【文档说明】2019年清华大学年自主招生数学试题(2019.06)含答案.docx,共(6)页,384.038 KB,由envi的店铺上传
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清华大学自主招生数学试题2019.061.一个四面体棱长分别为6,6,6,6,6,9,求外接球的半径.2.求值:1221(1sin)xxdx−−.3.已知P为单位圆上一动点,(0,2)A,(0,1)B−,求2||||APBP的最大值.4.AB为圆O的直径,COA
B⊥,M为AC中点,CHMB⊥,则下列选项正确的是()A.2AMOH=B.2AHOH=C.△BOH∽△BMAD.忘记5.{1,2,3,,15}A=,{1,2,3,4,5}B=,f是A到B的映射,若满足()()fxfy=,则称有序对(,)xy为“好对”,求“好对”的个数最小值.6.若对c
R,,ab,使得()()()fafbfcab−=−成立,则称函数()fx满足性质T,下列函数不满足性质T的是()A.32()33fxxxx=−+B.21()1fxx=+C.1()xfxe+=D.()sin(21)fxx
=+7.已知||||1ab==,12ab=,()()0cacb−−=,若||1dc−=,求||d的最大值.8.椭圆22162xy+=,过(2,0)F的直线交椭圆于A、B两点,点C在直线3x=上,若△ABC为正三角形,求△ABC的面积.9.圆224xy+=上一点00(,)
xy处的切线交抛物线28yx=于A、B两点,且满足90AOB=,其中O为坐标原点,求0x.10.设a为44444444各位数字和,b是a的各位数字之和,c为b的各位数字之和,求c的值.11.实数x、y满足22(2)1xy+−,求223xyxy++的最大值和最小值.12.在三棱柱111
ABCABC−中,已知90ABC=,6AB=,132BCBB==,动点P在线段1BC上,求1APBP+最小值.13.若集合A、B是正整数的一个二划分,则()A.集合A中不存在三项等差,集合B中不存在无穷项等差B.集合A中不存在三项等比,集合B中不存在无穷项等比C.忘了
D.忘了14.数列{}na满足:13a=,2134nnnaaa+=−+,则()A.{}na单调递增B.{}na无上界C.忘了D.11lim11nniia→==−15.若正实数a、b满足(8)20abab+=,则3ab+的最小值为16.设()|1||3|fxx
x=−+−,()2xgxe=,求()()fxgx+最小值.17.设,xyN,则方程113100xy+=的解的个数为18.令2222cossin55kkkzi−−=+(1,2,3,4,5i=),若()iijijazz=−,则()A.134125aaa=B.512345
5aaaaa=C.224125aa=D.15a=19.若实数x、y满足338610xyxy++−=,求3xy的范围.参考答案1.设6ABACADBCBD=====,9CD=,易知△BCD的外接圆1O半径为1127r=,同理可得△ACD的外接圆2O的半径为2127r=,设外接圆的圆心为O
,易知237OO=,则外接球半径222231443377RrOO=+=+=,∴外接球半径为33.2.11122221111(1sin)(cos2)2xxdxxdxxxdx−−−−=+,由分部积分法可知:
222211cos2sin2(sin2sin222xxdxxdxxxxdx==−)21=(sin22sin2)2xxxxdx−2211(sin2cos2)(sin2cos2cos2)22xxxdxxxxxxdx=+=+−21sin2(sin
2cos2)22xxxxx=+−∴12211111(1sin)((sin22cos2))2332xxdx−−=+−+11(sin22cos2)34=−+.3.设(cos,sin)P,在22222||||cos
(sin2)[cos(1sin)]SAPBP==+−+−整理得:21sin58()(sin)24S+=−,由三元均值不等式可知:35148()333S+=,当且仅当1sin2=时,等号
成立,则2||||APBP的最大值为33.4.设圆O的半径为2,易知10BM=,810BH=,2AMCM==,22BC=,在△OBH与△ABM中,由余弦定理可知:26441610210cos3281010OHABM+−+−==,解得:25OH=,2AMOH,
选项A错误,在△AHC中,由中线定理可知:216841010AH+=+,解得:45AH=,则2AHOH=,选项B正确,而210BOBHOHBMBAMA===,∴△BOH∽△BMA,选项C正确,综上:选B,C.5.情形一:当只对应B中1个元素时,此时“
好对”有1515225=对,情形二:当只对应B中2个元素时,设有1a组()()fxfy=,1b组()()fxfy=,则此时“好对”有2211ab+对,且1115ab+=,则由柯西不等式可知:2221111()22522abab++=,情形三:当只对
应B中3个元素时,设有2a组()()fxfy=,2b组()()fxfy=,2c组()()fxfy=,则此时“好对”有222222abc++对,且22215abc++=,则由柯西不等式可知:2222222222()753abcabc++++=,依次可得:易知当对应B中5
个元素时,此时“好对”的最小值为45,当且仅当A中每3个元素对应B中一个元素时,等号成立,则“好对”的个数的最小值为45.6.∵cR,,ab,使得()()()fafbfcab−=−,则()fx的值域是()fx值域的子集,A选项:2()363[
0,)fxxx=−++,()fxR,满足题意,B选项:222()(1)xfxx=−+,令tanx=,则1()sin2(1cos2)2g=−+,当sin2,cos20时,则由四元均值不等式可知:22341cos22sin2(1cos2
)27()(1cos2)27()34++=−,当且仅当1cos22=时,等号成立,∴3333()[,]88fx−,()(0,1]fx,满足题意,∵()g为奇函数,C选项:1()xfxe+=,()fxR,()fxR,不满足题意,D
选项:()2cos(21)fxx=+,()[1,1]fx−,()[2,2]fx−,不满足题意,综上:选A,B.7.建立平面直角坐标系,且(1,0)a=,13(,)22b=,易知点c的终点的轨迹方程为22331()()444xy−+−=,
又||1dc−=,∴此时max3133||1222d+=++=.8.设直线:2lxmy=+,11(,)Axy,22(,)Bxy,AB中点为E,联立22236xmyxy=++=,整理可得:22(3)420mymy++−=,则2226(1)3mABm+=+,而222222
1163(1)11|3|1|3|3(3)||EmmEAxmmmmm++=+−=+−=++,而23ABEA=,解得:21m=,∴233336442ABCSAB===,则△ABC的面积为332.9.∵90AOB=,∴直线AB恒过定点(8,0),而切线方程为00:4ABlxxyy+=,则08
4x=,解得:012x=.10.∵4444444444441000444410000,则444434444lg444444444,则9(444441)9159993a+=,情形一:当a的位数为6,则149441b++=,情形二:当a的位数小于6,则
5945b=,由情形一和情形二可知:45b,情形三:当a的位数为2位时,则3912c+=,情形四:当a的位数1位数时,则9c,由情形三和情形四可知:12c,又44447(mod9),371(mod9),则444444443148144447(7
)77(mod9),而444444447(mod9)abc,∴7c=.11.情形一:当0x=时,此时2233xyPxy+==+,情形二:当0x时,此时2311()yxPyx+=+,易知
:[3,)yx+,令tanyx=,[,)32,则2sin()(3,2]6P=+,情形三:当0x时,此时2311()yxPyx+=+,易知:(,3]yx−−,令tanyx=,(,]23−−,则2sin()[1,3)6P=−+,综上:P
的最小值为1,最大值为2.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com