【文档说明】第55讲、抛物线的定义和性质-原卷版 -2023届高考数学二轮复习经典结论微专题.docx，共(11)页，642.679 KB，由envi的店铺上传

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第55讲、抛物线的定义和性质通关二、扡物线焦点弦性质已知𝐴𝐵是抛物线𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝>0)的焦点弦,𝐹为抛物线的焦点,𝐴𝐶,𝐵𝐷垂直于抛物线的准线于𝐶,𝐷两点,如图,记直线𝐴𝐵的倾斜角为𝜃,𝐴(𝑥1,𝑦1),𝐵

(𝑥2,𝑦2),则有以下结论:(1)𝑥1⋅𝑥2=𝑝24;𝑦1⋅𝑦2=−𝑝2(2)|𝐴𝐵|=𝑥1+𝑥2+𝑝=2𝑝sin2⁡𝜃;(3)𝑆△𝐴𝑂𝐵=𝑝22sin⁡𝜃;(

4)1|𝐴𝐹|+1|𝐵𝐹|=2𝑝;(5)以𝐴𝐹(𝐵𝐹)为直径的圆与𝑦轴相切;(6)以𝐴𝐵为直径的圆与抛物线准线相切;(7)𝐴,𝑂,𝐷(𝐵,𝑂,𝐶)三点共线.【证明】(1)因为𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝

>0)的焦点𝐹(𝑝2,0),设直线方程为𝑦=𝑘(𝑥−𝑝2)(𝑘≠0)由𝑝24.当𝑘不存在时,直线方程为𝑥=𝑝2,这时𝑦1=𝑝,𝑦2=−𝑝,则𝑦1⋅𝑦2=−𝑝2,𝑥1⋅𝑥2=𝑝24.因此,总有𝑦1⋅𝑦2=−𝑝2,𝑥1⋅𝑥2=𝑝24成立.(2

)由抛物线定义,|𝐴𝐹|等于点𝐴到准线𝑥=−𝑝2的距离,所以|𝐴𝐹|=𝑥1+𝑝2.同理,|𝐵𝐹|=𝑥2+𝑝2.所以|𝐴𝐵|=|𝐴𝐹|+|𝐵𝐹|=𝑥1+𝑥2+𝑝(

2)又因为𝑦=𝑘(𝑥−𝑝2),所以𝑥=1𝑘𝑦+𝑝2,所以𝑥1+𝑥2=1𝑘(𝑦1+𝑦2)+𝑝.由方程(1)知𝑦1+𝑦2=2𝑝𝑘,所以𝑥1+𝑥2=2𝑝𝑘2+𝑝(3),将(3)代入(2)得|𝐴𝐵|=2𝑝𝑘2+2𝑝=2𝑝(1+1�

�2)=2𝑝(1+1tan2⁡𝜃)=2𝑝sin2⁡𝜃.当𝑘不存在时,𝜃=𝜋2,|𝐴𝐵|=2𝑝=2𝑝sin2⁡𝜃.(3)如图,𝑆△𝐴𝑂𝐵=𝑆△𝐴𝑂𝐹+𝑆△𝐵𝑂𝐹=12|𝑂𝐹|⋅|𝐴𝐹|⋅sin⁡(𝜋−𝜃)+12|𝑂𝐹|⋅|

𝐵𝐹|⋅sin⁡𝜃=12|𝑂𝐹|⋅sin⁡𝜃⋅(|𝐴𝐹|+|𝐵𝐹|)=12⋅|𝑂𝐹|⋅|𝐴𝐵|⋅sin⁡𝜃=12⋅𝑝2⋅2𝑝sin2⁡𝜃⋅sin⁡𝜃=𝑝22sin⁡𝜃⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡(4)−1|𝐴𝐹|+1|𝐵

𝐹|=1𝑥1+𝑝2+1𝑥2+𝑝2=𝑥1+𝑥2+𝑝𝑥1𝑥2+𝑝2(𝑥1+𝑥2)+𝑝24,又因为𝑥1⋅𝑥2=𝑝24,代人上式得1|𝐴𝐹|+1|𝐵𝐹|=2𝑝.(5)设𝐴

