【文档说明】《历年高考数学真题试卷》2016年上海高考数学真题（理科）试卷（word解析版）.docx，共(20)页，1.011 MB，由envi的店铺上传

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绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（理工农医类）（满分150分，考试时间120分钟）考生注意1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.2.作答前，在答题纸正面

填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、填空题（本大题共有14题，满

分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．设xR,则不等式13−x的解集为_____________．2．设32izi+=，其中i为虚数单位，则Imz=________

_____．3．已知平行直线012:,012:21=++=−+yxlyxl，则l1与l2的距离是_____________．4．某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是____

_____（米）．5．已知点(3,9)在函数xaxf+=1)(的图像上，则________)()(1=−xfxf的反函数．6．如图，在正四棱柱1111DCBAABCD−中，底面ABCD的边长为3，1BD与底面所成的角

的大小为32arctan，则该正四棱柱的高等于____________．7．方程3sin1cos2xx=+在区间0,2π上的解为___________.8．在nxx−23的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为

256，则常数项等于_________．9．已知ABC的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________．10．设.0,0ba若关于,xy的方程组11axyxby+=+=，无解，则ba+的取值范围是_

___________．11．无穷数列na由k个不同的数组成，nS为na的前n项和.若对任意Nn，3,2nS，则k的最大值为________.12．在平面直角坐标系中，已知A（1,0），B（0，-1），P是曲线21xy−=上一个动点，则BABP的取值范围是

_____________.13.设),,0,2πabRc.若对任意实数x都有()cbxax+=−sin33sin2，则满足条件的有序实数组()cba,,的组数为.14.如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形821

AAA的中心，()0,11A.任取不同的两点jiAA,，点P满足0=++jiOAOAOP，则点P落在第一象限的概率是_____________.二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相

应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得五分，否则一律得零分.15.设Ra，则“1a”是“12a”的（）.（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分也非必要条件16.下列极坐标方程中，对应的曲线为如图的是（）.（A）c

os56+=（B）65sin=+（C）cos56−=（D）65sin=−17.已知无穷等比数列na的公比为q，前n项和为nS，且SSnn=→lim.下列条件中，使得()2NnSSn恒成立的是（）.（A）7.06.0,01qa（B）6.07.0,

01−−qa（C）8.07.0,01qa（D）7.08.0,01−−qa18．设()fx、()gx、()hx是定义域为R的三个函数，对于命题：①若()()fxgx+、()()fxhx+、()()gxhx+均是增函数，则(

)fx、()gx、()hx中至少有一个增函数；②若()()fxgx+、()()fxhx+、()()gxhx+均是以T为周期的函数，则()fx、()gx、()hx均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（）.（A）①和②均为真命题（B）①和②均为假命题（

C）①为真命题，②为假命题（D）①为假命题，②为真命题三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分6分.将边长为1的正方形11AAOO（及其

内部）绕的1OO旋转一周形成圆柱，如图，AC长为23，11AB长为3，其中1B与C在平面11AAOO的同侧.（1）求三棱锥111COAB−的体积；（2）求异面直线1BC与1AA所成的角的大小.20．（本题满分14）本题共有2个小题，第1小题满分6分

，第2小题满分8分.有一块正方形菜地EFGH,EH所在直线是一条小河.收获的蔬菜可送到F点或河边运走.于是，菜地分为两个区域1S和2S，其中1S中的蔬菜运到河边较近，2S中的蔬菜运到F点较近，而菜地内1S和2S的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O为

EF的中点，点F的坐标为（1,0），如图.[（1）求菜地内的分界线C的方程;（2）菜农从蔬菜运量估计出1S面积是2S面积的两倍，由此得到1S面积的“经验值”为38.设M是C上纵坐标为1的点，请计算以EH为一边、另有一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH

的面积，并判断哪一个更接近于1S面积的经验值.21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.双曲线2221(0)yxbb−=的左、右焦点分别为12FF、，直线l过2F且与双曲线交于AB、两点.（1）若l的倾斜角为π2，1FAB是等边三角形，求双曲线的渐近线

方程；（2）设3b=，若l的斜率存在，且11()0FAFBAB+=，求l的斜率.22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知aR，函数21()log()fxax=+.（1）当5a=时，解不等式()0fx；（2）若关于x的方程

2()log[(4)25]0fxaxa−−+−=的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围；（3）设0a，若对任意1[,1]2t，函数()fx在区间[,1]tt+上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围.23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，

第2小题满分6分，第3小题满分8分.若无穷数列{}na满足：只要*(,N)pqaapq=，必有11pqaa++=，则称{}na具有性质P.（1）若{}na具有性质P，且12451,2,3,2aaaa====，67821aaa++=，求3a；（2）若无穷数列{}nb是等差数

列，无穷数列{}nc是公比为正数的等比数列，151bc==，5181bc==，nnnabc=+，判断{}na是否具有性质P，并说明理由；（3）设{}nb是无穷数列，已知*1sin(N)nnnaban+=+.求证：“对任意1,{}naa都具有性质P”的充要条件为“{}

nb是常数列”.考生注意：1.本试卷共4页，23道试题，满分150分.考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一

律不得分.3.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．设xR

,则不等式13−x的解集为_____________．【答案】（2,4）【解析】试题分析：由题意得：1x31−−，解得2x4.考点：绝对值不等式的基本解法.2．设32izi+=，其中i为虚数单位，则Imz=_____________．【答案】-3【解析】试题分析：3

2i23,Imz=3.izi+==−−考点：1.复数的运算；2.复数的概念.3．已知平行直线012:,012:21=++=−+yxlyxl，则l1与l2的距离是_____________．【答案】255【

解析】试题分析：利用两平行线间的距离公式得122222|cc||11|25d5ab21−−−===++.考点：两平行线间距离公式.4．某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，

