【文档说明】广东省佛山市南海区2024-2025学年高一上学期学业水平测试（12月）数学试题 Word版含解析.docx，共(13)页，1.063 MB，由envi的店铺上传

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南海区2027届高一上学期学业水平测试数学试题本试卷共4页，19题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必填写答题卡上的有关项目.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对

应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.

不按以上要求作答无效.4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2,1,0,1,2,3M=−

−，10Nxx=+，则MN=（）A.2,1,0,1,2,3−−B.0,1,2,3C.1,2,3D.2,3【答案】B【解析】【分析】解出集合N，再根据交集含义即可.【详解】101Nxxxx=+=−，则0,1,2,3MN=.故

选：B.2.设命题p：0x，2430xx−+，则p为（）A.0x，2430xx−+B.0x，2430xx−+C.0x，2430xx−+D.0x，2430xx−+【答案】D【解析】【分析】根据含有量词命题的否定形式，即可判断.【详解】存在量词命题的

否定是全称量词命题，p为0x，2430xx−+.故选：D3.函数()2ln3xfxx=+−的零点所在的区间是（）A.()3,4B.()2,3C.()1,2D.()0,1【答案】C【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的单调性和零点存在性定理即可得到答案.【详解】根

据指数函数、对数函数单调性知，()2ln3xfxx=+−在(0,+∞)上的单调递增，又因为𝑓(1)=21+ln1−3=−1<0,𝑓(2)=22+ln2−3=ln2+1>0，且函数图象连续不间断，则根据零点存在性质定理知()fx的零点所

在的区间是()1,2.故选：C4.设0.53a=，0.413b−=，3log2c=，则（）A.abcB.cabC.acbD.bac【答案】A【解析】【分析】根据指对数函数的性质比较大小关系即可.【

详解】由0.40.4133b−==，则00.543.3log231abc===，所以abc.故选：A5.已知函数()()223,22,2xxxfxfxx+−=−，则()5f=（）A.5B

.0C.3−D.4【答案】B【解析】【分析】根据分段函数性质代入计算即可.【详解】()()()253112130fff===+−=.故选：B.6.函数()2ee1xxxfx=+的图象大致为（）A.B.C.D

.【答案】B【解析】【分析】根据函数值的正负可排除选项CD；根据函数的奇偶性可排除选项A；【详解】当0x时，()0fx，故排除CD；而()2ee1xxxfx=+的定义域为R，且()()2221eee1e1e11exxxxxxxxxfxfx−

−−−−−====−+++，所以()fx是奇函数，所以排除A.故选：B7.人们用分贝（dB）来划分声音的等级，声音的等级()dx（单位：dB）与声音强度（单位：2W/m满足()139lg110xdx−=.一般两人小声交谈时，声音的等级约为54dB，在有4

0人的课堂上讲课时，老师声音的强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍，则老师声音的等级约为（）A.108dBB.81dBC.72dBD.63dB【答案】D【解析】【分析】利用题中给出的函数模型，结合对数的运

算性质求解即可.【详解】设一般两人小声交谈时声音强度x，则13549lg110x−=，即13lg6110x−=，所以1313109lg9lg10lg9(16)63110110xx−−=+=+=，

即老师声音的等级约为63dB.为故选：D.8.已知函数()fx是定义在R上的奇函数，当12xx时，有()()12122fxfxxx−−恒成立，若()28f=，则满足()24fxx−的x的取值范围为（）A.

