程的解及解一元一次不等式，熟练掌握分式方程的解法和一元

一次不等式的解法是解题的关键．2．（2022·安徽霍邱·七年级期末）已知关于x的分式方程10327333xkxx−−=−−−的解满足2＜x＜5，则k的取值范围是（）A．﹣7＜k＜14B．﹣7＜k＜14且k≠0C．﹣1

4＜k＜7且k≠0D．﹣14＜k＜7【答案】C【分析】先解分式方程，然后根据分式方程的解满足2＜x＜5和分式有意义的条件进行求解即可．【详解】解：∵10327333xkxx−−=−−−，∴()1032733xkx−=−++−，∴217kx−=，∵分式方程103273

33xkxx−−=−−−的解满足2＜x＜5，∴212572137kk−−，解得147k−且0k，故选C．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，解分式方程，分式方程的解，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．3．（2022·重庆

市育才中学九年级阶段练习）若关于x的一元一次不等式组5-2-23-<+12xxaxx无解，且关于y的分式方程6211ayyy=−++的解是整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（）A．−6B．−4C．−2D．1【答案】A【分析】先解不等式组，

然后根据一元一次不等式组无解确定a的取值范围，最后根据分式方程的解为正数确定a的值即可解答．【详解】解：5223<+12xxaxx−−−①②，解不等式①得：2x−，解不等式②得：23ax−，∵不等式组无解，∴223

a−−，解得：4a−，6211ayyy=−++，去分母得：62(1)ayy=−+，解得：42ya=+且412a−+，∴4a=−或3−或1−或0或2，∴4(3)(1)026−+−+−++=−，故选：

A．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，分式方程的解，熟练掌握解一元一次不等式组，解分式方程是解题的关键．4．（2022·重庆一中九年级阶段练习）“遥知涟水蟹，九月已经霜，巨实黄金重，舒肥白玉香”，金秋时节，是吃螃蟹的最佳季节．某螃蟹经销商出售梭子蟹、青蟹、大闸蟹三种产品．10月1日，梭

子蟹、青蟹的销量之比为2:1，青蟹、大闸蟹的销量之比为3:1，梭子蟹、青蟹的单价之比为2:3，大闸蟹的单价比青餐高13．10月8日，随着假期结束，梭子蟹、青蟹的购买热度与10月1日相比有所下降，单价也有所变化，梭子蟹下降的销量占当天三种螃蟹总销量的1

4，梭子蟹、青蟹的销量之比为2:1．10月8日，大闸蟹因为单价降低50%，销量反而有所增长，结果发现，10月8日大闸蟹的销售额恰好等于10月1日大闸蟹的销售额，梭子蟹和青蟹在10月8日的总销售额之比为8:7，梭子蟹两天的总销售

额与青蟹两天的总销售额之比为13:10，则10月8日，梭子蟹与大闸蟹的单价之比为___________．【答案】311【分析】设10月1日，大闸蟹的销量为a，则青蟹的销量为3a，梭子蟹的销量为6a，设梭子蟹的单价为2b，

则青蟹的单价为3b，大闸蟹的单价为4b，则10月1日，大闸蟹的销售额为4ab，青蟹的销售额为9ab，梭子蟹的销售额为12ab，由题意得：10月8日，大闸蟹单价降低50%，即2b，设10月8日，大闸蟹的销量为m，可得在10月8日，大闸蟹的销量为2a，设10月8日，青蟹的销量为n，则梭子蟹的

销量为2n，即10月8日，青蟹的销量为2a，梭子蟹的销量为4a，设10月8日，梭子蟹的单价为M，青蟹的单价为N，由题意得：4827124139210aMaNabaMabaN=+=+，即10月8日，梭子蟹与大闸蟹的单价之比为63:21111bb

=，则问题随之得解．【详解】∵10月1日，梭子蟹、青蟹的销量之比为2:1，青蟹、大闸蟹的销量之比为3:1，∴10月1日，梭子蟹、青蟹、大闸蟹的销量之比为6:3:1，∵10月1日，梭子蟹、青蟹的单价之比为2:3，大闸蟹的单价比青餐高13，∴10月1日，梭子蟹、青蟹、大闸蟹的单价之比为2:3:4，设

10月1日，大闸蟹的销量为a，则青蟹的销量为3a，梭子蟹的销量为6a，设梭子蟹的单价为2b，则青蟹的单价为3b，大闸蟹的单价为4b，则10月1日，大闸蟹的销售额为4ab，青蟹的销售额为9ab，梭子蟹的销售额为12ab，由题意得：10月8日，大闸蟹单

价降低50%，即2b，设10月8日，大闸蟹的销量为m，由题意得：24bmab=，解得2ma=，即在10月8日，大闸蟹的销量为2a，设10月8日，青蟹的销量为n，则梭子蟹的销量为2n，由题意得：621224annna−=++，解得2na=，则2224naa=

