【文档说明】《2023届高三物理一轮复习重难点逐个突破》专题54带电粒子(体)在电场中的运动之圆周运动（解析版）.docx，共(27)页，1.651 MB，由envi的店铺上传

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专题54带电粒子(体)在电场中的运动之圆周运动考点一仅在电场力作用下的匀速圆周运动（1-4T）考点二电场力和重力作用下的匀速圆周运动（5-11T）考点三径向电场中的匀速圆周运动（12-16T）考点四利用“等效重力”法处理带电体在复合场中的圆周运动（17-26T）考点

一仅在电场力作用下的匀速圆周运动1．某原子电离后其核外只有一个电子，若该电子在核的静电力作用下绕核做匀速圆周运动，那么电子运动（）A．半径越大，加速度越大B．半径越小，周期越大C．半径越大，角速度越小D．

半径越小，线速度越小【答案】C【解析】根据库仑定律求出原子核与核外电子的库仑力．根据原子核对电子的库仑力提供向心力，由牛顿第二定律求出角速度，加速度，周期，线速度进行比较．根据原子核对电子的库仑力提供向心力，由牛顿第二定律得=m

a=m=mω2r=，可得a=T=ω=v=A、半径越大，加速度越小，故A错误；B、半径越小，周期越小，故B错误；C、半径越大，角速度越小，故C正确；D、半径越小，线速度越大，故D错误．2．如图所示，真空中A、B两点相距6r，在A

、B两点分别固定带电荷量均为＋Q的点电荷，AB连线的中点为O。质量为m、带电荷量为-q的粒子恰好能绕O点做匀速圆周运动，运动的轨迹半径为4r，不计粒子的重力，则粒子做圆周运动的速度大小为（）A．45√𝑘𝑄𝑞5𝑟𝑚B．45√2𝑘𝑄𝑞5𝑟𝑚C．25√�

�𝑄𝑞5𝑟𝑚D．25√2𝑘𝑄𝑞5𝑟𝑚【答案】B【解析】由题意可知，负点电荷将绕O点在AB的中垂面里做匀速圆周运动，其受力图如图所示其向心力为𝐹n=2𝐹𝐸cos𝜃=𝑚𝑣24𝑟根据库

仑定律得𝐹𝐸=𝑘𝑄𝑞(3𝑟)2+(4𝑟)2根据几何关系得cos𝜃=4𝑟√(3𝑟)2+(4𝑟)2解得𝑣=45√2𝑘𝑄𝑞5𝑟𝑚3．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，真空中固定着两个等量同种点电荷A、B，AB连线的中点

为O。在过O点并且垂直于AB连线的平面内，a、b两个相同的带电粒子，仅在电场力的作用下，以O点为圆心做半径不同的匀速圆周运动。已知a的半径小于b的半径，不计两个粒子之间的相互作用，则下列说法正确的是（）A．a粒子的动能一定比b

粒子的动能小B．a粒子的动能一定比b粒子的动能大C．a粒子的电势能一定比b粒子的电势能小D．a粒子的电势能一定比b粒子的电势能大【答案】C【解析】AB．a、b做匀速圆周运动，向心力为𝐹𝑎=𝑚𝑣𝑎2𝑟𝑎𝐹𝑏=𝑚𝑣𝑏2𝑟𝑏同时𝐹𝑎=2𝐹1cos𝛼𝐹�

�=2𝐹2cos𝛽a、b相同粒子，a离场源电荷近，根据库仑力公式𝐹=𝑘𝑄𝑞𝑟2可知𝐹1>𝐹2但𝛼>𝛽可得cos𝛼<cos𝛽所以不确定𝐹𝑎=2𝐹1cos𝛼与𝐹𝑏=2𝐹2cos𝛽的大小，又𝐸k𝑎=12𝑚�

�𝑎2=12𝐹𝑎𝑟𝑎𝐸k𝑏=12𝑚𝑣𝑏2=12𝐹𝑏𝑟𝑏它们的大小无法确定，AB错误；CD．以A、B为正电荷为正电荷为例分析，如图所示则a、b为负电荷，因为𝜑=𝐸p𝑞𝑞为负电，则𝜑与𝐸p成反比，由电场线方向可知𝜑𝑎>𝜑𝑏沿

电场线方向电势降低，则𝐸p𝑎<𝐸p𝑎D错误，C正确。4．（2022·河北·高三学业考试）(多选)如图所示，真空空间中菱形区域ABCD的顶点B、D处分别固定有两个相同的点电荷，电荷量为+𝑄，若在A处放置一点电荷，C处的电场强度恰好为零。已知菱形的边长为a，∠𝐷𝐴𝐵=60°，不计

点电荷的重力。下列说法正确的是（）A．在A处放置的点电荷的电荷量大小为|𝑄𝐴|=3√3𝑄B．若将A处的点电荷由静止释放，该电荷将做加速直线运动C．若将A处的点电荷以某一初速度释放，该电荷可能做匀速圆周运动D．若将A处的点电荷以某一初速度释放，该电荷在A、C之间做往复直

