【文档说明】2009年高考试题——数学文（湖北卷）解析版.doc，共(12)页，1.170 MB，由envi的店铺上传

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2009年普通高校招生统一考试（湖北卷）数学（文史类）注意事项：1.答题前，考试务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡指定位置。2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选

涂其他答案标号，答在试题卷上无效。3.填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。4.考试结束，请将本试题和答题卡一并上交。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50

分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1.若向量a=（1，1），b=（-1,1），c=（4，2），则c=A.3a+bB.3a-bC.-a+3bD.a+3b【答案】B【解析】由计算可得(4,2)3ccb==−故选B2.函数)21,(2121−+−=

xRxxxy且的反函数是A.)21,(2121−+=xRxxxy且B.)21,(2121−+−=xRxxxy且C.)1,()1(21−+=xRxxxy且D.)1,()1(21−+−=xRxxxy且【答案】D【解析】可反解得111()2(1)2(1)yxxfxyx−−−=++故

且可得原函数中y∈R、y≠-1所以11()2(1)xfxx−−+且x∈R、x≠-1选D3.“sin=21”是“212cos=”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由1cos22a=可得21sin2a=，故211

sinsin24aa==是成立的充分不必要条件，故选A.4.从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同的选派方法共有A.120种B

.96种C.60种D.48种【答案】C【解析】5人中选4人则有45C种，周五一人有14C种，周六两人则有23C，周日则有11C种，故共有45C×14C×23C=60种,故选C5.已知双曲线141222

2222=+=−byxyx的准线经过椭圆（b＞0）的焦点，则b=A.3B.5C.3D.2w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【答案】C【解析】可得双曲线的准线为21axc==,又因为椭圆焦点为2(4,0)b−所以有

241b−=.即b2=3故b=3.故C.6.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=900,∠ACC1=600,∠BCC1=450,侧棱CC1的长为1，则该三棱柱的高等于A.21B.22C.23D.33w.w

.w.k.s.5.u.c.o.m【答案】A【解析】过顶点A作底面ABC的垂线，由已知条件和立体几何线面关系易求得高的长.7.函数2)62cos(−+=xy的图像F按向量a平移到F/，F/的解析式y=f(x),当y=f(x)为奇函数时，

向量a可以等于A.)2,6(−B.)2,6(C.)2,6(−−D.)2,6(−【答案】D【解析】由平面向量平行规律可知，仅当(,2)6a=−时，F：()cos[2()]266fxx=++−=si

n2x−为奇函数，故选D.8.在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用，每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用30

0元，可装洗衣机10台，若每辆至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为A.2000元B.2200元C.2400元D.2800元【答案】B【解析】设甲型货车使用x辆，已型货车y辆.则04082010100xyy+,求Z=400x+300y

最小值.可求出最优解为（4，2）故min2200=故选B.9.设,Rx记不超过x的最大整数为[x],令{x}=x-[x]，则{215+}，[215+],215+A.是等差数列但不是等比数列B.是等比数列但不

是等差数列C.既是等差数列又是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列【答案】B【解析】可分别求得515122+−=，51[]12+=.则等比数列性质易得三者构成等比数列.10.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各

种性状来研究数，例如：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数

。下列数中及时三角形数又是正方形数的是A.289B.1024C.1225D.1378【答案】C【解析】由图形可得三角形数构成的数列通项(1)2nnan=+，同理可得正方形数构成的数列通项2nbn=，则由2nbn=()nN+可排除A、D，又由(1)2nnan=+知na必

为奇数，故选C.二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写。11.已知（1+ax）3,=1+10x+bx3+…+a3x3,则b=.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【答

案】40【解析】因为15()rrrTCax+=∴11510Ca=223Cba=.解得2,40ab==12.甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8、0.6、0.5，则三人都达标的概率是，三人中至少有一人达标的概率是。【答案】0

.240.76【解析】三人均达标为0.8×0.6×0.5=0.24,三人中至少有一人达标为1-0.24=0.7613.设集合A=(x∣log2x<1),B=(X∣21+−XX<1),则AB=.【答案】|01xx【解析】易得A=|02xx

B=|21xx−∴A∩B=|01xx.14.过原点O作圆x2+y2-－6x－8y＋20=0的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为。【答案】4【解析】可得圆方程是22(3)(4)5xy−+−=又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦

定理得4PQ=15.下图是样本容量为200的频率分布直方图。根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在【6，10】内的频数为，数据落在（2，10）内的概率约为。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【答案】64【解析】观察直方图易得频数为2000.08464=,频率为0.140.4=

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.（本小题满分12分）在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且Acasin23=(Ⅰ)确定角C的大小：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（Ⅱ）若c