=，即10月8日，青蟹的销量为2a，梭子蟹的销量为4a，设10月8日，梭子蟹的单价为M，青蟹的单价为N，则在10月8日梭子蟹的总销售额为44MaaM=，青蟹的总销售额为22NaaN=，由题意得：4827

124139210aMaNabaMabaN=+=+，解得：74611NMMb==，即10月8日，梭子蟹与大闸蟹的单价之比为63:21111bb=，故答案为：311．【点睛】本题考查应用类问题，重点是假设未知数，解题的关键是厘清题中给出的众

多的量之间的关系．5．（2022·厦门双十中学海沧附属学校）观察分析下列方程：①23xx+=；②65xx+=；③127xx+=．请利用它们所蕴含的规律，求关于x的方程2254nnxnx++=+−（n为正整数）的根，你的答案是_____．【答案】x

=n+4或x=n+5【分析】根据方程变形后，归纳总结得到一般性规律，求出所求方程的解即可．【详解】解：123xx+=，解得：2x=或1x=；235xx+=，解得：2x=或3x=；347xx+=，解得：3x=或4x=；得到规律mnxmnx+=+，的解

为：xm=或xn=；所求方程整理得：()14214nnxnx+−+=+−，根据规律得：4xn−=或4+1xn−=，解得：x=n+4或x=n+5故答案为：x=n+4或x=n+5【点睛】此题考查了分式方程的解，弄清楚题中的规律是解本题的关键．6．（2022·河北·邢

台市八年级阶段练习）已知，关于x的分式方程=12+35abxxx−−−．(1)当=1a，=0b时，求分式方程的解；(2)当=1a时，求b为何值时分式方程=12+35abxxx−−−无解；(3)若3ab=

，且a、b为正整数，当分式方程=12+35abxxx−−−的解为整数时，求b的值．【答案】(1)10=-11x(2)11=2b或5b=(3)3、29、55、185【分析】（1）将a和b的值代入分式方程，解分式方程即可；（2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论b的值，使

分式方程无解即可；（3）将3ab=代入方程，分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和b为正整数确定b的取值．（1）解：把=1a，=0b代入分式方程=12+35abxxx−−−中，得1

=12+35xxx−−−方程两边同时乘以(2+3)(5)xx−，(5)+(2+3)=(2+3)(5)xxxxx−−223522715xxxxx−+=−−+∴10=11x−，检验：把10=11x−代入(2+3)(5)xx−≠0，所以原分式方程的解是10=11x−．

答：分式方程的解是10=11x−．（2）把=1a代入分式方程=12+35abxxx−−−得1=12+35bxxx−−−方程两边同时乘以(2+3)(5)xx−，(5)()(2+3)=(2+3)(5)xbxxxx−−−−225+2+323=2157xxxbxbxx−−−−−(112)=31

0bxb−−①当11-2=0b时，即11=2b，方程无解；②当1120b−时，310=112bxb−−32x=−时，分式方程无解，即3103=1122bb−−−，b不存在；=5x时，分式方程无解，即310=5112bb−−，5b=．综上所述

，11=2b或5b=时，分式方程=12+35abxxx−−−无解．（3）把3ab=代入分式方程=12+35abxxx−−−，得：3+=12+35bxbxx−−方程两边同时乘以(2+3)(5)xx−，3(5)+()(2+3)=(2+3)(5)bxxbxxx−−−整理得：(10+

)=1815bxb−∴1815=10+bxb−181518(+10)195195==1810+10+10+bbbbb−−−，且b为正整数，x为整数10+b必为195的因数，10+11b…∵195=3×5×13195的因数有1、3、5

、13、15、39、65、195但1、3、5小于11，不合题意，故10+b可以取13、15、39、65、195这五个数．对应地，方程的解x为3、5、13、15、17由于=5x为分式方程的增根，故应舍去．对应地，b只可

以取3、29、55、185所以满足条件的b可取3、29、55、185这四个数．【点睛】此题考查了分式方程的计算，难度较大，涉及知识点较多，熟练掌握解分式方程的步骤是解决问题的前提，其次，分式方程无解的两种情况要熟知，一是分式方程去分母后的整式方程无解，二是分式方程去分母后的整式方程的解是分式方程

的增根．总之，解分式方程的步骤要重点掌握．7．（2022·重庆·黔江区育才初级中学校八年级期中）已知关于x的分式方程()()211122mxxxxx+=−−++(1)已知m=4，求方程的解；(2)若该分式方程无解，试求m的值．【答案】(1)x