𝐹的中点为𝐸(𝑥𝐸,𝑦𝐸),则𝑥𝐸=𝑥1+𝑝22=𝑥12+𝑝4,|𝐴𝐹|=𝑥1+𝑝2,故点𝐸到𝑦轴的距离𝑑𝐸−𝑦=12|𝐴𝐹|,故以𝐴𝐹为直径的圆与𝑦轴相切.(6)设𝐴𝐵

的中点为𝑀(𝑥0,𝑦0),分别过𝐴,𝑀,𝐵作准线的垂线,垂足为𝐶,𝑁,𝐷,则|𝑀𝑁|=12(|𝐴𝐶|+|𝐵𝐷|)=12(|𝐴𝐹|+|𝐵𝐹|)=12|𝐴𝐵|.所以以𝐴𝐵为直径的圆与准线相切.(7)由题意

知,𝐴(𝑥1,𝑦1),𝐷(−𝑝2,𝑦2),因为𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−𝑝2,𝑦2),𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=(𝑥1,𝑦2)=(𝑦122𝑝,𝑦1),结合𝑦1𝑦2=−𝑝2,有𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−𝑝2,−𝑝2𝑦1)

=−𝑝2𝑦1(𝑦122𝑝,𝑦1)=−𝑝2𝑦12𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗,所以𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗//𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗又𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗与𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗都经过同一点𝑂,所以𝐴,𝑂,𝐷三点共线结论

一、标准方程对于拋物线𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝>0),焦点坐标𝐹(𝑝2,0),准线方程𝑥=−𝑝2;对于拋物线𝑦2=−2𝑝𝑥(𝑝>0),焦点坐标𝐹(−𝑝2,0),准线方程𝑥=𝑝2;对于抛物线𝑥2=2𝑝𝑦(𝑝>

0),焦点坐标𝐹(0,𝑝2),准线方程𝑦=−𝑝2;对于抛物线𝑥2=−2𝑝𝑦(𝑝>0),焦点坐标𝐹(0,−𝑝2),准线方程𝑦=𝑝2.【例1】抛物线𝑦=𝑎𝑥2(𝑎>0)的焦点坐标为（）A.(𝑎,0)B.(12𝑎,0)C.(0,14𝑎)D.(0,1

8𝑎)【变式】拋物线𝑦=4𝑥2的焦点坐标为（）A.(0,1)B.(1,0)C.(0,116)D.(116,0)结论二、抛物线焦半径抛物线上任意一点𝑃(𝑥0,𝑦0)到焦点𝐹的距离称为焦半径.有以下结论(

𝑝>0):(1)对于拋物线𝑦2=2𝑝𝑥,|𝑃𝐹|=𝑝2+𝑥0;(2)对于拋物线𝑦2=−2𝑝𝑥,|𝑃𝐹|=𝑝2−𝑥0;(3)对于抛物线𝑥2=2𝑝𝑦,|𝑃𝐹|=𝑝2+𝑦0;(4)

对于拋物线𝑥2=−2𝑝𝑦,|𝑃𝐹|=𝑝2−𝑦0【例2】若抛物线𝑦2=4𝑥上的点𝑀到焦点的距离为10,则𝑀点到𝑦轴的距离是（）A.6B.8C.9D.10【变式】如果𝑃1,𝑃2,⋯,𝑃10是抛物线𝐶:𝑦2=4𝑥上的点,它们

的横坐标依次为𝑥1,𝑥2,⋅⋅,𝑥10,𝐹是抛物线𝐶的焦点,若𝑥1+𝑥2+⋯+𝑥10=10,则|𝑃1𝐹|+|𝑃2𝐹|+⋯+|𝑃10𝐹|=______.结论三、抛物线定义拋物线𝑦

