【文档说明】《2022年小升初数学无忧衔接（通用版）》专题06 有理数的分类与数轴（解析版）.docx，共(26)页，775.691 KB，由envi的店铺上传

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专题06有理数的分类与数轴1.知道有理数的定义；会判断一个数是否为有理数；2.会对有理数进行分类。3.能正确地画出数轴，掌握数轴的三要素；4.能将已知数在数轴上表示出来，能指出数轴上的点所表示的数；5.会用数轴比较两个数的大小；初步感受数形

结合的思想．1.有理数的相关概念1）整数：正整数、0、负整数统称为整数．所有的正整数组成正整数集合，所有的负整数组成负整数集合．2）分数：正分数、负分数统称为分数．有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以我们

也把它们看成分数．3）有理数：整数和分数统称为有理数．4）有理数的分类：（1）()正整数自然数整数零有理数按定义分类负整数正分数分数负分数（2）()()

正整数正有理数正分数有理数按符号分类零零既不是正数,也不是负数负整数负有理数负分数注意：1）会对整数和分数进行简单分类；2）整数与分数都是有理数的范畴，有限小数、无限循环小数是有理数；5）常用数学概念的含义1）正整数：既是正数，又是整数2）负整数：既是负

数，又是整数3）正分数：既是整数，又是分数4）负分数：既是负数，又是分数5）非正数：负数和06）非负数：正数和07）非正整数：负整数和08）非负整数：正整数和02.数轴1）数轴定义：在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴．

它满足以下要求：①原点：在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点．原点是数轴的基准点．②正方向：通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向．③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，…

；从原点向左，用类似的方法依次表示1−，2−，3−，…．原点、正方向和单位长度是数轴的三要素．2）数轴的画法①画一条水平的直线（一般画水平的数轴）；②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点；③确定向右的方向为正方向，用箭头表

示；④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致．3）有理数与数轴的关系①一切有理数都可以用数轴上的点表示出来．②数轴上的点并不全是有理数，如π也可以在数轴上表示，但π并不是有理数．③正有理数位

于原点的右边，负有理数位于原点的左边．④与原点的距离是a（a>0），在数轴上可以是a（存在多解的情况）注：要确定在数轴上的具体位置，必须要距离+方向4）利用数轴比较有理数的大小：在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点

所对应的数大．因此，正数总大于零，负数总小于零，正数大于负数．【题型一】有理数的概念辨析【解题技巧】正整数、零和负整数统称整数；正分数和负分数统称分数；整数和分数统称有理数．【典题1】（2021•天津期末）下列说法正确的有（）①正有理数是正

整数和正分数的统称；②整数是正整数和负整数的统称；③有理数是正整数、负整数、正分数、负分数的统称；④0是偶数，但不是自然数；⑤偶数包括正偶数、负偶数和零．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】按照有理数

的分类对各项进行逐一分析即可．【解答】解：①正有理数是正整数和正分数的统称是正确的；②整数是正整数、0和负整数的统称，原来的说法是错误的；③有理数是正整数、0、负整数、正分数、负分数的统称，原来的说法是错误的；④0是偶数，也是自然数，原来的说法是错误的；⑤偶数包括正偶数、负偶数和

零是正确的．故说法正确的有2个．故选：B．【点评】考查了有理数，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．【典题2】（2021·遂宁市七年级月考）下列说法正确的是（）A．整数分为正整数和负整数B．正分数、负分

数统称有理数C．零既可以是正整数，也可以是负分数D．所有的分数都是有理数【答案】D【分析】按有理数的分类解答即可．【详解】解：A、正整数、0、负整数统称为整数，故本选项错误；B、正分数、负分数统称为分数，故本选项错误；C、零既不是正数也不是负数，故本选项错误；

D、所有的分数都是有理数，故本选项正确；故选：D．【点睛】此题考查了有理数，掌握有理数的分类是本题的关键，是一道基础题．【变式练习】1.（2021•长乐区校级月考）下列说法错误的是（）A．有理数是指整数、分数、正有理数、零、负有理数这五类数B

．一个有理数不是整数就是分数C．0既不是正数，也不是负数D．负整数、负分数统称为负有理数【分析】利用有理数的分类判断即可．【解答】解：A、有理数包括整数和分数，可以分为正有理数、零、负有理数，故本选项符合题意；B、有理数分为整数和分数，正确，故本选项不符合题意；C、0既不是正数，

也不是负数，正确，故本选项不符合题意；D、负整数、负分数统称为负有理数，正确，故本选项不符合题意．故选：A．【点评】此题主要考查了有理数的定义及分类，解题时熟练掌握有理数的定义及不同的分类标准即可解决问题．2.（2021•襄汾县期中）

下列说法中正确的个数有（）①﹣4.2是负分数；②3.7不是整数；③非负有理数不包括零；④正有理数、负有理数统称为有理数；⑤0是最小的有理数A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】结合有理数的分类分析即可．【解答】解：①﹣4.2是负分数是正确的；②3.7不是整数是正确的；③非

负有理数包括零，原来的说法错误；④正有理数、0、负有理数统称为有理数，原来的说法错误；⑤没有最小的有理数，原来的说法错误．故说法中正确的个数有2个．故选：B．【点评】本题考查了有理数，涉及的知识点：非负有理数包括正有理数和0；整数包括正整数、负整数和0；没有最小的有理数．此题是基础知识题，需要熟练

掌握．【题型二】有理数的分类【解题技巧】正整数：像1，2，3，4等这样的数叫作正整数；负整数：像－1，－2，－3等这样的数叫作负整数；正分数：像43，0.24等这样的数叫作正分数；负分数：像－43，－3.56等这样的数叫

