【文档说明】【精准解析】2020年山东省高考数学试卷（新高考全国Ⅰ卷）（解析版）.doc，共(27)页，2.469 MB，由envi的店铺上传

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2020年普通高等学校招生全国统一考试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.

写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=（）A.{x|2<

x≤3}B.{x|2≤x≤3}C.{x|1≤x<4}D.{x|1<x<4}【答案】C【解析】【分析】根据集合并集概念求解.【详解】[1,3](2,4)[1,4)AB==UU故选：C【点睛】本题考查集合并集，考查基本分析求解能力，属基础题.2.

2i12i−=+（）A.1B.−1C.iD.−i【答案】D【解析】【分析】根据复数除法法则进行计算.【详解】2(2)(12)512(12)(12)5iiiiiiii−−−−===−++−故选：D【点睛】本题

考查复数除法，考查基本分析求解能力，属基础题.3.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）A.120种B.90种C.60种D.30种【答案】C【解析】【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组

合计数和乘法计数原理求解.【详解】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有16C；然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有25C；最后剩下的3名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有126561060CC==种.故选：C【点睛】

本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在

平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（）A.20°B.40°C.50°D.90°【答案】B

【解析】【分析】画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系，根据点A处的纬度，计算出晷针与点A处的水平面所成角.【详解】画出截面图如下图所示，其中CD是赤道所在平面的截线；l是点A处的水平面的截线，依题意可知OAl⊥；AB是晷针

所在直线.m是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，根据平面平行的性质定理可得可知//mCD、根据线面垂直的定义可得ABm⊥..由于40,//AOCmCD=，所以40OAGAOC==，由于9

0OAGGAEBAEGAE+=+=，所以40BAEOAG==，也即晷针与点A处的水平面所成角为40BAE=.故选：B【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查球体有关计算，涉及平面平行，线面垂直的性质，属于中档题.5.某中学

的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A.62%B.56%C.46%D.42%【答案】C【解析】【分析】记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”

为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件AB+，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件AB，然后根据积事件的概率公式()PAB=()()()PAPBPAB+−+可得结果.【详解】记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或

游泳”为事件AB+，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件AB，则()0.6PA=，()0.82PB=，()0.96PAB+=，所以()PAB=()()()PAPBPAB+−+0.60.820.960.46=+−=所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学

生数占该校学生总数的比例为46%.故选：C.【点睛】本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.6.基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e)rtIt=描

述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)

（）A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天【答案】B【解析】【分析】根据题意可得()0.38rttItee==，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1t天，根据10.38()0.382ttte

e+=，解得1t即可得结果.【详解】因为03.28R=，6T=，01RrT=+，所以3.2810.386r−==，所以()0.38rttItee==，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1t天，则10

.38()0.382tttee+=，所以10.382te=，所以10.38ln2t=，所以1ln20.691.80.380.38t=天.故选：B.【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属

于基础题.7.已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则APAB的取值范围是（）A.()2,6−B.(6,2)−C.(2,4)−D.(4,6)−【答案】A【解析】【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到AP在AB方向上的投影的取值范围是(1,3

)−，利用向量数量积的定义式，求得结果.【详解】AB的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP在AB方向上的投影的取值范围是(1,3)−，结合向量数量积的定义式，可知APAB等于AB的模与AP在AB方向上的投影的乘积，所以APA

B的取值范围是()2,6−，故选：A.【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.8.若定义在R的奇函数f(x)在(,0)−单调递减，且f(2)=0，则满足(10)xfx−的x的取值范

围是（）A.[)1,1][3,−+B.3,1][,[01]−−C.[1,0][1,)−+D.[1,0][1,3]−【答案】D【解析】【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()fx在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后

求并集得结果.【详解】因为定义在R上的奇函数()fx在(,0)−上单调递减，且(2)0f=，所以()fx在(0,)+上也是单调递减，且(2)0f−=，(0)0f=，所以当(,2)(0,2)x−−时，()0fx，当(2,0)(2,)x−+时，()0fx，所以

