【文档说明】2023年高考真题——数学（新高考Ⅰ卷）含解析.docx，共(29)页，1.810 MB，由envi的店铺上传

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绝密★启用前试卷类型：A2023年普通高等学校招生全国统一考试（新高考全国Ⅰ卷）数学本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型

（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在

试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：

本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2,1,0,1,2M=−−，260Nxxx=−−，则MN=（）A.2,1,0,1−−B.0,1,2C.2−D.2【答案】C【解析】【分析】方法一：由一元二次不等式的解

法求出集合N，即可根据交集的运算解出．方法二：将集合M中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．【详解】方法一：因为()260,23,Nxxx=−−=−−+，而2,1,0,1,2M=−−，所以MN=2−

．故选：C．方法二：因为2,1,0,1,2M=−−，将2,1,0,1,2−−代入不等式260xx−−，只有2−使不等式成立，所以MN=2−．故选：C．2.已知1i22iz−=+，则zz−=（）A.i−B.iC.0D.1【答案】A【解析】【分析】根据复数的除

法运算求出z，再由共轭复数的概念得到z，从而解出．【详解】因为()()()()1i1i1i2i1i22i21i1i42z−−−−====−++−，所以1i2z=，即izz−=−．故选：A．3.已知向量()()1,1,1,1ab==−，若()()abab+⊥+，则（）A

.1+=B.1+=−C.1=D.1=−【答案】D【解析】【分析】根据向量的坐标运算求出ab+，ab+，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．【详解】因为()()1,1,1,1ab==−，所以()1,1ab+=+−，()1,1ab+=+−

，由()()abab+⊥+可得，()()0abab++=，即()()()()11110+++−−=，整理得：1=−．故选：D．4.设函数()()2xxafx−=在区间()0,1上单调递减，则a的取值范围是（）A.(,2−−B.)2,0−C.(0

,2D.)2,+【答案】D【解析】【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.【详解】函数2xy=在R上单调递增，而函数()()2xxafx−=在区间()0,1上单调递减，则有函数22()()24aayxxax=−=−−在区间()0,1上单调递减，因此12a，解得

2a，所以a的取值范围是)2,+.故选：D5.设椭圆2222122:1(1),:14xxCyaCya+=+=的离心率分别为12,ee．若213ee=，则=a（）A.233B.2C.3D.6【答案】A【解析】

【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.【详解】由213ee=，得22213ee=，因此2241134aa−−=，而1a，所以233a=.故选：A6.过点()0,2−与圆22410xyx+−−=相切的两条

直线的夹角为，则sin=（）A.1B.154C.104D.64【答案】B【解析】【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得2810kk++=，利

用韦达定理结合夹角公式运算求解.【详解】方法一：因为22410xyx+−−=，即()2225xy−+=，可得圆心()2,0C，半径5r=，过点()0,2P−作圆C的切线，切点为,AB，因为()222222PC=+−=，则223PAPCr=−=，可得51

036sin,cos442222APCAPC====，则10615sinsin22sincos2444APBAPCAPCAPC====，22226101coscos2cossin0444APBAPCAPCAP

C==−=−=−，即APB为钝角，所以()15sinsinπsin4APBAPB=−==；法二：圆22410xyx+−−=的圆心()2,0C，半径5r=，过点()0,2P−作圆C的切线，切点为,AB，连接AB，可得()222222

PC=+−=，则223PAPBPCr==−=，因为22222cos2cosPAPBPAPBAPBCACBCACBACB+−=+−且πACBAPB=−，则()336cos5510cosπAPBAPB+−=+−−，即3cos55cosAPBAPB−=+，

解得1cos04APB=−，即APB为钝角，则()1coscosπcos4APBAPB=−=−=，且为锐角，所以215sin1cos4=−=；方法三：圆22410xyx+−−=的圆心()2,0C，半径5r=，若切线斜率不存在，则切线方程为0

y=，则圆心到切点的距离2dr=，不合题意；若切线斜率存在，设切线方程为2ykx=−，即20kxy−−=，则22251kk−=+，整理得2810kk++=，且644600=−=设两切线斜率分别为12,kk，则12128,1kkkk+=−=，可得()21212124215kk

kkkk−=+−=，所以1212tan151kkkk−==+，即sin15cos=，可得sincos15=，则2222sinsincossin115+=+=，且π0,2，则sin0，解得1

