【文档说明】湖南省长沙市长郡中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试卷含答案.docx，共(13)页，1.200 MB，由envi的店铺上传

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长郡中学2022年下学期高二期中考试数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共8页。时量120分钟。满分150分。第Ⅰ卷一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．在数列na中,12nnaa+=−

且11a=,则na=（）A．22n−B．2(2)n−−C．12n−D．1(2)n−−2．在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中,1ABCBCB−+=（）A．1B．2C．3D．23．在平面直角坐标系xOy中,以点(0,1)为圆心且与直线10xy−−=相切的圆的标准方程为（

）A．22(1)2xy+−=B．22(1)1xy−+=C．22(1)2xy+−=D．22(1)4xy−+=4．在等比数列na中,124aa+=,若123,2,aaa+成等差数列,则na的公比为（）A．5B．4C．3D．25．若一个椭圆的长轴长和焦距之和为短轴长的两倍

，则该椭圆的离心率为（）A．45B．35C．25D．156．已知某圆锥的母线长为2，记其侧面积为S，体积为V，则当VS取得最大值时，母线与圆锥底面所成角的正弦值为（）A．22B．32C．12D．347．阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家,

他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆22221(0)xyabab+=的右焦点为(3,0)F，过F作直线l交椭圆于,AB两点，若弦AB中点坐标为(2,-1)，则椭圆的面积为（）A．362B．1

82C．92D．628．如图，在棱长为2的正四面体ABCD中，点,NM分别为ABC和ABD的重心,P为线段CM上一点，则（）A．APBP+的最小值为2B．若DP⊥平面ABC，则64CPCM=C．若DP⊥平面ABC，则三棱锥PABC−外接球的表面积为92D．若F为线段EN的中点

，且//DPMF，则25MPMC=二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9．已知直线12:4340,:(2)(1)250()lxylmxmymm−+=+−+++

=R，则（）A．直线2l过定点(-2,-1)B．当1m=时,12ll⊥C．当2m=时,12//llD．当12//ll时,两直线12,ll之间的距离为110．若na是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是（）A．naB．1nnaa+−C．npaq+(,

pq为常数)D．2nan+11.“堑堵”“阳马”和“鳖臑”是我国古代对一些特殊几何体的称谓.《九章算术·商功》:“斜解立方,得两堑堵,斜解堑堵,其一为阳马,其一为鳖臑.”一个长方体沿对角面斜解(图1),得到一模一样的两个堑堵(图2),再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解(

图2),得一个四棱锥称为阳马(图3),一个三棱锥称为鳖臑(图4).若长方体的体积为V，由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为123,,VVV，则下列选项正确的是（）A．123VVVV++=B．122VV=C．233VV=D．36VV=12．已

知F是抛物线2:4Cyx=的焦点,,AB是抛物线C上的两点,O为坐标原点，则（）A．若||4AF=，则AOF的面积为3B．若OAOB⊥，则||||32OAOB…C．抛物线C的准线方程为2x=−D．若60,AF

BAB=的中点M在抛物线C的准线上的投影为N，则||||MNAB„第Ⅱ卷三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13．椭圆2214924yx+=与双曲线22124xy−=有公共点P，则P与双曲线两焦点连线构成三角形的周长为_____.14．已知(2,1,1),(

1,1,0),(1,0,)=−=−=bca，若bc、、a三向量共面，则实数=_____.15．在平面直角坐标系中,(0,1),(0,2)AB，若动点C在直线yx=上，圆M过,,ABC三点,则圆M的面积最小值为_

____.16．已知数列na满足114,2(1)nnanana+==+,则数列na的通项公式为_____,若数列(1)(2)nann++的前n项和为nS，则满足不等式30nS…的n的最小值为_____.四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证

明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)如图，在棱长是2的正方体1111ABCDABCD−中,,EF分别为1,ABAC的中点.(1)求异面直线EF与1CD所成角的大小;(2)证明:EF⊥平面1AC

