【文档说明】专题3.4 整式及其加减（压轴题综合训练卷）（北师大版）（解析版）-2022-2023学年七年级数学上册从重点到压轴（北师大版）.docx，共(20)页，150.500 KB，由envi的店铺上传

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专题3.4整式及其加减（满分100）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分评卷人得分一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．（2022·全国

·七年级课时练习）下列说法中，正确的是（）A．2不是单项式B．6𝜋𝑥3的系数是6，次数是4C．1𝑥2是二次单项式D．𝑥2−1是二次二项式【思路点拨】利用多项式和单项式的相关定义解答即可．【解题过程】解：A.2是单项式，原说法错误，故

此选项不符合题意；B.6𝜋𝑥3的系数是6𝜋，次数是3，原说法错误，故此选项不符合题意；C.1𝑥2分母中含字母，不是单项式，原说法错误，故此选项不符合题意；D.𝑥2−1是二次二项式，原说法正确，故此选项符合题意；故选：D．2．（2022·全国·七年级课时练习

）已知关于𝑥的多项式(𝑚−4)𝑥3−𝑥𝑛+𝑥−𝑚𝑛为二次三项式，则当𝑥=−1时，这个二次三项式的值是（）A．−10B．−12C．8D．14【思路点拨】根据二次三项式的定义得出m-4=0，n=2，求出m=4，n=2，代入二次三项

式，最后把x=-1代入求出即可．【解题过程】解：∵关于x的多项式（m-4）x3-xn+x-mn为二次三项式，∴m-4=0，n=2，∴m=4，n=2，即多项式为-x2+x-8，当x=-1时，-x2+x-8=-（-1）2-1-8=-10．故选：A．

3．（2022·全国·七年级单元测试）按一定规律排列的单项式：𝑥3，−𝑥5，𝑥7，−𝑥9，𝑥11，……，第n个单项式是（）A．(−1)𝑛𝑥2𝑛−1B．(−1)𝑛−1𝑥2𝑛+1C．(−1)𝑛−1𝑥2𝑛−1D．(−1)𝑛𝑥2𝑛+1【思路点拨】先观察系数与指

数的规律，再根据规律定出第n个单项式即可．【解题过程】解：∵𝑥3，−𝑥5，𝑥7，−𝑥9，𝑥11，……，∴系数是奇数项为-1，偶数项为1，即系数的规律是(-1)n-1,指数的规律为2n+1，∴第n个单项式为(−1)𝑛−1𝑥2𝑛+1，故选：B．4．（2022·全国

·七年级单元测试）如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图4个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图10个圆点，第四幅图13个圆点……按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是（）A．297B．301C．303D．400【思路点拨】首先根据前几个图形圆点的个数规律即可发现

规律，从而得到第100个图摆放圆点的个数．【解题过程】解：观察图形可知：第1幅图案需要4个圆点，即4＋3×0，第2幅图7个圆点，即4+3=4+3×1；第3幅图10个圆点，即4＋3＋3=4＋3×2；第4幅图13个圆点，即4＋3＋3＋3=4＋

3×3；第n幅图中，圆点的个数为：4+3(n-1)=3n+1，……，第100幅图，圆中点的个数为：3×100+1=301．故选：B．5．（2022·全国·七年级单元测试）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片(如图①)不重叠

地放在一个底面为长方形(长为m，宽为n)的盒子底部(如图②)，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是()A．4mB．4nC．2(m＋n)D．4(m－n)【思路点拨】本题需先设小长方形卡片的长为a，宽为b，再结合图形得出上面的阴影周长和下面的阴影周长，再把它们加起

来即可求出答案．【解题过程】解：设小长方形卡片的长为a，宽为b，∴L上面的阴影=2（n-a+m-a）,L下面的阴影=2（m-2b+n-2b）,∴L总的阴影=L上面的阴影+L下面的阴影=2（n-a+m-a）+2(m-2b+n-2b)=4m+4n-4（a+2b），又∵a+2b=

m，∴4m+4n-4(a+2b)=4n，故选：B．6．（2022·全国·七年级课时练习）某超市出售一商品，有如下四种在原标价基础上调价的方案，其中调价后售价最低的是（）A．先打九五折，再打九五折B．先提价50%，再打六折C．先提价3

