【文档说明】2009年高考试题——数学文（重庆卷）解析版.doc，共(11)页，1.620 MB，由envi的店铺上传

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2009年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（文史类）本试卷满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷考生注意：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号、填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的

准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的．4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．参考公式：如果事件AB，互斥，那么()()()PABPAPB+=+如果事件AB，相互独立，那么()()()PABPAPB=如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生

k次的概率()(1)(01,2)kknknnPkCPPkn−=−=，，，以R为半径的球体积：34π3VR=一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。1．圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（）A．22(2)1xy+−

=B．22(2)1xy++=C．22(1)(3)1xy−+−=D．22(3)1xy+−=【答案】A解法1（直接法）：设圆心坐标为(0,)b，则由题意知2(1)(2)1ob−+−=，解得2b=，故圆的方程为22(2)1xy+

−=。解法2（数形结合法）：由作图根据点(1,2)到圆心的距离为1易知圆心为（0，2），故圆的方程为22(2)1xy+−=解法3（验证法）：将点（1，2）代入四个选择支，排除B，D，又由于圆心在y轴上，排除C。2．命题“若一个数是

负数，则它的平方是正数”的逆命题是（）A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”【答案】B解析因为一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换，因此逆命题为

“若一个数的平方是正数，则它是负数”。3．6(2)x+的展开式中3x的系数是（）w.w.w.k.s.5.u.c.o.mA．20B．40C．80D．160【答案】D解法1设含3x的为第1r+，则1Tr+62rrrnCx−=，令63r−=，得3r=，故展开式中3x的系数为3362160

C=。解法2根据二项展开式的通过公式的特点：二项展开式每一项中所含的x与2分得的次数和为6，则根据条件满足条件3x的项按3与3分配即可，则展开式中3x的系数为3362160C=。4．已知向量(1,1),(2,

),x==ab若a+b与−4b2a平行，则实数x的值是（）A．-2B．0C．1D．2【答案】D解法1因为(1,1),(2,)abx==，所以(3,1),42(6,42),abxbax+=+−=−由于ab+与42ba−平行，得6(1)3(42)0xx+−−=，解得2x=。解法

2因为ab+与42ba−平行，则存在常数，使(42)abba+=−，即(21)(41)ab+=−，根据向量共线的条件知，向量a与b共线，故2x=。5．设na是公差不为0的等差数列，12a=且136,,aaa成等比数列，则na的前n项和nS=（）w.w.w.k.s.5.u.c.o

.mA．2744nn+B．2533nn+C．2324nn+D．2nn+【答案】A解析设数列{}na的公差为d，则根据题意得(22)22(25)dd+=+，解得12d=或0d=（舍去），所以数列{}na的前n项和2(1)172

2244nnnnnSn−=+=+6．下列关系式中正确的是（）A．000sin11cos10sin168B．000sin168sin11cos10C．000sin11sin168cos10D．000sin168cos10sin11【答案】C解析因为si

n160sin(18012)sin12,cos10cos(9080)sin80=−==−=，由于正弦函数sinyx=在区间[0,90]上为递增函数，因此sin11sin12sin80

，即sin11sin160cos10。7．已知0,0ab，则112abab++的最小值是（）A．2B．22C．4D．5【答案】C解析因为11112222()4abababababab+++=+当且仅当11ab=

，且1abab=，即ab=时，取“=”号。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m8．12个篮球队中有3个强队，将这12个队任意分成3个组（每组4个队），则3个强队恰好被分在同一组的概率为（）A．155B．355C．14D．13【答案】B解析因为将12个组分成4个

组的分法有444128433CCCA种，而3个强队恰好被分在同一组分法有3144398422CCCCA，故个强队恰好被分在同一组的概率为31442444399842128433CCCCACCCA=55。9．在正四棱柱1111ABCDABCD−中，顶点1B到对

角线1BD和到平面11ABCD的距离分别为h和d，则下列命题中正确的是（）A．若侧棱的长小于底面的变长，则hd的取值范围为(0,1)B．若侧棱的长小于底面的变长，则hd的取值范围为223(,)23C．若侧棱的长大于底面的变长，则hd的取值范围为23(,2)3D．若侧棱的