D.18．(本小题满分12分)已知曲线C上任一点P与点(1,0)F的距离与它到直线10x+=的距离相等.(1)求曲线C的方程;(2)求过定点(0,1)M−，且与曲线C只有一个公共点的直线的方程.19．(本小题满分12分)

在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点坐标分别为(0,0),(2,0),(3,3)ABC−−−.(1)求BC边上的中线AD所在直线的方程;(2)求ABC的外接圆O被直线:10lxy−+=截得的弦长.20．(本小题满分12分)已知各项均不为

零的数列na的前n项和为nS，且满足()*114,44nnaSSn+==+N.(1)求数列na的通项公式;(2)设数列nb满足2log,nnnnabab=的前n项和为nT，证明:89nT.21．(本小题满分12分)如图，在四棱锥SABCD−中，四边形ABCD是矩形,SAD是正

三角形，且平面SAD⊥平面,1,ABCDABP=为棱AD的中点,四棱锥SABCD−的体积为233.(1)若E为棱SB的中点,求证://PE平面SCD;(2)在棱SA上是否存在点M，使得平面PMB与平面SAD所成锐二面角的余弦值为235?若存在,指出点M的位置并给以证明;若不存在，请

说明理由.22．(本小题满分12分)已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的离心率为2,F为双曲线的右焦点，直线l过F与双曲线的右支交于,PQ两点，且当l垂直于x轴时,6PQ=.(1)求双曲线C的方程;(2)

过点F且垂直于l的直线l与双曲线交于,MN两点，求MPNQMQNP+的取值范围.长郡中学2022年下学期高二期中考试数学参考答案题号123456789101112答案DBACBACDCDBCDADABD一、选择题（本

大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）8．D【解析】如图，易得DEAB⊥，CEAB⊥，又DECEE=，则AB⊥平面CDE，又CM平面CDE，则ABCM⊥，同理可得CMBD⊥，ABBDB=，则CM⊥平面ABD，又AM

，BM平面ABD，所以CMBM⊥，CMAM⊥．则当点P与点M重合时，APBP+取得最小值，又22222321333AMBMDMDE====−=，则最小值为433AMBM+=，A错误．在正四面体ABCD中，因为DP⊥平面ABC，易得P在DN上，所以DNCMP=，又点N，M也是A

BC△和ABD△的内心，则点P为正四面体ABCD内切球的球心．22333CNCE==，22263DNCDCN=−=．设正四面体ABCD内切球的半径为r，因为DABCPABCPABDPBCDPACDVVVV

V−−−−−=+++，所以1111133333ABCABCABDBCDACDSDNSrSrSrSr=+++△△△△△，解得646DNrNP===，即34DPDN=，故34CPCM=，B错误．设三棱锥PABC−外接球的球心为O，半径为R，易得球心O在直线DN上，且ON

NC⊥，如图．则2222()ROCCNOPNP==+−，解得364R=，故三棱锥PABC−外接球的表面积为22742R=，C错误．若F为线段EN的中点，则1126EFENEC==，111111636666MFMEECDEEDDCDEDC=+=++=+=11

46DMDC+．设MPMC=，则(1)DPDMMCDMMDDCDMDC=+=++=−+．因为DPMF∥，所以设MFDP=，则1(1),41,6=−=解得2,55,12==故25MPMC=

，D正确．二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）12．ABD【解析】因为拋物线2:4Cyx=，故2

p=，焦点(1,0)F，准线为1x=−，设()11,Axy，()22,Bxy，对于A，如图1，由抛物线的定义可知12pAFx=+，即114x+=，故13x=，代入24yx=，解得123y=，所以111123322AOFSOFy===△，故A正确；对于B，

由OAOB⊥得0OAOB=，故12120xxyy+=，即1212xxyy=−，又2114yx=，2224yx=，故2212121212441616yyxxxxyy===−，得1216yy=−或120yy=

（舍去），则121216xxyy=−=，()()222222222222222112212122112()OAOBOAOBxyxyxxxyxyyy==++=+++222222222222212122112216216(16)(16)416xxxyxyyy++=+−+−=，故241