由(10)xfx−可得：0210xx−−或0012xx−或0x=解得10x−≤≤或13x，所以满足(10)xfx−的x的取值范围是[1,0][1,3]−，故选：D.【点睛】本题考查利用函数奇偶性与

单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.已知曲线22:1Cmxny+=.（

）A.若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B.若m=n>0，则C是圆，其半径为nC.若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为myxn=−D.若m=0，n>0，则C是两条直线【答案】ACD【解析】【分析】结合选项进行逐项分析求解

，0mn时表示椭圆，0mn=时表示圆，0mn时表示双曲线，0,0mn=时表示两条直线.【详解】对于A，若0mn，则221mxny+=可化为22111xymn+=，因为0mn，所以11mn

，即曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；对于B，若0mn=，则221mxny+=可化为221xyn+=，此时曲线C表示圆心在原点，半径为nn的圆，故B不正确；对于C，若0mn，则221mxny+=可化为2

2111xymn+=，此时曲线C表示双曲线，由220mxny+=可得myxn=−，故C正确；对于D，若0,0mn=，则221mxny+=可化为21yn=，nyn=，此时曲线C表示平行于x轴的两条直线，故D正确；故选：ACD.

【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.10.下图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)=（）A.πsin(3x+）B.πsin(2)3x−C.πcos(26x+）D.5πcos(2)

6x−【答案】BC【解析】【分析】首先利用周期确定的值，然后确定的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果.【详解】由函数图像可知：22362T=−=，则222T===，所以不选A,当2536212x+==时，1y=−()5322122k

kZ+=+，解得：()223kk=+Z，即函数的解析式为：2sin22sin2cos2sin236263yxkxxx=++=++=+=−

.而5cos2cos(2)66xx+=−−故选：BC.【点睛】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝2T

即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对

A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.11.已知a>0，b>0，且a+b=1，则（）A.2212ab+B.122ab−C.22loglog2ab+−D.2ab+【答案】ABD【解析】【分析】根据1ab+=，结合基本不

等式及二次函数知识进行求解.【详解】对于A，()222221221abaaaa+=+−=−+21211222a+−=，当且仅当12ab==时，等号成立，故A正确；对于B，211aba−=−−，所以11222ab−−=，故B正

确；对于C，2222221logloglogloglog224ababab++===−，当且仅当12ab==时，等号成立，故C不正确；对于D，因为()21212ababab+=+++=，所以2ab+，当且仅

当12ab==时，等号成立，故D正确；故选：ABD【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.12.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为1,2,,n，且1

()0(1,2,,),1niiiPXipinp=====，定义X的信息熵21()logniiiHXpp==−.（）A.若n=1，则H(X)=0B.若n=2，则H(X)随着1p的增大而增大C.若1(1,2,,)ipinn==，则H(X)随着n的增大而增大D.若n=2m，随机变量Y所有可能的

取值为1,2,,m，且21()(1,2,,)jmjPYjppjm+−==+=，则H(X)≤H(Y)【答案】AC【解析】【分析】对于A选项，求得()HX，由此判断出A选项；对于B选项，利用特殊值法进行排除；对于C选项，计算出()HX，利用对数函数的性质可判断出C选项；对于

D选项，计算出()(),HXHY，利用基本不等式和对数函数的性质判断出D选项.【详解】对于A选项，若1n=，则11,1ip==，所以()()21log10HX=−=，所以A选项正确.对于B选项，若2n=，则1,2i=，211pp=−，所以

()()()121121Xlog1log1Hpppp=−+−−，当114p=时，()221133loglog4444HX=−+，当13p4=时，()223311loglog4444HX=−+，两者相等，所以B选项错误.对于C选项，若

()11,2,,ipinn==，则()222111logloglogHXnnnnn=−=−=，则()HX随着n的增大而增大，所以C选项正确.对于D选项，若2nm=，随机变量Y的所有可能的取值为1,2,,m，且()21jmjPYjpp+−==+（1,2,