5sin4=.故选：B.7.记nS为数列na的前n项和，设甲：na为等差数列；乙：{}nSn为等差数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是

乙的必要条件【答案】C【解析】【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.，【详解】方法1，甲：na为等差数列，设其首项为1a，公差为d，则

1111(1)1,,222212nnnnSSSnnndddSnadadnannn+−−=+=+=+−−=+，因此{}nSn为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，乙：{}nSn为等差数列，即111(1)1(1)(1)nnnnnnSSnSnSnaSnnnnnn+++−+−−==+++为常数，设为

t，即1(1)nnnaStnn+−=+，则1(1)nnSnatnn+=−+，有1(1)(1),2nnSnatnnn−=−−−，两式相减得：1(1)2nnnananatn+=−−−，即12nnaat+−=，对1n=也成立，因此na为等差数列，则甲是乙的必要条

件，所以甲是乙的充要条件，C正确.方法2，甲：na为等差数列，设数列na的首项1a，公差为d，即1(1)2nnnSnad−=+，则11(1)222nSnddadnan−=+=+−，因此{}nSn为等差

数列，即甲是乙的充分条件；反之，乙：{}nSn为等差数列，即11,(1)1nnnSSSDSnDnnn+−==+−+，即1(1)nSnSnnD=+−，11(1)(1)(2)nSnSnnD−=−+−−，当2n时，上两式相减得：112(1)nnSSSnD−−=+−，当1n=

时，上式成立，于是12(1)naanD=+−，又111[22(1)]2nnaaanDanDD+−=+−+−=为常数，因此na为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件.故选：C8.已知()11sin,cossin36−==，则()cos

22+=（）．A.79B.19C.19−D.79−【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出sin()+，再利用二倍角的余弦公式计算作答.【详解】因为1sin()sincoscossin3−=−=，而1cos

sin6=，因此1sincos2=，则2sin()sincoscossin3+=+=，所以2221cos(22)cos2()12sin()12()39+=+=−+=−=.故选：B【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊

角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同

或具有某种关系．（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2

分，有选错的得0分.9.有一组样本数据126,,,xxx，其中1x是最小值，6x是最大值，则（）A.2345,,,xxxx的平均数等于126,,,xxx的平均数B.2345,,,xxxx的中位数等于126,,,xxx的中位数C.2345

,,,xxxx的标准差不小于126,,,xxx的标准差D.2345,,,xxxx的极差不大于126,,,xxx的极差【答案】BD【解析】【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概

念逐项分析判断.【详解】对于选项A：设2345,,,xxxx的平均数为m，126,,,xxx的平均数为n，则()()165234123456234526412xxxxxxxxxxxxxxxxnm+−+++++++++++−=−=，因为没有确定()1652342,xxx

xxx++++的大小关系，所以无法判断,mn的大小，例如：1,2,3,4,5,6，可得3.5mn==；例如1,1,1,1,1,7，可得1,2mn==；例如1,2,2,2,2,2，可得112,6mn==；故A错误；对于选项B：不妨设123456xxxxxx，可知2345,,,xxxx

的中位数等于126,,,xxx的中位数均为342xx+，故B正确；对于选项C：因为1x是最小值，6x是最大值，则2345,,,xxxx的波动性不大于126,,,xxx的波动性，即2345,,,xxxx的标准差不大于126,,,xxx的标准差，例如：2,4,6,8,10,12，则

平均数()12468101276n=+++++=，标准差()()()()()()222222111052747678710712763s=−+−+−+−+−+−=，4,6,8,10，则平均数()14681074m=+++=，标准差()()()()222221476787107

54s=−+−+−+−=，显然10553，即12ss；故C错误；对于选项D：不妨设123456xxxxxx，则6152xxxx−−，当且仅当1256,xxxx==时，等号成立，故D正确；故选