线运动【答案】AC【解析】A．如图所示，B、D两处的点电荷在C处产生的合场强大小𝐸=2𝑘𝑄𝑎2cos30°=√3𝑘𝑄𝑎2则A处的点电荷在C处产生的场强大小𝐸1=𝐸=𝑘|𝑄𝐴|(√3𝑎)2解得|𝑄𝐴|=3√3𝑄A正确；B．分析可知，A处的点电荷带负电，将A处的点电荷由

静止释放，该电荷在电场力作用下先由A向O做加速直线运动，再由O向C做减速直线运动，该电荷在A、C之间做往复直线运动，B错误；C．若将A处的点电荷以某一垂直菱形ABCD所在平面的初速度释放，受到电场力指

向BD中点，在电场力作用下，该电荷可能以O点为圆心做匀速圆周运动，C正确；D．将A处的点电荷以某一初速度释放，如果初速度方向与A、C连线不共线，该电荷将做曲线运动，如果初速度方向与A、C连线共线，该电荷做往复直线运动的范围超过A、C之间，D错误。故选AC。考点二电场力和重力作用

下的匀速圆周运动5．（2022·全国·高三课时练习）如图所示，竖直向上的匀强电场中固定一点电荷，一带电小球（可视为质点）可绕该点电荷在竖直面内做匀速圆周运动，a、b是运动轨迹上的最高点与最低点，两点电场强度分别为�

�𝑎、𝐸𝑏，则（）A．小球带正电，𝐸𝑎>𝐸𝑏B．小球带正电，𝐸𝑎<𝐸𝑏C．小球带负电，𝐸𝑎>𝐸𝑏D．小球带负电，𝐸𝑎<𝐸𝑏【答案】B【解析】小球做匀速圆周运动，则匀强电场的电场力和小球所受重力平衡，所以小球带正电，固定的点电荷带负电，根据电场强度叠加原

理可得𝐸𝑎<𝐸𝑏。故选B。6．如图所示，在某一空间存在竖直向上的匀强电场，场强大小为E，在该空间的A点固定电荷量为Q的负点电荷，现有一带正电的小球以速度v从B点水平飞入电场，已知A、B两点之间的距离为r，下列关于小球运动的描述

正确的是（）A．若场强𝐸=𝑚𝑔𝑞，小球一定做匀速圆周运动B．若场强𝐸=𝑚𝑔𝑞，小球一定做匀速直线运动C．若场强𝐸=𝑘𝑄𝑔𝑟𝑣2，小球一定做匀速圆周运动D．若带正电小球满足𝑞𝑚=𝑔𝐸=𝑚𝑣2𝑘𝑄，小球一定做匀速圆周运动【答案】D【

解析】A．若场强为𝐸=𝑚𝑔𝑞，则带正电的小球有𝑞𝐸=𝑚𝑔若速度v合适，使库仑力恰好作为向心力𝑘𝑄𝑞𝑟2=𝑚𝑣2𝑟小球才能做匀速圆周运动，A错误；B．带正电的小球受到的库仑力一定随距

离不断变化，小球所受合力不可能始终平衡，故小球不可能做匀速直线运动，B错误；CD．要使小球做匀速圆周运动，必须同时满足A解析中的两表达式，可解得𝑞𝑚=𝑟𝑣2𝑘𝑄=𝑔𝐸C错误，D正确。7．如图所示，空间分布着竖直向上的匀强电场E，

现在电场区域内某点O处放置一负点电荷Q，并在以O点为球心的球面上选取a、b、c、d、e、f六点，其中ac连线为球的水平大圆直径，bd连线与电场方向平行。不计空气阻力，则下列说法中正确的是（）A．b、d两点的电势相等B．a、c两点的电场强度相同C．将点电

荷＋q从球面上b点移到f点，电势能减小D．若从a点抛出一带正电小球，小球可能沿a、e、c、f所在圆周作匀速圆周运动【答案】D【解析】A．因为负点电荷Q在b、d两点形成的电势相等，而匀强电场在b、d两点的电势不相等，则叠加后b、d两点的电势不相等，选项A错误；B．由对称性可知，a、c两点的电场强

度大小相同，但是方向不同，选项B错误；C．将点电荷＋q从球面上b点移到f点，负点电荷Q对点电荷+q不做功，但是匀强电场对点电荷+q做负功，则电势能增加，选项C错误；D．若从a点抛出一带正电小球，若满足mg=qE，则带

正电的小球在负点电荷Q的库仑吸引力的作用下能沿a、e、c、f所在圆周作匀速圆周运动，选项D正确；8．（2022·全国·高三课时练习）如图所示，真空中固定的负点电荷所形成的电场中，有一质量为𝑚=2×10−4

kg的带电微粒，在此点电荷正下方与负点电荷的距离为0.3m的水平面内做半径为0.4m的匀速圆周运动，已知负点电荷带电荷量为𝑄=5×10−5C。取重力加速度𝑔=10m/s2，静电力常量𝑘=9.0×109Nm2/C2，则下列判断正确的是（）A．微粒一定带正电，所带电荷量𝑞=59×1

0−8CB．微粒做圆周运动的角速度𝜔=10√3rad/sC．微粒运动的圆周轨道上各点场强大小为1.8×106N/CD．负点电荷对微粒做正功，微粒的电势能不断减少【答案】C【解析】AC．微粒的受力如图所示重力与库仑力的合力提供向心力，故微粒一定带正电，由几何关系

