【文档说明】2022高考人教版数学一轮：练案【77理】【67文】 参数方程含解析.docx，共(7)页，44.163 KB，由envi的店铺上传

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[练案77理][练案67文]第二讲参数方程1．(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为x＝－8＋t，y＝t2(t为参数)，曲线C的参数方程为x＝2s2y＝22s(s为参数)．设P为曲线C上的动点

，求点P到直线l的距离的最小值．[解析]直线l的普通方程为x－2y＋8＝0.因为点P在曲线C上，设点P(2s2,22s)，从而点P到直线l的距离d＝|2s2－42s＋8|12＋(－2)2＝2(s－2)2＋45.当s＝2时，dmin＝455.因此当点P的坐

标为(4,4)时，曲线C上的点P到直线l的距离取到最小值455.2．(2020·宁夏模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝5cosα－1y＝5sinα＋2(α为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐

标方程为ρcosθ＋π4＝322.(1)求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；(2)设M为曲线C上的动点，求点M到直线l的距离的最大值．[解析](1)曲线C的普通方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5.因为ρcosθ＋π4＝322.所以22ρ(cos

θ－sinθ)＝322，所以直线l的直角坐标方程为x－y－3＝0.(2)设M(5cosα－1，5sinα＋2)，则点M到直线l的距离d＝|5cosα－5sinα－6|2＝10cosα＋π4－62.所以dmax＝32

＋5.另解：∵圆心C(－1,2)到直线l的距离为d1＝|－1－2－3|2＝32，∴点M到直线l的距离的最大值为d1＋r＝32＋5.3．(2021·江西赣州十五县市期中联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程x＝2＋32ty＝1＋12t(t为参数)，以坐标原点为极

点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ.(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)已知点P(2,1)，曲线C1与C2的交点为A，B，求||PA|－|PB||的值．[解析](1)将曲线C1的参数方程x＝2＋32ty＝1＋12t(t为参

数)，消参得曲线C的普通方程为x－3y－2＋3＝0.由ρ＝4cosθ得ρ2＝4ρcosθ，将ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x代入得C2：(x－2)2＋y2＝4.(2)将曲线C1的参数方程x＝2＋32ty＝1＋12t(t为参数)，代入(x－2)2＋y2＝4整理得：t2＋t－

3＝0设A，B对应的参数分别为t1t2，则t1＋t2＝－1，t1t2＝－3由(1)知C2是以(2,0)圆心，半径为2的圆，且P(2,1)在圆内，所以t1，t2异号，所以||PA|－|PB||＝|t1＋t2|＝1.4．(2021·湖南邵阳联考)在平面直角坐标系xOy中，曲

线C的参数方程为x＝1＋2cosθy＝1＋2sinθ(θ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ＋π4＝1.(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)设曲线C

与直线l交于P，Q两点，求|OP|·|OQ|的值．[解析](1)由x＝1＋2cosθy＝1＋2sinθ(θ为参数)，消去参数得(x－1)2＋(y－1)2＝2.∴曲线C的普通方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2

.由2ρcosθ＋π4＝1，得ρcosθ－ρsinθ＝1，而ρcosθ＝x，ρsinθ＝y.∴直线l的直角坐标方程为x－y－1＝0.(2)化曲线C的方程为极坐标方程：ρ＝2cosθ＋2sinθ.联立直线l的极坐标方程ρcosθ－ρsinθ＝1.消去θ得：

ρ4－8ρ2＋4＝0.设P，Q两点所对应的极径分别为ρ1，ρ2，则(ρ1ρ2)2＝4.∴|OP|·|OQ|＝|ρ1ρ2|＝2.5．(2021·福建永安一中期中)已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴非负半轴重

合，直线l的参数方程为：x＝－1＋tcosαy＝tsinα(t为参数，α∈[0，π)]，曲线C的极坐标方程为：ρ＝4cosθ.(1)写出曲线C的直角坐标方程；(2)设直线l与曲线C相交于P，Q两点，若|PQ|＝7，

