【文档说明】【精准解析】2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）（解析版）.doc，共(27)页，2.124 MB，由envi的店铺上传

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2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上.本试卷满分150分.2.作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分

，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则()UAB=ð（）A.{−2，3}B.{−2，2，3}C.{−2，−1，0，3}D.{−2，−1，0，2，3}【答案】A【解

析】【分析】首先进行并集运算，然后计算补集即可.【详解】由题意可得：1,0,1,2AB=−，则()U2,3AB=−ð.故选：A.【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题.2.若α为第四象限角，

则（）A.cos2α>0B.cos2α<0C.sin2α>0D.sin2α<0【答案】D【解析】【分析】由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可.【详解】方法一：由α为第四象限角，可得3222,2

kkkZ++，所以34244,kkkZ++此时2的终边落在第三、四象限及y轴的非正半轴上，所以sin20故选：D.方法二：当6=−时，cos2cos03=−

，选项B错误；当3=−时，2cos2cos03=−，选项A错误；由在第四象限可得：sin0,cos0，则sin22sincos0=，选项C错误，选项D正确；故选：D.【点睛】本题主要考查三

角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参

加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志

愿者（）A.10名B.18名C.24名D.32名【答案】B【解析】【分析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.【详解】由题意，第二天新增订单数为50016001200900+−=，9

001850=，故至少需要志愿者18名.故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.4.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多

9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（）A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块【答案】C【解析】【分析】第n环天石心块数为na，第一层共有n环，则{}na是以9为首项，9为公差的等差数列，设n

S为{}na的前n项和，由题意可得322729nnnnSSSS−=−+，解方程即可得到n，进一步得到3nS.【详解】设第n环天石心块数为na，第一层共有n环，则{}na是以9为首项，9为公差的等差数列，9(1)99nann=+−=，设

nS为{}na的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为232,,nnnnnSSSSS−−，因为下层比中层多729块，所以322729nnnnSSSS−=−+，即3(927)2(918)2(918)(

99)7292222nnnnnnnn++++−=−+即29729n=，解得9n=，所以32727(9927)34022nSS+===.故选：C【点晴】本题主要考查等差数列前n项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题.5.若过点（2，1）的圆与两坐

标轴都相切，则圆心到直线230xy−−=的距离为（）A.55B.255C.355D.455【答案】B【解析】【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为(),,0aaa，可得圆的半径为a，写出圆的标准方程，利

用点()2,1在圆上，求得实数a的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线230xy−−=的距离.【详解】由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为(),a

a，则圆的半径为a，圆的标准方程为()()222xayaa−+−=.由题意可得()()22221aaa−+−=，可得2650aa−+=，解得1a=或5a=，所以圆心的坐标为()1,1或()5,5，圆心到直线的距离均为121132

555d−−==；圆心到直线的距离均为225532555d−−==圆心到直线230xy−−=的距离均为22555d−==；所以，圆心到直线230xy−−=的距离为255.故选：B.【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于

中等题.6.数列{}na中，12a=，mnmnaaa+=，若155121022kkkaaa++++++=−，则k=（）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】【分析】取1m=，可得出数列na是等比数列，求得数列na的通项公式，利用等比数列求和公式

可得出关于k的等式，由kN可求得k的值.【详解】在等式mnmnaaa+=中，令1m=，可得112nnnaaaa+==，12nnaa+=，所以，数列na是以2为首项，以2为公比的等比数列，则1222nnna−==，()()()()10110111051012101221222

12211212kkkkkkaaaa++++++−−+++===−=−−−，1522k+=，则15k+=，解得4k=.故选：C.【点睛】本题考查利用等比数列求和求参数的值，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计

算能力，属于中等题.7.如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为（）A.EB.FC.GD.H【答案】A【解析】【分析】根据三视图，画

出多面体立体图形，即可求得M点在侧视图中对应的点.【详解】根据三视图，画出多面体立体图形，14DD上的点在正视图中都对应点M,直线34BC上的点在俯视图中对应的点为N,∴在正视图中对应M,在俯视图中对应N的点是4D,线段34DD,上的所有点在侧试图中都对应E,∴点4D在侧视图中对

应的点为E.故选：A【点睛】本题主要考查了根据三视图判断点的位置，解题关键是掌握三视图的基础知识和根据三视图能还原立体图形的方法，考查了分析能力和空间想象，属于基础题.8.设O为坐标原点，直线xa=与双曲线22