作负分数；整数：正整数、0、负整数统称为整数；分数：正分数、负分数统称为分数；有理数：整数和分数统称为有理数。【典题1】（2021·重庆市璧山区正则中学七年级月考）把下列各数填在相应的集合里：1，1−，20

13−，0.5，110，13−，0.75−，0，2014，20%，正数集合：负数集合：整数集合：正分数集合：有理数集合：【答案】1，0.5，110，2014，20%，；1−，2013−，13−，0.75−；1，1−，2013−，0，20

14；0.5，110，20%；1，1−，2013−，0.5，110，13−，0.75−，0，2014，20%【分析】根据有理数的分类进行解答的即可得解．【详解】解：正数集合：11,0.5,,2014,20%,,10π负数集合：11,2013,,0

.75,3−−−−整数集合：1,1,2013,0,2014,−−正分数集合：10.5,,20%,10有理数集合：111,1,2013,0.5,,,0.75,0,2014,20

%,103−−−−【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握各类数的概念、界定范围是解题的关键．【典题2】（2021•郫都区校级月考）把下列各数的序号填到相应的括号中：①﹣0.3⋅；②3.1415；③﹣10；④0.28；⑤−27；⑥18；⑦0；⑧﹣2.3；⑨213．（1）整

数集合：{…}；（2）负数集合：{…}；（3）非正数集合：{…}；（4）分数集合：{…}；（5）非负整数集合：{…}．【分析】根据正数、负数、整数及分数的定义，结合所给数据进行解答即可．【解答】解：（1）整数集合：{

﹣10；18；0，213⋯}；（2）负数集合：{﹣0.3⋅；﹣10；−27；﹣2.3…}；（3）非正数集合：{﹣0.3⋅；﹣10；−27；0；﹣2.3…}；（4）分数集合：{﹣0.3⋅；3.1415；0.28；−27；﹣2.3…}；（5）非负整数集合：{18；0，

213⋯}．故答案为：（1）③⑥⑦⑨；（2）①③⑤⑧；（3）①③⑤⑦⑧；（4）①②④⑤⑧；（5）⑥⑦⑨．【点评】本题考查了有理数的知识，关键是掌握正数、负数、整数及分数的定义，属于基础题，比较简单．【变式练习】1.（2021•合川区月考）将下列各数填在相应的集合内．5，14，﹣3，−312，

0，2010，﹣35，6.2，﹣1．正数集合{…}；负数集合{…}；自然数集合{…}；整数集合{…}；分数集合{…}；负分数集合{…}；非负数集合{…}；非正整数集合{…}；【分析】根据正数、负数、自然数、

整数、分数、负分数、非负数、非正整数的定义进行判断即可．【解答】解：正数集合{5，14，2010，6.2…}；负数集合{﹣3，−312，﹣35，﹣1…}；自然数集合{5，0，2010…}；整数集合{5，﹣3，0，2010，﹣35，﹣1…}；分数集合{14，−312，6.2…}；负分数集合{−

312⋯}；非负数集合{5，14，0，2010，6.2…}；非正整数集合{﹣3，0，﹣35，﹣1…}．故答案为：5，14，2010，6.2；﹣3，−312，﹣35，﹣1；5，0，2010；5，﹣3，0，2010，﹣35，﹣1；14，−312，6.2；−312；5，14，0，20

10，6.2；﹣3，0，﹣35，﹣1．【点评】本题主要考查了有理数的分类，解题时注意：整数和分数统称为有理数；整数包括正整数、0、负整数；分数包括正分数、负分数．2.（2021•官渡区校级月考）将有理数﹣1，0，20，﹣1.25，134，﹣1

2，5分类．【分析】按照有理数的分类解答即可．【解答】解：如图所示：【点评】本题考查了有理数，熟记正数、负数、整数、分数的定义是解答本题的关键．【题型三】有理数中的新定义集合【解题技巧】【典题1】（2021•江阴市期中）把几个数用大括号围起来，中间用逗号

断开，如：{1，2，﹣3}，我们称之为集合，其中的数称其为集合的元素．如果一个集合满足：当有理数a是集合的元素时，有理数﹣a+10也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为和谐的集合．例如集合{10，0}就是一个和谐集合．（1）请你判断集合{1，2}，{﹣2，1，5，9，12}是不是和谐集合

？（2）请你再写出两个和谐的集合（至少有一个集合含有三个元素）．（3）写出所有和谐的集合中，元素个数最少的集合．【分析】（1）根据和谐集合的定义，只要判断两数相加是否等于10即可．（2）根据和谐集合的定义，即可写出两个和谐的集合（至少有一个集合含有三个元素）．（

3）根据和谐集合的定义，确定元素个数最少的集合．【解答】解：（1）若a＝1，则﹣a+10＝9不在集合{1，2}内，∴{1，2}不是和谐集合．∵-2+12＝10，1+9＝10，5+5＝10，∴{﹣2，1，5，9，12}是和谐集合．（2）根据和谐集合的定义可知a+10﹣a＝10，只要集合中两个

数之和为10即可，∵1+9＝2+8＝3+7＝4+6，∴{2，5，8}和{1，9，2，8，3，7}是和谐集合．（3）∵5+5＝10，∴要使素个数最少，则集合{5}，满足条件．【点评】本题主要考查新定义，利用和谐集合的定义，只要确定集合元素之和等于10即可．【典题2】（2021•硚口区期中）把几个

不同的数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：{1，2}；{1，4，7}；…我们称之为集合，其中的每一个数称为该集合的元素．规定：当整数x是集合的一个元素时，100﹣x也必是这个集合的元素，这样的集合又称为黄金集合，例如{﹣1，101}就是一个黄金集合．若一个黄金集合所有元素之和为整数m