：BD.10.噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级020lgppLp=，其中常数()000pp是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车106090混合动力汽车105060电动汽车104

0已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为123,,ppp，则（）．A.12ppB.2310ppC.30100pp=D.12100pp【答案】ACD【解析】【分析】根据题意可知1

2360,90,50,60,40pppLLL=，结合对数运算逐项分析判断.【详解】由题意可知：12360,90,50,60,40pppLLL=，对于选项A：可得1212100220lg20lg20lgp

ppppLLppp=−=−，因为12ppLL，则121220lg0pppLLp=−，即12lg0pp，所以121pp且12,0pp，可得12pp，故A正确；对于选项B：可得2332200320lg2

0lg20lgpppppLLppp=−=−，因为2324010pppLLL−=−，则2320lg10pp，即231lg2pp，所以23epp且23,0pp，可得23epp，当且仅当250pL=时，等号成立，故B错误；对于选项C：因为33020lg4

0ppLp==，即30lg2pp=，可得30100pp=，即30100pp=，故C正确；对于选项D：由选项A可知：121220lgpppLLp=−，且12905040ppLL−=−，则1220lg40pp，即12lg2pp，可得12100pp，且12,0pp，所以12

100pp，故D正确；故选：ACD.11.已知函数()fx的定义域为R，()()()22fxyyfxxfy=+，则（）．A.()00f=B.()10f=C.()fx是偶函数D.0x=为()fx的极小值点【答案】ABC【

解析】【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇遇性的判断方法可判断选项ABC，举反例()0fx=即可排除选项D.方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数2ln,0()0,0xxxfxx==进行判断即可.【详解】方法一：因为22()()()fxyyfx

xfy=+，对于A，令0xy==，(0)0(0)0(0)0fff=+=，故A正确.对于B，令1xy==，(1)1(1)1(1)fff=+，则(1)0f=，故B正确.对于C，令1xy==−，(1)(1)(1)2(1)ffff=−+−=−，则(1)0f−=，令21,()(

)(1)()yfxfxxffx=−−=+−=，又函数()fx的定义域为R，所以()fx为偶函数，故C正确，对于D，不妨令()0fx=，显然符合题设条件，此时()fx无极值，故D错误.方法二：因为22()()()fxyyfxxfy=+，对于

A，令0xy==，(0)0(0)0(0)0fff=+=，故A正确.对于B，令1xy==，(1)1(1)1(1)fff=+，则(1)0f=，故B正确.对于C，令1xy==−，(1)(1)(1)2(1)ffff=−

+−=−，则(1)0f−=，令21,()()(1)()yfxfxxffx=−−=+−=，又函数()fx的定义域为R，所以()fx为偶函数，故C正确，对于D，当220xy时，对22()()()fxyyfxxfy=+两边同时除以22xy，得到2222()()()fxy

fxfyxyxy=+，故可以设2()ln(0)fxxxx=，则2ln,0()0,0xxxfxx==，当0x肘，2()lnfxxx=，则()212ln(2ln1)xxxxxfxx=+=+，令()0fx，得12

0ex−；令()0fx¢>，得12ex−；故()fx在120,e−上单调递减，在12e,−+上单调递增，因为()fx为偶函数，所以()fx在12,0e−−上单调递

增，在12,e−−上单调递减，显然，此时0x=是()fx的极大值，故D错误.故选：ABC.12.下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（）A.直径为0.99m的球体B.所有棱长均为1.4m的四面体C.底面直径为0.01m，高为1.8m的

圆柱体D.底面直径为1.2m，高为0.01m的圆柱体【答案】ABD【解析】【分析】根据题意结合正方体的性质逐项分析判断.【详解】对于选项A：因为0.99m1m，即球体的直径小于正方体的棱长，所以能够被整体放入正方体内，故A正确；对于选项B：因为正方体的面对角线

长为2m，且21.4，所以能够被整体放入正方体内，故B正确；对于选项C：因为正方体的体对角线长为3m，且31.8，所以不能够被整体放入正方体内，故C正确；对于选项D：因为正方体的体对角线长为3m，且31.2，设正方体1111ABCDABCD−的中心为O，以

