【文档说明】2008年高考试题——数学理（重庆卷） .doc，共(14)页，774.500 KB，由envi的店铺上传

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绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)数学试题卷（理工农医类）数学试题卷(理工农医类)共5页。满分150分。考试时间120分钟。注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。2.答选择题时，必须

使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。5.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。参考公式：如

果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pn(K)=kmPk(1-P)n-k以R为半径的球的体积V=43π

R3.一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）复数1+32i=(A)1+2i(B)1-2i(C)-1(D)3(2)设m,n是整数，则“m,n均为偶数”是“m+n是偶数”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件

(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(3)圆O1:x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y2-4y=0的位置关系是(A)相离(B)相交(C)外切(D)内切(4)已知函数y=13xx−++的最大值为M,最小值为m,则mM的值

为(A)14(B)12(C)22(D)32(5)已知随机变量服从正态分布N(3,a2),则P(3)＝(A)15(B)14(C)13(D)12(6)若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1,x2R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,,则

下列说法一定正确的是(A)f(x)为奇函数（B）f(x)为偶函数(C)f(x)+1为奇函数（D）f(x)+1为偶函数(7)若过两点P1(-1,2),P2(5,6)的直线与x轴相交于点P，则点P分有向线段12PP所成的比的值为(A)－13

(B)－15(C)15(D)13(8)已知双曲线22221xyab−=（a＞0,b＞0）的一条渐近线为y=kx(k＞0),离心率e=5k,则双曲线方程为（A）22xa－224ya=1(B)222215xyaa−=(C)222214xyb

b−=(D)222215xybb−=(9)如解（9）图，体积为V的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点.V1为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，V2为大球内、小球外的

图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是（A）V1=2V(B)V2=2V（C）V1>V2（D）V1<V2(10)函数f(x)=sin132cos2sinxxx−−−(02x)的值域是（A）[-2,02](B)

[-1,0]（C）[-2,0]（D）[-3,0]二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填写在答题卡相应位置上（11）设集合U={1,2,3,4,5},A={2,4},B={3,4,5},C={3,4},则(AB)()Cð=.（

12）已知函数()()()23xfxa+=当x0时当x=0时，在点在x=0处连续，则2221limxanann→+=+.(13)已知1249a=(a>0)，则23loga=.(14)设nS是等差数列{a

n}的前n项和，1298,9aS=−=−,则16S=.（15）直线l与圆22240xyxya++−+=(a<3)相交于两点A，B，弦AB的中点为（0，1），则直线l的方程为.(16)某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如题（16）图所

示的6个点A、B、C、A1、B1、C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有种（用数字作答）.三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（

17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，且A=60，c=3b.求：（Ⅰ）ac的值；（Ⅱ）cotB+cotC的值.（18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.）甲、乙

、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止.设在每局中参赛者胜负的概率均为12，且各局胜负相互独立.求：（Ⅰ）打满3局比赛还未停止的概率；（Ⅱ

）比赛停止时已打局数的分别列与期望E.（19）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分.）如题（19）图，在ABC中，B=90,AC=152,D、E两点分别在AB、AC上.使2ADAEDBEC==,DE=3.现将ABC沿DE折成直二角角，求：（Ⅰ）异面直线AD与B

C的距离；（Ⅱ）二面角A-EC-B的大小（用反三角函数表示）.（20）（本小题满分13分.（Ⅰ）小问5分.（Ⅱ）小问8分.）设函数2()(0),fxaxbxca=++曲线y=f(x)通过点（0，23

a+），且在点()()1,1f−−处的切线垂直于y轴.（Ⅰ）用a分别表示b和c；（Ⅱ）当bc取得最小值时，求函数()()xgxfxe−=−的单调区间.（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）如图（21）图，M（-2，

0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：6.PMPN+=（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）若2·1cosPMPNMPN−＝,求点P的坐标.（22）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）设各项均为正数的数列{an}满足321122,(N*)naaaaaan++==.（Ⅰ

）若214a=，求34,aa，并猜想2008a的值（不需证明）；（Ⅱ）记12(N*),22nnnbaaanb=若对n≥2恒成立，求a2的值及数列{bn}的通项公式.2008年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题（理工农医类）答案一、选择题：每小题5分

，满分50分.（1）A解析：本题考查复数的概念与运算。1+32i=1+33221112iiiii+=+=+（2）A解析：,mn均为偶数mn+是偶数则充分；mn+是偶数则,mn均为偶数或者,mn均为奇数即mn+是偶数,mn均为偶数则不必要，故选A（3）B解析：本题考查圆的一般方程与标准方程以

及两圆位置关系。1(1,0)O,2(0,2)O，2212||(10)(02)5OORr=−+−=+（4）C解析：本题考查均值不等式。定义域103130xxx−−+13132222xxxx−++−++=，当且仅当13xx−=+