＝−1(2)m＝−1或−6或32．【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，将m＝2代入计算即可求出x的值；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求解得到51xm=−+，由分式方程无解，得到m＋1＝0或（x＋2）（x−1）＝0

，解m＋1＝0可求得一个m的值，将x＝−2或x＝1代入整式方程即可求出另外两个m的值．（1）解：分式方程去分母得：2（x＋2）＋mx＝x−1，整理得：（m＋1）x＝−5．当m＝4时，（4＋1）x＝−5，解得：x＝−1经检验：x＝−1是原方程的解．（2）解：分式方程去分母得：2

（x＋2）＋mx＝x−1，整理得：（m＋1）x＝−5．∴51xm=−+∵分式方程无解，∴m＋1＝0或（x＋2）（x−1）＝0，当m＋1＝0时，m＝−1；当（x＋2）（x−1）＝0时，x＝−2或x＝1．当x＝−2时m＝32；当x＝1时m＝−6，∴m＝−1或−6或32时该分式方程无解．【点

睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．8.（2022·河南·初二期中）某市组织学术研讨会，需租用客车接送参会人员往返宾馆和观摩地点，客车租赁公司现有45座和60座两种

型号的客车可供租用，已知60座的客车每辆每天的租金比45座的贵100元．（1）会务组第一天在这家公司租了2辆60座和5辆45座的客车，一天的租金为1600元，求45座和60座的客车每辆每天的租金各是多少元？（2）由于第二天参会人员发生了变化，因此会务组需重新

确定租车方案，方案1：若只租用45座的客车，会有一辆客车空出30个座位；方案2：若只租用60座客车，正好坐满且比只租用45座的客车少用两辆。①请计算方案1,2的费用；②如果你是会务组负责人，从经济角度考虑，还有其他方案吗？【答案】（1）4

5座的客车每辆每天的租金为200元，60座的客车每辆每天的租金为300元；（2）①方案1的费用为1200元，方案2的费用为1200元；②有，方案为：租用45座的客车4辆，60座的客车1辆【分析】（1）设45座的客车每辆每天的租金为x元，则60座的客车每辆每天的租金为（x+100）

元，根据题意可得等量关系：2辆60座的一天的租金+5辆45座的一天的客车的租金=一天的租金为1600元；根据等量关系列出方程，再解即可；（2）①设参会人员为y人，由题意列出方程，得出y=240，即可求出方案1、2的费用；②方

案3：共240人，租用45座的客车4辆，60座的客车1辆，求出费用=1100元，即可得出结论．【解析】解：（1）设45座的客车每辆每天的租金为x元，则60座的客车每辆每天的租金为（x+100）元，则：2（x+100）+5x=1600，解得：x=200，∴x+100=300，答：45座的客车每辆每天

的租金为200元，60座的客车每辆每天的租金为300元；（2）设参会人员为y人，由题意得：3024560yy+=+，解得：y=240，①方案1的费用：（240+30）÷45×200=1200（元），方案2的费用：240÷60×300=1200（元），②有方案3：租用4

5座的客车4辆，60座的客车1辆，理由如下：共240人，租用45座的客车4辆，60座的客车1辆，费用：4×200+300=1100（元）＜1200元，∴最终租车方案为：租用45座的客车4辆，60座的客车1辆．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用；根

据题意列出方程是解题的关键．9．（2022·湖南学八年级阶段练习）某地为某校师生交通方便，在通往该学校原道路的一段全长为360m的旧路上进行整修铺设柏油路面．铺设120m后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工效比原计划增加20%，

结果共用32天完成这一任务．(1)求原计划每天铺设路面的长度；(2)若市政部门原来每天支付工人工资为600元，提高工效后每天支付给工人的工资增长了30%，现市政部门为完成整个工程准备了25000元的流动资金．请问，所准备的流动资金是否够支

付工人工资？并说明理由．【答案】(1)原计划每天铺设管道的长度为10m(2)够；理由见解析【分析】（1）设原计划每天铺设管道的长度为xm，则增加后每天的工作效率为(120)x+%，找出等量关系：铺设120m的时间+铺设(300120)m−的时间30=

天，列方程求解即可；（2）分别得到两种不同的工作效率所用的时间，进一步得到各自需要的工资，相加即可求解．（1）解：设原计划每天铺设xm管道，则后来的工作效率为(120)x+%，根据题意，得12036012032(120%)xx−+=+，解得：=10x，经检验：

=10x是原分式方程的解．答：原计划每天铺设管道的长度为9m．（2）解：够；理由：(120%)1.21012x+==，12010600(360120)12600(130%)+−+720015600=+22800=（元),2280025000

．现市政部门为完成整个工程所准备的流动资金够支付工人工资．【点睛】本题考查了分式方程的应用，此题涉及的公式：工作时间=工作量工作效率，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程求解．