＝7,且△ABC的面积为233,求a＋b的值。解（1）由32sinacA=及正弦定理得，2sinsinsin3aAAcC==3sin0,sin2AC=QABCQ是锐角三角形，3C=（2）解法1：7,.3cC==Q由面积公式得133sin,6232abab

==即①由余弦定理得22222cos7,73abababab+−=+−=即②由②变形得25,5ab=+=2（a+b)故解法2：前同解法1，联立①、②得2222766ababababab+−=+==＝１３消去b并整理得4213

360aa−+=解得2249aa==或所以2332aabb====或故5ab+=17.（本小题满分12分）围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用

为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位：元)。（Ⅰ）将y表示为x的函数：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（Ⅱ）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。17.解：（1）如图，设矩形的另一边长为am则2

y-45x-180(x-2)+180·2a=225x+360a-360由已知xa=360,得a=x360,所以y=225x+)0(3603602xx−w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(II)108003602252360

225,022=+xxx104403603602252−+=xxy.当且仅当225x=x2360时，等号成立.即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.18.（本小题满分12分）如图，四棱锥S＝ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD,SD

＝AD＝a,点E是SD上的点，且DE＝a(0<≦1).w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(Ⅰ)求证：对任意的（0、1），都有AC⊥BE:(Ⅱ)若二面角C-AE-D的大小为600C，求的值。18.本小题主要考察空间直

线与直线、直线与平面的位置关系和二面角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。（满分12分）（Ⅰ）证发1：连接BD，由底面是正方形可得AC⊥BD。SD⊥平面ＡＢＣＤ，BD是BE在平面ABCD上的射影，

由三垂线定理得AC⊥BE.(II)解法1：SD⊥平面ABCD，ＣＤ平面ＡＢＣＤ，SD⊥CD.又底面ＡＢＣＤ是正方形，ＣD⊥ＡD，又ＳＤAD=D，CD⊥平面SAD。过点D在平面SAD内做DF⊥AE于

F，连接CF，则CF⊥AE，故CFD是二面角C-AE-D的平面角，即CFD=60°在Rt△ADE中，AD=a,DE=a，AE=a12+。于是，DF=12+=•aAEDEAD在Rt△CDF中，由cot60°=12+=

CDDF得3312=+，即332+=3w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(0,1]，解得=2219.（本小题满分12分）已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6＝55,a2+a7＝16.(Ⅰ)求数列{an}的通项公

式：（Ⅱ）若数列{an}和数列{bn}满足等式：an＝＝)(2...222n33221为正整数nbbbbn+++，求数列{bn}的前n项和Snw.w.w.k.s.5.u.c.o.m解（1）解：设等差数列na的公差为d，则依题设d>0w.w.w.k.s.5.

u.c.o.m由a2+a7＝16.得12716ad+=①由3655,aa=得11(2)(5)55adad++=②由①得12167ad=−将其代入②得(163)(163)220dd−+=。即22569220d−=24,0,2,11(1)221ndddann====+−

=−1又代入得a①w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（2）令121121,,2nnnnnnnbcacccaccc+−==+++=+++则有两式相减得111111111,(1)1,22,2(2),22222,(1)2(2)nnnnnnnnnnnaacaaaccn

nbbanbn++++++−==−========由得即当时，又当n=1时，于是3411232222nnnSbbbb+=+++=++++=234122222n++++++-4=1222(21)426,2621nnnnS+++−−=−=−−即20.（本小题满分13分）

如图，过抛物线y2＝2PX(P>0)的焦点F的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向准线L作垂线，垂足分别为M1、N1(Ⅰ)求证：FM1⊥FN1:(Ⅱ)记△FMM1、、△FM1N1、△FNN1的面积分别为S1、、S2、，S3，试判断S22＝4S1S3

是否成立，并证明你的结论。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m20题。本小题主要考查抛物线的概念，抛物线的几何性质等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力（满分13分）（1）证法1：由抛物线的定义得11,,MFMMNFNN==w.w.w

.k.s.5.u.c.o.m1111,MFMMMFNFNNNF==2分如图，设准线l与x的交点为1F111////MMNNFFQ111111,FFMMMFFFNNNF==而0111111180FFMMFMFFNNFN+++=即0111

122180FFMFFN+=0111190FFMFFN+=故11FMFN⊥证法2：依题意，焦点为(,0),2pF准线l的方程为2px=−设点M,N的坐标分别为1122,),,),MxyNxy（（直线MN的方程为2px

my=+，则有11121112(,),(,),(,),(,)22ppMyNyFMpyFNpy−−=−=−由222pxmyypx=+=得2220ympyp−−=于是，122yymp+=，212yyp=−22211120FMFNpyypp=+=−=，故11FMFN⊥（Ⅱ）22134SS

S=成立，证明如下：证法1：设1122(,),(,)MxyNxy，则由抛物线的定义得1112||||,||||22ppMMMFxNNNFx==+==+，于是11111111||||()||222pSMMFMxy==+21211211||||||22SMNF