可得负点电荷与微粒之间的距离为𝐿=√0.32+0.42m=0.5m根据点电荷场强公式可知微粒运动的圆周轨道上各点场强大小为𝐸=𝑘𝑄𝐿2=9.0×109×5×10−50.52N/C=1.8×106N/C由图中相似三角形可得𝑚𝑔

ℎ=𝑞𝐸𝐿解得微粒所带电荷量为𝑞=𝑚𝑔𝐿𝐸ℎ=2×10−4×10×0.51.8×106×0.3C=527×10−8CC正确，A错误；B．微粒受到的合力提供向心力，根据图中相似三角形可得𝑚�

�ℎ=𝑚𝜔2𝑅𝑅解得微粒做圆周运动的角速度为𝜔=√𝑔ℎ=√100.3rad/s=10√33rad/sB错误；D．库仑力与速度方向始终垂直，负点电荷对微粒一直不做功，微粒的电势能不变，D错误。9．（2022·江西萍乡·二模）如图所示，两个完全相同的正点电荷A和B，其

连线𝐴𝐵沿竖直方向，中心为O，一重力不可忽略的带电小球C（图中未画出，可视为点电荷）恰能在点电荷A、B形成的电场中做匀速圆周运动，不计空气阻力，小球质量为m，带电荷量为q，速度大小为v，下列说法正确的是（）A．小球可能带正电也可能带负电B．小球做圆周运动的圆心在𝑂�

�之间的某点C．若m不变，q减小，v适当改变时，小球仍可在原轨道做圆周运动D．若换一个质量不同但比荷相同的小球，小球仍可在原轨道做匀速圆周运动【答案】D【解析】A．小球在A、B两点电荷形成的电场中做匀速圆周运动，小球受重力、两点电荷的电场力，电场力竖直

分量与重力平衡，水平分量充当向心力，指向AB连线上的圆心，故小球必定带负电，A错误；B．球在水平面内做匀速圆周运动，圆心一定在AB连线上，由于重力竖直向下，要求电场力一定斜向上指向AB连线，竖直分量与重

力平衡，水平分量充当向心力，A、B点电荷激发的电场线如图所示图中a、b、c三处均有可能是小球做圆周运动路径上的一点，b处对应的轨道圆的圆心在OB之间，B错误；C．若m不变，q减小，原轨道上小球所受电场力减小

，竖直分量减小，不可能与重力平衡，不可能在原轨道做圆周运动，C错误；D．设电场强度方向与竖直方向夹角为θ，则𝐸𝑞cos𝜃=𝑚𝑔𝐸𝑞sin𝜃=𝑚𝑣2𝑟=𝑚𝑔tan𝜃可得𝑣2𝑟=𝑔t

an𝜃若换一个质量不同但比荷相同的小球，则电场力在竖直方向的分力仍可以和重力平衡，电场力在水平方向的分力提供向心力，所以小球仍可在原轨道做匀速圆周运动，D正确。故选D。10．(多选)已知无穷大均匀带电平板在其周围空间激发与平面垂直的匀强电场。现在水平无穷大带电平板上方某点固定一点电荷+𝑄。

一质量为𝑚、带电荷量为𝑞的小球以点电荷𝑄为圆心做匀速圆周运动，其中𝐴𝐶、𝐵𝐷分别为圆周轨迹的水平和竖直直径，重力加速度为𝑔，静电力常量为𝑘，下列说法正确的是（）A．无穷大平板带正电B．圆周上的场强在𝐵点

有最小值，在𝐷点有最大值C．无穷大平板在空间激发的匀强电场强度大小为𝑚𝑔𝑞D．若A、𝐶两点处的场强方向相互垂直，则小球做匀速圆周运动的半径为𝑅=√𝑘𝑄𝑞𝑚𝑔【答案】CD【解析】C．小球受到重力、匀强电场的电场力、点电荷的库仑力，因为小球做

匀速圆周运动，所以库仑力提供向心力，重力和平板对小球的电场力平衡𝑚𝑔=𝑞𝐸无穷大平板在空间激发的匀强电场强度大小为𝐸=𝑚𝑔𝑞故C正确；A．点电荷带正电，故小球带负电，匀强电场对小球的电场力方向竖直向上，故电场强度竖直向下，无穷大平板带负电，故A错误；

B．固定点电荷在B、D两点产生的场强方向分别竖直向下和竖直向上，所以B处场强为两个分场强大小之和，D点为两者大小之差，所以B点场强最大，D点场强最小，故B错误；D．若A、C两点处的场强方向相互垂直，则两分场

强在两点处于水平方向的夹角均为45°，所以𝑘𝑄𝑅2=𝑚𝑔𝑞则𝑅=√𝑘𝑄𝑞𝑚𝑔故D正确。11．如图所示，空间存在竖直向下的匀强电场，电场强度为E，两个固定的等量正点电荷A、B，连线水平相距l，O点的AB的中点。有一质量为m的带负电小球在两电荷连线的中垂

面内做匀速圆周运动，带电小球和电荷A的连线与AB连线夹角为45°，重力加速度为g，静电力常量为k。（1）求带电小球电荷量的大小；（2）若规定O点电势为0，两电荷连线所在水平面为重力势能的零势能面，求小球最大的电势能；（3）若电荷A(B)的电荷量为𝑄=