1AC为轴对称放置圆柱，设圆柱的底面圆心1O到正方体的表面的最近的距离为mh，如图，结合对称性可知：111111133,0.6222OCCACOOCOO===−=−，则1111COhAACA=，即30.6213h

−=，解得10.60.340.0123h=−，所以能够被整体放入正方体内，故D正确；故选：ABD.【点睛】关键点睛：对于C、D：以正方体的体对角线为圆柱的轴，结合正方体以及圆柱的性质分析判断.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.某学校开设了4门体

育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）．【答案】64【解析】【分析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结

合组合数运算求解.【详解】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有144116CC=种；（2）当从8门课中选修3门，①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有1244CC24=种；②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有21

44CC24=种；综上所述：不同的选课方案共有16242464++=种.故答案为：64.14.在正四棱台1111ABCDABCD−中，1112,1,2ABABAA===，则该棱台的体积为________．【答案】766##766【解析】【分析】结合图像，依

次求得111,,AOAOAM，从而利用棱台的体积公式即可得解.【详解】如图，过1A作1AMAC⊥，垂足为M，易知1AM为四棱台1111ABCDABCD−的高，因为1112,1,2ABABAA===，则11111111112,22222222AOACABAOACAB=

=====，故()111222AMACAC=−=，则221116222AMAAAM=−=−=，所以所求体积为1676(4141)326V=++=.故答案为：766.15.已知函数()cos1(0)fxx=−在区间0,2π有且仅有

3个零点，则的取值范围是________．【答案】[2,3)【解析】【分析】令()0fx=，得cos1x=有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.【详解】因为02xπ≤≤，所以02xπ≤≤，令()co

s10fxx=−=，则cos1x=有3个根，令tx=，则cos1t=有3个根，其中[0,2π]t，结合余弦函数cosyt=的图像性质可得4π2π6π，故23，故答案为：[2,3).16.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的左、右焦

点分别为12,FF．点A在C上，点B在y轴上，11222,3FAFBFAFB⊥=−，则C的离心率为________．【答案】355##355【解析】【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到2211,,,AFBFBFAF关于,

am的表达式，从而利用勾股定理求得am=，进而利用余弦定理得到,ac的齐次方程，从而得解.方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得00235,3xcyt==−，224tc=，将点A代入双曲线C得到关于,,abc的齐次方程，从而得

解；【详解】方法一：依题意，设22AFm=，则2113,22BFmBFAFam===+，在1RtABF中，2229(22)25mamm++=，则(3)()0amam+−=，故am=或3am=−（舍去），所以124,2AFaAFa==，213BFBFa==，则5ABa

=，故11244cos55AFaFAFABa===，所以在12AFF△中，2221216444cos2425aacFAFaa+−==，整理得2259ca=，故355cea==.方法二:依题意，得12(,0),(,0)FcFc

−，令()00),,(0,AxyBt，因为2223FAFB=−，所以()()002,,3xcyct−=−−，则00235,3xcyt==−，又11FAFB⊥，所以()1182,,33FAFBctct=−2282033ct

=−=，则224tc=，又点A在C上，则2222254991ctab−=，整理得2222254199ctab−=，则22222516199ccab−=，所以22222225169cbcaab−=，即()()2222222225169ccaacaca−−=−，整理得424255090cca−+=

，则()()22225950caca−−=，解得2259ca=或225ca=，又1e，所以355e=或55e=（舍去），故355e=.故答案为：355.【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充

分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定理得到关于,,abc的齐次方程，从而得解.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知在ABC中，()3,2sinsinABCACB+=−=．（1）求sin

A；（2）设5AB=，求AB边上的高．【答案】（1）31010（2）6【解析】【分析】（1）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解；（2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求sinB,再由正弦定理求出b，根据等面积法求解即可.【小问1详解】3ABC+

=，π3CC−=，即π4C=，又2sin()sinsin()ACBAC−==+，2sincos2cossinsincoscossinACACACAC−=+，sincos3cossinACAC=，sin3cosAA=，即tan3A=，所以π02A，3310sin1010A==

