2022届高考统考数学理科人教版一轮复习课后限时集训29 三角函数的图象与性质

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以下为本文档部分文字说明:

课后限时集训(二十九)三角函数的图象与性质建议用时:40分钟一、选择题1.函数y=2cos2x+1的定义域是()D[由题意知2cos2x+1≥0,即cos2x≥-12.∴2kπ-23π≤2x≤2kπ+23π,k∈Z,∴kπ-π3≤x≤kπ+π3,k∈Z,故选D.]2.(2019·全国卷Ⅱ)若x

1=π4,x2=3π4是函数f(x)=sinωx(ω>0)的两个相邻的极值点,则ω=()A.2B.32C.1D.12A[由题意及函数y=sinωx的图象与性质可知,12T=3π4-π4,∴T=π,∴2πω=π,∴ω=2.故选A.]3.下列函数中最小正周期为π,且在

0,π2上为增函数的是()A.f(x)=|sin2x|B.f(x)=tan|x|C.f(x)=-cos2xD.f(x)=cos|2x|C[函数f(x)=tan|x|不是周期函数,因此排除B.函数f(x)=|sin2x|在0,π2

上不是单调函数,故排除A.函数f(x)=cos|2x|在0,π2上是减函数,故排除D,综上知选C.]4.函数y=cos2x-2sinx的最大值与最小值分别为()A.3,-1B.3,-2C.2,-1

D.2,-2D[y=cos2x-2sinx=1-sin2x-2sinx=-sin2x-2sinx+1,令t=sinx,则t∈[-1,1],y=-t2-2t+1=-(t+1)2+2,所以ymax=2,ymin=-2.]5.已知函数f(x)=sinωx+π2(0<ω<π),fπ

4=0,则函数f(x)的图象的对称轴方程为()A.x=kπ-π4,k∈ZB.x=kπ+π4,k∈ZC.x=12kπ,k∈ZD.x=12kπ+π4,k∈ZC[f(x)=sinωx+π2=cosωx,则f

π4=cosπω4=0,∵0<ω<π,∴π4ω=π2,解得ω=2,即f(x)=cos2x.由2x=kπ,k∈Z得x=12kπ,k∈Z,故选C.]6.已知函数f(x)=4sin(ωx+φ)(ω>0).在同一周期内,当x=π6时取最大值,当x=-π3时

取最小值,则φ的值可能为()A.π12B.π3C.13π6D.7π6C[T=2πω=2π6--π3=π,故ω=2,又2×π6+φ=2kπ+π2,k∈Z,所以φ=2kπ+π6,k∈Z,所以φ的值可能为13π6.故选C.]二、填空题7.

函数y=cosπ4-2x的单调递减区间为.kπ+π8,kπ+5π8(k∈Z)[因为y=cosπ4-2x=cos2x-π4,所以令2kπ≤2x-π4≤2kπ+π(k∈Z),解得kπ+π8≤x≤kπ+5π8(k∈Z),所

以函数的单调递减区间为kπ+π8,kπ+5π8(k∈Z).]8.若函数f(x)=sinωx(ω>0)在区间0,π3上单调递增,在区间π3,π2上单调递减,则ω=.32[由题意知π3ω=π2,解

得ω=32.]9.函数f(x)=3cos(3x-θ)-sin(3x-θ)是奇函数,则tanθ等于.-3[f(x)=3cos(3x-θ)-sin(3x-θ)=2sinπ3-3x+θ=-2sin3x-π3-θ,因为函数f(x)为奇函数,则有-π3-θ=

kπ,k∈Z,即θ=-kπ-π3,k∈Z,故tanθ=tan-kπ-π3=-3.]三、解答题10.已知f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的最小正周期为2,且当x=13时,f(x)的最大值为2.(1)求f(x)的解析式;(2)在闭区间214,23

4上是否存在f(x)的对称轴?如果存在求出其对称轴.若不存在,请说明理由.[解](1)由T=2知2πω=2得ω=π.又当x=13时f(x)max=2,知A=2.且π3+φ=2kπ+π2(k∈Z),故φ=2kπ+π6(k∈

Z).∴f(x)=2sinπx+2kπ+π6=2sinπx+π6.(2)存在.令πx+π6=kπ+π2(k∈Z),得x=k+13(k∈Z).由214≤k+13≤234.得5912≤k≤6512,又k∈Z,∴k=5.故在214,234

上存在f(x)的对称轴,其方程为x=163.11.已知a=(sinx,3cosx),b=(cosx,-cosx),函数f(x)=a·b+32.(1)求函数y=f(x)图象的对称轴方程;(2)若方程f(x)=13在(0,π)上的解为x1,x2,求cos(x1

-x2)的值.[解](1)f(x)=a·b+32=(sinx,3cosx)·(cosx,-cosx)+32=sinx·cosx-3cos2x+32=12sin2x-32cos2x=sin2x-π3.令2x-π3=kπ+π2(k∈Z),得x=5π12+k2π(k∈Z),即函数y=f