22:1(0,0)xyCabab−=的两条渐近线分别交于,DE两点，若ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（）A.4B.8C.16D.32【答案】B【解析】【分析】因为2222:1(0,0)xyCabab−=，可得双曲线的渐近线方程是byxa=，与直线xa=联立方程求得

D，E两点坐标，即可求得||ED，根据ODE的面积为8，可得ab值，根据2222cab=+，结合均值不等式，即可求得答案.【详解】2222:1(0,0)xyCabab−=双曲线的渐近线方程是byxa=直线xa=与双曲线2222:1(0,0)

xyCabab−=的两条渐近线分别交于D，E两点不妨设D为在第一象限，E在第四象限联立xabyxa==，解得xayb==故(,)Dab联立xabyxa==−，解得xayb==−故(,)Eab−||2EDb=ODE面积为：1282ODESabab==

=△双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=其焦距为2222222168cabab=+==当且仅当22ab==取等号C的焦距的最小值：8故选：B.【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最

值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.9.设函数()ln|21|ln|21|fxxx=+−−，则f(x)（）A.是偶函数，且在1(,)2+单调递增B.是奇函数，且在11(,)22−单调递减C

.是偶函数，且在1(,)2−−单调递增D.是奇函数，且在1(,)2−−单调递减【答案】D【解析】【分析】根据奇偶性的定义可判断出()fx为奇函数，排除AC；当11,22x−时，利用函数单调性的性质可判断出()fx单调递增

，排除B；当1,2x−−时，利用复合函数单调性可判断出()fx单调递减，从而得到结果.【详解】由()ln21ln21fxxx=+−−得()fx定义域为12xx，关于坐标原点对称，又()()ln12ln21ln21ln21

fxxxxxfx−=−−−−=−−+=−，()fx为定义域上的奇函数，可排除AC；当11,22x−时，()()()ln21ln12fxxx=+−−，()ln21yx=+Q在11,22−上单调递增，()ln12yx=−在

11,22−上单调递减，()fx在11,22−上单调递增，排除B；当1,2x−−时，()()()212ln21ln12lnln12121xfxxxxx+=−−−−==+−−，2121x

=+−在1,2−−上单调递减，()lnf=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()fx在1,2−−上单调递减，D正确.故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的

判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据()fx−与()fx的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.10.已知△ABC是面积为934

的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（）A.3B.32C.1D.32【答案】C【解析】【分析】根据球O的表面积和ABC的面积可求得球O的半径R和ABC外接圆半径r，由球的性质可知所求距离22dRr=−.【详解】设球

O的半径为R，则2416R=，解得：2R=.设ABC外接圆半径为r，边长为a，ABC是面积为934的等边三角形，21393224a=，解得：3a=，22229933434ara=−=−=，球心O到平面ABC的距离22431dRr=−=−=

.故选：C.【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.11.若2233xyxy−−−−，则（）A.ln(1)0yx−+B.ln(1

)0yx−+C.ln||0xy−D.ln||0xy−【答案】A【解析】【分析】将不等式变为2323xxyy−−−−，根据()23ttft−=−的单调性知xy，以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，

进而得到结果.【详解】由2233xyxy−−−−得：2323xxyy−−−−，令()23ttft−=−，2xy=为R上的增函数，3xy−=为R上的减函数，()ft为R上的增函数，xy，0yx−Q，11yx−+，()ln1

0yx−+，则A正确，B错误；xy−Q与1的大小不确定，故CD无法确定.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到,xy的大小关系，考查了转

化与化归的数学思想.12.0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列12naaa满足{0,1}(1,2,)iai=，且存在正整数m，使得(1,2,)imiaai+==成立，则称其为0-1周期序列，并称满足(1

,2,)imiaai+==的最小正整数m为这个序列的周期.对于周期为m的0-1序列12naaa，11()(1,2,,1)miikiCkaakmm+===−是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足1()(1,2,3,4)5Ckk=的序列是

（）A.11010B.11011C.10001D.11001【答案】C【解析】【分析】根据新定义，逐一检验即可【详解】由imiaa+=知，序列ia的周期为m，由已知，5m=，511(),1,2,3,45i

ikiCkaak+===对于选项A，511223344556111111(1)()(10000)55555iiiCaaaaaaaaaaaa+===++++=++++=52132435465711112(2)()(01010)5555iiiCaa

aaaaaaaaaa+===++++=++++=，不满足；对于选项B，51122334455611113(1)()(10011)5555iiiCaaaaaaaaaaaa+===++++=++++=，不满足；对于选项D，51122334455611112(1)()(10