.【小问2详解】由（1）知，110cos1010A==，由sinsin()BAC=+23101025sincoscossin()210105ACAC=+=+=，由正弦定理，sinsincbCB=，可得255521022b==，11sin22ABhABACA=，310s

in210610hbA===.18.如图，在正四棱柱1111ABCDABCD−中，12,4ABAA==．点2222,,,ABCD分别在棱111,,AABBCC,1DD上，22221,2,3AABBDDCC====．（1）证明：2222BCAD∥；（2）点P在棱1BB上，当

二面角222PACD−−为150时，求2BP．【答案】（1）证明见解析；（2）1【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明；（2）设(0,2,)(04)P，利用向量法求二面角，建立方程求出即可得解.【小问1详解】以C为坐标原点，1,,CDCBCC所在

直线为,,xyz轴建立空间直角坐标系，如图，则2222(0,0,0),(0,0,3),(0,2,2),(2,0,2),(2,2,1)CCBDA，2222(0,2,1),(0,2,1)BCAD=−=−，2222BCAD∥，又2

222BCAD，不在同一条直线上，2222BCAD∥.【小问2详解】设(0,2,)(04)P，则22222(2,2,2)(0,2,3),=(2,0,1),ACPCDC=−−=−−−，设平面22PAC的法向量(,,)nxyz=，则22222202(3)0nACxyznP

Cyz=−−+==−+−=，令2z=，得3,1yx=−=−，(1,3,2)n=−−，设平面222ACD的法向量(,,)mabc=，则2222222020mACabcmDCac

=−−+==−+=，令1a=，得1,2==bc，(1,1,2)m=，2263cos,cos150264(1)(3)nmnmnm====+−+−，化简可得，2430−+=，解得1=或3

=，(0,2,1)P或(0,2,3)P，21BP=.19.已知函数()()exfxaax=+−．（1）讨论()fx的单调性；（2）证明：当0a时，()32ln2fxa+．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先求导，再分类讨论0a

与0a两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解；（2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为21ln02aa−−的恒成立问题，构造函数()()21ln02gaaaa=−−，利用导数证得()0ga即

可.方法二：构造函数()e1xhxx=−−，证得e1xx+，从而得到2()ln1fxxaax+++−，进而将问题转化为21ln02aa−−的恒成立问题，由此得证.【小问1详解】因为()()exfxaax=+−，定义域为R

，所以()e1xfxa=−，当0a时，由于e0x，则e0xa，故()0e1xfxa−=恒成立，所以()fx在R上单调递减；当0a时，令()e10xfxa=−=，解得lnxa=−，当lnxa−时，()0fx

，则()fx在(),lna−−上单调递减；当lnxa−时，()0fx¢>，则()fx在()ln,a−+上单调递增；综上：当0a时，()fx在R上单调递减；当0a时，()fx在(),lna−−上单调递减，()fx在()ln,a−+上单调递增

.【小问2详解】方法一：由（1）得，()()()lnmin2lnlnlne1afaaxafaaa−−+=++=+=，要证3()2ln2fxa+，即证2312ln2lnaaa+++，即证21ln02aa−−恒成立，令()()21ln02gaaaa=−−，则()21212agaaaa−

=−=，令()0ga，则202a；令()0ga，则22a；所以()ga在20,2上单调递减，在2,2+上单调递增，所以()2min2212lnln202222gag==

−−=，则()0ga恒成立，所以当0a时，3()2ln2fxa+恒成立，证毕.方法二：令()e1xhxx=−−，则()e1xhx=−，由于exy=在R上单调递增，所以()e1xhx=−在R上单调

递增，又()00e10h=−=，所以当0x时，()0hx；当0x时，()0hx；所以()hx在(),0−上单调递减，在()0,+上单调递增，故()()00hxh=，则e1xx+，当且仅当0x=时，等号成立，因为()2ln22()eeeln1xxx

afxaaxaaxaxxaax+=+−=+−=+−+++−，当且仅当ln0xa+=，即lnxa=−时，等号成立，所以要证3()2ln2fxa+，即证23ln12ln2xaaxa+++−+，即证2