，且1180＜m＜1260，则该黄金集的元素的个数是（）A．23B．24C．24或25D．26【分析】由黄金集合的定义，可知一个整数是x，则必有另一个整数是100﹣x，则这两个整数的和为x+100﹣x＝100，只

需判断1180＜m＜1260内100的个数即可求解．【解答】解：在黄金集合中一个整数是x，则必有另一个整数是100﹣x，∴两个整数的和为x+100﹣x＝100，由题意可知，1180＜m＜1260时，100×12＝1200，100×13＝1300

，1250+50=1250＜1260，且100﹣50＝50，∴这个黄金集合的个数是24或25个；故选C．【点评】本题考查有理数，新定义；理解题意，通过两个对应元素和的特点，结合m的取值范围，进而确定元素个数是解题关键．【变式练习】1.（2021•滨江区期末）把几个数用大括号括起来，相邻两个数之间

用逗号隔开，如：{1，2}，{1，4，7，…}，…，我们称之为集合，其中的每一个数称为该集合的元素，如果一个所有元素均为有理数的集合满足：当有理数x是集合的一个元素时，2018﹣x也必是这个集合的元素，这样的集合我们又称为对称集合，例如{2，2016}就是一个对称集合，若一个对称集合所有元素之和

为整数M，且23117＜M＜23897，则该集合总共的元素个数是（）A．22B．23C．24D．25【分析】根据题意可知对称集合都是成对出现的，并且这对对应元素的和为2018，然后通过估算即可解答本题．【解答】解：∵在对称集合中，如果一个元素为a，则另一个元素为

2018﹣a，∴对称集合中的每一对对应元素的和为：a+2018﹣a＝2018，2018×11＝22198，2018×11.5＝23207，2018×12＝24216，又∵一个对称集合所有元素之和为整数M，且23117＜M＜23897，∴该集合总共的元素个数是11.

5×2＝23．故选：B．【点评】本题考查有理数、是探究性问题，关键是明确什么是对称集合，集合中的各个数都是元素，明确对称集合中的元素个数，在此还要应用到估算的知识．2.（2021•山西月考）阅读下面文字，根据所给信息解

答下面问题：把几个数用大括号括起来，中间用逗号隔开，如：{3，4}，{﹣3，6，8，18}，其中大括号内的数称其为集合的元素，如果一个集合满足：只要其中有一个元素a，使得a+12也是这个集合的元素，这样的集合就称为对偶集合．例如：{1

3，1}，因为1+12＝13，13恰好是这个集合的元素，所以{13，1}是对偶集合，例如：{12，3，0}，因为12+0＝12，12恰好是这个集合的元素，所以{12，3，0}是对偶集合．在对偶集合中，若所有元素的和为0，则称这个集合为完美对偶集合，例如：{﹣2，0

，2}，因为﹣2+2＝0，0恰好是这个集合的元素，所以{﹣2，0，2}是对偶集合，又因为﹣2+0+2＝0，所以这个集合是完美对偶集合．（1）集合{﹣4，8}（填“是”或“不是”）对偶集合．（2）集合{−112，1012，2}是

否是完美对偶集合？请说明理由.【分析】（1）依据一个集合满足：如果一个集合满足：只要其中有一个元素a，使得a+2也是这个集合的元素，这样的集合就称为对偶集合，即可得到结论；（2）根据在对偶集合中，若所有元素的和为0，

则称这个集合为完美对偶集合，即可得到结论；【解答】解：（1）因为﹣4+12＝8，所以集合{﹣4，8}是对偶集合，故答案为：是；（2）不是；理由如下：因为−112+12=1012，所以{−112，2，1012}是对偶集合，又因为−112

+2+1012≠0，所以{−112，2，1012}不是完美对偶集合；【点评】本题主要考查了有理数，解决问题的关键是依据条件集合的定义进行计算．【题型四】数轴的三要素及其画法【解题技巧】数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度

的直线叫做数轴．数轴的画法：①在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点，②通常规定直线上从原点向右为正方向，从原点向左为负方向；③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，……；从原点向左用类似的方法依次表示-1，-2，-3，…….【典题

1】（2021·菏泽市牡丹区第二十一初级中学初一月考）下列说法：①规定了原点、正方向的直线是数轴；②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数③有理数1100−数轴上无法表示出来；④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点其中正确的

是（）A．①②③④B．②②③④C．③④D．④【答案】D【分析】根据数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数可得答案．【解析】①规定了原点、正方向和单位长度的直线是数轴，故原说法错误；②数轴上两个不同的点可以表示两个

不同的有理数，故原说法错误；③有理数1100−在数轴上可以表示出来，故原说法错误；④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点，说法正确；故选：D．【点睛】此题主要考查了数轴，关键是掌握数轴的概念．【典题2】（2021春•金华月考）下列关于数轴的图示，

画法不正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】通过观察数轴上的原点，单位长度，正方向即可进行判断，从而选出答案．【解答】解：通过观察易知（1）数轴单位长度不一致故错误；（2）数轴没有原点，故错误；（3）数轴

原点，单位长度，正方向都具有，故正确；（4）数轴没有正方向，故错误；故不正确的由（1）（2）（4）共三个，故选：B．【点评】本题考查数轴相关概念，熟练掌握数轴上原点，单位长度，正方向三要素是解题关键．【变式练习】1.（2021•凉山州）下列数轴表示正确的是（）A．B．C

．D．【分析】注意数轴的三要素以及在数轴上，右边的数总比左边的数大即可做出判断．【解答】解：A选项，应该正数在右边，负数在左边，故该选项错误；B选项，负数的大小顺序不对，故该选项错误；C选项，没有原点，故该选项错误；D选项，有原点，正方向，单位长度，故该选项正确；故选：D．【点评】本题考查