0%，再降价30%D．先提价25%，再降价25%【思路点拨】设原件为x元，根据调价方案逐一计算后，比较大小判断即可．【解题过程】解：设原件为x元，∵先打九五折，再打九五折，∴调价后的价格为0.95x×0

.95=0.9025x元，∵先提价50%，再打六折，∴调价后的价格为1.5x×0.6=0.90x元，∵先提价30%，再降价30%，∴调价后的价格为1.3x×0.7=0.91x元，∵先提价25%，再降价25%，∴调价后的价格为1.25x×

0.75=0.9375x元，∵0.90x＜0.9025x＜0.91x＜0.9375x故选B7．（2022·广东·七年级单元测试）某商店在甲批发市场以每包𝑚元的价格进了40包茶叶，又在乙批发市场以每包𝑛元（𝑚>𝑛）的价格进了同样的60包茶叶，如果以每包𝑚+𝑛2元

的价格全部卖出这种茶叶，那么这家商店（）A．亏损了B．盈利了C．不赢不亏D．盈亏不能确定【思路点拨】先根据题意列出进货的成本与销售额，再作差比较即可．【解题过程】解：由题意得，进货成本=40m+60n，销售额=𝑚+𝑛2×（40+60），故总利润为：𝑚+𝑛2×（40+

60）-（40m+60n）=50（m+n）-（40m+60n）=50m+50n-40m-60n=10（m-n），∵m＞n，∴10（m-n）＞0，∴这家商店盈利．故答案为：盈利．8．（2022·全国·七年级课时练习）若代数式

2𝑚𝑥2+4𝑥−2𝑦2−3(𝑥2−2𝑛𝑥−3𝑦+1)的值与x的取值无关，则𝑚2019𝑛2020的值为（）A．32B．23C．−23D．−32【思路点拨】把代数式去括号，合并为关于x的代数式，令含有字母x的项的系数

为零，可求出m，n的值，从而求出𝑚2019𝑛2020的值．【解题过程】解：2𝑚𝑥2+4𝑥−2𝑦2−3(𝑥2−2𝑛𝑥−3𝑦+1)=2𝑚𝑥2+4𝑥−2𝑦2−3𝑥2+6𝑛𝑥+9𝑦−3=(2𝑚−3)𝑥2+(4+6𝑛)

𝑥−2𝑦2+9𝑦−3∵代数式的值与x的取值无关∴2𝑚−3=0，4+6𝑛=0∴𝑚=32，𝑛=−23∴𝑚2019𝑛2020=(32)2019(−23)2020=[32×(−23)]2019×(−23

)=23故选：B．9．（2022·全国·七年级课时练习）数学课上，张老师出示了这样一道题目：“当𝑎=12,𝑏=−2时，求已知7𝑎3+3𝑎2𝑏+3𝑎3−3𝑎2𝑏−10𝑎3−1的值”．解完这道题后，小茗同学发现：“𝑎=12,𝑏

=−2是多余的条件”．师生讨论后，一致认为小茗的发现是正确的．受此启发，张老师又出示了一道题目：无论𝑥,𝑦取任何值，多项式2𝑥2+𝑎𝑥−4𝑦+1−2(𝑥2+3𝑥−𝑏𝑦−4)的值都不变，则系数𝑎,

𝑏的值分别为（）A．𝑎=6,𝑏=2B．𝑎=2,𝑏=6C．𝑎=−6,𝑏=2D．𝑎=6,𝑏=−2【思路点拨】对多项式2𝑥2+𝑎𝑥−4𝑦+1−2(𝑥2+3𝑥−𝑏𝑦−4)去括号，合并同类项，再由无论x，y取

任何值，多项式2𝑥2+𝑎𝑥−4𝑦+1−2(𝑥2+3𝑥−𝑏𝑦−4)的值都不变，可得关于a和b的方程，求解即可．【解题过程】解：2𝑥2+𝑎𝑥−4𝑦+1−2(𝑥2+3𝑥−𝑏𝑦

