【文档说明】专题1.2.1 分式的乘法和除法【知识讲解】（含解析）-【同步课堂】2021-2022学年八年级数学上册同步知识讲练一本全（湘教版）.docx，共(5)页，142.988 KB，由envi的店铺上传

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专题1.2.1分式的乘法和除法（知识讲解）【学习目标】1．通过类比得出分式的乘法法则，并会进行简单的分式乘除运算．2．经历探索分式乘除法则的过程，体会类比、转化思想的运用．【知识梳理】要点一、一般步骤：(1)除法转化为乘法．(2)把分子、分母中的各个多项式因式分解．(3)约去公因式，将最后结果化为

最简分式．要点二、分式的乘除法则：分式乘分式，把分子乘分子、分母乘分母分别作为积的分子、分母；分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．【典型例题】类型一、分式的乘法运算例1.化简𝑝2−𝑝𝑝

+1⋅𝑝2−1𝑝2−2𝑝+1的结果是()A.𝑝B.1𝑝C.𝑝−1𝑝+1D.𝑝+1𝑝−1【答案】A【解析】先把分式的分子或分母因式分解（有括号，先算括号），然后约分得到最简分式或整式.【解答】解：𝑝2−𝑝𝑝+1⋅𝑝2−1𝑝2−2𝑝+1=𝑝

(𝑝−1)𝑝+1⋅(𝑝−1)(𝑝+1)(𝑝−1)2=𝑝.【点评】本题考查了分式的化简求值，属于基础题.例2.计算𝑥2−2𝑥𝑥2−4⋅2𝑥+46𝑥2的结果是________.【答案】13𝑥【解

析】先将分式的分子分母进行因式分解，然后约分化简即可.【解答】解：原式=𝑥(𝑥−2)(𝑥+2)(𝑥−2)⋅2(𝑥+2)6𝑥2=13𝑥.【点评】此题考查了分式的化简，先将分式的分子分母进行因式分解，然后约分化简即可，正确运算是解题关键.例

3.计算：(1)𝑦−34𝑦−8⋅𝑦−2𝑦2−9；(2)𝑎2−4𝑎−4𝑎2+2𝑎+1⋅𝑎+1𝑎2−4.解：(1)原式=𝑦−34(𝑦−2)×𝑦−2(𝑦+3)(𝑦−3)=14(𝑦+3).(2)原式=(𝑎−2)2(𝑎+1)2×𝑎+

1(𝑎+2)(𝑎−2)=𝑎−2(𝑎+1)(𝑎+2).针对训练：【针对训练1】计算6𝑥𝑥2−1⋅𝑥+𝑥23𝑥2的结果是()A.2𝑥−1B.−2𝑥−1C.2𝑥+1D.−2𝑥+1【答案】A【解析】将分式的分子分母进行分解因式，再进行计算即可得到答案.【解答】解：6�

�𝑥2−1⋅𝑥+𝑥23𝑥2=6𝑥(𝑥+1)(𝑥−1)⋅𝑥(𝑥+1)3𝑥2=2𝑥−1.【点评】本题考查分式的乘除运算，属于基础题.【针对训练2】计算：𝑎2−4𝑏2𝑎2−𝑎𝑏⋅𝑎−𝑏𝑎2−2𝑎𝑏=_________．【答案】𝑎+2𝑏𝑎2【解析】解

：原式=(𝑎−2𝑏)(𝑎+2𝑏)𝑎(𝑎−𝑏)⋅𝑎−𝑏𝑎(𝑎−2𝑏)=𝑎+2𝑏𝑎2.【针对训练3】计算：（1）3𝑥𝑦24𝑧2⋅(−8𝑧2𝑦)；（2）𝑥+2𝑥−3⋅𝑥2−6𝑥+9𝑥2−4．【解析】（1）分子、分母都是单