621632OAOB==，故B正确；对于C，易知准线为1x=−，故C错误；对于D，如图2，过A，B作准线的垂线，垂足分别为1A，1B，连接MN，()1111(|)22MNAABBAFBF=+=+，在ABF△中，60AFB=，222

2222cos()3ABAFBFAFBFAFBAFBFAFBFAFBFAFBF=+−=+−=+−2222()()324AFBFAFBFAFBFMN+++−==，所以ABMN，即MNAB，故D正

确．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．2414．115．2【解析】如图，要使圆M的面积尽可能小，则C，点位于第一象限，设(,)(0)Caaa，又(0,1)A，(0,2)B，所以线段AB的中垂线方程为32y=，则圆心在直线32y=上，不妨设圆心坐标为3,2Mm

，圆的半径为r，所以BMMCr==，即222222331()2224rmaamm=−+−=+−=+，则2222912344mamaaam−++−+=+，所以22232amaa=−+，所以22321313122222aamaaaaa−

+==+−−=，当且仅当1aa=即1a=时取等号，所以()22min111242r=+=，所以圆M面积的最小值为2，此时(1,1)C．16．12nnan+=；6（第一空2分，第二空3分）【解析】在数列na中，14a=，由12(1)nnnana+=+得121nnaa

nn+=+，而141a=，于是得数列nan是以4为首项，2为公比的等比数列，则142nnan−=，即12nnan+=，所以数列na的通项公式为12nnan+=；显然，121212(1)2(2)222(1)(2)(1)(2)(1)(2)21nnnnnnannnn

nnnnnnn++++++−+===−++++++++，则32435412122222222222223243541212nnnnnnSnnnnn++++=−+−+−++−+−=−++++

，由30nS得222302nn+−+，即22322nn++，令222nnbn+=+，则12(2)13nnbnbn++=+，即数列nb是递增数列，由22322nn++，得32nb，而632b=，因此，6nbb，从而得6n，

min6n=，所以满足不等式30nS的n的最小值为6．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．【解析】根据题意，建立如图所示空间直角坐标系．则(0,0,0)D，1

(2,0,2)A，(0,2,0)C，(2,1,0)E，(1,1,1)F，1(0,0,2)D∴(1,0,1)EF=−，1(0,2,2)CD=−，1(2,0,2)D=，(0,2,0)DC=．（1）111100(2)121cos,2222EFCDE

FCDEFCD−+−+===，∴1,60EFCD=，∴异面直线EF和1CD所成的角为60°．（2）11200120EFDA=−++=，∴1EFDA⊥，即1EFDA⊥，1002100EFDC=−

++=，∴EFDC⊥，即EFDC⊥．又∵1DA，DC平面1DCA，且1DADCD=，∴EF⊥平面1ACD．18．【解析】（1）设P的坐标(,)xy，由抛物线的定义可知，P的轨迹为抛物线，且焦点在x轴上，焦点坐标()1,0F，所以P的轨迹方程为24yx=．（2）当直线过点(0,1)M−，且

斜率为0时，即直线与拋物线的对称轴平行时，直线与曲线有一个公共点，此时直线的方程为1y=−；当过(0,1)M−的直线的斜率不存在时，即直线的方程为0x=，显然与拋物线相切；当过(0,1)M−的直线斜率存在时，设直线的方程为1yk

x=−，联立21,4,ykxyx=−=整理可得22(24)10kxkx−++=，则0=，即22(24)40kk+−=，解得1k=−，此时直线的方程为1yx=−−，综上所述，满足条件的直线的方程为1y=−或0x=或1yx=−−．1

9．【解析】（1）∵(2,0)B−，(3,3)C−−，∴BC边的中点D的坐标为53,22−−，∴中线AD的斜率为30325502−−=−−，∴中线AD的直线方程为30(0)5yx−=−，即350xy−=．（2）设ABC△的外接圆O的方程为220xyDxEyF++++=，∵A，B