−4)=2𝑥2+𝑎𝑥−4𝑦+1−2𝑥2−6𝑥+2𝑏𝑦+8=(𝑎−6)𝑥+(2𝑏−4)𝑦+9∵无论𝑥,𝑦取任何值，多项式2𝑥2+𝑎𝑥−4𝑦+1−2(𝑥2+3𝑥−𝑏𝑦−4)的值都不变，∴

𝑎−6=0，2𝑏−4=0，∴𝑎=6，𝑏=2故选：A．10．（2022·全国·七年级课时练习）对多项式𝑥−𝑦−𝑧−𝑚−𝑛任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：(

𝑥−𝑦)−(𝑧−𝑚−𝑛)=𝑥−𝑦−𝑧+𝑚+𝑛，𝑥−𝑦−(𝑧−𝑚)−𝑛=𝑥−𝑦−𝑧+𝑚−𝑛，…，给出下列说法：①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；

③所有的“加算操作”共有8种不同的结果．以上说法中正确的个数为（）A．0B．1C．2D．3【思路点拨】给𝑥−𝑦添加括号，即可判断①说法是否正确；根据无论如何添加括号，无法使得𝑥的符号为负号，即可判断②说法是否正确；列举出所有情况即可判断③说法是否正确．【解题过程】解：

∵(𝑥−𝑦)−𝑧−𝑚−𝑛=𝑥−𝑦−𝑧−𝑚−𝑛∴①说法正确∵𝑥−𝑦−𝑧−𝑚−𝑛−𝑥+𝑦+𝑧+𝑚+𝑛=0又∵无论如何添加括号，无法使得𝑥的符号为负号∴②说法正确③第1种：结果与原多项式相等；第2种：x-（y-z）-m-n=x-y+z-m-n；第3种：

x-（y-z）-（m-n）=x-y+z-m+n；第4种：x-（y-z-m）-n=x-y+z+m-n；第5种：x-（y-z-m-n）=x-y+z+m+n；第6种：x-y-（z-m）-n=x-y-z+m-n；第7种：x-y-（z-m-n）=x-

y-z+m+n；第8种：x-y-z-（m-n）=x-y-z-m+n；故③符合题意；∴共有8种情况∴③说法正确∴正确的个数为3故选D．评卷人得分二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）11．（2022·全国·七年级课时练习）在式子①2𝑥+5，②−1，③𝑎2

+2𝑎𝑏+𝑏2，④𝑥𝑦𝑧，⑤1𝑥+1𝑦，⑥𝑥+𝑦2，⑦2𝜋+3，⑧𝑥2−𝑦2中是整式的有________，其中是单项式的有________，是多项式的有________．【思路点拨】根据整式、单项式、多项式的定义，结合所给各式进行判断即可.【解题过程】解：所给式子中

整式有：①②③④⑥⑦⑧；单项式有：②④⑦；多项式有：①③⑥⑧．故答案为①②③④⑥⑦⑧、②④、①③⑥⑦⑧．12．（2022·全国·七年级课时练习）已知a﹣b＝4，a﹣c＝1，则代数式(2a﹣b﹣c)2+(c﹣b)2的值为__．【思路点拨】把(2a﹣b﹣c)整理成

(a﹣b)+(a﹣c)的形式，然后整体代入数据进行计算即可得解．【解题过程】解：(2a﹣b﹣c)2+(c﹣b)2，＝[(a﹣b)+(a﹣c)]2+(c﹣b)2，当a﹣b＝4，a﹣c＝1时，∴c﹣b＝3，原式＝(4+1)2+32＝25+9＝34．故答案为

：34．13．（2022·江苏·七年级单元测试）已知代数式x4+ax3+3x2+5x3﹣7x2﹣bx2+6x﹣2合并同类项后不含x3，x2项，则2a+3b的值_____．【思路点拨】根据合并后不含三次项，二次项，可得含三次项，二次项的系数为零，可得a，b的值，