√2𝐸𝑙22𝑘，求小球做匀速圆周运动的角速度。【答案】（1）𝑚𝑔𝐸；（2）12𝑚𝑔𝑙；（3）2√𝑔𝑙【解析】（1）小球做匀速圆周运动，则有𝑞𝐸=𝑚𝑔可得𝑞=𝑚𝑔𝐸（2）小球在运动过程中，

机械能和电势能之和守恒，因此小球在最低点时电势能𝐸p最大，有12𝑚𝑣2+0=−𝑙2𝑚𝑔𝑙+𝐸p+12𝑚𝑣2可得𝐸p=12𝑚𝑔𝑙（3）固定电荷A对小球的库仑引力为𝐹=𝑘𝑄

𝑞(√22𝑙)2小球所受合力提供向心力，得2𝐹sin45−𝑚𝜔2𝑙2可得𝜔=2√𝑔𝑙考点三径向电场中的匀速圆周运动12．(多选)一径向电场的示意图，电场强度大小可表示为𝐸=𝑎𝑟，a为常量。比荷相同的两粒子在半径r不同的圆轨道运动。不考虑粒子间的相互作用及

重力，则（）A．轨道半径r小的粒子角速度一定小B．电荷量大的粒子的动能一定大C．粒子的速度大小与轨道半径r一定无关D．粒子的速度大小与轨道半径r一定有关【答案】BC【解析】A．根据电场力提供向心力可得𝑎𝑟⋅𝑞=𝑚𝜔2𝑟解得𝜔=√𝑎𝑞𝑚⋅1𝑟可知轨道半径r小的粒子角速度大

，故A错误；BCD．根据电场力提供向心力可得𝑎𝑟⋅𝑞=𝑚𝑣2𝑟解得𝑣=√𝑎𝑞𝑚又𝐸k=12𝑚𝑣2联立可得𝐸k=𝑎𝑞2可知电荷量大的粒子的动能一定大，粒子的速度大小与轨道半径r一定无关，故BC正确，D错误。

13.（2022·全国乙卷·T21）(多选)一种可用于卫星上的带电粒子探测装置，由两个同轴的半圆柱形带电导体极板（半径分别为R和Rd+）和探测器组成，其横截面如图（a）所示，点O为圆心。在截面内，极板间各点的电场强度大小与其到O点的距离成反比，方向指

向O点。4个带正电的同种粒子从极板间通过，到达探测器。不计重力。粒子1、2做圆周运动，圆的圆心为O、半径分别为1r、()212rRrrRd+；粒子3从距O点2r的位置入射并从距O点1r的位置出射；粒子4从距O点1r的位置入射并从距O点2r的位置出射，轨迹如图（b）中虚

线所示。则（）A.粒子3入射时的动能比它出射时的大B.粒子4入射时的动能比它出射时的大C.粒子1入射时的动能小于粒子2入射时的动能D.粒子1入射时的动能大于粒子3入射时的动能【答案】BD【解析】C．在截面内，极板间各点的电

场强度大小与其到O点的距离成反比，可设为Erk=带正电的同种粒子1、2在均匀辐向电场中做匀速圆周运动，则有2111vqEmr=，2222vqEmr=可得2112211222qErqErmv==即粒子1入射时的动能等于粒子2入射时的动能，故C错误；A．粒子3从距O点2r的

位置入射并从距O点1r的位置出射，做向心运动，电场力做正功，则动能增大，粒子3入射时的动能比它出射时的小，故A错误；B．粒子4从距O点1r的位置入射并从距O点2r的位置出射，做离心运动，电场力做负功，则动能减小，粒子4入射时的动能比它出射时的大，

故B正确；D．粒子3做向心运动，有2322vqEmr可得22223111222qErmvmv=粒子1入射时的动能大于粒子3入射时的动能，故D正确；14．（2022·重庆·三模）“电子能量分析器”主要由处于真空中的电子偏转器和探测板组成。电子偏转器的简化剖面结构如图所

示，A、B表示两个同心半圆金属板，两板间存在偏转电场，板A、B的电势分别为𝜑𝐴、𝜑𝐵。电子从偏转器左端的中央M进入，经过偏转电场后到达右端的探测板N。动能不同的电子在偏转电场的作用下到达板N的不同位置，初动能为𝐸k0的电子沿电势为𝜑𝐶的等势面C（

图中虚线）做匀速圆周运动到达板N的正中间。动能为𝐸k1、𝐸k2的电子在偏转电场作用下分别到达板N的左边缘和右边缘，动能改变量分别为|Δ𝐸k左|和|Δ𝐸k右|。忽略电场的边缘效应及电子之间的相互影响。下列判断正确的是（）A．偏转电场是匀强电场B．𝜑𝐴>𝜑𝐵C．𝐸k1>𝐸k2D．

|Δ𝐸k左|>|Δ𝐸k右|【答案】D【解析】AB．由题意可知电子在偏转器中做匀速圆周运动，电场力提供向心力，等势面C上电场强度大小相等，但方向不同，而匀强电场处处大小相等，方向相同，电子受力的方向与电场的方向相反，所以B板的电势较高，故AB错误；C．相较于做匀速圆周运动