,jm=）.()2222111loglogmmiiiiiiHXpppp===−=122221222122121111loglogloglogmmmmpppppppp−−=++++.()HY=()()()1222212121222111

11logloglogmmmmmmmmpppppppppppp−+−++++++++++12222122212221221121111loglogloglogmmmmmmpppppppppppp−−−=++++++++由于()01,2,,2ipi

m=，所以2111iimippp+−+，所以222111loglogiimippp+−+，所以222111loglogiiiimippppp+−+，所以()()HXHY，所以D选项错误.故选：AC【点睛】本小题主要考查对新定义“信息熵”的理解和运用，

考查分析、思考和解决问题的能力，涉及对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用，属于难题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.斜率为3的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则AB=________．【答案】163【解析】【分析】先根据抛物线

的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y并整理得到关于x的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果.【详解】∵抛物线的方程为24yx=，∴抛物线的焦

点F坐标为(1,0)F，又∵直线AB过焦点F且斜率为3，∴直线AB的方程为：3(1)yx=−代入抛物线方程消去y并化简得231030xx−+=，解法一：解得121,33xx==所以212116||1||13|3|33ABkxx=+−=+−=解法二

：10036640=−=设1122(,),(,)AxyBxy，则12103xx+=,过,AB分别作准线1x=−的垂线，设垂足分别为,CD如图所示.12||||||||||11ABAFBFACBDxx=+=+=+++1216+2=3xx

=+故答案为：163【点睛】本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题.14.将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．【答案】232nn−【解析】【分析】首先判断出数

列21n−与32n−项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.【详解】因为数列21n−是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列32n−是以1首项，以3为公差的等差数列，所以

这两个数列的公共项所构成的新数列na是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以na的前n项和为2(1)16322nnnnn−+=−，故答案为：232nn−.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等差数列求和公式，属于简

单题目.15.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=35，//BHDG，EF=12cm，DE=2cm，A到直线DE和EF

的距离均为7cm，圆孔半径为1cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．【答案】542+【解析】【分析】利用3tan5ODC=求出圆弧AB所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出扇形AOB的面积，求出直角OAH△的面积，阴影部分的面积可通过

两者的面积之和减去半个单位圆的面积求得.【详解】设==OBOAr，由题意7AMAN==，12EF=，所以5NF=，因为5AP=,所以45AGP=，因为//BHDG，所以45AHO=，因为AG与圆弧

AB相切于A点，所以OAAG⊥，即OAH△为等腰直角三角形；在直角OQD△中，252OQr=−，272DQr=−，因为3tan5OQODCDQ==，所以3252212522rr−=−，解得22r=；等腰直角OAH△的面积为11222242S==；扇形AOB的面积()221

322324S==，所以阴影部分的面积为1215422SS+−=+.故答案为：542+.【点睛】本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背景，体现了五育并举的育人方针.16.已

知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以1D为球心，5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．【答案】22.【解析】【分析】根据已知条件易得1DE3=，1DE⊥侧面11BCCB，可得侧面11BCCB与球面的交

线上的点到E的距离为2，可得侧面11BCCB与球面的交线是扇形EFG的弧FG，再根据弧长公式可求得结果.【详解】如图：取11BC的中点为E，1BB的中点为F，1CC的中点为G，因为BAD=60°，直四棱柱1111ABCDABCD−的棱长均为

2，所以△111DBC为等边三角形，所以1DE3=，111DEBC⊥，又四棱柱1111ABCDABCD−为直四棱柱，所以1BB⊥平面1111DCBA，所以111BBBC⊥，因为1111BBBCB=，所以1DE⊥侧面11BCCB，设P

为侧面11BCCB与球面的交线上的点，则1DEEP⊥，因为球的半径为5，13DE=，所以2211||||||532EPDPDE=−=−=，所以侧面11BCCB与球面的交线上的点到E的距离为2，因为||||2EFEG==，所以侧面11BCCB与球面的交线是扇形EFG的弧FG，因为114BEFCE