再代入所求式子计算即可．【解题过程】解：x4+ax3+3x2+5x3﹣7x2﹣bx2+6x﹣2＝x4+（a+5）x3+（3﹣7﹣b）x2+6x﹣2，∵x4+ax3+3x2+5x3﹣7x2﹣bx2+6x﹣2，合并同类项后不含x3和x2项，∴a+5＝0，3﹣7﹣b＝0，解得：a＝﹣5，

b＝﹣4，∴2a+3b＝2×（﹣5）+3×（﹣4）＝﹣22．故答案为：﹣22．14．（2022·全国·七年级课时练习）如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”，如图所示，“优美矩形”ABCD的周长为26，则正方形d的边长为______

．【思路点拨】设正方形a、b、c、d的边长分别为a、b、c、d，分别求得b=13c，c=35d，由“优美矩形”ABCD的周长得4d+2c=26，列式计算即可求解．【解题过程】解：设正方形a、b、c、d的边长分别为a、b、c、d，∵“优美矩形”ABCD的周长为26，∴4d+2c=26，∵a

=2b，c=a+b，d=a+c，∴c=3b，则b=13c，∴d=2b+c=53c，则c=35d，∴4d+65d=26，∴d=5，∴正方形d的边长为5，故答案为：5．15．（2022·江苏无锡·七年级期末）同一数轴上

有点A，C分别表示数a，c，且a，c满足等式（16+a）2+|c﹣12|＝0，点B表示的数是多项式2x2﹣4x+3的一次项系数，点A，B，C在数轴上同时开始运动，点A向左运动，速度为每秒3个单位长度，点B，C均向右运动，速度分别为每秒3个单位长度和每秒4个单位长度，设运动时间为t秒．若存在m使得2

AB﹣m•BC的值不随时间t的变化而改变，则该定值为_____．【思路点拨】根据题意分别表示出A，B，C表示的数为﹣4，﹣16﹣3t，﹣4+3t，12+4t，进而根据数轴上两点的距离求得𝐴𝐵,𝐵𝐶，根据

整式的加减结果与𝑡无关即可求得𝑚的值．【解题过程】解：∵（16+a）2+|c﹣12|＝0，∴16+a＝0，c﹣12＝0，∴a＝﹣16，c＝12，∵点B表示的数是多项式2x2﹣4x+3的一次项系数，∴点B表示的数是﹣4，运动后，点A，B，C表示的数分别是：﹣16﹣3t，﹣

4+3t，12+4t，∴AB＝（﹣4+3t）﹣（﹣16﹣3t）＝6t+12，BC＝（12+4t）﹣（﹣4+3t）＝t+16，∴2AB﹣m•BC＝2（6t+12）﹣m（t+16）＝12t+24﹣mt﹣16m＝（12﹣m）t+24

﹣16m，∵2AB﹣mBC的值不随时间t的变化而改变，∴12﹣m＝0，解得m＝12．此时2AB﹣mBC＝24﹣16×12＝﹣168．故答案为：﹣168．评卷人得分三．解答题（本大题共8小题，满分55分）16．（2022·全国·七年级课时练习）先去括号，再合并同类项：(

1)6a2﹣2ab﹣2（3a2－12ab）；(2)2（2a﹣b）﹣[4b﹣（﹣2a+b）]；(3)9a3﹣[﹣6a2+2（a3－23a2）]；(4)﹣[t﹣（t2﹣t﹣3）﹣2]+（2t2﹣3t+1）．【思路点拨】（1）

先去括号，再合并同类项即可；（2）先去小括号，再去中括号，然后合并同类项即可；（3）先去小括号，再去中括号，然后合并同类项即可；（4）先去小括号，再去中括号，然后合并同类项即可．【解题过程】（1）解：6a2﹣2ab﹣2（3a2－12ab）＝6a2﹣2ab﹣6a2+ab＝﹣a

b；（2）解：2（2a﹣b）﹣[4b﹣（﹣2a+b）]＝4a﹣2b﹣4b﹣2a+b＝2a﹣5b；（3）解：9a3﹣[﹣6a2+2（a3－23a2）]＝9a3+6a2﹣2a3＋43a2＝7a3＋223a2；（4）解：2t﹣[t﹣（t2﹣t﹣3）﹣