即1x=−上式取等号，故最大值为22M=最小值为2m=22mM=（5）D解析：本题考查正态分布的意义和主要性质。服从正态分布N(3,a2)则曲线关于3x=对称，1(3)2p=（6）C解析：本题考查函数性质。120xx==则()()()()000101ff

ff=++=−令12,xxxx==−则()()()01ffxfx=+−+，所以()()110fxfx++−+=即()()11fxfx+=−−+（7）A解析：本题考查线段定比分点。设(),0Px则021603−==−−（8）C解析：本题考查双曲线的几何性质。5ceka==，2

225bkackaabc==+=，所以224ab=（9）D解析：设大球半径为R，小球半径为2R根据题意3312444()23324VRVRV==−+所以333124424()233232VRVVRR−=−==于是122

2VVV−=即212VVV−=所以2120VVVV−=−（10）B解析：特殊值法，sin0,cos1xx==则f(x)=01132120−=−−−排除A，令sin1232cos2sinxxx−=−−−得26(sin1

)cos4xx−+=当时sin1x=−时3cos2x=所以矛盾()fx2−排除C，D二、填空题：每小题4分，满分24分.（11）25，（12）13解析：0limx+→023lim233xxx−→+=

+=又(0)fa=点在x=0处连续，所以0lim()(0)xfxf→=即3a=故2223131lim393xnnn→+==+（13）3解析：23323222()[()]3a=32()3a=322332loglog()33a==（14）-72解析：199195551

2()99,2192aaSaaaaaa+==−+==−+=−，11651216()16()1691672222aaaaS++−====−（15）x-y+1=0解析：设圆心O，直线l的斜率为k，弦AB的中点为P，PO的斜率为opk

，2110opk−=−−则lPO⊥，所以k(1)11opkkk=−=−=由点斜式得1yx=−（16）216解析：111432ABC处种，处种，处种则底面共43224=，31ABBC，B分类，A，同，处种，处种，则共有3种；2BABA，不同，处3，处种，1C处种，则共有32=6种，由分类

计数原理得上底面共9种，由分步类计数原理得共有924216=三、解答题：满分76分.（17）（本小题13分）解：（Ⅰ）由余弦定理得2222cosabcbA=+−＝2221117()2,3329ccccc+−=故7.3ac=（Ⅱ）解法

一：cotcotBC+＝cossincossinsinsinBCCBBC+＝sin()sin,sinsinsinsinBCABCBC+=由正弦定理和（Ⅰ）的结论得227sin12141439··.1sin

sinsin9333·3cAaBCAbccc====故143cotcot.9BC+=解法二：由余弦定理及（Ⅰ）的结论有22222271()93cos2723cccacbBaccc+−+−==＝5.27故2253sin

1cos1.2827BB=−=−=同理可得22222271199cos,27127233cccabcCabcc+−+−===−2133sin1cos1.2827CC=−=−=从而coscos51143cotcot33.sins

in399BCBCBC+=+=−=（18）（本小题13分）解：令,,kkkABC分别表示甲、乙、丙在第k局中获胜.（Ⅰ）由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满3局比赛还未停止的概

率为12312333111()().224PACBPBCA+=+=（Ⅱ）的所有可能值为2，3，4，5，6，且121222111(2)()(),222PPAAPBB==+=+=12312333111(3)()().224PPACCPBCC==+=+=1234123444111(4)()().

228PPACBBPBCAA==+=+=123451234555111(5)()(),2216PPACBAAPBCABB==+=+=123451234555111(6)()(),2216PPACBACPBCABC==+=+=故有分布列从而11111472345

6248161616E=++++=（局）.（19）（本小题13分）解法一：（Ⅰ）在答（19）图1中，因ADAEDBCE=，故BE∥BC.又因B＝90°，从而AD⊥DE.在第（19）图2中，因A-DE-B是直二面角，A

D⊥DE,故AD⊥底面DBCE，从而AD⊥DB.而DB⊥BC,故DB为异面直线AD与BC的公垂线.23456P121418116116下求DB之长.在答（19）图1中，由2ADAECBBC==，得2.3DEADBCAB==又已知

DE=3,从而39.22BCDE==22221596.22ABACBC=−=−=因1,2.3DBDBAB=故＝（Ⅱ）在第（19）图2中，过D作DF⊥CE,交CE的延长线于F，连接AF.由（1）知，AD⊥底面DBCE,由三垂线定理知AF⊥FC,故∠AFD

为二面角A-BC-B的平面角.在底面DBCE中，∠DEF=∠BCE,11552,,322DBEC===因此4sin.5DBBCEEC==从而在Rt△DFE中，DE=3,412sinsin3.55DFDEDEFDEBCE==

