【文档说明】2007年高考试题——数学理（重庆卷）.doc，共(14)页，1.112 MB，由envi的店铺上传

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2007年普通高等学校招生全国统一考试数学(重庆理)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）若等差数列{na}的前三项和93=S且11=a，则2a等于（）A．3B.4C.5D.6【答案】：A【

分析】：由3133339Sadd=+=+=可得2.d=213.aad=+=（2）命题“若12x，则11−x”的逆否命题是（）A．若12x，则1x或1−xB.若11−x，则12xC.若1x或1−x，则12xD.若1x或1

−x，则12x【答案】：D【分析】：其逆否命题是：若1x或1−x，则12x。（3）若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（）A．5部分B.6部分C.7部分D.8部分【答案】：C【分析】：可用三线,,abc表示三个平面，如图，将空间

分成7个部分。（4）若nxx)1(+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（）A.10B.20C.30D.120【答案】：B【分析】：6621662646..nrrrrrrnTCxxCx−−−+====3466

20320.rrTC−====（5）在ABC中，,75,45,300===CAAB则BC=（）A.33−B.2C.2D.33+【答案】：A【分析】：003,45,75,ABAC===由正弦定理得：3,,sinsinsin

45sin75624acBCABAC===+33.BC=−（6）从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为（）A．41B．12079C．43D．2423【答案】：C【分析】：可从对立面考虑，即三张价格均不相同，111532

31031.4CCCPC=−=（7）若a是1+2b与1-2b的等比中项，则||2||2baab+的最大值为（）A.1552B.42C.55D.22【答案】：B【分析】：a是1+2b与1-2b的等比中项，则222214414||.ababab

=−+=1||.4ab2224(||2||)4||1.ababab+=+−=2222||4()||2||14||14||14||abababababababab==++++2244411()(2)4|||

|ababab==++−11||4,4||abab242max.||2||324abab=+（8）设正数a,b满足4)(22lim=−+→baxxx,则=++−−+→nnnnnbaaba2111lim（）A．0B．41C．21D．1【答案】：B【分析】：221()44242.2limxa

xaxbababb→+−=+−===11111()()122.11124()2()22limlimlimnnnnnnnnnnnaaaaaabbbaababa+−−→→→+++===+++（9）已知定义域为R的函数f(x)在),8(+上为减函数

，且函数y=f(x+8)函数为偶函数，则（）A.f(6)>f(7)B.f(6)>f(9)C.f(7)>f(9)D.f(7)>f(10)【答案】：D【分析】：y=f(x+8)为偶函数，(8)(8).fxfx+=−+即()yfx=关于直线8x=对称。又f(x)

在),8(+上为减函数，故在(,8)−上为增函数，检验知选D。（10）如图，在四边形ABCD中，||||||4,0,ABBDDCABBDBDDC→→→→→→→++===→→→→=+4||||||||DCBDBDAB，则→→→+ACDCAB

)(的值为（）A.2B.22C.4D.24【答案】：C【分析】：2()()()(||||).ABDCACABDCABBDDCABDC→→→→→+=+++=+||||||4,||||2.||(||||)4,A

BBDDCABDCBDABDC→→→→→→++=+=+=()4.ABDCAC→→→+=二、填空题：本大题共6小题，共24分，把答案填写在答题卡相应位置上（11）复数322ii+的虚部为________.【答案】：45【分析】：3222(2)2424.22555

5iiiiiiii+−+====−++−（12）已知x,y满足+−1421xyxyx，则函数z=x+3y的最大值是________.【答案】：7【分析】：画出可行域，当直线过点（1，2）时，max167.z=+=（13）

若函数f(x)=2221xaxa−−−的定义域为R，则a的取值范围为_______.【答案】：10−，【分析】：220212xaxa−−=恒成立，220xaxa−−恒成立，2(2)40(1)010.aaaaa=

++−（14）设{na}为公比q>1的等比数列，若2004a和2005a是方程24830xx−+=的两根，则=+20072006aa__________.【答案】：18【分析】：2004a和2005a是方程24830xx−+=的两根，故有：200420051232aa

==或200420053212aa==（舍）。3.q=222006200720053()(33)18.2aaaqq+=+=+=（15）某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有___________种。（以数

字作答）【答案】：25【分析】：所有的选法数为47C，两门都选的方法为2225CC。故共有选法数为422725351025.CCC−=−=（16）过双曲线422=−yx的右焦点F作倾斜角为0105的直线，交双曲线于P、Q两点，则|FP||FQ|的值为__________.【答案】