长大于底面的变长，则hd的取值范围为23(,)3+【答案】C解析设底面边长为1，侧棱长为(0)，过1B作1111,BHBDBGAB⊥⊥。在11RtBBD中，21112,2BDBD==+，由三角形面积关系得w.w.w.k.s.5.u

.c.o.m11112122BDBBhBHBD===+设在正四棱柱中，由于1,BCABBCBB⊥⊥，所以BC⊥平面11AABB，于是1BCBG⊥，所以1BG⊥平面11ABCD，故1BG为点到平面11ABCD的距离，在11RtABB中，又由三角形面积关系得1111211ABBBdBGA

B===+于是2222112122hd+==−++，于是当1，所以222123,1132+−+，所以23(,1)3hd10．把函数3()3fxxx=−的图像1C向右平移u个单位长度，再向下平移v个单位长度后得到图像2C．若对任意的0u，曲线1

C与2C至多只有一个交点，则v的最小值为（）A．2B．4C．6D．8【答案】B解析根据题意曲线C的解析式为3()3(),yxuxuv=−−−−则方程33()3()3xuxuvxx−−−−=−，即233(3)0uxuuv−+，即3134vuu−+对任意0u恒成立，于

是3134vuu−+的最大值，令31()3(0),4guuuu=−+则233(()3(2)(2)44guuuu=−+=−−+由此知函数()gu在（0，2）上为增函数，在(2,)+上为减函数，所以当2u=时，函数()gu取最大值，即为4，于是4v。二、填空题：本大题共5小题，每小题5

分，共25分．把答案写在答题卡相应位置上．11．若{Unn=是小于9的正整数}，{AnUn=是奇数}，{BnUn=是3的倍数}，则()UAB=ð．【答案】2,4,8解法1{1,2,3,4,5,6,7,8}U=，则{1,3,5,7},{3

,6,9},AB==所以{1,3,5,7,9}AB=，所以(){2,4,8}UAB=ð解析2{1,2,3,4,5,6,7,8}U=，而(){|(){2,4,8}UUABnUnAB==痧12．记3()log(1)fxx=

+的反函数为1()yfx−=，则方程1()8fx−=的解x=．【答案】2解法1由3()log(1)yfxx==+，得13yx−=，即1()31fxx−=−，于是由318x−=，解得2x=解法2因为1()8fx−=，所以3(8)log(81)2xf==+=13．5个人站成一排，其中甲、乙两人不相

邻的排法有种（用数字作答）．【答案】72解析可恩两个步骤完成，第一步骤先排除甲乙外的其他三人，有33A种，第二步将甲乙二人插入前人形成的四个空隙中，有24A种，则甲、乙两不相邻的排法有3234AA72=种。14．从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量如下（单位：克）12512412

1123127则该样本标准差s=（克）（用数字作答）．【答案】2解析因为样本平均数1(125124121123127)1245x=++++=，则样本方差2222221(1313)4,5sO=++++=所以2

s=15．已知椭圆22221(0)xyabab+=的左、右焦点分别为12(,0),(,0)FcFc−，若椭圆上存在一点P使1221sinsinacPFFPFF=，则该椭圆的离心率的取值范围为．【答案】()21

,1−.解法1，因为在12PFF中，由正弦定理得211221sinsinPFPFPFFPFF=则由已知，得1211acPFPF=，即12aPFcPF=设点00(,)xy由焦点半径公式，得1020,PFaexPFaex=+=−则00()(

)aaexcaex+=−记得0()(1)()(1)acaaexecaee−−==−+由椭圆的几何性质知0(1)(1)aexaaee−−−+则，整理得2210,ee+−解得2121(0,1)eee−−−或，又，故

椭圆的离心率(21,1)e−解法2由解析1知12cPFPFa=由椭圆的定义知w.w.w.k.s.5.u.c.o.m212222222caPFPFaPFPFaPFaca+=+==+则即，由椭圆的几何性质知22222,,

20,aPFacacccaca+++−+则既所以2210,ee+−以下同解析1.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题满分13分，（Ⅰ）小