，C三点在圆上，∴0,420,99330,FDFDEF=−+=+−−+=解得2,4,0,DEF===∴外接圆O的方程为22240xyxy+++=，即22(1)(2)5xy+++=，其中圆心O为(1,2)−−，

半径5r=，又圆心O到直线l的距离为221(2)121(1)d−−−+==+−，∴被截得的弦长的一半为223rd−=，∴被截得的弦长为23．20．【解析】（1）*nN，144nnSS+=+，当2n时，144nnSS−=+，两式相减得14nnaa+=，由212144Saaa=+=+得216a

=，即214aa=，满足上式，因此*nN，14nnaa+=，于是得数列na是首项为4，公比为4的等比数列，1144nnnaa−==，所以数列na的通项公式是4nna=．（2）由（1）知，4nna=，而2lognnnaba=，则42

nnbn=，即24nnnb=，则2312462(1)244444nnnnnT−−=+++++，23111242(2)2(1)2444444nnnnnnnT−+−−=+++++，两式相减得231112114432222222861444444433414

nnnnnnnnnT+++−+=++++−=−=−−，所以88689949nnnT+=−．21．【解析】（1）如图，取SC中点F，连接EF，FD，∵E，F分别为SB，SC的中点，∴EFBC∥，1

2EFBC=，∵底面四边形ABCD是矩形，P为棱AD的中点，∴PDBC∥，12PDBC=，∴EFPD∥，EFPD=，故四边形PEFD是平行四边形，∴PEFD∥．又∵FD平面SCD，PE平面SCD，∴PE∥平面SCD．（2）假设在棱SA上存在点M满足题意，在等边SAD△中，P为AD的中点

，∴SPAD⊥，又平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD平面ABCDAD=，SP平面SAD，∴SP⊥平面ABCD，则SP是四棱锥SABCD−的高．设(0)ADmm=，则32SPm=，ABCDSm=矩形，∴113233323S-ABCDABCDVSSPmm==

=四棱锥矩形，解得2m=．以点P为原点，PA，PS的方向分别为x，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)P，(1,0,0)A，(1,1,0)B，(0,0,3)S，故(1,0,0)PA=，(1,1,0)

PB=，(1,0,3)AS=−．设(,0,3)(01)AMAS==−，∴(1,0,3)PMPAAM=+=−．设平面PMB的一个法向量为1(,,)nxyz=，则11(1)30,0,nPMxznPBxy

=−+==+=取1(3,3,1)n=−−．易知平面SAD的一个法向量为2(0,1,0)n=，∴1212212|3|23cos,5721nnnnnn−===−+，∵01，∴23=，故存在点M，位于AS

靠近点S的三等分点处满足题意．22．【解析】（1）依题意，2ca=，当l垂直于x轴时，226bPQa==，即23ba=，即223caa−=，解得1a=，3b=，因此双曲线C的方程为2213yx−=．（2）设:2PQlxmy=+，联立双曲线方程2213yx−=，得()22311290mymy

−++=，当0m=时，(2,3)P，(2,3)Q−，(0,1)M−，(0,1)N，12MPNQMQNP+=−；当0m时，设()11,Pxy，()22,Qxy，()33,Mxy，()44,Nxy因为直线PQ与双曲线右支相交，因此1229031yym=

−，即33,00,33m−，同理可得234293myym=−，依题意()()MPNQMFFPNFFQMFNFFPFQ=++=+，同理可得，()()MQNPMFFQNFFPMFNFFPFQ=++=+，而()21234

2111FPFQMFNFmyyyym+=+++，代入122931yym=−，234293myym=−，()()()()()()222242224222919118163633133103133mmmmmFPFQMFNFmmmmmm++−+++

+=+==−−−−+−−，分离参数得，2429663103mFPFQMFNFmm+=−−−+，因为33,00,33m−，当210,3m时，由22110,3mm++，22966(,6)1310FPF

QMFNFmm+=−−−−+−，所以2()(,12)MPNQMQNPFPFQMFNF+=+−−，综上可知，MPNQMQNP+的取值范围为(,12−−．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com