：833【分析】：(22,0),F0tan105(23).k==−+:(23)(22).lyx=−+−代入422=−yx得：2(643)42(743)603230.xx+−+++=设1122121242(743)60323

(,),(,).,.643643PxyQxyxxxx+++==++又2212||1|22|,||1|22|,FPkxFQkx=+−=+−21212||||(1)|22()8|6032316(743)(843)|8|643643(843)(4)83.3643FPFQkx

xxx=+−++++=+−+++++==+三、解答题：本大题共６小题，共76分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）(本小题满分13分)设f(x)=xx2sin3cos62−（1）求f(x)的最大值及最小正周期；(9分)（2）若锐角满足323)(−=f，求

tan54的值。(4分)解：（Ⅰ）1cos2()63sin22xfxx+=−3cos23sin23xx=−+3123cos2sin2322xx=−+23cos236x=++．故()fx的最大值为233+；最小正

周期22T==．（Ⅱ）由()323f=−得23cos233236++=−，故cos216+=−．又由02得2666++，故26+=，解得512=．从而4tantan353==．（18）(本小题满分13分)某单位有三辆汽车参加

某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金.对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位获9000元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次）。设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为111,,,91011且各车是否发生事故相互独立,求一年内该单位在此保

险中：（1）获赔的概率；(4分)（2）获赔金额的分别列与期望。(9分)解：设kA表示第k辆车在一年内发生此种事故，123k=，，．由题意知1A，2A，3A独立，且11()9PA=，21()10PA=，31()11PA=．（Ⅰ）该

单位一年内获赔的概率为123123891031()1()()()19101111PAAAPAPAPA−=−=−=．（Ⅱ）的所有可能值为0，9000，18000，27000．12312389108(0)()()()()9101111PPAAAPAPAP

A=====，123123123(9000)()()()PPAAAPAAAPAAA==++123123123()()()()()()()()()PAPAPAPAPAPAPAPAPA=++1910811089191011

9101191011=++2421199045==，123123123(18000)()()()PPAAAPAAAPAAA==++123123123()()()()()()()()()PAPAPAPAPAPAPAPAPA=++111019181

1910119101191011=++273990110==，123123(27000)()()()()PPAAAPAPAPA===111191011990==．综上知，的分布列为09000180002700

0P811114531101990求的期望有两种解法：解法一：由的分布列得811310900018000270001145110990E=+++299002718.1811=≈（元）．解法二：设k表示第k辆车一年内的获赔金额，123k=，，，则1

有分布列109000P8919故11900010009E==．同理得21900090010E==，319000818.1811E=．综上有1231000900818.182718.18EEEE=++++=（元）．（19）(本小题满分13分)如图，在直三棱

柱ABC—111CBA中，12,AA=AB=1,090ABC=；点D、E分别在D、ABB11上，且DAEB11⊥，四棱锥1ABDAC−与直三棱柱的体积之比为3：5。（1）求异面直线DE与11CB的距离；(8分)（2）若BC=2，求二面角111BDCA−−的平面角的正切值。(5分)解法一：

（Ⅰ）因1111BCAB⊥，且111BCBB⊥，故11BC⊥面11AABB，从而111BCBE⊥，又1BEDE⊥，故1BE是异面直线11BC与DE的公垂线．设BD的长度为x，则四棱椎1CABDA−的体积1V为111111()

(2)366ABDAVSBCDBAAABBCxBC==+=+····．而直三棱柱111ABCABC−的体积2V为21112ABCVSAAABBCAABC===△···．由已知条件12:3:5VV=，故13(2)65x+=，解之得85x=．从而1182255BDBBDB=

−=−=．在直角三角形11ABD中，2221111229155ADABBD=+=+=，又因11111111122ABDSADBEABBD==△··，故1111122929ABBDBEAD==·．（Ⅱ）

如答（19）图1，过1B作11BFCD⊥，垂足为F，连接1AF，因1111ABBC⊥，111ABBD⊥，故11AB⊥面11BDC．由三垂线定理知11CDAF⊥，故11AFB为所求二面角的平面角．在直角11CBD△中，2221111236255CDBCBD=+=+=，又

因11111111122CBDSCDBFBCBD==△··，故11111239BCBDBFCD==·，所以1111133tan2ABAFBBF==．解法二：（Ⅰ）如答（19）图2，以B点为坐标原点O建立空间直角坐标系Oxyz−，则(000)B，，，1(002)B，，，(010)A，，，1(01