(x)图象的对称轴方程为x=5π12+k2π(k∈Z).(2)由(1)及已知条件可知(x1,f(x1))与(x2,f(x2))关于x=5π12对称,则x1+x2=5π6,∴cos(x1-x2)=cosx1-5π6-x1=cos2x

1-5π6=cos2x1-π3-π2=sin2x1-π3=f(x1)=13.1.(2020·莆田模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图象关于直线x=

5π6对称,且f7π12=0,当ω取最小值时,φ=()A.π6B.π3C.2π3D.5π6D[当ω取最小值时,T=45π6-7π12=π,即2πω=π,∴ω=2,∴f(x)=sin(2x+φ).又f7π12=sin

7π6+φ=0,∴φ+76π=kπ,k∈Z.即φ=kπ-7π6,k∈Z,又0<φ<π,∴φ=5π6,故选D.]2.(2020·朝阳区二模)已知函数f(x)=sin2x-π6,则下列四个结论中

正确的是()A.函数f(x)的图象关于5π12,0中心对称B.函数f(x)的图象关于直线x=-π8对称C.函数f(x)在区间(-π,π)内有4个零点D.函数f(x)在区间-π2,

0上单调递增C[对于函数f(x)=sin2x-π6,令x=5π12,求得f(x)=32,故函数f(x)的图象不关于5π12,0中心对称,故排除A;令x=-π8,求得f(x)=sin-5π12,不是最值,故函数f(x)的图象不关于直线x=-π8对称,故排除

B;在区间(-π,π)上,2x-π6∈-13π6,11π6,当2x-π6=-2π,-π,0,π时,f(x)=0,故函数f(x)在区间(-π,π)内有4个零点,故C正确;在区间-π2,0上,2x-π6∈-7π6,-π6,f(x)没有单调性,

故D错误,故选C.]3.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(0<ω<1,0≤φ≤π)是R上的偶函数,其图象关于点M3π4,0对称.(1)求φ,ω的值;(2)求f(x)的单调递增区间;(3)x∈-3π4,π2,求f(x)的最大值与最小值.

[解](1)因为f(x)=sin(ωx+φ)是R上的偶函数,所以φ=π2+kπ,k∈Z,且0≤φ≤π,则φ=π2,即f(x)=cosωx.因为图象关于点M3π4,0对称,所以ω×3π4=π2+kπ,k∈Z,且0<ω<1,

所以ω=23.(2)由(1)得f(x)=cos23x,由-π+2kπ≤23x≤2kπ且k∈Z得,3kπ-3π2≤x≤3kπ,k∈Z,所以函数f(x)的递增区间是3kπ-3π2,3kπ,k∈Z.(3)因为x∈-3π4,π2,所以23x∈-π2,π3,当

23x=0时,即x=0,函数f(x)的最大值为1,当23x=-π2时,即x=-3π4,函数f(x)的最小值为0.1.已知函数f(x)=sinx+3cosx在x=θ时取得最大值,则cos2θ+π4=()A.-2+64B.-12C.2-64D.3

2C[法一:∵f(x)=sinx+3cosx=2sinx+π3,又f(x)在x=θ时取得最大值,∴θ+π3=π2+2kπ(k∈Z),即θ=π6+2kπ(k∈Z),于是cos2θ+π4=cosπ3+π4+4kπ=co

sπ3+π4=12×22-32×22=2-64,故选C.法二:∵f(x)=sinx+3cosx,∴f′(x)=cosx-3sinx.又f(x)在x=θ时取得最大值,∴f′(θ)=cosθ-3sinθ=0,即tanθ=33,则cos2θ+π4=22(cos2

θ-sin2θ)=22×1-tan2θ-2tanθ1+tan2θ=2-64,故选C.]2.已知函数f(x)=a2cos2x2+sinx+b.(1)若a=-1,求函数f(x)的单调增区间;(2)当x∈[0,π]时,函

数f(x)的值域是[5,8],求a,b的值.[解]f(x)=a(1+cosx+sinx)+b=2asinx+π4+a+b.(1)当a=-1时,f(x)=-2sinx+π4+b-1,由2kπ+π2≤x+π4≤2kπ

+3π2(k∈Z),得2kπ+π4≤x≤2kπ+5π4(k∈Z),∴f(x)的单调增区间为2kπ+π4,2kπ+5π4(k∈Z).(2)∵0≤x≤π,∴π4≤x+π4≤5π4,∴-22≤sinx+π4≤1.依题意知a≠0,①当

a>0时,2a+a+b=8,b=5,∴a=32-3,b=5;②当a<0时,b=8,2a+a+b=5,∴a=3-32,b=8.综上所述,a=32-3,b=5或a=3-32,b=8.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue1

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