问7分，（Ⅱ）小问6分．）设函数22()(sincos)2cos(0)fxxxx=++的最小正周期为23．（Ⅰ）求的最小正周期．（Ⅱ）若函数()ygx=的图像是由()yfx=的图像向右平移2个单位长度得到，求()ygx=

的单调增区间．解：（Ⅰ）2222()(sincos)2cossincossin212cos2fxxxxxxxx=++=++++sin2cos222sin(2)24xxx=++=++依题意得2223=，故的最小正周期为32.（Ⅱ）依题意得:5()2sin3()

22sin(3)2244gxxx=−++=−+由5232()242kxkkZ−−+≤≤解得227()34312kxkkZ++≤≤\故()ygx=的单调增区间为:227[,]()34312kkkZ++

17．（本小题满分13分，（Ⅰ）问7分，（Ⅱ）问6分）某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为56和45，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（Ⅰ）至少有1株成

活的概率；（Ⅱ）两种大树各成活1株的概率．解:设kA表示第k株甲种大树成活,1,2k=;设lB表示第l株乙种大树成活,1,2l=则1212,,,AABB独立,且121254()(),()()65PAPAPBPB====（Ⅰ）至少有1株成活的概率为:

2212121212118991()1()()()()1()()65900PAABBPAPAPBPB−=−=−=（Ⅱ）由独立重复试验中事件发生的概率公式知,两种大树各成活1株的概率为:1122514110846655362545PCC===18．（本小

题满分13分，（Ⅰ）问7分，（Ⅱ）问6分）如题（18）图，在五面体ABCDEF中，AB∥DC，2BAD=，2CDAD==，四边形ABFE为平行四边形，FA⊥平面ABCD，3,7FCED==．求：（Ⅰ）直线AB到平面EFCD的距离；（Ⅱ）二面角FADE−−的平面

角的正切值．解法一:（Ⅰ）,ABDCDC平面EFCD,AB到面EFCD的距离等于点A到面EFCD的距离，过点A作AGFD⊥于G，因2BAD=AB∥DC，故CDAD⊥；又FA⊥平面ABCD，由三垂线定理可知，CDFD⊥，故CDFAD⊥面，知CDAG⊥，所以AG

为所求直线AB到面EFCD的距离。在RtABC△中，22945FDFCCD=−=−=由FA⊥平面ABCD，得FA⊥AD，从而在Rt△FAD中，22541FAFDAD=−=−=22555FAADAGFD===。即直线AB到平面EFCD

的距离为255。（Ⅱ）由己知，FA⊥平面ABCD，得FA⊥AD，又由2BAD=，知ADAB⊥，故AD⊥平面ABFEDAAE⊥，所以，FAE为二面角FADE−−的平面角，记为.在RtAED△中,2

2743AEEDAD=−=−=,由ABCD得,FEBA,从而2AFE=在RtAEF△中,22312FEAEAF=−=−=,故tan2FEFA==所以二面角FADE−−的平面角的正切值为2.解法二:（Ⅰ）如图以A点为坐标原点,,,ABA

DAF的方向为,,xyz的正方向建立空间直角坐标系数,则A(0,0,0)C(2,2,0)D(0,2,0)设00(0,0,)(0)Fzz可得0(2,2,)FCz=−,由||3FC=.即2220223z++=,解得(0,0,1)FAB∥DC，D

C面EFCD,所以直线AB到面EFCD的距离等于点A到面EFCD的距离。设A点在平面EFCD上的射影点为111(,,)Gxyz,则111(,,)AGxyz=因0AGDF=且0AGCD=,而(0,2,1)DF=−(2,0,0)CD=−,此即1112020yzx−+=

−=解得10x=①,知G点在yoz面上,故G点在FD上.GFDF,111(,,1)GFxyz=−−−+故有1112yz=−+②联立①,②解得,24(0,,)55G||AG为直线AB到面EFCD的距

离.而24(0,,)55AG=所以25||5AG=（Ⅱ）因四边形ABFE为平行四边形,则可设00(,0,1)(0)Exx,0(2,1)EDx=−−.由||7ED=得220217x++=,解得02x=−.即(2,0,1)E−.故(2,0,1)AE=−ABCDEFxyzG由(0