(,2−−B.(,1−−C.(,1−D.(,2−【答案】A【解析】【分析】首先变形不等式()()112222fxxfxx−−，构造并判断函数()()2gxfxx=−的单调性和奇偶性，再解抽象不等式.【详解】设12xx，由()()12122fxfxxx−−，可知，(

)()121222fxfxxx−−，即()()112222fxxfxx−−，设函数()()2gxfxx=−，函数()gx在R上是增函数，且()fx是奇函数，所以()()()22gxfxxfxx−=−+=−−，()gx是R上的奇函数，因为()28f=，所以()24g

=，()24g−=−()24fxx−，即()24fxx−−，即()()2gxg−，则2x−.故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分

分，有错选的得0分.9.下列条件中可以作为“01a”的一个必要不充分条件是（）A.11a−B.01aC.03aD.1a或3a【答案】ACD【解析】【分析】转化为集合之间的包含关系，再对比选项即可.【详解】设该条件所表示的集合为M，因为其是“01a”的一个必要不充分条件，

则|01aaM.对比选项知ACD，符合题意，B不合题意.故选：ACD.10.已知a，b为非零实数，且ab，则下列结论正确的是（）A.abB.2222abab++C.22abD.11ab−−【答案】BC【解析】【分析】应用特殊值12ab==−即可判断A、D；根据基本不等式及

指数函数单调性判断B、C.【详解】A、D：当12ab==−时，ab且11ab−−，错；B：由ab，则2222()()abab++，整理可得2222abab++，对；C：由2xy=单调递增，且ab，故22ab，对.故选：BC11.若存在两个不相等的实数1x，2x，使

1x，2x，122xx+均在函数()fx的定义域内，且满足()()121222fxfxxxf++=，则称函数()fx具有性质w，下列函数具有性质w的有（）A.()2xfx=B.()22fxxx=−C.()lgfxx=D.()3fxxx=−【

答案】BCD【解析】【分析】根据函数新定义，利用基本不等式()()121222fxfxxxf++得判断A，根据函数新定义结合特殊值法说明存在即可判断BD，根据函数新定义，分类讨论判断C.【详解】对于A

选项，()2xfx=定义域为R，且20x，对任意的1x、2xR且12xx，()()1212121212222222222xxxxxxfxfxxxf++++===，即()()121222fxfxxxf++，A选项中函数不满

足条件；对于B选项，()22fxxx=−的定义域为R，取112x=−，212x=+，的则()12112xxff+==，而()()()()121212122fffxfx−+++==，即存在()()12

1222fxfxxxf++=，B选项中的函数满足条件；对于C选项，假设()lgfxx=具有性质w，则存在()()12,,00,xx−+，使得1212lglglg22xxxx++=，则212124

xxxx+=，即2211221224xxxxxx++=，若12,xx同号，则2211221224xxxxxx++=，即22112220xxxx−+=，所以()2120xx−=，得12xx=，显然不成立；若12,x

x异号，则2211221224xxxxxx++=−，即22112260xxxx++=，将上述方程看作关于1x的二次方程，解得()12322xx=−，此时满足()21223220xxx=−，C选项中的函

数满足条件；对于D选项，因为()3fxxx=−，取121,1xx=−=，所以122xxf+=000−=，()()1200022fxfx++==，则存在122xxf+=()()1

22fxfx+，所以D选项中的函数满足条件.故选：BCD.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是充分理解性质w的定义，结合函数的性质即可得解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.3log4233log3log4+=

______.【答案】6【解析】【分析】根据对数运算法则即可得到答案.【详解】3log423233log3log442log3log2426+=+=+=.故答案为：6.13.已知函数()()223

2mfxmmx−=−−，mZ在()0,+上单调递增，写出满足条件的实数m的一个值______.【答案】3（答案不唯一）【解析】【分析】利用函数单调性和赋值法即可得【详解】因为函数()()2232mfxmmx−=−−，mZ在(0,+∞)上单调递增，所以

{2𝑚−3>0𝑚2−𝑚−2>0⇒𝑚>2，当3m=时，此时()34fxx=，满足题意故答案为：314.已知函数()()fxxR满足()()2fxfax=−，若函数2xay−=与()yfx=图象的交点为()11,xy，()12,xy，…，(),mmxy，则

12mxxx+++=______.【答案】am##ma【解析】【分析】根据()fx以及2xay−=的对称性，求得12mxxx+++的值.【详解】由于函数()fx满足()()2fxfax=−，所以函数()fx的图象关于xa=对称，设()2xahx−=