001)5555iiiCaaaaaaaaaaaa+===++++=++++=，不满足；故选：C【点晴】本题考查数列的新定义问题，涉及到周期数列，考查学生对新定义的理解能力以及数学运算能力，是一道中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知单位向量a→,b→的夹角为45°，kab→→−与a→垂直，则k=__________.【答案】22【解析】【分析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k的值.【详解】由题

意可得：211cos452ab→→==，由向量垂直的充分必要条件可得：0kaba→→→−=，即：2202kaabk→→→−=−=，解得：22k=.故答案为：22．【点睛】本题主要考查平面

向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.【答案】36【解析】【分析

】根据题意，有且只有2名同学在同一个小区，利用先选后排的思想，结合排列组合和乘法计数原理得解.【详解】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学先取2名同学看作一组，选法有：246C=现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：336A=根据分步乘法原

理，可得不同的安排方法6636=种故答案为：36.【点睛】本题主要考查了计数原理的综合应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.15.设复数1z，2z满足12||=||=2z

z，123izz+=+，则12||zz−=__________.【答案】23【解析】【分析】方法一：令1,(,)zabiaRbR=+，2,(,)zcdicRdR=+，根据复数的相等可求得2acbd+=

−，代入复数模长的公式中即可得到结果.方法二：设复数12z,z所对应的点为12Z,Z,12OPOZOZ=+,根据复数的几何意义及复数的模，判定平行四边形12OZPZ为菱形，12OZOZ2OP===，进而根据复数的

减法的几何意义用几何方法计算12zz−.【详解】方法一：设1,(,)zabiaRbR=+，2,(,)zcdicRdR=+，12()3zzacbdii+=+++=+，31acbd+=+=，又12||=||=2zz，所以224ab

+=，224cd+=，222222()()2()4acbdacbdacbd+++=+++++=2acbd+=−12()()zzacbdi−=−+−()22()()82acbdacbd=−+−=−+8423=+=.故答案为：

23.方法二：如图所示，设复数12z,z所对应的点为12Z,Z,12OPOZOZ=+,由已知12312OZOZOP=+===,∴平行四边形12OZPZ为菱形，且12,OPZOPZ都是正三角形，∴12Z120OZ=，222221212121||||||2||||cos1202

2222()122ZZOZOZOZOZ=+−=+−−=∴1212z23zZZ−==.【点睛】方法一：本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.方法二：关键是利用复数及其运算的几何意义，转化为几何问题求解16.设有下列四个命题：

p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p4：若直线l平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.则下述命题中所有真命题的序号是__________.①1

4pp②12pp③23pp④34pp【答案】①③④【解析】【分析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题1p的真假；利用三点共线可判断命题2p的真假；利用异面直线可判断命题3p的真假，利用线面垂直的定义可

判断命题4p的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.【详解】对于命题1p，可设1l与2l相交，这两条直线确定的平面为；若3l与1l相交，则交点A在平面内，同理，3l与2l的交点B也在平面内，所以，AB，即3l，命题1p

为真命题；对于命题2p，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题2p为假命题；对于命题3p，空间中两条直线相交、平行或异面，命题3p为假命题；对于命题4p，若直线m⊥平面，则m垂直于平面内所有直线，直线l平面，直线m⊥直线l，

命题4p为真命题.综上可知，，为真命题，，为假命题，14pp为真命题，12pp为假命题，23pp为真命题，34pp为真命题.故答案为：①③④.【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.三、解

答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.ABC中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsi

nC.（1）求A；（2）若BC=3，求ABC周长的最大值.【答案】（1）23；（2）323+.【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出cosA的形式，进而求得A；（2）利用余弦定理可得到()29ACABACAB+−=，利用基本不等式可求得A

CAB+的最大值，进而得到结果.【详解】（1）由正弦定理可得：222BCACABACAB−−=，2221cos22ACABBCAACAB+−==−，()0,A，23A=.（2）由余弦定理得：222222cos9BCACABACABAACABACAB=+−=++=，即()29A

CABACAB+−=.22ACABACAB+（当且仅当ACAB=时取等号），()()()22223924ACABACABACABACABACAB+=+−+−=+，解得：23ACAB+（当且仅当ACAB=时取等号），ABC周长323LACABBC=+++，