2]+（2t2﹣3t+1）＝2t﹣t+t2﹣t﹣3+2+2t2﹣3t+1＝3t2﹣3t．17．（2022·全国·七年级课时练习）先化简，再求值（1）2（a2b+ab2）-2（a2b-1）-3（ab2+1），其中a=-2，b=2．（2）(2𝑥2𝑦−2𝑥𝑦2)−[(−3𝑥2𝑦2+3𝑥2�

�)+(3𝑥2𝑦2−3𝑥𝑦2)]，其中𝑥=−1,𝑦=2（3）当x＝－52，y＝25时，求𝑥𝑦+2𝑦2+(𝑥2−3𝑥𝑦−2𝑦2)−(𝑥2−𝑥𝑦)的值；【思路点拨】先根据去括号法则去括号

，然后根据合并同类项即可完成化简，再代入求值，注意去括号时符号的变化.【解题过程】（1）解：2（a2b+ab2）-2（a2b-1）-3（ab2+1）=2a2b+2ab2-2a2b+2-3ab2-3=-ab2-1.当a=-2，b=2时，原式=-（-2）×22-1=8-1=7.（2）(

2𝑥2𝑦−2𝑥𝑦2)−[(−3𝑥2𝑦2+3𝑥2𝑦)+(3𝑥2𝑦2−3𝑥𝑦2)]=𝑥𝑦2−𝑥2𝑦,当𝑥=−1,𝑦=2时，原式=(−1)×22−(−1）²×2=−4−2=−6（3）𝑥𝑦+2𝑦2+(𝑥2−3𝑥𝑦−2𝑦2)−(𝑥2−𝑥

𝑦)=𝑥𝑦+2𝑦2+x2-3xy-2y2-x2+xy=-xy当x=－52，y＝25时，原式=1.18．（2022·全国·七年级专题练习）已知A=3a2b﹣2ab2+abc，小明同学错将“2A﹣B”看成“2A+B”，算得结果为4a2b﹣3ab

2+4abc．(1)计算B的表达式；(2)求出2A﹣B的结果；(3)小强同学说(2)中的结果的大小与c的取值无关，对吗？若a=18，b=15，求(2)中式子的值．【思路点拨】（1）根据B＝4a2b﹣3ab2+4a

bc－2A列出关系式，去括号合并即可得到B；（2）把A与B代入2A-B中，去括号合并即可得到结果；（3）把a与b的值代入计算即可求出值．【解题过程】解：（1）∵2A＋B＝4a2b﹣3ab2+4abc，∴B＝4a2b﹣3ab2+4abc－2A＝4a

2b－3ab2＋4abc－2(3a2b－2ab2＋abc)＝4a2b－3ab2＋4abc－6a2b＋4ab2－2abc＝－2a2b＋ab2＋2abc；（2）2A－B＝2(3a2b－2ab2＋abc)－(－2a2b＋ab2＋2abc)＝6a2

b－4ab2＋2abc＋2a2b－ab2－2abc＝8a2b－5ab2；（3）对，由（2）化简的结果可知与c无关，将a＝18，b＝15代入，得8a2b－5ab2＝8×(18)2×15－5×18×(15)2＝0．

19．（2022·全国·七年级课时练习）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+⋯+22017+22018的值，采用以下方法：设𝑆=1+2+22+⋯+22017+22018①则2𝑆=2+22+⋯+22018+22019②②-①得

2𝑆−𝑆=22019−1∴𝑆=1+2+22+⋯+22017+22018=22019−1（1）1+2+22+⋯+29=;（2）3+32+⋯+310=;（3）求1+𝑎+𝑎2+⋯+𝑎𝑛的和（𝑎>0，𝑛是正整数，请写出计算过程）.【思路点拨】（1）利用题中的

方法设S=1+2+22+…+29，两边乘以2得到2S=2+22+…+29，然后把两式相减计算出S即可；（2）利用题中的方法设S=1+3+32+33+34+…+310，两边乘以3得到3S=3+32+33+34+

35+…+311，然后把两式相减计算出S即可；（3）利用（2）的方法计算．【解题过程】解：（1）设S=1+2+22+…+29①则2S=2+22+…+210②②-①得2S-S=S=210-1∴S=1+2+22+…+29=210-1；故答案为210-1（2）设S=3+3+32+33+34+…+31