，则()()22222axaaxxahaxhx−−−−−====，则函数2xay−=的图象关于xa=对称，故()fx和2xay−=的交点关于xa=对称，则()()()11212mmmxxxxxxa−++===+=，设1211mmmxxxxMMxx−+++++

+==.两式加，可得()()()11212mmmxxxxxxM−++++++=22...22aaaam=+++=，Mam=故答案为：am【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据两函数的对称性再进行求和即可.四、解答题：本题共5

小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知集合2650Axxx=−+，41Bxaxa=−−.（1）若4a=，求AB，()RABð；（2）若ABA=，求实数a的取值范围.【答案】（1）05ABxx=，()R35ABxx

=ð;（2）3a【解析】【分析】（1）分别求两个集合，再根据集合的运算，即可求解；（2）根据BA，分B=和B两种情况，列式求a得到取值范围.【小问1详解】当4a=时，03Bxx=，2650xx−+≤，得15x，则15Axx=，R{0Bxx=ð或3}

x所以05ABxx=，()R35ABxx=ð;【小问2详解】若ABA=，则BA，当B=时，41aa−−，得52a，当B时，414115aaaa−−−−，解得：532a，综上可知，3a.16.给定函数()2logfxx=，()342gxx=−

.（1）在同一直角坐标系中画出函数()fx，()gx的图象；（2）0x，用()Mx表示()fx，()gx中最大者，记为()()()max,Mxfxgx=，求不等式()2Mx的解集.【答案】（1）答案见解析（2）4,43【

解析】【分析】（1）根据对数函数与分段函数的图像得出答案；（2）根据图像求出()Mx的解析式，然后分类讨论求解即可【小问1详解】【小问2详解】因为()()()max,Mxfxgx=，所以𝑀(𝑥)={−32𝑥+4,0

<𝑥≤2log2𝑥,2<𝑥≤432𝑥−4,𝑥>4，当02x时，()2Mx，即344223xx−+，所以423x，当24x时，()2Mx，即2log24xx，所以24x，当4x时，()2Mx，即34242xx−，所以x，所以不等式()2Mx

的解集为4,4317.已知函数()eexxfxa−=+是偶函数.（1）求a的值；的（2）判断函数()fx在()0,+上的单调性，并用定义加以证明;（3）解不等式()()ln13fxf−.【答案】（1）1a=；（2）单调递增，证明见解析；（3）24(,e]

[e,)−−+.【解析】【分析】（1）由偶函数的性质有eeeexxxxaa−−+=+恒成立，即可得参数值；（2）令120xx，应用作差比较12(),()fxfx大小证明单调性；（3）根据已知（2）有|ln1|3x−，结合对数函数单调性求解集.【小问1详解】由题设()()fxfx−=，即

eeeexxxxaa−−+=+恒成立，所以1a=.【小问2详解】()fx在()0,+上的单调递增，证明如下：由（1）知()eexxfx−=+，令120xx，则12()()fxfx−=1122()eeeexxxx−−+−+2112121212ee1ee(ee))(1eexxxxx

xxxxx+++−−−−==，由121200,11eeexxxx+−−，故12()()fxfx，故()fx在()0,+上的单调递增，得证.【小问3详解】由题设及（2）知：|ln1|3x−，则ln4x或ln2x−，所以4ex或2ex−，解集为24(,e]

[e,)−−+.18.学校A和学校B相距20km，现计划在学校外以AB为直径的半圆弧（不含A，B两点）上选择一点C建造一家污水处理厂.其对学校的影响度与所选地点到学校的距离有关，对学校A的影响度与所选

地点到学校A的距离的平方成反比，比例系数为1；对学校B的影响度与所选地点到学校B的距离的平方成反比，比例系数为K.对学校A和学校B的总影响度为学校A和学校B的影响度之和.记C点到学校A的距离为xkm，建在C处的污水处理厂对学校A和学校B的总影响度为y.统计调查表明：当C在A