了数轴的画法，画数轴的时候要注意原点，正方向，单位长度要画全．2.（2020秋•红花岗区校级月考）画一条数轴，并在数轴上标出下列各数．﹣3，212，﹣1.5，0，+3.5，4【分析】根据正数在原点右边，负数在原点左边即得．【解答】解：如图：【点评】本题

考查了数轴上数的表示，属于基础题．【题型五】用数轴上的点与有理数的关系【解题技巧】数轴上的点与有理数之间的关系①每个有理数都可以用数轴上的一点来表示，也可以说每个有理数都对应数轴上的一点；②一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点

的距离是a个单位长度；表示-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度.【典题1】（2021•喀喇沁旗期末）在如图的数轴上，点A、B在2的左面，小巧在做作业时不小心在作业本上染了一滴墨水，现在知道A点表示123，那么B点表示．【分析】A点表示的数是123，从A点到2平均

分了4份，据此可推出1份表示112个单位长度，从A到B是2份，列式计算可求B点表示的数．【解答】解：∵A点表示的数是123，从A点到2平均分了4份，∴1份表示（2−123）÷4=112个单位长度，∵从A到B是2份，∴B点表示的数是123−112×2＝112．故答案为：112．【点评】本题主要

考查数轴，关键是熟悉分数的意义．【典题2】（2021•昆明期末）如图，已知纸面上有一数轴，折叠纸面，使﹣3表示的点与1表示的点重合，则与﹣5表示的点对应的点表示的数是（）A．3B．4C．5D．﹣1【分析】求出折痕和数轴交点表示的数，对折后重合的每一对对应点到此交点距离相等即可求出答案．【解答】

解：∵折叠纸面，使表示﹣3的点与表示1的点重合，∴折痕和数轴交点表示的数是﹣3+1−(−3)2=−1，而表示﹣5的点与此交点距离为﹣1﹣（﹣5）＝4，∴与表示﹣5的点对应的点表示的数是﹣1+4＝3，故选：A．【点评】本题考查数轴及折叠，解题的关键是找到折痕与数轴交点表示的数．【变式练习】1

.（2021•门头沟区期末）如图，将一刻度尺放在数轴上．①若刻度尺上0cm和4cm对应数轴上的点表示的数分别1和5，则1cm对应数轴上的点表示的数是2；②若刻度尺上0cm和4cm对应数轴上的点表示的数分别1和9，则1cm对应数轴上的点表示的数是3；③若

刻度尺上0cm和4cm对应数轴上的点表示的数分别﹣2和2，则1cm对应数轴上的点表示的数是﹣1；④若刻度尺上0cm和4cm对应数轴上的点表示的数分别﹣1和1，则1cm对应数轴上的点表示的数﹣0.5．上

述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．②④C．①②③D．①②③④【分析】数轴上单位长度是统一的，利用图象，根据两点之间单位长度是否统一，判断即可．【解答】解：①若刻度尺上0cm和4cm对应数轴上的点表示的数分别为1和5，则1cm对应数轴上的

点表示的数是2，故①说法正确；②若刻度尺上0cm和4cm对应数轴上的点表示的数分别为1和9，则1cm对应数轴上的点表示的数是3，故②说法正确；③若刻度尺上0cm和4cm对应数轴上的点表示的数分别为﹣2和2，则1cm对应数轴上的点表示的数是﹣1，故③说法正确；④若刻度尺上0cm和

4cm对应数轴上的点表示的数分别为﹣1和1，则1cm对应数轴上的点表示的数是﹣0.5，故④说法正确；故选：D．【点评】本题主要考查数轴，明确数轴上的单位长度要统一，能确定出每个单位长度代表几是解决此题的关键．2.（2021•正定县期中）操作探究：已

知在纸面上有一数轴（如图所示）．操作一：（1）折叠纸面，使表示的1点与﹣1表示的点重合，则﹣3表示的点与表示的点重合；操作二：（2）折叠纸面，使﹣1表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：①5表示的点与数表示

的点重合；②若数轴上A、B两点之间距离为11（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示的数是．【分析】根据折叠的性质和数轴上点的距离的表示方法即可求．【解答】解、操作1：﹣1与1互为相反数，因此﹣3与3重合．操作2：①﹣1与3重合，折痕点为1，所以5与3重合．②由①

知折痕点是1，A、B两点之间距离为11，A表示的数为：1﹣5.5＝﹣4.5．故答案为：3；﹣3；﹣4.5．【点评】本题考查了数轴上点的对称，找到对称规律，是解题的关键．【题型六】利用数轴比较有理数的大小【解题技巧】1）正方向上，离原点越远，数越大；2）负方向上，离原点

越近，数越大（负数数字越大，结果反而越小）.注：数轴从负方向向正方向，数值逐渐增大。【典题1】（2021·河北沧州市·七年级期末）a，b是有理数，它们在数轴上的位置如图所示．把a，b，﹣a，﹣b按照从小到大的顺序排列，正确的是（）A．baab−−B．abba−−C．baab−−D

．baab−−【答案】C【分析】根据a、b在数轴上的位置可得a−、b−在数轴上的位置，进而可得答案．【详解】解：根据题意可得：a、a−、b、b−在数轴上的位置如图所示：所以把a、a−、b、b−按照从小到大的顺序排列为：baab−−

．故选择：C．【点睛】本题考查了数轴和有理数的大小比较，属于常考题型，正确理解题意、掌握解答的方法是解题的关键．【典题2】（2022·沙坪坝区·七年级月考）将有理数﹣5，0.4，0，﹣214，﹣412表示在数轴上，并用“＜”连接各数．【答案】见解析，1