==在5Rt,4,tan.3ADAFDADAFDDF===中因此所求二面角A-EC-B的大小为arctan5.3解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）如答（19）图3.由（Ⅰ）知，以D点为坐标原点，DBDEDA、、的方向为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（0

，0，4），9202C，，，E（0，3，0）.302ADAD＝-2，-，，＝（0，0，-4）.过D作DF⊥CE,交CE的延长线于F，连接AF.设00(,,0),Fxy从而00(,,0),DFxy=0

0(,3,0).EFxyDFCE=−⊥由，有0030,20.2DFCExy=+=即①又由003,.322xyCEEF−=得②联立①、②，解得00364836483648,.,,0,,4.252525252525xyFAF=−=−=−−即，得因为36483(2)0

25252AFCE=−−+−=,故AFCE⊥,又因DFCE⊥,所以DFA为所求的二面角A-EC-B的平面角.因3648,,0,2525DF=−有22364812,4,25255DFAD=−+==

所以5tan.3ADAFDDF==因此所求二面角A-EC-B的大小为5arctan.3(20)（本小题13分）解：(Ⅰ)因为2(),()2.fxaxbxcfxaxb=++=+所以又因为曲线()yfx=通过点（0，2a+3）,故(0)23,(0),23.f

afcca=+==+而从而又曲线()yfx=在（-1，f(-1)）处的切线垂直于y轴，故(1)0,f−=即-2a+b=0,因此b=2a.(Ⅱ)由(Ⅰ)得2392(23)4(),44bcaaa=+=+−故当34a=−时，bc取得最小值-94.此时有

33,.22bc=−=从而233333(),(),42222fxxxfxx=−−+=−−2333()()(),422xxgxfxcxxe−−=−=+−所以23()(()()(4).4xxgxfxfxexe−−=−=−−令

()0gx=，解得122,2.xx=−=当(,2),()0,()(,2)xgxgxx−−−−时故在上为减函数；当(2,2)()0,()(2,).xgxgxx−+时，故在上为减函数当(2,)()0(

)(2,)xgxgxx++时，，故在上为减函数.由此可见，函数()gx的单调递减区间为（-∞，-2）和（2，+∞）；单调递增区间为（-2，2）.(21)（本小题12分）解：(Ⅰ)由椭圆的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长2a=

6的椭圆.因此半焦距c=2，长半轴a=3，从而短半轴b=225ac−=，所以椭圆的方程为221.95xy+=(Ⅱ)由2,1cosPMPNMPN=−得cos2.PMPNMPNPMPN=−①因为cos1,MPNP不为椭圆长轴顶

点，故P、M、N构成三角形.在△PMN中，4,MN=由余弦定理有2222cos.MNPMPNPMPNMPN=+−②将①代入②，得22242(2).PMPNPMPN=+−−故点P在以M、N为焦点，实轴长为23的双曲线2213xy−=上.由(Ⅰ)知，点

P的坐标又满足22195xy+=，所以由方程组22225945,33.xyxy+=+=解得33,25.2xy==即P点坐标为335335335335(,)22222222−、（，-）、（-，）或（，-）.(22)(本小题12分)

解：(Ⅰ)因2122,2,aa−==故3423123824232,2.aaaaaa−−−====由此有0223(2)(2)(2)(2)12342,2,2,2aaaa−−−−====，故猜想na的通项为1(2)*2(N).nnan−−=（Ⅱ）令2log,2.nSnnnn

nxaSxnb==表示的前项和，则由题设知x1=1且*123(N);2nnnxxxn++=+①123(2).2nnSxxxn=+++②因②式对n=2成立，有1213,12xxx+=又得21.2x③下用反证法证明：22

11..22xx假设由①得21211312()(2).22nnnnnnxxxxxx++++++=+++因此数列12nnxx++是首项为22x+，公比为12的等比数列.故*121111()(N).222nnnxxxn+−−=−④又由①知2111113

11()2(),2222nxnnnnnxxxxxxx+++++−=−−=−−因此是112nnxx+−是首项为212x−，公比为-2的等比数列,所以1*1211()(2)(N).22nnnxxxn−+−=−−⑤由④-⑤得1*221511(2)()(2)(N).2

22nnnSxxn−−=+−−−⑥对n求和得2*2215111(2)(2)(2)()(N).2223nnxxxn−−−=+−−−⑦由题设知21231,22kSx+且由反证假设有21*22221*22221121152)(2)()(N).22

341211151()(2)(2)2(N).23244kkkkxxkxxxk++++−−−+−+−−+（从而即不等式22k+1＜22364112xx+−−对kN*恒成立.但这是不可能的，矛

盾.因此x2≤12,结合③式知x2=12,因此a2=2*2=2.将x2=12代入⑦式得Sn=2－112n−(nN*),所以bn=2Sn=22－112n−(nN*)