项式的分式乘法，先进行符号运算，再按分式的乘法法则运算，最后约分；（2）分子、分母都是多项式的分式乘法，先把多项式分解因式，再按乘法法则计算，结果一定要约分．【解答】解：（1）原式=−24𝑥𝑦2𝑧24𝑦𝑧2=−6𝑥𝑦；（2）原式=𝑥+2𝑥−3⋅(𝑥−3)2(𝑥+2)(𝑥−2

)=(𝑥+2)(𝑥−3)2(𝑥−3)(𝑥+2)(𝑥−2)=𝑥−3𝑥−2．【点评】此题考查了分式的乘除法，分式乘除法的关键是约分，约分的关键是找公因式．类型二、分式的除法运算例4.化简2𝑥2−1÷1𝑥−𝑎的结果是2𝑥+1，则�

�的值是()A.1B.−1C.2D.−2【答案】A【解析】根据分式的运算法则即可求出答案．【解答】解:∵2𝑥2−1÷2𝑥+1=𝑥+1𝑥2−1=1𝑥−1，∴1𝑥−𝑎=1𝑥−1，∴𝑎=1.【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题

属于基础题型．例5.计算：𝑎+1𝑎÷𝑎+1𝑎2=__________.【答案】𝑎【解析】先把除法化为乘法，再约分，即可解答.【解答】解：𝑎+1𝑎÷𝑎+1𝑎2=𝑎+1𝑎×𝑎2𝑎+1=𝑎.【点评】本题主要考查分式乘除的知识.熟练掌握分式运算的法则是解题的关

键.例6.计算题：(1)2𝑥23𝑦2⋅5𝑦6𝑥÷10𝑦21𝑥2；(2)4𝑥2−4𝑥𝑦+𝑦22𝑥−𝑦÷(4𝑥2−𝑦2).【解析】(1)根据分式的乘除运算顺序和运算法则计算可得；(2)根据分式的乘除

运算顺序和运算法则计算可得.【解答】解：(1)原式=5𝑥9𝑦⋅21𝑥210𝑦=7𝑥36𝑦2.(2)原式=(2𝑥−𝑦)22𝑥−𝑦×1(2𝑥−𝑦)(2𝑥+𝑦)=12𝑥+𝑦.【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算

法则．针对训练：【针对训练1】在计算𝑚2𝑚+1÷⊗𝑚+1时，把运算符号“÷”看成了“+”，得到的计算结果是𝑚，则这道题的正确的结果是()A.𝑚B.1𝑚C.𝑚−1D.1𝑚−1【答案】A【解析】

先根据错误的计算𝑚2𝑚+1+⊗𝑚+1=𝑚，计算出⊗，再代入原式中计算即可.【解答】解：∵计算𝑚2𝑚+1+⊗𝑚+1=𝑚，∴𝑚2+⊗𝑚+1=𝑚，∴𝑚2+⊗=𝑚2+𝑚，∴⊗=𝑚，计算𝑚2𝑚+1÷𝑚𝑚+1=𝑚2𝑚+1×𝑚+1𝑚=𝑚.【点评】本题考查分式的

运算，难度不大.【针对训练2】计算：𝑥+1𝑥2−1÷2𝑥−1=________.【答案】12【解析】先把𝑥+1𝑥2−1化成𝑥+1(𝑥+1)(𝑥−1)，再根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，然后约分即可．【解答】解：𝑥+1𝑥2−1÷2𝑥−1=

𝑥+1(𝑥+1)(𝑥−1)×𝑥−12=12.【点评】此题考查了分式的乘除法，用到的知识点是平方差公式，熟练掌握分式的乘除法法则是本题的关键．【针对训练3】计算下列各式：(1)5𝑐26𝑎2𝑏⋅3𝑎2𝑏𝑐；(2)𝑥2−4𝑥+2÷(𝑥−2)