Fpyy==−31112211||||()||222pSNNFNxy==+222131211221114(||)4()||()||22222ppSSSpyyxyxy=−=++222121

21212121[()4][()]||424pppyyyyxxxxyy+−=+++将11222,2pxmypxmy=+=+与122122yympyyp+==−代入上式化简可得w.w.

w.k.s.5.u.c.o.m22222222()()pmpppmpp+=+，此式恒成立。故22134SSS=成立。证法2：如图，设直线MNM的倾角为，12||,||MFrNFr==则由抛物线的定义得1113||||,||||MMMFrNNNFr====11111///

/,,MMNNFFFMMFNN==−于是22211322111sin,sin()sin222SrSrr==−=在1FMM和1FNN中，由余弦定理可得2222222211111222||22co

s2(1cos),||22cos2(1cos)FMrrrFNrrr=−=−=+=+由（I）的结论，得2111||||2SFMFN=2222222221112121311||||4(1cos)(1cos)sin444SFM

FNrrrrSS==−+==即22134SSS=，得证。21.（本小题满分14分）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m已知关于x的函数f(x)＝331x＋bx2＋cx＋bc,其导函数为f+(

x).令g(x)＝∣f+(x)∣,记函数g(x)在区间[-1、1]上的最大值为M.(Ⅰ)如果函数f(x)在x＝1处有极值-34，试确定b、c的值：（Ⅱ）若∣b∣>1,证明对任意的c,都有M>2:w.w.w.k.s.

5.u.c.o.m(Ⅲ)若M≧K对任意的b、c恒成立，试求k的最大值。21．本小题主要考察函数、函数的导数和不等式等基础知识，考察综合运用数学知识进行推理论证的能力和份额类讨论的思想（满分14分）（I）解：2'

()2fxxbxc=−++，由()fx在1x=处有极值43−可得'(1)12014(1)33fbcfbcbc=−++==−+++=−解得1,1bc==−或13bc=−=若1,1bc==−，则22'()

21(1)0fxxxx=−+−=−−，此时()fx没有极值；若1,3bc=−=，则2'()23(1)(1)fxxxxx=−−+=−+−当x变化时，()fx，'()fx的变化情况如下表：x(,3)−−3−(3,1)−1(1,)+'()fx

−0+0−()fx极小值12−极大值43−当1x=时，()fx有极大值43−，故1b=−，3c=即为所求。（Ⅱ）证法1：22()|'()||()|gxfxxbbc==−−++当||1b时，函数'()yfx=的对称轴xb=位于区间[1.1]−之外。'()fx在[1,1]−上的最

值在两端点处取得故M应是(1)g−和(1)g中较大的一个2(1)(1)|12||12||4|4,Mggbcbcb+−=−+++−−+即2M证法2（反证法）：因为||1b，所以函数'()yfx

=的对称轴xb=位于区间[1,1]−之外，'()fx在[1,1]−上的最值在两端点处取得。故M应是(1)g−和(1)g中较大的一个假设2M，则(1)|12|2(1)|12|2gbcgbc−=−−+=−++w.w.w.k.s.5.u.c.o.m将上述两式相加得：4

|12||12|4||4bcbcb−−++−++，导致矛盾，2M（Ⅲ）解法1：22()|'()||()|gxfxxbbc==−−++（1）当||1b时，由（Ⅱ）可知2M；（2）当||1b时，函数'(yfx=）的对称轴xb=位于区间[1,1]−内，

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m此时max(1),(1),()Mgggb=−由'(1)'(1)4,ffb−−=有2'()'(1)(1)0fbfb−=①若10,b−则'(1)'(1)'(),(1)max(1

),()fffbgggb−−，于是21111max|'(1),|'()|(|'(1)|'()|)|'(1)'()|(1)2222Mffbffbffbb=+−=−②若01b，则'(1)'(1)'(),fffb−(1)max(1

),()gggb−于是21111max|'(1)|,|'()|(|'(1)||'()|)|'(1)'()|(1)2222Mffbffbffbb=−−+−−=+综上，对任意的b、c都有12M而当10,2bc==时，21()2gxx=−+在区间[1,1]−上的最大值12M

=故Mk对任意的b、c恒成立的k的最大值为12。解法2：22()|'()||()|gxfxxbbc==−−++（1）当||1b时，由（Ⅱ）可知2M；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（2）当||1b时，函数'()yfx=的对称轴xb=位于

区间[1,1]−内，此时max(1),(1),()Mgggb=−24(1)(1)2()|12||12|2||Mggghbcbcbc−++=−−++−++++w.w.w.k.s.5.u.c.o.m22|12(12)2

()||22|2bcbcbcb−−++−++−+=+，即12M下同解法1