154200.424−−−【分析】先把各数在数轴上表示出来，再从左到右用“＜”连接起来即可．【详解】解：如图所示：故1154200.424−−−．【点睛】本题主要考查数轴及有理数的大小比较，熟练掌握数轴及有理数的大小比较是解题的关键．【变式练习】1．（2022

·天津河北初一期中）下列叙述中，不正确的是（）A．任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示B．在数轴上，表示互为相反数的两个点与原点距离相等C．在数轴上，到原点距离越远的点所表示的数一定越大D．在数轴上，右边的点所表示的数比左边的点所表示的数大【答案】C【分析】根据数轴的特点进行判断，

结合实数与数轴上点的一一对应关系进行分析判断即可．【解析】∵实数与数轴上的点一一对应，故答案A正确；∵两个互为相反数的数绝对值相等，∴表示互为相反数的两个点与原点距离相等，故答案B正确；∵在数轴的负半轴上

，到原点距离越远的点所表示的数一定越小，故答案C错误；∵通常以向右的方向表示数轴的正方向，∴右边的点所表示的数比左边的点所表示的数大，故答案D正确．故选：C．【点睛】本题考查了数轴的概念及数轴与实数的对应关系，把握数轴上点的分布规律是判断选项的关键．2．（

2021·河北初一期末）有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列关系正确的是（）A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．c＞b＞aD．b＞c＞a【答案】A【分析】根据数轴左边的点所表示的数小于右边的点所表示的数解答即可．

【解析】由数轴得：a＞b＞c，故选：A．【点睛】本题考查了数轴和有理数的大小比较，熟练掌握数轴上的点所表示的数的大小关系是解题关键．【题型七】数轴上两点之间的距离【解题技巧】【典题1】（2021春•杨浦区校级期中）数轴上到表示数﹣4

13点距离为312的点所表示的数为．【分析】到数轴上一点距离相等的点有两个，要分类讨论．【解答】解：距离点数﹣413为312个单位长度的点有两个，它们分别是﹣413+312=−56，﹣413−312=−476，故答案为−476或−56．【点评】本题考查了数轴上到一点距离相等的点有两个，分别位于该

点的左右，进行分类讨论解答．【典题2】（2021·广东广州市·七年级期末）如图，已知数轴上A、B两点所表示的数分别为﹣2和6（1）求线段AB的长；（2）已知点P为数轴上点A左侧的一个动点，且M为PA的中点，N为PB的中点．请你画出图形，并探究MN的长度是否发生改变？若不变，求出线

段MN的长；若改变，请说明理由．【答案】（1）8；（2）见解析；MN的长度不会发生改变，线段MN＝4．【分析】（1）数轴上两点之间的距离等于较大数与较小数的差；（2）根据中点的意义，利用线段的和差可得出答案．【详解】解：（1）AB＝|﹣2﹣6|＝8，答：AB的长为8；（2）MN的长度

不会发生改变，线段MN＝4，理由如下：如图，因为M为PA的中点，N为PB的中点，所以MA＝MP＝12PA，NP＝NB＝12PB，所以MN＝NP﹣MP＝12PB﹣12PA＝12（PB﹣PA）＝12AB＝12×8＝

4．【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上线段中点的意义，熟练掌握两点间距离计算方法，灵活运用中点的意义是解题的关键．【变式练习】1.（2021满城区期末）如图，在数轴上有5个点A，B，C，D，E，每两个相邻点之间的距离如图所示，如果点C表示的数是﹣1，则点E表示的数

是（）A．﹣5B．0C．1D．2【分析】先确定原点，根据D和E的距离可得结论．【解答】解：如果点C表示的数是﹣1，则点D表示原点，所以E表示的数是2，故选：D．【点评】本题考查了数轴的性质和数轴上两点的距离，熟练掌握数轴的性质是解决本题的关键．2.（20

21.绵阳市七年级期中）已知点O，A，B，C，D在数轴上的位置如图所示，O为原点，OAOC=，2ABCD==，点B所对应的数为m，则下列结论错误的是（）A．点A所对应的数为2m−B．点C所对应的数为2m−C．点D所对应的数为4m−D．点A与点D间的

距离为62m+【答案】D【分析】根据2ABCD==，点B所对应的数为m，先得到点A所表示的数，进而求出B，C，D表示的数，进而即可判断．【详解】∵2ABCD==，点B所对应的数为m，∴点A所对应的数为2m−，∵OAOC=，∴点C所

对应的数为2m−，∴点D所对应的数为4m−，点A与点D间的距离为62m−，∴D选项错误，故选D．【点睛】本题主要考查数轴上点表示的数，两点间的距离，熟练掌握数轴上两点间的距离公式，是解题的关键．1．（2021·青海中考真题）若1

23a=−，则实数a在数轴上对应的点的位置是（）．A．B．C．D．【答案】A【分析】首先根据a的值确定a的范围，再根据a的范围确定a在数轴上的位置．【详解】解：∵123a=−∴2.3a，∴2.52a-<<-，

∴点A在数轴上的可能位置是：，故选：A．【点睛】本题考查有理数与数轴，解题关键是确定负数的大致范围．2．（2021·广东云浮市·七年级期末）下列各项中，所画数轴正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据数轴的三要素逐项判断，即可解答本题．【详解】解：A.无原点，不合题意；B.单位长度不一致

，不合题意；C.无正方向，不合题意；D.所画数轴正确，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查数轴，解答本题的关键是明确数轴的特点，知道数轴的三要素：原点、正方向、单位长度．3.（2021·绵阳市七年级期中）数轴的原型来源于生活实际，数轴体现了（）的数学思想，是我们学习和研究有理数的重要工具．A．整

体B．方程C．转化D．数形结合【答案】D【分析】因为数轴是解决数的运算的一种重要工具，所以它充分体现了数形结合的思想．【解析】数轴是数学的重要内容之一，它体现的数学思想是数形结合的思想．故选：D【点睛】本题考查几种数学思想，解题的关键是理解数形结合的定义：根据数与形之间的一一对应关系，数形结合就是