B的中点时，对学校A和学校B的总影响度为0.085.（1）将y表示成x的函数；（2）判断半圆弧AB（不含A，B两点）上是否存在一点，使得建在此处的污水处理厂对学校A和学校B的总影响度最小？若存在，求出该点到学校A的距离，以及总影响度的最小值；若不存在，说明理由.【答案】（

1）()22116020400yxxx=+−（2）见解析【解析】【分析】（1）根据垂直关系可知，22400BCx=−，再根据题意，转化为()221020400Kyxxx=+−，再代入数据，即可求解；（2）根据（1）的结果，利用换元法，基本不等式求函数的最值.【小问1详解】由AB为直径

，得ACBC⊥，所以22400BCx=−，由已知得()221020400Kyxxx=+−，又当垃圾处理厂是AB的中点时，对城A和城B的总影响度为0.085，即102x=时，0.085y=，代入上式得10.085200400200K=+−，解得16K

=，所以y表示成x的函数为：()22116020400yxxx=+−；【小问2详解】()()222225380116400400xyxxxx+=+=−−，令()238080,1280xt+=，2803tx−=，则2454

510240013601024001360tytttt==−+−−++，又1024001024002640tttt+=，当且仅当102400tt=时，即320t=时，等号成立，所以451640136016y=−+，当45x=时，等号成立，所以弧AB

上存在一点，该点到城A的距离为45km时，建在此处的垃圾处理厂对城市A和城B的总影响度最小为116.19.已知正实数集12,,,nAaaa=，定义1,iijjaAaAaAa−=称为A的商集，用()cardA来表示集合A中元素的个

数.（1）若1,2,5A=，求集合1A−；（2）若()1card211A−=，求()cardA的最小值；（3）试判断()1cardA−与()2card1A−的大小关系，并证明你的结论.【答案】（1）11

215{,,,1,2,,5}5522A−=；（2）15；（3）()1cardA−()2card1A−，证明见解析.【解析】【分析】（1）根据新定义写出集合1A−；（2）令()*cardNAn=，根据定义描述分析得到()1card(1)1Ann−−+，结合已知求()

cardA的最小值；（3）依次分析()card1A=、()card2A=得到()1cardA−()2card1A−，再讨论()card3A，结合()1card(1)1Ann−−+及ijaa重复元素最多的情况，得到()1cardA−(1)1nn−+−2[(2)

21]n−+++，即可证.【小问1详解】由1,2,5A=，结合商集的定义有11215{,,,1,2,,5}5522A−=；小问2详解】设()*cardNAn=，当ij=时，1ijaa=，当ij时，ijaa有(1)nn−个，所以ijaa

的个数最多为(1)1nn−+.【但是，在这些比值中，有的可能相等，如1,2,3,4,5A=时，1A−中存在1224,2412==，也可能互不相等，如3,6,8A=时，1A−中没有相同的元素.所以1A−中元素个数不大于(1)

1nn−+，即()1card(1)1Ann−−+，所以(1)1211nn−+，即2210(15)(14)0nnnn−−=−+，所以15n，所以()cardA的最小值为15.【小问3详解】()1

cardA−()2card1A−，证明如下：显然()*cardNAn=，当()card1A=时，()1card1A−=.当()card2A=时，12211{1,,}aaaAa−=，即()1card3A−=.由上，()1cardA−()2card1A−，当()c

ard3A时，12,,,nAaaa=，()1cardA−最大为(1)1nn−+，对于12,,,naaa，ijaa为定值时，重复最多，（以下q为常数）ijaqa=的个数为1n−个，重复2n−个，1ijaaq=的个数为1n−个，重复2n−个，2ij

aqa=的个数为2n−个，重复3n−个，21ijaaq=的个数为2n−个，重复3n−个，L2nijaqa−=的个数为2个，重复1个，21injaaq−=的个数为2个，重复1个，所以()1cardA−最小为(1)12[(2)21](1)1(2)(1)21nn

nnnnnn−+−−+++=−+−−−=−，综上，()1cardA−()2card1A−【点睛】关键点点睛：第二、三问，根据新定义分析得到()1cardA−最大和最小情况对应关于()cardA的表达式为关键.的