ABC周长的最大值为323+.【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系

求得最值.18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i=1

，2，…，20)，其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160iix==，2011200iiy==，2021)80iixx=−=（，2021)9000iiyy=−=（，201

))800iiixyxy=−−=（（.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物

覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.附：相关系数r=12211))))niiiiinniixyxxyyyx===−−−−（（（（，≈1.414.【答案】（1）12000；（2）0

.94；（3）详见解析【解析】【分析】（1）利用野生动物数量的估计值等于样区野生动物平均数乘以地块数，代入数据即可；（2）利用公式20120202211()()()()iiiiiiixxyyrxxyy===−−=−−计算即可；（3）各地块间植

物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样.【详解】（1）样区野生动物平均数为201111200602020iiy===，地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为2006012000=（2）样本(,)iixy(i=1，2，…，20)的相关系数为20120202211

()()800220.943809000()()iiiiiiixxyyrxxyy===−−===−−（3）由（2）知各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积有很强的正相关性，由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从俄各地块间这种野生

动物的数量差异很大，采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构得以执行，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计.【点晴】本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及

抽样方法的选取，考查学生数学运算能力，是一道容易题.19.已知椭圆C1：22221xyab+=(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|C

D|=43|AB|.（1）求C1的离心率；（2）设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程.【答案】（1）12；（2）221:13627xyC+=，22:12Cyx=.【解析】【分析】（1）求出AB、CD，利用43CDAB=可得出关于a、c的齐次等式，可解得椭圆1C的离心

率的值；（2）由（1）可得出1C的方程为2222143xycc+=，联立曲线1C与2C的方程，求出点M的坐标，利用抛物线的定义结合5MF=可求得c的值，进而可得出1C与2C的标准方程.【详解】（1）(),0Fc，ABx⊥轴且与椭圆1C相交于A、B两点，则直线AB的方程为xc=，联立22

222221xcxyababc=+==+，解得2xcbya==，则22bABa=，抛物线2C的方程为24ycx=，联立24xcycx==，解得2xcyc==，4CDc=，43CDAB=，即2843

bca=，223bac=，即222320caca+−=，即22320ee+−=，01eQ，解得12e=，因此，椭圆1C的离心率为12；（2）由（1）知2ac=，3bc=，椭圆1C的方程为2222143x

ycc+=，联立222224143ycxxycc=+=，消去y并整理得22316120xcxc+−=，解得23xc=或6xc=−（舍去），由抛物线的定义可得25533cMFcc=+==，解得3c=.因此，曲线1C的标准方程为2213627xy

+=，曲线2C的标准方程为212yx=.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，同时也考查了利用抛物线的定义求抛物线和椭圆的标准方程，考查计算能力，属于中等题.20.如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩

形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.（1）证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C

1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）1010.【解析】【分析】（1）由,MN分别为BC，11BC的中点，1//MNCC，根据条件可得11//AABB，可证1MNAA//，要证平面11EBCF⊥平面1AAMN，只需证明EF⊥平面

1AAMN即可；（2）连接NP，先求证四边形ONPA是平行四边形，根据几何关系求得EP，在11BC截取1BQEP=，由（1）BC⊥平面1AAMN，可得QPN为1BE与平面1AAMN所成角，即可求得答案.【详解】（

1）,MN分别为BC，11BC的中点，1//MNBB又11//AABB1//MNAA在ABC中，M为BC中点，则BCAM⊥又侧面11BBCC为矩形，1BCBB⊥1//MNBBMNBC⊥由MNAMM=，,MNAM平面

1AAMNBC⊥平面1AAMN又11//BCBC，且11BC平面ABC，BC平面ABC，11//BC平面ABC又11BC平面11EBCF，且平面11EBCF平面ABCEF=11//BCEF//EFBC又BC⊥平面1AAMNEF⊥平面1AAMNEF平面11EBCF平面

11EBCF⊥平面1AAMN（2）连接NP//AO平面11EBCF，平面AONP平面11EBCFNP=//AONP根据三棱柱上下底面平行，其面1ANMA平面ABCAM=，面1ANMA平面1111ABCAN=//ONAP故：四边形ONPA是平行四边形设AB

C边长是6m(0m)可得：ONAP=，6NPAOABm===O为111ABC△的中心，且111ABC△边长为6m16sin6033ONm==故：3ONAPm==//EFBCAPEPAMBM