G==，所以2FEG=，所以根据弧长公式可得2222FG==.故答案为：22.【点睛】本题考查了直棱柱的结构特征，考查了直线与平面垂直的判定，考查了立体几何中的轨迹问题，考查了扇形中的弧长公式，属于中档题.四、解答题：本题共6小

题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.在①3ac=，②sin3cA=，③3=cb这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC，它的内角,,ABC的对边分别为,,abc，且sin3sinAB=，6

C=，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】详见解析【解析】【分析】解法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a,b的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到c的长度，根据选择的条件进行分析判断和

求解.解法二：利用诱导公式和两角和的三角函数公式求得tanA的值，得到角,,ABC的值，然后根据选择的条件进行分析判断和求解.【详解】解法一：由sin3sinAB=可得：3ab=，不妨设()3,0ambmm==，则：22222232c

os3232cababCmmmmm=+−=+−=，即cm=.选择条件①的解析：据此可得：2333acmmm===，1m=，此时1cm==.选择条件②的解析：据此可得：222222231cos222bcammmAbcm+−+

−===−，则：213sin122A=−−=，此时：3sin32cAm==，则：23cm==.选择条件③的解析：可得1cmbm==，cb=，与条件3=cb矛盾，则问题中的三角形不存在.解法二：∵()3,,6sinAsinBCB

AC===−+,∴()3sin3sin6sinAACA=+=+,()313sin3?3?22sinAACsinAcosA=+=+，∴3sinAcosA=−,∴3tanA=−,∴23A=,∴6BC==,若选①，3a

c=,∵33abc==,∴233c=,∴c=1;若选②，3csinA=,则332c=,23c=;若选③,与条件3=cb矛盾.【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式

一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．18.已知公比大于1的等比数列{}na满足24320,8aaa+==．（1）求{}na的通项公式；（2）记mb为{}na在区间*(0,]()mmN中的项的个数，

求数列{}mb的前100项和100S．【答案】（1）2nna=；（2）100480S=.【解析】【分析】（1）利用基本元的思想，将已知条件转化为1,aq的形式，求解出1,aq，由此求得数列na的通项公式.（2）通过分析数列mb的规律，由此求得数列mb的前100项和100S.【详解】（

1）由于数列na是公比大于1的等比数列，设首项为1a，公比为q，依题意有31121208aqaqaq+==，解得解得12,2aq==，或1132,2aq==(舍)，所以2nna=，所以数列na的通项公式为2nna=.（

2）由于123456722,24,28,216,232,264,2128=======，所以1b对应的区间为：(0,1，则10b=；23,bb对应的区间分别为：((0,2,0,3，则231bb==，即有2个1；4

567,,,bbbb对应的区间分别为：((((0,4,0,5,0,6,0,7，则45672bbbb====，即有22个2；8915,,,bbb对应的区间分别为：(((0,8,0,9,,0,15，则89153bbb====，即有32个3；161731,,,b

bb对应的区间分别为：(((0,16,0,17,,0,31，则1617314bbb====，即有42个4；323363,,,bbb对应的区间分别为：(((0,32,0,33,,0,63，则3233635bbb=

===，即有52个5；6465100,,,bbb对应的区间分别为：(((0,64,0,65,,0,100，则64651006bbb====，即有37个6.所以23451001222324252637480S=+++++=.【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查

分析思考与解决问的能力，属于中档题.19.为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和2SO浓度（单位：3μg/m），得下表：（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO浓度不超过150”的

概率；（2）根据所给数据，完成下面的22列联表：（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2SO浓度有关？附：22()()()()()nadbcKabcdacbd−=++++，【答案】（1）0.64；（2）答案见解析；（3）有.【解

析】【分析】（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果；（2）根据表格中数据可得22列联表；（3）计算出2K，结合临界值表可得结论.【详解】（1）由表格可知，该市100天中，空气中的2.5PM浓度不超过