的电子，动能为𝐸k1的电子在做近心运动，动能为𝐸k2的电子在做离心运动，可知𝐸k2>𝐸k1故C错误；D．该电场是辐射状电场,内侧的电场线密集，电场强度大，根据𝑈=𝐸𝑑定性分析可知𝑈𝐵𝐶>𝑈𝐶𝐴即𝜑𝐵−𝜑𝐶>𝜑𝐶

−𝜑𝐴所以|Δ𝐸k左|>|Δ𝐸k右|故D正确。故选D。15．（2022·全国·高三课时练习）如图所示，在坐标系𝑥𝑂𝑦的第Ⅰ象限内，分布着电场强度大小为E、沿𝑦轴负方向的匀强电场；第Ⅱ象限内，圆心为O的14圆环状区域存在沿半径方向的辐向

均匀电场，虚线ab为圆环外径和内径间的中心线，中心线上电场强度的大小也恒为E、方向均指向O点，ab圆弧的半径为R。从离子源飘出的正离子束（初速度可忽略），经第Ⅲ象限的电场加速后从x轴上的a点进入辐向电场，并沿中心线ab做圆周运动，之后由b点进入第Ⅰ象限并射到位于x轴的靶上。不计重力和离子间的

相互作用，求：（1）加速电场的电压。（2）离子射到靶上时离O点的距离及其速率与比荷的函数关系。【答案】（1）𝐸𝑅2；（2）√2R，𝑣=√3𝐸𝑞𝑅𝑚【解析】（1）设离子的质量为m，电荷量为q，加速电场的电压为U，加速后速度大小为v0，则有𝑞𝑈=12𝑚𝑣02离子沿中心线ab

做匀速圆周运动，由牛顿运动定律有𝑞𝐸=𝑚𝑣02𝑅解得𝑈=𝐸𝑅2（2）离子在匀强电场中做类平抛运动，设该过程加速度大小为a，时间为t，离子通过匀强电场后射到靶上时离O点的距离为x，速率为v，由牛顿运动定律及运动学规律有𝑞𝐸=𝑚𝑎𝑅=12𝑎

𝑡2𝑥=𝑣0𝑡解得𝑥=√2𝑅设离子通过匀强电场后射到靶上时的速率为v，由动能定理有𝑞𝑈+𝑞𝐸𝑅=12𝑚𝑣2解得𝑣=√3𝐸𝑞𝑅𝑚16．“电子能量分析器”主要由处于真空中的电子偏转器和探测板组成。偏转器

是由两个相互绝缘、半径分别为𝑅A和𝑅B的同轴（即z轴）带电足够长半圆柱面a、b组成。设在𝑅A<𝑟<𝑅B区域内只有径向电场，其场强大小分布为𝐸=𝑘𝑟（k为已知常量）。如图所示，电荷量为𝑒、质量为m的电子以不同的

速度，从偏转器左端正中间小孔P处沿y轴正方向入射，进入偏转电场区域，最后到达偏转器右端的探测板，忽略电场的边缘效应。（1）判断半圆柱面a、b的电势高低，并说明理由；（2）电子入射速度为𝑣0时，恰能在xoy平面内做以O为圆心的匀速圆周

运动到达探测板，则𝑣0大小为多少；（3）若电子以某一速度射入偏转电场区域，速度方向与xoy平面成45°角，且在垂直z轴方向的运动恰好与（2）相同，求电子到达探测板时，z轴方向上的位移大小。【答案】（1）a的电势高于b；（2）√𝑞𝑘𝑚；（3）𝜋𝑅【解析

】（1）电子带负电，若要最后到达偏转器右端的探测板，电场力提供向心力，电子所受的电场力指向圆心，则电场方向由a→b，即a的电势高于b；（2）电子做半径为R匀速圆周运动，则有𝑞𝐸=𝑚𝑣02𝑅解得𝑣0=√𝑞𝑘𝑚（3）

由第2问可知，只要且垂直于入射处直径的分速度为√𝑞𝑘𝑚，就能完成（2）的圆周运动，又𝑣1与入射处直径和半圆柱体轴所在平面成45°入射，所以𝑣1=√2𝑞𝑘𝑚运动时间为𝑡=12𝑇=12×2𝜋𝑅𝑣0=𝜋𝑅√𝑚𝑞𝑘因此沿柱轴方向粒子的运动

位移𝑥=𝑣𝑧𝑡=√22𝑣1𝑡=𝜋𝑅考点四利用“等效重力”法处理带电体在复合场中的圆周运动1．“等效重力”及“等效重力加速度”：在匀强电场中，将重力与电场力合成，如图所示，则F合为“等效重力场”中的“等效重力”

，g′＝F合m为“等效重力场”中的“等效重力加速度”，F合的方向为“等效重力”的方向，也是“等效重力加速度”的方向.2．等效最“高”点与最“低”点的确定方法1）电场力和重力方向相反时如下图，若qE＝mg，小球做匀速圆周运动；若qE＜mg，a点为等效最“高”点，b点等效

最“低”点；若qE＞mg，a点即等效最“低”点，b点为等效最“高”点.2）电场力和重力成一定角度时如下图，在“等效重力场”中过圆周运动的圆心作“等效重力”的作用线，其反向延长线交于圆周上的那个点即为圆周运动的等效