0①，则3S=32+33+34+35+…+311②，②-①得2S=311-1，所以S=311−12，即3+32+33+34+…+310=311−12；故答案为311−12；（3）设S=1+a+a2+a3+a4+..+an①，则aS=a+a2+a3+a4+..+an+a

n+1②，②-①得：（a-1）S=an+1-1，a=1时，不能直接除以a-1，此时原式等于n+1；a不等于1时，a-1才能做分母，所以S=𝑎𝑛+1−1𝑎−1，即1+a+a2+a3+a4+..+an=𝑎𝑛

+1−1𝑎−1.20．（2022·四川资阳·七年级期末）一般情况下𝑎2+𝑏3=𝑎+𝑏2+3不成立，但有些数可以使得它成立，例如：𝑎=𝑏=0．我们称使得𝑎2+𝑏3=𝑎+𝑏2+3成立的一

对数𝑎,𝑏为“相伴数对”，记为(𝑎,𝑏)（1）若(1,𝑏)是“相伴数对”，求𝑏的值；（2）写出一个“相伴数对”(𝑎,𝑏)，并说明理由．（其中𝑎≠0，且𝑎≠1）（3）若(𝑚,𝑛)是“相伴数对”

，求代数式𝑚−223𝑛−[4𝑚−2(3𝑛−1)]的值．【思路点拨】（1）根据“相伴数对”定义列出方程求解即得；（2）先根据“相伴数对”定义确定一个有序数对为“相伴数对”，再将这个特殊的情况代入�

�2+𝑏3=𝑎+𝑏2+3验证左右相等即可；（3）先根据“相伴数对”定义得出9𝑚+4𝑛=0，进而用含m的式子表示n，再化简要求的代数式即得．【解题过程】解：（1）∵(1，𝑏)是“相伴数对”∴12+𝑏

3=1+𝑏2+3解得：𝑏=−94（2）(−4，9)是“相伴数对”，理由如下：∵−42+93=1，−4+92+3=1∴−42+93=−4+92+3∴根据定义(−4，9)是“相伴数对”（3）∵(𝑚，𝑛)是“相伴数对”∴𝑚2+𝑛3=𝑚+𝑛2+3∴9𝑚+4𝑛=0∴−3𝑚−43𝑛=

0∵𝑚−223𝑛−[4𝑚−2(3𝑛−1)]=𝑚−223𝑛−4𝑚+6𝑛−2=−3𝑚−43𝑛−2=−3𝑚−43𝑛−2∴当−3𝑚−43𝑛=0时−3𝑚−43𝑛−2=0−2=−221．（2022

·全国·七年级期中）小明家住房户型呈长方形，平面图如下（单位：米）．现准备铺设整个长方形地面，其中三间卧室铺设木地板，其它区域铺设地砖．（房间内隔墙宽度忽略不计）（1）求a的值；（2）请用含x的代数式分别表示铺设地面需要木地板和地砖各

多少平方米；（3）按市场价格，木地板单价为300元/平方米，地砖单价为100元/平方米．装修公司有A，B两种活动方案，如表：已知卧室2的面积为21平方米，则小方家应选择哪种活动，使铺设地面总费用（含材料费及安装费）更低？【思路点拨

】（1）根据长方形的对边相等可得a+5=4+4，即可求出a的值；（2）根据三间卧室铺设木地板，其它区域铺设地砖，可知将三间卧室的面积的和为木地板的面积，用长方形的面积-三间卧室的面积，所得的差为地砖的面积；（3）根

据卧室2的面积为21平方米求出x，再分别求出所需的费用，然后比较即可．【解题过程】解：（1）根据题意，可得a+5＝4+4，得a＝3；（2）铺设地面需要木地板：4×2x+a[10+6﹣（2x﹣1）﹣x﹣2x]+6×4＝8x+3（17﹣5x）+24＝75﹣7x，铺

设地面需要地砖：16×8﹣（75﹣7x）＝128﹣75+7x＝7x+53；（3）∵卧室2的面积为21平方米，∴3[10+6﹣（2x﹣1）﹣x﹣2x]＝21，∴3（17﹣5x）＝21，∴x＝2，∴铺设地面需要木地板：75﹣7x＝75﹣7×2＝61，铺设地面需要地砖：7x+53＝7×2+53＝6