⋅1𝑥−2.【解析】(1)直接分式相乘，约分即可；(2)直接分式相乘，约分即可.【解答】解：(1)5𝑐26𝑎2𝑏⋅3𝑎2𝑏𝑐=5𝑐2.(2)原式=(𝑥−2)(𝑥+2)𝑥+2⋅1𝑥−2⋅1𝑥−2=1𝑥−2.【点评】本题考查分式的乘法，属于基础题.类型三

、分式的乘、除法混合运算例7.化简4𝑥2𝑥2−2𝑥+1÷2𝑥𝑥+3−𝑎的结果为2𝑥𝑥−1，则𝑎=()A.4B.3C.2D.1【答案】A【解析】根据分式的运算法则即可求出答案．【解答】解：∵2𝑥𝑥+3−𝑎=4𝑥2(𝑥−1)2÷2𝑥𝑥−1=4𝑥2(𝑥

−1)2⋅𝑥−12𝑥=2𝑥𝑥−1，∴𝑥+3−𝑎=𝑥−1，∴3−𝑎=−1，∴𝑎=4.【点评】本题考查分式，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．【针对训练1】当𝑎=2时，计算𝑎2−2𝑎−1𝑎2÷(1𝑎−1)的结果是（）A.32B.−

32C.12D.−12【答案】D【解析】解：原式=(𝑎−1)2𝑎2÷1−𝑎𝑎=(𝑎−1)2𝑎2⋅𝑎1−𝑎=1−𝑎𝑎.当𝑎=2时，原式=1−22=−12.例8.化简计算𝑏2−27𝑎3

÷2𝑏9𝑎⋅3𝑎𝑏𝑏4是________.【答案】−12𝑎𝑏2【解析】解：原式=𝑏2−27𝑎3⋅9𝑎2𝑏⋅3𝑎𝑏𝑏4=27𝑎2𝑏3−54𝑎3𝑏5=−12𝑎𝑏2.【针对训练2】计算：𝑥2−4(𝑥−2)2⋅1𝑥+2÷1𝑥−2=________

．【答案】1【解析】解：原式=(𝑥+2)(𝑥−2)(𝑥−2)2⋅1𝑥+2÷1𝑥−2=1𝑥−2⋅(𝑥−2)=1.例9.计算：(1)−8𝑥2𝑦4⋅3𝑥4𝑦6÷(−𝑥2𝑦6𝑧)；(2)𝑦2−4𝑦+4

2𝑦−6⋅1𝑦+3÷12−6𝑦9−𝑦2.【解析】利用分式运算法则化简即可.利用分式运算法则，结合完全平方以及平方差公式化简即可.【解答】解：(1)原式=−8𝑥2𝑦4⋅3𝑥4𝑦6⋅(−6𝑧𝑥2𝑦)=−6𝑥3𝑦2⋅(−6𝑧𝑥2𝑦)=36𝑥𝑧𝑦3.(2)原式=(𝑦

−2)22(𝑦−3)⋅1𝑦+3⋅(3+𝑦)(3−𝑦)6(2−𝑦)=(𝑦−2)22(𝑦−3)(𝑦+3)⋅(3+𝑦)(𝑦−3)6(𝑦−2)=𝑦−212.【点评】本题主要考查了分式的化简

运算，属于中档题.【针对训练3】计算（1）−4𝑚23𝑛2⋅𝑛2𝑚；（2）𝑥2−4𝑦2𝑥2+𝑦2+2𝑥𝑦÷2𝑦+𝑥𝑥2+𝑥𝑦．【解析】（1）原式约分即可得到结果；（2）原式利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，

约分即可得到结果．【解答】解：（1）原式=−2𝑚3𝑛；（2）原式=(𝑥+2𝑦)(𝑥−2𝑦)(𝑥+𝑦)2⋅𝑥(𝑥+𝑦)𝑥+2𝑦=𝑥(𝑥−2𝑦)𝑥+𝑦．【点评】此题考查了分

式的乘除法，分式乘除法的关键是约分，约分的关键是找公因式．