1ln02aa−−，令()()21ln02gaaaa=−−，则()21212agaaaa−=−=，令()0ga，则202a；令()0ga，则22a；所以()ga在20,2上单

调递减，在2,2+上单调递增，所以()2min2212lnln202222gag==−−=，则()0ga恒成立，所以当0a时，3()2ln2fxa+恒成立，

证毕.20.设等差数列na的公差为d，且1d．令2nnnnba+=，记,nnST分别为数列,nnab的前n项和．（1）若2133333,21aaaST=++=，求na的通项公式；（2）若nb为等差数列，且999999ST−=，求d．【答案】（1）3nan=

（2）5150d=【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式建立方程求解即可；（2）由{}nb为等差数列得出1ad=或12ad=，再由等差数列的性质可得50501ab−=，分类讨论即可得解.【小问1详解】

21333aaa=+，132dad=+，解得1ad=，32133()6ddSaa=+==，又31232612923Tbbbdddd=++=++=，339621STdd+=+=，即22730dd−+=，解得3d=或12d=（舍去），1(1)3na

andn=+−=.【小问2详解】{}nb为等差数列，2132bbb=+，即21312212aaa=+，2323111616()daaaaa−==，即2211320aadd−+=，解得1ad=或12ad=，1d，0na，

又999999ST−=，由等差数列性质知，5050999999ab−=，即50501ab−=，505025501aa−=，即2505025500aa−−=，解得5051a=或5050a=−（舍去）当12ad=时，501495151aadd=+

==，解得1d=，与1d矛盾，无解；当1ad=时，501495051aadd=+==，解得5150d=.综上，5150d=.21.甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投籃，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，

乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．（1）求第2次投篮的人是乙的概率；（2）求第i次投篮的人是甲的概率；（3）已知：若随机变量iX服从两点分布，且()()110,1,2,,iiiPXPXqin==−===，则11nniiiiEXq

===．记前n次（即从第1次到第n次投篮）中甲投篮的次数为Y，求()EY．【答案】（1）0.6（2）1121653i−+（3）52()11853nnEY=−+【解析】【分析】（1）根据全概

率公式即可求出；（2）设()iiPAp=，由题意可得10.40.2iipp+=+，根据数列知识，构造等比数列即可解出；（3）先求出两点分布的期望，再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出．【小问1详解】记“第i次投篮的人是甲”为事件iA，“第i次投篮的人是乙”为事件iB，所以，

()()()()()()()21212121121||PBPABPBBPAPBAPBPBB=+=+()0.510.60.50.80.6=−+=.【小问2详解】设()iiPAp=，依题可知，()1iiPBp=−，则()()()()()

()()11111||iiiiiiiiiiiPAPAAPBAPAPAAPBPAB+++++=+=+，即()()10.610.810.40.2iiiipppp+=+−−=+，构造等比数列ip+，设()125iipp++=+，解得13=−，则1121353iipp+−=−

，又11111,236pp=−=，所以13ip−是首项为16，公比为25的等比数列，即11112121,365653iiiipp−−−==+．【小问3详解】因为1121653iip−=+，1,2,,in=，所

以当*Nn时，()122115251263185315nnnnnEYppp−=+++=+=−+−，故52()11853nnEY=−+．【点睛】本题第一问直接考查全概率公式的应用，后两问的解题关键是根据

题意找到递推式，然后根据数列的基本知识求解．22.在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点10,2的距离，记动点P的轨迹为W．（1）求W的方程；（2）已知矩形ABCD有三个顶点在W

上，证明：矩形ABCD的周长大于33．【答案】（1）214yx=+（2）见解析【解析】【分析】（1）设(,)Pxy，根据题意列出方程22212xyy+−=，化简即可；（2）法一：设矩形的三个顶点222111,,,,,444AaaBbbCcc+

++，且abc，分别令0ABkabm=+=，0BCkbcn=+=，且1mn=−，利用放缩法得21112Cnnn++，设函数()221()1fxxxx=++，利用导数求出其最小值，则得C的