7，A种活动方案所需的费用：61×300×0.8+67×100×0.85+2000＝22335（元），B种活动方案所需的费用：61×300×0.9+67×100×0.85＝22165（元），22335＞22165，所以小方家应选择B种活动方案，使铺设地面总费用（含材料费及安装

费）更低．22．（2022·全国·七年级专题练习）特殊值法，又叫特值法，是数学中通过设题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法．例如：已知：𝑎4𝑥4+𝑎3𝑥3+𝑎2𝑥2+𝑎1𝑥+𝑎0=6

𝑥，则：①取𝑥=0时，直接可以得到𝑎0=0；②取𝑥=1时，可以得到𝑎4+𝑎3+𝑎2+𝑎1+𝑎0=6；③取𝑥=−1时，可以得到𝑎4−𝑎3+𝑎2−𝑎1+𝑎0=−6；④把②，③的结论相加，就可以得到2𝑎4+2𝑎2+2𝑎0=0，结合①

𝑎0=0的结论，从而得出𝑎4+𝑎2=0．请类比上例，解决下面的问题：已知𝑎6(𝑥−1)6+𝑎5(𝑥−1)5+𝑎4(𝑥−1)4+𝑎3(𝑥−1)3+𝑎2(𝑥−1)2+𝑎1(𝑥−1)+𝑎

0=4𝑥．求：(1)𝑎0的值；(2)𝑎6+𝑎5+𝑎4+𝑎3+𝑎2+𝑎1+𝑎0的值；(3)𝑎6+𝑎4+𝑎2的值．【思路点拨】（1）观察等式可发现只要令x=1即可求出a0；（2）观察等式可发现只要令x=2即可求出a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值；（3）

令x=2即可求出等式①，令x=0即可求出等式②，两个式子相加即可求出来．【解题过程】（1）解：当𝑥=1时，∵𝑎6(𝑥−1)6+𝑎5(𝑥−1)5+𝑎4(𝑥−1)4+𝑎3(𝑥−1)3+𝑎2(𝑥−1)

2+𝑎1(𝑥−1)+𝑎0=4𝑥，∴𝑎0=4×1=4；（2）解：当𝑥=2时，∵𝑎6(𝑥−1)6+𝑎5(𝑥−1)5+𝑎4(𝑥−1)4+𝑎3(𝑥−1)3+𝑎2(𝑥−1)2+𝑎1(𝑥−1)+𝑎0=4𝑥，∴𝑎6+𝑎5+𝑎4+

𝑎3+𝑎2+𝑎1+𝑎0=8；（3）解：当𝑥=2时，∵𝑎6(𝑥−1)6+𝑎5(𝑥−1)5+𝑎4(𝑥−1)4+𝑎3(𝑥−1)3+𝑎2(𝑥−1)2+𝑎1(𝑥−1)+𝑎0=4𝑥，∴𝑎6+𝑎5+𝑎4+𝑎3+𝑎2+𝑎1

+𝑎0=8①；当𝑥=0时，∵𝑎6(𝑥−1)6+𝑎5(𝑥−1)5+𝑎4(𝑥−1)4+𝑎3(𝑥−1)3+𝑎2(𝑥−1)2+𝑎1(𝑥−1)+𝑎0=4𝑥，∴𝑎6−𝑎5+𝑎4−𝑎3+𝑎2−𝑎1+𝑎0=0②；用①+②得：2𝑎6+2𝑎4+2𝑎2+

2𝑎0=8，∴𝑎6+𝑎4+𝑎2=4−𝑎0=0．23．（2022·四川达州·七年级期中）一个多位数整数，a代表这个整数分出来的左边数，b代表这个整数分出来的右边数．其中a，b两部分数位相同，若𝑎+𝑏2正好为剩下的中间数，则这个多位数就叫平衡数，例

如：357满足3+72＝5，233241满足23+412=32．(1)判断：468_____平衡数；314567_____平衡数（填“是”或“不是”）；(2)证明任意一个三位平衡数一定能被3整除；(3)若一个三位平衡数后两位数减去百位数字之差为9的