最“高”点，沿着“等效重力”的方向延长交于圆周的那个点为即等效最“低”点。17.(多选)如图所示，用绝缘细线拴一带负电小球，在竖直平面内做圆周运动，匀强电场方向竖直向下，则()A．当小球运动到最高点a时，线的张力一定最小B．当小球运动到最低点b时，小球的速度一定最大C．当

小球运动到最高点a时，小球的电势能最小D．小球在运动过程中机械能不守恒【答案】CD【解析】若qE＝mg，小球做匀速圆周运动，球在各处对细线的拉力一样大．若qE＜mg，球在a处速度最小，若qE＞mg，球在a处速度最大，故A、B错误；a点

电势最高，负电荷在电势最高处电势能最小，故C正确；小球在运动过程中除重力外，还有静电力做功，机械能不守恒，D正确．18．（2022·河北·高三开学考试）(多选)如图所示，在竖直平面内有水平向左的匀强电场，在匀强电场中有一根长为L的绝缘细线，细线一端固定在O点，另一端系一质量为m的带电小球。小

球静止时细线与竖直方向成𝜃角，此时让小球获得初速度且恰能绕O点在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动，重力加速度为g。下列说法正确的是（）A．匀强电场的电场强度𝐸=𝑚𝑔tan𝜃𝑞B．小球动能的最小值为𝐸k=𝑚𝑔𝐿2c

os𝜃C．小球运动至圆周轨迹的最高点时机械能最小D．小球从初始位置开始，在竖直平面内运动一周的过程中，其电势能先减小后增大【答案】AB【解析】A．小球静止时细线与竖直方向成𝜃角，对小球受力分析，小球受重力、拉力和

电场力，三力平衡，根据平衡条件，有𝑞𝐸=𝑚𝑔tan𝜃解得𝐸=𝑚𝑔tan𝜃𝑞选项A正确；B．小球恰能绕O点在竖直平面内做圆周运动，在等效最高点A速度最小，根据牛顿第二定律，有𝑚𝑔cos𝜃=𝑚𝑣2𝐿则最小动能𝐸k=12𝑚𝑣2=𝑚𝑔𝐿2cos�

�选项B正确；C．小球的机械能和电势能之和守恒，则小球运动至电势能最大的位置机械能最小，小球带负电，则小球运动到圆周轨迹的最左端点时机械能最小，选项C错误；D．小球从初始位置开始，在竖直平面内运动一周的过程中，电场力先做正功，后做负功，再做正功，则其电势能先减小后增大，再减

小，选项D错误。故选AB。19.（2022·山西运城模拟）(多选)如图所示，整个空间存在水平向左的匀强电场，一长为L的绝缘轻质细硬杆一端固定在O点、另一端固定一个质量为m、电荷量为＋q的小球P，杆可绕O点在竖直平面内无摩擦转动，电场的电场强度大小为E＝3mg3q.

先把杆拉至水平位置，然后将杆无初速度释放，重力加速度为g，不计空气阻力，则()A．小球到最低点时速度最大B．小球从开始至最低点过程中动能一直增大C．小球对杆的最大拉力大小为833mgD．小球可绕O点做完整的圆周运动【答案】BC【解析】如图所示，小球受到的重力和电场力分别为mg和qE＝33

mg，此二力的合力大小为F＝233mg，方向为与竖直方向成30°角，可知杆转到最低点左侧合力F沿杆的方向时小球速度最大，A错，B对；设小球的最大速度为v，从释放到小球达到最大速度的过程，应用动能定理有：F(

1＋12)L＝12mv2，设小球速度最大时，杆对小球的拉力为Fm，对小球应用向心力公式有：Fm－F＝mv2L，解得Fm＝833mg，由牛顿第三定律知C对；根据等效性可知杆转过240°角，速度减小为0，未到达圆周的最高点，小球不

能做完整的圆周运动，D错．20．（2022·北京模拟）(多选)如图，在水平的匀强电场中，一个质量为m、电荷量为+q的小球，系在一根长为L的绝缘细线一端，小球可以在竖直平面内绕O点做圆周运动。AB为圆周的水平直径，CD

为竖直直径。已知重力加速度为g，电场强度mgqE=，不计空气阻力，下列说法正确的是（）A．若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，则小球运动到B点时的机械能最大B．若将小球在A点由静止开始释放，它将沿着AC

BD圆弧运动C．若小球在竖直平面内绕O点做完整的圆周运动，则它运动过程中的最小速度为D．若将小球在A点以大小为gL的速度竖直向上抛出，它将可以到B点【答案】ACD【解析】A．除重力和弹力以外的其他力做功等于机械能的变化，若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，则小球运动到B点时，电场力做

功最多，故小球到B点时机械能最大，故A正确；B．重力与电场力的和为22()()2FmgqEmg=+=其方向与电场方向成45夹角斜向下，故若将小球在A点由静止开始释放，它将先沿这个方向做匀加速直线运动，故B错误；C．若小球在竖直平

面内绕O点做圆周运动，设最小速度为v，则有2vFmL=得2vgL=故C正确；D．若将小球在A点以大小为gL的速度竖直向上抛出，小球将不会沿圆周运动，因此小球在竖直方向做竖直上抛运动，水平方向做匀加速运动，因qEmg=故水平加速度和竖直加速度大小均为g，当竖直方向