把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，从而起到优化解题途径的目的．4．（2021·河南南阳市·七年级期中）从踏入学校的那一刻起，我们就认识和使用数学，为了表示物体的个数或者顺序，产生了整数1、2、3，．．．；为了表示“没有”引入了数0古希腊

著名数学家毕达哥拉斯相信“哪里有数，那里就有美”．数仅仅因为它的寓意，就可以给人以丰富的美感．正是由于这种美感，才使人们在各种场合有选择性的使用数．一个数字既表示万物之始，又表示一个整体，这个数字是（）A．10B．100C．1D．9【答案】C【分析】依

据题意，为了表示“没有”引入了数0，与一个数字既表示万物之始，又表示一个整体，这两句话，可得答案【详解】解：依据题意：0表示“没有”而这个数字又既表示万物之始，又表示一个整体，即这个数是题意中数的开始，又可以表示一个整体可得该数为1故答案为

：C【点睛】本题实际考查自然数的定义，准确理解题意是解题的关键5．（2021·浙江温州市·）3−在数轴上位置的描述，正确的是（）A．在点4−的左边B．在点2−和原点之间C．由点1向左平移4个单位得到D．和原点的

距离是3−【答案】C【分析】比较-3和选项中的数的大小，依据右边的数总是大于左边的数即可判断．【详解】解：A、-3＞-4，则-3在-4的右边，选项错误；B、-3∠-2，则-3在-2的左边，选项错误；C、点1向左平移4个单位得到

-3，选项正确；D、-3和原点的距离是3，选项错误．故选：C．【点睛】本题考查了利用数轴表示有理数的大小，理解数轴上的数总是大于左边的数是解题的关键．6.（2022·邹平七年级月考）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画一条15厘米的线段AB，则AB盖住的整数

点的个数共有（）个A．13或14个B．14或15个C．15或16个D．16或17个【答案】C【解析】若在数轴上随意画线段AB，其左侧端点A的位置存在两种可能性：一种可能是点A与数轴上某一个整点重合(如图

中数轴①所示；为清楚起见，图中用长方形代表线段AB)，另一种可能是点A落在数轴上某两个整点之间的区域内(如图中数轴②所示).因为线段AB的长是一个定值，所以当线段左侧端点A的位置确定时线段右侧端点B的位置也随之确定.(1)分析图中的数轴①可知，由于数轴的单位长

度为1厘米，线段AB的长为15厘米，且左侧端点A与一个整点重合，所以线段AB的两个端点各自盖住1个整点，线段的其他部分盖住了14个整点，故线段AB一共盖住了16个整点.(2)分析图中的数轴②可知，由于数轴的单位长度为1厘米，线段AB的长为15厘米，且左侧端点A落

在两个整点之间的区域内，所以线段AB的两个端点均无法盖住任何整点，线段的其他部分盖住了15个整点，故线段AB一共盖住了15个整点.综上所述，线段AB盖住的整点的个数共有15或16个.故本题应选C.点睛：本题不仅考查了数轴的相关知识，还考查了利用简单的数形结合思想解决问题

的能力.解决本题的关键在于结合图形针对可能出现的情况进行分类讨论.在分析的过程中，线段左侧端点在数轴上可能的位置是分情况讨论问题的一个重要出发点，左侧端点是否与某一整点重合直接影响线段所能覆盖的整点数量.7．（2020·浙江七年级期末）如图，将一刻度尺放在

数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上表示“0cm”“8cm”的刻度分别对应数轴上的是3−和x所表示的点，那么x等于（）A．5B．6C．7D．8【答案】A【分析】根据数轴得出算式，求出即可．【详解】解：根据数轴可知：-3+8=5，故选A．【点睛】本题考查了数

轴的应用，关键是能根据题意得出算式．8.下列说法中，错误的是（）A．所有的有理数都可以用数轴上的点表示B．数轴上的原点表示0C．在数轴上表示3−的点与表示1−的点的距离是2−D．数轴上表示3−的点在原点左边3个单位【答案】C【

分析】根据数轴上的点与有理数的关系，数轴上两点间的距离解答即可．【详解】A.所有的有理数都可以用数轴上的点表示，正确；B.数轴上的原点表示0，正确；C.在数轴上表示3−的点与表示1−的点的距离是2，错误；D.

数轴上表示3−的点在原点左边3个单位，正确；故选C．【点睛】本题考查了数轴的知识，熟练掌握数轴上的点与有理数的关系，数轴上两点间的距离是解答本题的关键．9．（2021·湖南常德市·七年级期中）在数轴上，一只蚂蚁从原点出

发，它第一次向右爬行了一个单位长度，第二次接着向左爬行了2个单位长度，第三次接着向右爬行了3个单位长度，第四次接着向左爬行了4个单位长度，如此进行了2020次，问蚂蚁最后在数轴上什么位置？（）A．-1010B．-10

09C．1009D．1010【答案】A【分析】依题意，可知蚂蚁爬行的规律：爬行次数为奇数则在原点右侧；爬行次数为偶数则在原点的左侧；可知当爬行次数是偶次的时候是关于原点对称，对爬行次数2020次除以2即

可；【详解】由题知，蚂蚁爬行的规律为：爬行次数为奇数，则在原点右侧；爬行次数为偶数，则在原点的左侧；又蚂蚁总共爬行2020次，可得蚂蚁爬行最后的位置在原点的左侧，即为负数；结合爬行规律，可知当爬行次数为偶数时，爬行的距离刚好为爬行次数的一