2)A，，，则1(002)AA=，，，(010)AB=−，，．设1(02)Ca，，，则11(00)BCa=，，，又设00(0)Eyz，，，则100(02)BEyz=−，，，从而1110BCBE=，即111BEBC⊥．又11BEDA⊥，所以1BE是异面直线

11BC与DE的公垂线．下面求点D的坐标．设(00)Dz，，，则(00)BDz，，．答（19）图2答（19）图1因四棱锥1CABDA−的体积1V为11111()36ABDAVSBCBDAAABBC==+1(2)16zBC=+．而直三棱柱111ABC

ABC−的体积2V为21112ABCVSAAABBCAABC===△．由已知条件12:3:5VV=，故13(2)65z+=，解得85z=，即8005D，，．从而12005DB，，，12015DA=，，，00805DEyz

=−，，．接下来再求点E的坐标．由11BEDA⊥，有110BEDA=，即002(2)05yz+−=（1）又由1DADE∥得0085215zy−=．（2）联立（1），（2），解得0429y=，04829z=，即4480292

9E=，，，得141002929BE=−，，．故221410229292929BE=+=．（Ⅱ）由已知2BC=，则1(202)C，，，从而12(20)5DC=，，，过1B作11BFCD⊥，垂足为F，连

接1AF，设11(0)Fxz，，，则111(02)BFxz=−，，，因为110BFDC=，故11242055xz+−=……………………………………①因11805DFxz=−，，且1DFDC∥得1185225zx−=，

即112822055xz−+=……………………………………②联立①②解得12227x=，14427z=，即244202727F，，．则1210212727AF=−−，，，1210202727BF=−，，．221221023||27279BF=+=

．又11210222(1)0027275AFDC=+−−=，故11AFDC⊥，因此11AFB为所求二面角的平面角．又11(010)AB=−，，，从而1110ABBF=，故11AB⊥1BF，11ABF△为直角三角形，

所以11111||33tan2||ABAFBBF==．（20）(本小题满分13分)已知函数cbxxaxxf−+=44ln)((x>0)在x=1处取得极值–3–c，其中a,b,c为常数。（1）试确定a,b的值；(6分)（2）讨论函数f(x)的单调区间；(4分)（3）若对任意x>0，不等式

22)(cxf−恒成立，求c的取值范围。(3分)解：（I）由题意知(1)3fc=−−，因此3bcc−=−−，从而3b=−．又对()fx求导得3431()4ln4fxaxxaxbxx=++3(4ln4)xaxab=++．由题意(1)0f=，因此40ab+=，解得1

2a=．（II）由（I）知3()48lnfxxx=（0x），令()0fx=，解得1x=．当01x时，()0fx，此时()fx为减函数；当1x时，()0fx，此时()fx为增函数．因此()fx的单调递减区间为(01)，，而()fx的单调递增区间为(1)+，∞

．（III）由（II）知，()fx在1x=处取得极小值(1)3fc=−−，此极小值也是最小值，要使2()2fxc−≥（0x）恒成立，只需232cc−−−≥．即2230cc−−≥，从而(23)(1)0cc−+≥，解得32c≥或．所以c的取值范围为．(21)(本

小题满分12分)已知各项均为正数的数列{na}的前n项和满足，且（1）求{na}的通项公式；(5分)（2）设数列{nb}满足，并记nT为{nb}的前n项和，求证：.(7分)（I）解：由，解得11a=或，

由假设，因此，又由，得，即或，因，故不成立，舍去．因此，从而是公差为3，首项为2的等差数列，故的通项为．（II）证法一：由可解得；从而．因此．令，则．因，故．特别地，从而．即．证法二：同证法一求得nb及nT，由二项式定理知，当时，不等式成立．由

此不等式有．证法三：同证法一求得nb及nT．令，．因．因此．从而．证法四：同证法一求得nb及nT．下面用数学归纳法证明：．当时，，，因此，结论成立．假设结论当nk=时成立，即．则当时，因．故．从而．这就是说，

当时结论也成立．综上对任何成立．(22)(本小题满分12分)如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为F（3，0），右准线l的方程为：x=12。（1）求椭圆的方程；(4分)（2）在椭圆上任取三个不同点321,,PPP，使133221FPPFPPFPP==，证明:为定值，并

求此定值。(8分)解：（I）设椭圆方程为．因焦点为，故半焦距．又右准线l的方程为，从而由已知答（22）图，因此，．故所求椭圆方程为．（II）记椭圆的右顶点为A，并设（i=1，2，3），不失一般性，假设，且，．又设

点iP在l上的射影为iQ，因椭圆的离心率，从而有．解得．因此，而，故为定值．