上的位移为零时，运动时间22==yvLtgg则水平位移为2211222===xatgtL说明小球刚好到B点，故D正确。故选ACD。21．(2022·桂林秀峰区第一次调研)如图所示，空间存在竖直向下的匀强电场，质量m＝1kg的带正电的小球与长L＝2m的绝缘

细线相连，细线的上端固定于O点，O点距地面的高度为3m，小球的电荷量q＝0.01C，细线能承受的最大拉力T＝27N，现将细线拉直与竖直方向成θ＝60°角由静止释放小球，当细线转到竖直方向OA时，细线恰好断裂，最后小球落到地面上，已知重力加速度g取10m/s2

，小球可视为质点，不计空气阻力，求：(1)电场强度的大小；(2)小球落地点与OA的水平距离。2vgL=【答案】(1)800V/m(2)2m【解析】(1)设小球到达最低点的速度为v，从开始到最低点，根据动能定理得

(mg＋qE)(L－Lcosθ)＝12mv2在最低点细线的拉力刚好为T，根据牛顿第二定律可得T－mg－qE＝mv2L联立解得v＝6m/s，E＝800V/m。(2)细线断裂后小球以v水平抛出，做类平抛运动，加速度为a＝qE＋mgm＝18m/s2在竖直方向H－L＝1

2at2，解得t＝13s小球落地点与OA的水平距离为x＝vt＝2m。22．（2022·全国·高三课时练习）在水平向右的匀强电场中，有一质量为m、带正电的小球，用长为l的绝缘细线悬挂于O点，当小球静止时，细线与竖直方向夹角为θ，小球位于B点，A点与B点关于O点对称，如图所示，现给小球一个垂直于悬线

的初速度，小球恰能在竖直平面内做圆周运动。（1）小球在做圆周运动的过程中，在哪一位置速度最小？速度最小值多大？（2）小球在B点的初速度多大？【答案】（1）A点速度最小，√𝑔𝑙cos𝜃；（2）√5𝑔𝑙cos𝜃【解析】（1）当球静止时，细线与竖直方向夹角为𝜃，此时小

球位于B点，可知重力和电场力的合力方向沿着𝑂𝐵向下，大小为𝐹合=𝑚𝑔cos𝜃现给小球一个垂直于悬线的初速度，小球恰能在竖直平面内做圆周运动，运动过程只有重力和电场力的合力对小球做功，可知小球从𝐵到𝐴

过程，重力和电场力的合力对小球做负功，小球动能减小；小球从𝐴到𝐵过程，重力和电场力的合力对小球做正功，小球动能增加；故小球在A点动能最小，速度也最小；设小球在A点的速度为𝑣𝐴，此时细线的拉力为零，重力和电场力的合力提供向心力，则有

𝑚𝑔cos𝜃=𝑚𝑣𝐴2𝑙解得小球的最小速度为𝑣𝐴=√𝑔𝑙cos𝜃（2）设小球在B点的初速度为𝑣𝐵，根据动能定理可得−𝑚𝑔cos𝜃⋅2𝑙=12𝑚𝑣𝐴2−12𝑚𝑣𝐵2将𝑣𝐴的数值代入得𝑣𝐵=√5𝑔𝑙cos𝜃23.如图所

示，在竖直平面内固定的圆形绝缘轨道的圆心在O点，半径为r，内壁光滑，A、B两点分别是圆弧的最低点和最高点．该区间存在方向水平向右的匀强电场，一质量为m、带负电的小球在轨道内侧做完整的圆周运动(电荷量不变)，经C点时速度最大，O、C连线与竖直方向的夹角θ＝60°，重力加速度为g.(1

)求小球所受到的电场力大小；(2)小球在A点速度v0多大时，小球经B点时对轨道的压力最小？【答案】(1)3mg(2)22gr【解析】(1)对小球受力分析如图所示，小球在C点速度最大，则在该点电场力与重力的合

力沿半径方向，所以小球受到的电场力大小F＝mgtanθ＝3mg(2)小球要到达B点，必须到达D点时速度最小；在D点速度最小时，小球经B点时对轨道的压力也最小．设在D点轨道对小球的压力恰为零，则有mgcosθ＝mv2r，得v＝2gr由轨道上A点运动到D点的过程，由动能定理得

mg·r(1＋cosθ)＋F·rsinθ＝12mv20－12mv2解得：v0＝22gr.24.如图所示，光滑水平轨道与半径为R的光滑竖直半圆轨道在B点平滑连接，在过圆心O的水平界面MN的下方分布有水平向右的匀强

电场．现有一质量为m、电荷量为＋q的小球从水平轨道上A点由静止释放，小球运动到C点离开圆轨道后，经界面MN上的P点进入电场(P点恰好在A点的正上方，如图所示，小球可视为质点，小球运动到C点之前电荷量保持不变，经过C点后电荷量立即变为零)．已知A

、B间距离为2R，重力加速度为g，在上述运动过程中，求：(1)电场强度E的大小；(2)小球在圆轨道上运动时的最大速率；(3)小球对圆轨道的最大压力的大小．【答案】(1)mgq(2)(2＋22)gR(3