75，且2SO浓度不超过150的天数有32618864+++=天，所以该市一天中，空气中的2.5PM浓度不超过75，且2SO浓度不超过150的概率为640.64100=；（2）由所给数据，可得22列联表为：2SO2.5PM0,150(150

,475合计0,75641680(75,115101020合计7426100（3）根据22列联表中的数据可得222()100(64101610)()()()()80207426nadbcKabcdacbd−−==++++36007.48446.635481=，因

为根据临界值表可知，有99%的把握认为该市一天空气中2.5PM浓度与2SO浓度有关.【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，考查了完善22列联表，考查了独立性检验，属于中档题.20.如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面P

AD与平面PBC的交线为l．（1）证明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．【答案】（1）证明见解析；（2）63.【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证得AD⊥平面PDC，利用线面平行的判定定

理以及性质定理，证得//ADl，从而得到l⊥平面PDC；（2）根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设出点(,0,1)Qm，之后求得平面QCD的法向量以及向量PB的坐标，求得cos,nPB的最大值，即为直线PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.

【详解】（1）证明：在正方形ABCD中，//ADBC，因为AD平面PBC，BC平面PBC，所以//AD平面PBC，又因为AD平面PAD，平面PAD平面PBCl=，所以//ADl，因为在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是正方形，所以,,

ADDClDC⊥⊥且PD⊥平面ABCD，所以,,ADPDlPD⊥⊥因为CDPDD=所以l⊥平面PDC；（2）如图建立空间直角坐标系Dxyz−，因为1PDAD==，则有(0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(1,1,0)DCAPB，设(,0,1)Qm，则有

(0,1,0),(,0,1),(1,1,1)DCDQmPB===−，设平面QCD的法向量为(,,)nxyz=，则00DCnDQn==，即00ymxz=+=，令1x=，则zm=−，所以平面QCD的一个法向量为(1,0,)nm=−，则210cos,31nPBmnPBnPBm++

==+根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与平面所成角的正弦值等于2|1||cos,|31mnPBm+=+ruur2231231mmm++=+223232||361111313133mmmm=+++=++

，当且仅当1m=时取等号，所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为63.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定和性质，线面垂直的判定和性质，利用空间向量求线面角，利用基本不等式求最值，属于中档题目.21.已知函数1()elnl

nxfxaxa−=−+．（1）当ae=时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．【答案】（1）21e−（2）[1,)+【解析】【分析】【分

析】（1）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，根据点斜式得切线方程，求出与坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得结果；（2）解法一：利用导数研究，得到函数()fx得导函数()’fx的单调递增，当a=1时由()’10f=得()()11

minfxf==,符合题意；当a>1时，可证1()(1)0ffa，从而()'fx存在零点00x，使得01001()0xfxaex−=−=，得到min()fx，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式可以证得()1x恒成立；当01a时，研究()f1.即可得到

不符合题意.综合可得a的取值范围.解法二：利用指数对数的运算可将()111lnaxlnxfxelnaxelnx+−++−+转化为,令()xgxex=+,上述不等式等价于()()1glnaxglnx+−,注意到()gx

的单调性，进一步等价转化为1lnalnxx−+，令()1hxlnxx=−+,利用导数求得()maxhx，进而根据不等式恒成立的意义得到关于a的对数不等式，解得a的取值范围.【详解】（1）()ln1x

fxex=−+Q，1()xfxex=−，(1)1kfe==−.(1)1fe=+Q，∴切点坐标为(1,1+e),∴函数f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为1(1)(1)yeex−−=−−,即()12yex=−+,切线与坐标轴交点坐标分别为2(0,2),(,0)1e−−,