,2,0)AD=,(0,0,1)AF=因0ADAE=,0ADAF=,故FAE为二面角FADE−−的平面角，又(2,0,0)EF=,||2EF=,||1AF=,所以||tan2||EFFAEFA==w.w.w.k.s.5.u.c.o.m19．（本小题满分12

分，（Ⅰ）问7分，（Ⅱ）问5分）已知2()fxxbxc=++为偶函数，曲线()yfx=过点(2,5)，()()()gxxafx=+．（Ⅰ）求曲线()ygx=有斜率为0的切线，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若当1x=−时函数()ygx=取得极值，确定()ygx=的单调区间．解:（Ⅰ

）2()fxxbxc=++为偶函数,故()()fxfx−=即有22()()xbxcxbxc−+−+=++解得0b=又曲线()yfx=过点(2,5),得225,c+=有1c=32()()()gxxafxxaxxa=

+=+++从而'2()321gxxax=++,曲线()ygx=有斜率为0的切线，故有'()0gx=有实数解.即23210xax++=有实数解.此时有24120a=−≥解得w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(),33,a−

−+所以实数a的取值范围:(),33,a−−+（Ⅱ）因1x=−时函数()ygx=取得极值,故有'(1)0g−=即3210a−+=,解得2a=又'2()341(31)(1)gxxxxx=++=++令'()0gx=,得1211

,3xx=−=−当(,1)x−−时,'()0gx,故()gx在(,1)−−上为增函数当1(1,)3x−−时,'()0gx,故()gx在1(1,)3−−上为减函数当1(,)3x−+时,'()0gx,故()gx在1(,)3−+

上为增函数20．（本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）已知以原点O为中心的双曲线的一条准线方程为55x=，离心率5e=．（Ⅰ）求该双曲线的方程；（Ⅱ）如题（20）图，点A的坐标为(5,0)−，B是圆22(5)1xy+−=上的点，点M在双曲线右支上，求MAMB+的最

小值，并求此时M点的坐标；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m解：（Ⅰ）由题意可知，双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线的方程为22221(0,0)xyabab−=，设22cab=+，由准线方程为55x=得255ac=，由5e=得5ca=解得1,5ac==从而2b=，该双曲

线的方程为2214yx−=；（Ⅱ）设点D的坐标为(5,0)，则点A、D为双曲线的焦点，||||22MAMDa−==所以||||2||||2||MAMBMBMDBD+=+++≥，B是圆22(5)1xy+−=上的点，其圆心为(0,5)C，半径为1，故||||

1101BDCD−=+≥从而||||2||101MAMBBD+++≥≥当,MB在线段CD上时取等号，此时||||MAMB+的最小值为101+直线CD的方程为5yx=−+，因点M在双曲线右支上，故0x由方程组22445xyyx

−==−+解得5424542,33xy−+−==所以M点的坐标为5424542(,)33−+−；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m21．（本小题满分12分，（Ⅰ）问3分，（Ⅱ）问4分，（Ⅲ）问5分）已知112211,4,4,,nnnnnnaaaaaabnNa+++===+=．（

Ⅰ）求123,,bbb的值；（Ⅱ）设1,nnnncbbS+=为数列nc的前n项和，求证：17nSn；（Ⅲ）求证：22116417nnnbb−−．解：（Ⅰ）2344,17,72aaa===，所以12317724.,417bbb===（Ⅱ）由214nnnaaa++=+得2114n

nnnaaaa+++=+即114nnbb+=+所以当2n≥时，4nb于是1121,17,4117(2)nnnncbbcbbbn+====+≥所以1217nnScccn=+++w.w.w.k.s.5.

u.c.o.m（Ⅲ）当1n=时，结论21117464bb−=成立当2n≥时，有11111111|44|||||17nnnnnnnnnnbbbbbbbbbb−+−−−−−=+−−=−≤12212121111||||(2)17176417nnnnbbbbn−−−−−−≤≤≤≥所以2

121221nnnnnnnnbbbbbbbb+++−−−+−++−≤1122*211()(1)11111111717()()()()1417171746417117nnnnnnnN−−−−−+++=−