)(2＋32)mg【解析】(1)设小球过C点时速度大小为vC，小球从A到C由动能定理知qE·3R－mg·2R＝12mv2C小球离开C点后做平抛运动到P点，R＝12gt22R＝vCt得E＝mgq设小球运动到圆轨道D点时速度最大，设最大速度为v，此时OD与竖直线

OB夹角设为α，小球从A点运动到D点的过程，根据动能定理知qE(2R＋Rsinα)－mgR(1－cosα)＝12mv2即12mv2＝mgR(sinα＋cosα＋1)根据数学知识可知，当α＝45°时动能最大，由此可得v＝(2＋22)gR(3)由于小

球在D点时速度最大且电场力与重力的合力恰好沿半径方向，故小球在D点时对圆轨道的压力最大，设此压力大小为F，由牛顿第三定律可知小球在D点受到的轨道的弹力大小也为F，在D点对小球进行受力分析，并建立如图所示坐标系，由牛顿第二定律知，F－qEsinα－mgcosα＝mv

2R解得F＝(2＋32)mg25.（2022安阳一模）如图所示，空间有一水平向右的匀强电场，电场强度的大小为E=1.0×104V/m。该空间有一个半径为R=2m的竖直光滑绝缘圆环的一部分，圆环与光滑水平面相切于C

点，A点所在的半径与竖直直径BC成37°角。质量为m=0.04kg、电荷量为q=+6×10-5C的带电小球2（可视为质点）静止于C点。轻弹簧一端固定在竖直挡板上，另一端自由伸长时位于P点。质量也为m=0.04kg的不带电小球1挨着轻弹簧右端，现用力缓慢压缩轻弹簧右端到P点

左侧某点后释放。小球1沿光滑水平面运动到C点与小球2发生碰撞，碰撞时间极短，碰后两小球黏合在一起且恰能沿圆弧到达A点。P、C两点间距离较远，重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求：（1）黏合体在A点速度

大小；（2）弹簧的弹性势能；的（3）小球黏合体由A点到达水平面运动的时间。【答案】（1）5m/s；（2）9.2J；（3）0.6s【解析】(1)小球2所受电场力54610110N0.6NFqE−===小球1和小球2的重力和为220.0410N0.

8NGmg===如图所示小球12所受重力与电场力的合力与竖直方向的夹角为3tan4qEG==所以37=所以A点是小球12在重力场和电场中做圆周运动的等效最高点，由于小球12恰能沿圆弧到达A点，所以2A2sin37vqEmR=解得

A5msv=(2)小球从C点到A点，由动能定理得()22AC11sin372cos372222qERmgRRmvmv−−+=−解得C115msv=小球12的碰撞由动量守恒定律得1C2mvmv=解得小球1碰撞前的速度12115msv=由机械能守恒

可得弹簧的弹性势能2p119.2J2Emv==(3)如图小球12在A点竖直方向上做匀加速运动竖直方向上的初速度为0Asin373msvv==由竖直方向匀加速运动可得201cos372RRvtgt+=+解得0.6st=26．如图

所示，𝐵𝐶𝐷𝐺是光滑绝缘的34圆形轨道，位于竖直平面内，轨道半径为𝑅，下端与水平绝缘轨道在𝐵点平滑连接，整个轨道处在水平向左的匀强电场中。现有一质量为𝑚、带正电的小滑块（可视为质点）置于水平轨

道上，滑块受到的电场力大小为34𝑚𝑔，滑块与水平轨道间的动摩擦因数为0.5，重力加速度为𝑔。（1）若滑块从水平轨道上距离𝐵点𝑠=3𝑅的𝐴点由静止释放，求滑块到达𝐶点时受到轨道的作用力大小；（2）改变𝑠的大小，使滑块恰好始终沿轨道滑行，且从𝐺点飞出轨道，求s的大

小。【答案】（1）74𝑚𝑔；（2）11.5𝑅【解析】（1）设滑块到达𝐵点时的速度为𝑣𝐵，从𝐴点到𝐵点，由动能定理得𝑞𝐸𝑠−𝜇𝑚𝑔𝑠=12𝑚𝑣𝐵2−0而𝑞𝐸=3𝑚𝑔4解

得𝑣𝐵=√6𝑔𝑅2设滑块到达𝐶点时速度大小为𝑣𝐶，从𝐴点到𝐶点，由动能定理得𝑞𝐸(𝑠+𝑅)−𝜇𝑚𝑔𝑠−𝑚𝑔𝑅=12𝑚𝑣𝐶2−0解得𝑣𝐶=√𝑔𝑅根据牛顿第二定律有𝐹−�

�𝐸=𝑚𝑣𝐶2𝑅解得滑块到达𝐶点时受到轨道的作用力大小𝐹=74𝑚𝑔（2）要使滑块恰好始终沿轨道滑行，则滑至圆轨道𝐷𝐺间𝑛点时，由电场力和重力的合力提供向心力，此时的速度最小（设为𝑣𝑛），则有√(𝑞𝐸)2+(𝑚𝑔)2=𝑚𝑣𝑛2𝑅又从𝐴到n过程

由动能定理得𝑞𝐸(𝑠−𝑅sin37°)−𝜇𝑚𝑔𝑠−𝑚𝑔(𝑅+𝑅cos37°)=12𝑚𝑣𝑛2−0解得𝑠=11.5𝑅获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com