半，∴对应数为：1010；结合上述，蚂蚁最后在数轴的位置为：1010−；故选：A【点睛】本题考查数轴的性质及寻找规律，关键在于理解爬行的次数和距离在题目的意义；10.（2021·黑龙江齐齐哈尔市·七年级期末）在数轴上表示﹣2.1和3.3两点之间的整数有（）

A．4个B．5个C．6个D．7个【答案】C【分析】在数轴上找出点-2.1和3.3，找出两点之间的整数即可得出结论．【详解】解：依照题意，画出图形，如图所示．在﹣2.1和3.3两点之间的整数有：﹣2，﹣1，0，1，2，3，共6个，故选：C．【点睛】本题考查了数轴，解题的关键是画出数轴

，利用数形结合的方法解答．11.（2021春•海淀区校级月考）直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达O'点，点O'对应的数是（）A．3B．3.1C．πD．3.2【分析】计算出圆的周

长即可知道点O′所表示的数，而圆的周长＝π×直径．【解答】解：圆的周长＝π×1＝π，所以O′对应的数是π，故选：C．【点评】本题考查了数轴，解题的关键是求出圆的周长．12.（2021•东至县期末）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正

数就是负数；③正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；④非负数就是正数；⑤−𝜋2不仅是有理数，而且是分数；⑥237是无限不循环小数，所以不是有理数；⑦无限小数不都是有理数；⑧正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其

中错误的说法的个数为（）A．7个B．6个C．5个D．4个【分析】有理数的分类：有理数{整数{正整数0负整数分数{正分数负分数，依此即可作出判断．【解答】解：①没有最小的整数，故错误；②有理数包括正数、0和负数，故错误；③正整数、负整数、0、正分数、负分数统称为有理数，故错

误；④非负数就是正数和0，故错误；⑤−𝜋2是无理数，故错误；⑥237是无限循环小数，所以是有理数，故错误；⑦无限小数不都是有理数是正确的；⑧正数中没有最小的数，负数中没有最大的数是正确的．故其中错误的说法的个数为6个．故选

：B．【点评】本题考查了有理数的分类，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点是解题的关键．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．13.（2021•下城区校级期中）数轴上点M表示有理数﹣3，将点M向右平移5个单位

长度到达点N，点E到点N的距离为6，则点E表示的有理数为．【分析】根据向右平移加求出点N表示的数，再分点E在点N的左边和右边两种情况讨论求解．【解答】解：∵点M表示有理数﹣3，点M向右平移5个单位长度到达点N，∴点N表示﹣3+5＝2，点E在点N的左边时，2﹣6＝﹣4，点E在点N的右边时，2+6＝

8．综上所述，点E表示的有理数是﹣4或8．故答案为﹣4或8．【点评】本题考查了数轴，是基础题，主要利用了向右平移加，向左平移减，难点在于分情况讨论．14.（2022·河南·七年级期末）如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上表示“0cm”、“8cm”的点分别对应

数轴上的﹣2和x，那么x的值为_____．【答案】6【分析】根据直尺的长度知x为﹣2右边8个单位的点所表示的数，据此可得．【详解】解：由题意知，x的值为﹣2+（8﹣0）＝6，故答案为6．【点睛】本题主要考查了

数轴，解题的关键是确定x与表示﹣2的点之间的距离．15.（2021·江西·七年级期末）动点,AB分别从数轴上表示10和2−的两点同时出发，以7个单位长度/秒和4个单位长度/秒的速度沿数轴向负方向匀速运动，__________秒后，点,AB间的

距离为3个单位长度.【答案】3或5【分析】设经过t秒时间A、B间的距离为3个单位长度，分两种情况：①B在A的右边；②B在A的左边．由BA=3分别列出方程，解方程即可；【详解】解：设经过t秒时间A、B间的距离为3个单位长度，此时点A表示的数是：10-7t，点B表示

的数是：-2-4t.①当B在A的右边时：（10-7t）-（-2-4t.）=3，解得：t=3；②当B在A的左边时：（-2-4t.）-（10-7t）=3，解得：t=5；故答案为：3或5【点睛】本题考查一元一次方程的应用和数轴，解题关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系

，根据题目给出的条件，找出等量关系列出方程，再求解．16．（2021·江苏镇江市·七年级期末）下列各数：﹣1，2，1.01001…（每两个1之间依次多一个0），0，227，3.14，其中有理数有_____个．【答案】4．【分析】根据有理数的定义逐一判断即可．【详解】解：在所列实

数中，有理数有﹣1、0、227、3.14，故答案为：4．【点睛】本题考查了有理数，掌握有理数的概念是解题的关键．17.（2021•罗庄区期末）点A在数轴上距离原点3个单位长度，将A向右移动4个单位长度，再向左移

动7个单位长度，此时点A表示的数是．【分析】此题借助数轴用数形结合的方法求解．由于点A与原点的距离为3，那么A应有两个点，分别位于原点两侧，且到原点的距离为3，这两个点对应的数分别是﹣3和3．A向右移动4个单位长度，再向左移动7个单位长度，通过

数轴上“右加左减”的规律，即可求得平移后点A表示的数．【解答】解：点A在数轴上距离原点3个单位长度，当点A在原点左边时，点A表示的数是﹣3，将A向右移动4个单位长度，再向左移动7个单位长度，此时点A表示的数是﹣3+4﹣7＝﹣6；当点A在原点

右边时，点A表示的数是3，将A向右移动4个单位，再向左移动7个单位长度得3+4﹣7＝0．故答案为：﹣6或0．【点评】本题考查数轴，解答本题的关键是明确数轴的特点，求出平移后点A所表示的数．18.（2021•宁波期中）在