2=2𝑝𝑥(𝑝>0)上点𝑀到焦点𝐹的距离等于其到准线的距离【例3】𝑃是抛物线𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝>0)上的点,𝐹是抛物线的焦点,则以|𝑃𝐹|为直径的圆与𝑦轴位置关系为（）A.相交B.相离C.相切D.不确定【变式】过抛物线𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝>0)的焦点𝐹作一直线𝑙与

抛物线交于𝑃,𝑄两点,作𝑃𝑃1,𝑄𝑄1垂直于抛物线的准线,垂足分别是𝑃1,𝑄1,已知线段𝑃𝐹,𝑄𝐹的长度分别是𝑎,𝑏,那么|𝑃1𝑄1|=_________.结论四、𝒑的几何意义已知拋物线𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝>0),焦点到顶点的距离为𝑝2

,焦点到准线的距离为𝑝.【例】4抛物线𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝>0)上的动点𝑄到其焦点的距离的最小值为1,则𝑝=（）A.12B.1C.2D.4【变式】已知𝐹是抛物线𝐶:𝑦2=8𝑥的焦点,𝑀是𝐶上一点,𝐹𝑀的延长线交𝑦轴于点𝑁.若𝑀为𝐹𝑁的中点,则|

𝐹𝑁|=_________.结论五、抛物线的通径已知AB是过抛物线()220ypxp=的焦点的弦，设直线AB的倾斜角为，当ABx⊥轴(=90)时，称弦AB为通径.通径是过焦点的所有弦中最短的，其长度为2p.【

例5】抛物线24xy=−与过焦点且垂直于对称轴的直线交于,AB两点，则（）.A.8,4AOBABS==B.8,2AOBABS==C.4,2AOBABS==D.4,4AOBABS==【变式】已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于,AB两点，1

2AB=，P为C的准线上一点，则ABP的面积为（）.A.18B.24C.36D.48结论六、抛物线最值1.将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；2.将抛物线上的点到焦点的距离

转化为该点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中，垂线段最短”解决.【例6】已知点P是抛物线24yx=上的动点，抛物线的焦点为F，点()4,1A，则PAPF+的最小值是（）.A.72B.4C.92D.5【变式】已知P是

抛物线24yx=上的一个动点，则点P到直线1:34120lxy−+=和2:20lx+=的距离之和的最小值是（）.A.1B.2C.3D.4结论七、定点弦横纵坐标乘积为定值已知直线l过定点(),0Mm，与抛物线(

)220ypxp=交于,AB两点，若()11,Axy，()22,Bxy，则212xxm=，122yypm=−，当2pm=时，2124pxx=，212yyp=−.【例7】如图，抛物线21:2Cypx=，圆2222:24ppCxy−+=，其中0p

，直线l经过1C的焦点，依次交12,CC于,,,ABCD四点，则ABCD的值为（）.A.2pB.22pC.23pD.24p【变式】过抛物线()2:20Cypxp=的焦点F的直线l与抛物线交于,MN两点，若4MFFN=，则直线l的斜率为（）.A.3

2B.23C.34D.43结论八、焦半径的倾斜角表示1.已知AB是过抛物线()220ypxp=的焦点的弦，F为抛物线的焦点，A在x轴下方，则1cospAF=+，1cospBF=−(为直线AB的倾斜角)；2.已知AB是过抛物线()220xpyp=的焦点的弦，F为

抛物线的焦点，A在y轴左侧，则1sinpAF=+，1sinpBF=−(为直线AB的倾斜角).【例8】若M是抛物线24yx=上一点，且在x轴上方，F是抛物线的焦点，直线FM的倾斜角为60°，则FM=___

_______.【变式】过抛物线()220xpyp=的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于,AB两点(A在y轴左侧)，则AFFB=__________.结论九、抛物线焦半径比例模型1.已知抛物线()220ypxp=，经过其焦点F的直线交抛物线于,AB两点，直