最小值，再排除边界值即可.法二：设直线AB的方程为21()4ykxaa=−++，将其与抛物线方程联立，再利用弦长公式和放缩法得()3221kABADk++，利用换元法和求导即可求出周长最值，再排除边界值即

可.法三：利用平移坐标系法，再设点，利用三角换元再对角度分类讨论，结合基本不等式即可证明.【小问1详解】设(,)Pxy,则2212yxy=+−，两边同平方化简得214yx=+，故21:4Wyx=+.【小问2详解】法一：设矩形的三

个顶点222111,,,,,444AaaBbbCcc+++在W上,且abc，易知矩形四条边所在直线的斜率均存在，且不为0，则1,ABBCkkabbc=−++,令2240114ABkbababam+−+=+==

−，同理令0BCkbcn=+=，且1mn=−，则1mn=−，设矩形周长为C,由对称性不妨设||||mn，1BCABkkcanmnn−=−=−=+，则222211||||()1()1()112CABBCbamc

bncannnn=+=−++−+−+=++.0n，易知2110nnn++则令()222111()1,0,()22fxxxxfxxxxxx=++=+−,令()0fx=，解得22x=，当20,2x

时，()0fx，此时()fx单调递减，当2,2x+，()0fx，此时()fx单调递增，则min227()24fxf==，故12733242C=,即33C.当33C=时,

2,22nm==−,且22()1()1bamban−+=−+，即mn=时等号成立，矛盾，故33C,得证.法二：不妨设,,ABD在W上，且BADA⊥，依题意可设21,4Aaa+，易知直线BA，DA的斜率均存在且不为0，则设B

A,DA的斜率分别为k和1k−，由对称性，不妨设1k，直线AB的方程为21()4ykxaa=−++，则联立22141()4yxykxaa=+=−++得220xkxkaa−+−=，()()222420kkaaka=−−=−，则2ka则2||1|2|ABkk

a=+−，同理211||12ADakk=++，2211||||1|2|12ABADkkaakk+=+−+++()322221111221kkkaakkkkk++−++++=令2km=，则(0,1m

，设32(1)1()33mfmmmmm+==+++，则2221(21)(1)()23mmfmmmm−+=+−=，令()0=fm，解得12m=，当10,2m时，()0fm，此时()fm单调递减，当1

,2m+，()0fm，此时()fm单调递增，则min127()24fmf==，33||||2ABAD+，但2221111|2|121|2|2kkaakkaakkk+−++++−++，此处取等条件为

1k=，与最终取等时22k=不一致，故332ABAD+.法三：为了计算方便,我们将抛物线向下移动14个单位得抛物线2:Wyx=,矩形ABCD变换为矩形ABCD,则问题等价于矩形ABCD的周长大于33.设()()()222001

122,,,,,BttAttCtt,根据对称性不妨设00t.则1020,ABBCkttktt=+=+,由于ABBC⊥,则()()10201tttt++=−.由于()()22101020201,1ABttttB

Ctttt=++−=++−,且0t介于12,tt之间,则()()221010202011ABBCtttttttt+=++−+++−.令20tantt+=,10πcot,0,2tt+=−,则2010tan,cottttt=−=

−−,从而()()22001cot2cot1tantan2ABBCtt+=++++−故330022222(cossin)11sincossincos2sincoscossinsincossincostAB

BCt−++=−++=+①当π0,4时,332222sincossincos122222sincoscossinsincossin2ABBC++=+=

②当ππ,42时,由于102ttt,从而000cottanttt−−−,从而0cottan22t−又00t,故0tan02t,由此330222(cossin)sincossincossincostABBC

−++=+3323222sin(cossin)(sincos)sincos1cossincossincoscossin−++=+()()22222222sinsin2cos1cos1cos2cos

==−−()()332222233221cos1cos2cos33=−+−+，当且仅当3cos3=时等号成立，故332ABBC+，故矩形周长大于32..【点睛】关键

点睛：本题的第二个的关键是通过放缩得211||||12CABBCnnn=+++，同时为了简便运算，对右边的式子平方后再设新函数求导，最后再排除边界值即可.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangx

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