倍数，且这个平衡数为偶数，求这个三位数．【思路点拨】（1）根据平衡数的定义即可判断；（2）设出这个三位平衡数，化简即可验证；（3）设出这个三位平衡数，根据后两位数减去百位数字之差为9的倍数列出代数式并化简，再根据𝑥+𝑦2是整数，y是偶数即可得出答案．【解题过程】解：(1

)∵4+82＝6，∴468是平衡数；∵31+672＝49≠45，∴314567不是平衡数；故答案为：是；不是；(2)证明：设这个三位平衡数为：100a+10•𝑎+𝑏2+b，∵100a+10•𝑎+𝑏2+b＝10

0a+5a+5b+b＝105a+6b＝3(35a+2b)，∴100a+10•𝑎+𝑏2+b一定能被3整除，即任意一个三位平衡数一定能被3整除；(3)设这个三位平衡数为100x+10(𝑥+𝑦2)+y，∴10𝑥+𝑦2+

y-x=9k，∴6y+4x＝9k，∴6y+4x满足被9整除，又∵𝑥+𝑦2是整数，∴x+y是2的倍数，∵三位数是偶数，∴y是偶数，∵0＜x≤9，0≤y≤9，由于y为偶数，则y可以取0，2，4，6，8，y＝0时，x无满足条件值；y＝2时，x＝6满足；y＝4时，x无满足条件值；y＝6时，x无满足条件

值；y＝8时，x＝6满足，综上所述，三位数为642，678．24．（2022·全国·七年级）已知𝐴,𝐵,𝐶三点在数轴上的位置如图所示，它们表示的数分别是𝑎,𝑏,𝑐．（1）填空：𝑎𝑏𝑐______0，𝑎+𝑏_____0；（填“>”，“=”或

“<”）（2）若𝑎=−2且点𝐵到点𝐴,𝐶的距离相等，①当𝑏2=9时，求𝑐的值；②𝑃是数轴上𝐵,𝐶两点之间的一个动点，设点𝑃表示的数为𝑥，当𝑃点在运动过程中，𝑏𝑥+𝑐𝑥+|𝑥−𝑐|−13|𝑥+𝑎|

−𝑐的值保持不变，求𝑏的值．【思路点拨】（1）根据各点在数轴上的位置判断出a＜0＜b＜c，|𝑎|<|𝑏|<|𝑐|，从而可得结果；（2）①首先得到b值，再根据点𝐵到点𝐴,𝐶的距离相等可得c值；②根据点P的位置得到x-c＜0，x+a＞0，

代入原式去绝对值化简，再根据原式的值保持不变得到原式的值与x无关，可得b值．【解题过程】解：（1）根据数轴上A、B、C三点的位置，可知：a＜0＜b＜c，|𝑎|<|𝑏|<|𝑐|，∴abc＜0，a+b＞0，故答案为：＜，＞；（2）①∵𝑏2=9，且b＞0，∴b=3，

∵点𝐵到点𝐴,𝐶的距离相等，∴c-b=b-a，∴c-3=3-（-2），∴c=8，故答案为：8；②∵x处于B、C两点之间，∴x-c＜0，x+a＞0，∴|𝑥−𝑐|=𝑐−𝑥，|𝑥+𝑎|=𝑥+𝑎，∴𝑏𝑥+𝑐𝑥+|𝑥−𝑐|−13

|𝑥+𝑎|−𝑐=𝑏𝑥+𝑐𝑥+𝑐−𝑥−13(𝑥+𝑎)−𝑐=𝑏𝑥+𝑐𝑥+𝑐−𝑥−13𝑥−13𝑎−𝑐=𝑏𝑥+𝑐𝑥−14𝑥−13𝑎=(𝑏+𝑐−14)𝑥−13

𝑎∵c-b=b-a，a=-2，∴c=2b+2，∴𝑏𝑥+𝑐𝑥+|𝑥−𝑐|−13|𝑥+𝑎|−𝑐=(𝑏+2𝑏+2−14)𝑥−13×(−2)=(3𝑏−12)𝑥+26∵P在运动过程中，原式的值保持不变，即原式的值与x无关，∴3b-12=0，∴b=4．