=3333EP=解得：EPm=在11BC截取1BQEPm==，故2QNm=1BQEP=且1//BQEP四边形1BQPE是平行四边形，1//BEPQ由（1）11BC⊥平面1AAMN故QPN为1BE与平面1AAMN所成角在RtQPN△，根据勾股定理可得：()()222

226210PQQNPNmmm=+=+=210sin10210QNmQPNPQm===直线1BE与平面1AAMN所成角的正弦值：1010.【点睛】本题主要考查了证明线线平行和面面垂直，及其线面角，解题关键是掌握面面垂直转为求证线面垂直的证法和线面角的定义

，考查了分析能力和空间想象能力，属于难题.21.已知函数f(x)=sin2xsin2x.（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；（2）证明：33()8fx；（3）设n∈N*，证明：sin2xsin22

xsin24x…sin22nx≤34nn.【答案】（1）当0,3x时，()()'0,fxfx单调递增，当2,33x时，()()'0,fxfx单调递减，当2,3x

时，()()'0,fxfx单调递增.（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号，最后确定原函数的单调性即可；(2)首先确定函数的周期性，然后结合(1)中的结论确

定函数在一个周期内的最大值和最小值即可证得题中的不等式；(3)对所给的不等式左侧进行恒等变形可得()()()()2222123sinsinsin2sin2sin4sin2sin2sin2nnnfxxxxxxxxx

−=，然后结合(2)的结论和三角函数的有界性进行放缩即可证得题中的不等式.【详解】(1)由函数的解析式可得：()32sincosfxxx=，则：()()224'23sincossinfxxxx=−(

)2222sin3cossinxxx=−()222sin4cos1xx=−()()22sin2cos12cos1xxx=+−，()'0fx=在()0,x上的根为：122,33xx==，当0,3x

时，()()'0,fxfx单调递增，当2,33x时，()()'0,fxfx单调递减，当2,3x时，()()'0,fxfx单调递增.(2)注意到()()()()2

2sinsin2sinsin2fxxxxxfx+=++==，故函数()fx是周期为的函数，结合(1)的结论，计算可得：()()00ff==，233333228f==，223

3333228f=−=−，据此可得：()max338fx=，()min338fx=−，即()338fx.(3)结合(2)的结论有：2222sinsin2sin4sin2nxxxx233333sins

in2sin4sin2nxxxx=()()()2222123sinsinsin2sin2sin4sin2sin2sin2nnnxxxxxxxx−=232333333sinsin2888nxx2

3338n34n=.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何

、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.

并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4—4：坐标系与参数方程]22.已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1：224cos4sinxy==，（θ为参数），C

2：1,1xttytt=+=−（t为参数）.（1）将C1，C2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程.【答

案】（1）()1:404Cxyx+=；222:4Cxy−=；（2）17cos5=.【解析】【分析】（1）分别消去参数和t即可得到所求普通方程；（2）两方程联立求得点P，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.【详

解】（1）由22cossin1+=得1C的普通方程为：()404xyx+=；由11xttytt=+=−得：2222221212xttytt=++=+−，两式作差可得2C的普通方

程为：224xy−=.（2）由2244xyxy+=−=得：5232xy==，即53,22P；设所求圆圆心的直角坐标为(),0a，其中0a，则22253022aa

−+−=，解得：1710a=，所求圆的半径1710r=，所求圆的直角坐标方程为：22217171010xy−+=，即22175xyx+=，所求圆的极坐标方

程为17cos5=.【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程等知识，属于常考题型.[选修4—5：不等式选讲]23.已知函数2()|21|fxxaxa=−+−+.（1）当2a=时，求不等式()4fx的

解集；（2）若()4fx，求a的取值范围.【答案】（1）32xx或112x；（2）(),13,−−+.【解析】【分析】（1）分别在3x、34x和4x三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可

得到()()21fxa−，由此构造不等式求得结果.【详解】（1）当2a=时，()43fxxx=−+−.当3x时，()43724fxxxx=−+−=−，解得：32x≤；当34x时，()4314fxxx=−+−=，无解；当4x时，()43274fxxxx=−+−=−

，解得：112x；综上所述：()4fx的解集为32xx或112x.（2）()()()()22222121211fxxaxaxaxaaaa=−+−+−−−+=−+−=−（当且仅当221axa−时取等号），

()214a−，解得：1a−或3a，a的取值范围为(),13,−−+.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.