线AB的倾斜角为，AFFB=，满足：1cos1−=+或21111k−=++(其中tank=)；2.已知抛物线()220xpyp=，经过其焦点F的直线交抛物线于,AB两点，直线AB的倾斜角为，AFFB=，满足：1sin1−=+或211111k−=++(其中

tank=).【例9】已知F是抛物线2:4Cyx=的焦点，过F且斜率为1的直线交C于,AB两点，设FAFB，则FA与FB的比值等于__________.【变式】过抛物线()220xpyp=的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于,AB两点(A在y轴左

侧)，AFFB=__________.结论十、焦点弦长的倾斜角表示1.已知AB是过抛物线()220ypxp=的焦点的弦，F为抛物线的焦点，则1222sinpABxxp=++=（为直线AB的倾斜角）；2.已知AB是过抛物线()220xpyp=的焦点

的弦，F为抛物线的焦点，则1222cospAByyp=++=（为直线AB的倾斜角）.【例10】斜率为3的直线过抛物线24Cyx=：的焦点，且与C交于,AB两点，则AB=__________.【变式】过抛物线()220ypxp=的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于,AB

两点，若线段AB的长为8，则p=__________.结论十一、焦点三角形面积已知AB是过抛物线()220ypxp=的焦点的弦，F为抛物线的焦点，则22sinAOBpS=(为直线AB的倾斜角).【例11】设F为抛物线2:3Cy

x=的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于,AB两点，O为坐标原点，则OAB的面积为（）.A.334B.938C.6332D.94【变式】过抛物线24yx=的焦点F的直线交抛物线于,AB两点(A在第一象限)，O为坐标原点，若OAB的面积为22，则AFBF=的值为（）.

A.3+22B.322C.322−D.21结论十二、焦点弦与准线构造梯形面积已知AB是过抛物线()220ypxp=的焦点的弦，过,AB分别作准线l的垂线，垂足分别为,MN，则四边形AMNB的面积为232sinp(为直线AB的倾斜角).【例12】已知

过抛物线2:4Cyx=的焦点F且倾斜角为60°的直线交抛物线于,AB两点，过,AB分别作准线l的垂线，垂足分别为,MN，则四边AMNB的面积为（）.A.833B.6433C.12839D.6439【变式】已知过抛物线

2:4Cyx=的焦点F的直线交抛物线于,AB两点，过,AB分别作准线l的垂线，垂足分别为,MN，若8AB=，则四边AMNB的面积为__________.结论十三、焦半径倒数之和为定值已知AB是过抛物线()220ypxp=的焦点的弦，F为抛物线的焦点，则112AF

BFp+=.【例13】过抛物线2:4Cyx=的焦点F作一直线交抛物线于,PQ两点，若线段PF与QF的长分别是,pq，则11pq+=__________.【变式】已知以F为焦点的抛物线2:4Cyx=上的两点,AB满足3AFFB=，则弦AB的中点到准线的距离为___

______.结论十四、抛物线的中点弦问题1.直线l与抛物线()220ypxp=相交于,AB两点，若()00,Mxy为AB的中点，则0ABkyp=，0ABpky=；2.直线l与抛物线()220xpyp=相交于,AB两点，若()00,Mxy为AB的

中点，则0=ABkpx，0ABxkp=.【例14】已知抛物线24yx=，以()1,1为中点作抛物线的弦，则这条弦所在直线的方程为（）.A.210xy−+=B.210xy−−=C.230xy+−=D.230xy+−=【变式】已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为()1,0F，

直线l与抛物线C相交于,AB两点.若AB的中点为()2,2，则直线l的方程为_________.结论十五、垂直过定点问题1.直线l与抛物线22(0)ypxp=相交于A，B两点，若OAOB⊥，则l过定点(2,0)p；2.直线l与抛物线22(0)xpyp=相交于A，B两点，若OAOB⊥

，则l过定点(0,2)p.【例15】抛物线22(0)ypxp=的弦PQ的端点与顶点O的连线成直角时，证明直线PQ过定点(2,0)p；反之，抛物线22(0)ypxp=的弦PQ过定点(2,0)p时，证明OPOQ⊥.【变式】直线yxb=+交抛物线212yx=

于A，B两点，O为抛物线的顶点，OAOB⊥，则b的值为__________.