数轴上，已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．（1）若1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与何数表示的点重合；（2）若﹣1表示的点与5表示的点重合，0表示的点与何数表示的点重合；（3）若﹣1表示的点与5表示的点之间的线段折叠2次，展开后，请写出所有的折点表示的数？【分析】（1）根据对称

的知识，若1表示的点与﹣1表示的点重合，则对称中心是原点，从而找到﹣2的对称点；（2）若数﹣1表示的点与数5表示的点重合，则对称中心是2表示的点，从而找到0的对称点；根据对应点连线被对称中心平分，先找到对称中心，再找到点表示的数；从而求解；（3）先得到﹣1与5的对称点是2，第二次对折得到两个对称

点是0.5和3.5．【解答】解：（1）若1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与2表示的点重合；（2）若﹣1表示的点与5表示的点重合，0表示的点与4表示的点重合；（3）若﹣1表示的点与5表示的点之间的线段折叠2次，展开后，所有的折

点表示的数0.5，2，3.5．【点评】此题综合考查了数轴上的点和数之间的对应关系以及中心对称的性质．注意：数轴上折点到两点的距离相等．19.（2021•袁州区校级期中）把下列各数分类，并填在表示相应集合的大括号内：﹣11，−35，﹣9，0，+12，﹣6.4，﹣π，﹣4%．（1）整数集合：

{…}；（2）分数集合：{…}；（3）非负整数集合：{…}；（4）负有理数集合：{…}．【分析】根据有理数的分类解答即可．【解答】解：（1）整数集合：{﹣11，﹣9，0，+12…}；（2）分数集合：{−35，﹣6.4，﹣4%…}；（3）非负整数集合：{0，+12…}；（4）负有理数

集合：{﹣11，−35，﹣9，﹣6.4，﹣4%…}．故答案为：（1）﹣11，﹣9，0，+12；（2）−35，﹣6.4，﹣4%；（3）0，+12；（4）﹣11，−35，﹣9，﹣6.4，﹣4%．【点评】本题考查有理数的分类，记住有理数的两种分

类方法是解决问题的关键．20.（2021·绵阳市七年级期中）把下列各数填在相应的集合内：100，﹣99%，π，0，﹣2008，﹣2，5.2，116，6，53−，﹣0.3，1.020020002…【答案】见

解析．【分析】根据有理数的分类，可得答案．【详解】如图．【点睛】本题考查了有理数，熟记有理数的分类是解题关键．21．（2021·江苏七年级月考）如图，每个椭圆表示一个数集，请在每个椭圆内填上6个数，其中三个写在重叠部分，【答案】见解析【分析】根据负数与整数集合重叠部分为负整数，列举出几个即可；根据

正数与分数集合重叠部分为正分数，列举出几个即可．【详解】解：如图所示：【点睛】此题考查了有理数，熟练掌握整数，分数与正、负数的定义是解本题的关键．22.（2022·浙江·七年级期中）已知数轴上有A，B两个点，分别表示有理数6−，4．（Ⅰ）数轴上点A到点B的距

离为______；数轴上到点A，B的距离相等的点的位置表示的有理数为______；（Ⅱ）若有动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度向右移动，设移动时间为t秒．用含t的式子分别表示P点到点A和点B的距离．【答案】（Ⅰ）10；1−；（Ⅱ）当1

0t时，APt=，10BPt=−；当10t时，APt=，10BPt=-．【分析】（Ⅰ）数轴上两点间的距离为数字大的减去数字小的差，数轴上到两点间的距离相等的点是这两个点的中点，根据中点坐标解题；（Ⅱ）根据题意，点P在点A的右侧，据此可解

得AP的长，分两种情况讨论，当点P在点B的左侧，或当点P在点B的右侧时，分别根据数轴上两点间的距离解题即可．【详解】（Ⅰ）数轴上点A到点B的距离为：4(6)4610−−=+=；数轴上到点A，B的距离相等的点的位置表示的有理数为：4

+(6)2=122−−=−，故答案为：10；-1；（Ⅱ）根据题意，点P表示的数是：6t−+,因为点P在点A的右侧，故点P到点A的距离为：6(6)tt−+−−=，当点P在点B的左侧，即6410tt−+，时，P点到点B的距离为：4(6)10tt−−+=−；当点P在点B的右侧，即6410tt−+

，时，P点到点B的距离为：6410tt−+−=−；综上所述，当10t时，APt=，10BPt=−；当10t时，APt=，10BPt=-．【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，数轴上的动点等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．23．（2021·山西省初一期中）如图，数轴上有A、B

两点.⑴分别写出A、B两点表示的数、；⑵若点C表示32−，请你把点C表示在如图所示的数轴上；⑶若点D与点A表示的两个数互为相反数，则点D表示的数是；⑷将A、B、C、D四个点所表示的数用“>”连接起来；⑸C、D两点之间的距离是；⑹上述问题体现了的数学思想．【答案】（1）

﹣2，3；（2）答案见解析；（3）2；（4）3＞2＞32−＞－2；（5）3.5；（6）数形结合．【分析】（1）根据数轴的定义，可得答案；（2）根据数轴的定义，可得答案；（3）根据相反数的定义解答即可；（4）根据数轴上的点表示的数右边的总比左边

的大，可得答案；（5）根据有理数加减法法则计算即可；（6）体现了数形结合的思想．【解析】（1）A点表示的数：﹣2，B点表示的数3；（2）若点C表示32−，把点C表示在如图所示的数轴上，如图：；（3）∵A点表示的数是﹣2，∴A的相反数是

2，∴D表示的数是：2．（4）点A、B、C、D所表示的四个数用“＞”连接的结果：3＞2＞32−＞－2．（5）CD=32()3.52−−=；（6）上述问题体现了数形结合的数学思想．【点睛】本题考查了有理数大小比较，把数在数轴上表示出来是解答本题的关键．