∴所求三角形面积为1222||=211ee−−−;（2）解法一：1()lnlnxfxaexa−=−+Q,11()xfxaex−=−，且0a.设()()gxfx=,则121()0,xgxae

x−=+∴g(x)在(0,)+上单调递增，即()fx在(0,)+上单调递增，当1a=时，()01f=,∴()()11minfxf==,∴()1fx成立.当1a时，11a，111ae−∴，111()(1)(1)(1)0affaeaa−=−−,∴存在唯一00x，使得010

01()0xfxaex−=−=，且当0(0,)xx时()0fx，当0(,)xx+时()0fx，0101xaex−=，00ln1lnaxx+−=−，因此01min00()()lnlnxfxfxaexa−==−+000

011ln1ln2ln122ln1axaaxaxx=++−+−+=+>1,∴()1,fx∴()1fx恒成立；当01a时，(1)ln1,faaa=+∴(1)1,()1ffx不是恒成立.综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞).解法二：()111xlnaxfx

aelnxlnaelnxlna−+−=−+=−+等价于11lnaxlnxelnaxlnxxelnx+−++−+=+,令()xgxex=+,上述不等式等价于()()1glnaxglnx+−,显然()gx为单调增函数，∴又等价于1lnaxlnx+−，即1

lnalnxx−+，令()1hxlnxx=−+,则()111xhxxx−=−=在()0,1上h’(x)>0,h(x)单调递增；在(1,+∞)上h’(x)<0,h(x)单调递减，∴()()10maxhxh==,01lnaa，即，∴a的取值范围是[1,+∞).【点睛】

本题考查导数几何意义、利用导数研究不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，分类讨论思想和等价转化思想，属较难试题.22.已知椭圆C：22221(0)xyabab+=的离心率为22，且过点()2,1A．（1）求C的方程：（2）点M，N在C上，且AMAN⊥，ADMN⊥，D为垂足．证明

：存在定点Q，使得DQ为定值．【答案】（1）22163xy+=；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）由题意得到关于,,abc的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.（2）设出点M，N的坐标，在斜率存在时设方程为ykx

m=+,联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到,mk的关系，进而得直线MN恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点Q的位置.【详解】（1）由题意可得：2222222411caababc

=+==+，解得：2226,3abc===，故椭圆方程为：22163xy+=.(2)设点()()1122,,,MxyNxy，若直线MN斜率存在时，设直线MN的方程为：ykxm=+，代入椭圆方程消去y并整理得：()22212k4260xkmxm+++−=，

可得122412kmxxk+=−+，21222612mxxk−=+，因为AMAN⊥，所以·0AMAN=，即()()()()121222110xxyy−−+−−=，根据1122,kxmykxmy=+=+,代入整理可得：()()()()22121212140xxkmkxxkm+

+−−++−+=，所以()()()22222264k121401212mkmkmkmkk−++−−−+−+=++，整理化简得()()231210kmkm+++−=，因为2,1A（）不在直线MN上，所以210km+−，故23101kmk++=，，于是MN的方程为213

3ykx=−−()1k，所以直线过定点直线过定点21,33P−.当直线MN的斜率不存在时，可得()11,Nxy−，由·0AMAN=得：()()()()111122110xxyy−−+−−−=，得()1221210xy

−+−=，结合2211163xy+=可得：2113840xx−+=，解得：123x=或22x=（舍）.此时直线MN过点21,33P−.令Q为AP的中点，即41,33Q，若D与P不重

合，则由题设知AP是RtADP△的斜边，故12223DQAP==，若D与P重合，则12DQAP=，故存在点41,33Q，使得DQ为定值.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用AMAN⊥得·0AMAN=，转化为坐标运算，

需要设直线MN的方程，点()()1122,,,MxyNxy，因此需要讨论斜率存在与不存在两种情况，当直线MN斜率存在时，设直线MN的方程为：ykxm=+，与椭圆方程联立消去y可12xx+，12xx代入·0A

MAN=即可，当直线MN的斜率不存在时，可得()11,Nxy−，利用坐标运算以及三角形的性质即可证明，本题易忽略斜率不存在的情况，属于难题.