求直线l的斜率．[解析](1)ρ＝4cosθ，∴ρ2＝4ρcosθ，由ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，得x2＋y2＝4x.所以曲线C的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4.(2)把x＝－1＋tcosαy＝tsinα代入x2

＋y2＝4x，整理得t2－6tcosα＋5＝0设其两根分别为t1，t2，则t1＋t2＝6cosα，t1t2＝5，∴|PQ|＝|t1－t2|＝(t1＋t2)2－4t1t2＝36cos2α－20＝7得cosα＝±32，α＝π6或5π6，所以

直线l的斜率为±33.6．(2020·安徽省合肥市质检)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝2cosαy＝2sinα(α为参数，α∈[0，π])在以直角坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线E的方程为ρ2(1＋3sin2θ)＝4.

(1)求曲线C的普通方程和曲线E的直角坐标方程；(2)若直线l：x＝t分别交曲线C、曲线E于点A，B，求△AOB的面积的最大值．[解析](1)由x＝2cosαy＝2sinα消去参数α，可得曲线C的普通方程为x2＋y2＝4(y≥0)．

由ρ2(1＋3sin2θ)＝4.可得ρ2＋3(ρsinθ)2＝4.则x2＋y2＋3y2＝4，则曲线E的直角坐标方程为x24＋y2＝1.(2)设A(2cosα，2sinα)，α∈[0，π]，其中t＝2cosα，则B(2cosα，±sinα)．要使得△AOB面积的最大，则B(2cosα，－sinα

)．∴S△AOB＝12|AB|·|xB|＝12×3sinα×|2cosα|＝32|sin2α|.∵2α∈[0,2π]，∴sin2α∈[－1,1]．当α＝π4或3π4，即t＝±2时，△AOB的面积取最大值32.7．(2021·四川成都诊断)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的

参数方程为x＝cosθ，y＝sinθ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．[解析](1)⊙O的直角坐标方程

为x2＋y2＝1.当α＝π2时，l与⊙O交于两点．当α≠π2时，记tanα＝k，则l的方程为y＝kx－2.l与⊙O交于两点当且仅当21＋k2<1，解得k<－1或k>1，即α∈π4，π2或α∈π2，3π4，综上，α的取值范围是π4，3π4

.(2)l的参数方程为x＝tcosα，y＝－2＋tsinαt为参数，π4<α<3π4.设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tp＝tA＋tB2，且tA、tB满足t2－22tsinα＋1＝0.于是tA＋tB＝22sinα，tP＝2

sinα.又点P的坐标(x，y)满足x＝tPcosα，y＝－2＋tPsinα.所以点P的轨迹的参数方程是x＝22sin2α，y＝－22－22cos2αα为参数，π4<α<3π4.8．(2019·河北唐山一模)在极

坐标系中，曲线C的方程为ρ2－22ρsinθ＋π4－4＝0，以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系xOy，直线l：x＝tcosαy＝tsinα(t为参数，0≤α<π)．(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)设直线l与曲线C相交于A，

B两点，求||OA|－|OB||的取值范围．[解析](1)由ρ2－22ρsinθ＋π4－4＝0得，ρ2－2ρcosθ－2ρsinθ－4＝0.所以x2＋y2－2x－2y－4＝0.曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝6.(2)将直线l的参数方程代入x2＋y2－2x－2y－

4＝0并整理得，t2－2(sinα＋cosα)t－4＝0，t1＋t2＝2(sinα＋cosα)，t1t2＝－4<0.||OA|－|OB||＝||t1|－|t2||＝|t1＋t2|＝|2(sinα＋co

sα)|＝22sinα＋π4因为0≤α<π，所以π4≤α＋π4<5π4，从而有－2<22sinα＋π4≤22.所以||OA|－|OB|的取值范围是[0,22]．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.co

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