1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是_________（米）．【答案】1.76考点：中位数的概念.5．已知点(3,9)在函数xaxf+=1)(的图像上，则________)()(1=−xfxf的反函数．【答案

】2log(1)x−【解析】试题分析：将点（3，9）代入函数()xfx1a=+中得a2=，所以()xfx12=+，用y表示x得2xlog(y1)=−，所以()12log(fxx1)−=−.考点：反函数的概念以及指、对数式的转化.6．如图，在正四棱柱1111DCBAABCD−中，底面ABCD

的边长为3，1BD与底面所成的角的大小为32arctan，则该正四棱柱的高等于____________．【答案】22【解析】试题分析：连结BD，则由题意得111122tan223332DDDDDBDD

DBD====.考点：线面角7．方程3sin1cos2xx=+在区间0,2π上的解为___________.【答案】566，【解析】试题分析：化简3sinx1cos2x=+得：23sinx22sinx=−，

所以22sinx3sinx20+−=，解得1sinx2=或sinx2=−（舍去），又0,2πx，所以566x=或.考点：二倍角公式及三角函数求值.8．在nxx−23的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________．【答

案】112【解析】试题分析：由二项式定理得：所有项的二项式系数之和为n2，即n2256=，所以n8=，又二项展开式的通项为84rr8rrrr333r1882TC(x)()(2)Cxx−−+=−=−，令84r033−=，所以r2=，所以3T112=，即常数项为112.

考点：二项式定理.9．已知ABC的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________．【答案】733【解析】试题分析：利用余弦定理可求得最大边7所对应角的余弦值为22235712352+−=−，所以此角的正弦值为32，由正弦定理得72R32=,所以73R3

=.考点：正弦、余弦定理.10．设.0,0ba若关于,xy的方程组11axyxby+=+=，无解，则ba+的取值范围是____________．【答案】2+（，）【解析】试题分析：将方程组中上面的式子化简得y1ax=−，代入下面的式子整理得(1ab)x1b−=−

，方程组无解应该满足1ab0−=且1b0−，所以ab1=且b1，所以由基本不等式得ab2ab2+=，即ba+的取值范围是2+（，）.考点：方程组的思想以及基本不等式的应用.11．无穷数列na由k个不同的数组成，nS为na的前n项

和.若对任意Nn，3,2nS，则k的最大值为________.【答案】4考点：数列的项与和.12．在平面直角坐标系中，已知A（1,0），B（0，-1），P是曲线21xy−=上一个动点，则BABP的取值范围是__

___________.【答案】[0,1+2]【解析】试题分析：由题意设(cos,sin)P,[0,π]，则(cos,1sin)BP=+，又(1,1)BA=，所以π=cossin1=2sin(

)+1[0,12]4BPBA++++.考点：1.数量积的运算；2.数形结合的思想.13.设),,0,2πabRc.若对任意实数x都有()cbxax+=−sin33sin2

，则满足条件的有序实数组()cba,,的组数为.【答案】4【解析】试题分析：当2a=时，5sin(3)sin(32)sin(3)333πππxxπx−=−+=+，5(,)(3,)3πbc=，又4sin(3)s

in[(3)]sin(3)333πππxπxx−=−−=−+，4(,)(3,)3πbc=−，注意到[0,2)cπ，所以只有2组：5(23,)3π，,4(23,)3π−，满足题意；当2a=−时，同理可得出满足题意的(

)cba,,也有2组，故共有4组.考点：三角函数14.如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形821AAA的中心，()0,11A.任取不同的两点jiAA,，点P满足0=++jiOAOAOP，则点P落在第一象限的概率是_____

________.【答案】528【解析】试题分析：共有2828C=种基本事件，其中使点P落在第一象限的情况有2325C+=种，故所求概率为528.考点：古典概型三、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编

号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得五分，否则一律得零分.15.设Ra，则“1a”是“12a”的（）.（B）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分也非必要条件【答案】A【解析】试题分析：2211,111aa

aaa−或，所以“1a”是“12a”的充分非必要条件，选A.考点：充要条件17.下列极坐标方程中，对应的曲线为如图的是（）.（B）cos56+=（B）65sin=+（C）cos56−=（D）65sin=−

【答案】D【解析】试题分析：依次取30,,,22=，结合图形可知只有65sin=−满足，选D.考点：极坐标方程18.已知无穷等比数列na的公比为q，前n项和为nS，且SSnn=→lim.下列条件中，使得()2NnSSn恒成立的是（）.（B）7.06.0,01qa（

B）6.07.0,01−−qa（C）8.07.0,01qa（D）7.08.0,01−−qa【答案】B考点：1.数列的极限；2.等比数列求和.18．设()fx、()gx、()hx是定义域为R的三个函数，对于命题：①若(

)()fxgx+、()()fxhx+、()()gxhx+均是增函数，则()fx、()gx、()hx中至少有一个增函数；②若()()fxgx+、()()fxhx+、()()gxhx+均是以T为周期的函数，

则()fx、()gx、()hx均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（）.（A）①和②均为真命题（B）①和②均为假命题（C）①为真命题，②为假命题（D）①为假命题，②为真命题m]【答案】D【解析】试题分析：因

为[()g(x)][()(x)][g()(x)]()2fxfxhxhfx+++−+=，所以[(+)g(+)][(+)(+)][g(+)(+)](+)2fxTxTfxThxTxThxTfxT+++−+=,又()()f

xgx+、()()fxhx+、()()gxhx+均是以T为周期的函数，所以[()g()][()()][g()()](+)=()2fxxfxhxxhxfxTfx+++−+=，所以()fx是周期为T的函数，同理可得()gx

、()hx均是以T为周期的函数，②正确；()fx、()gx、()hx中至少有一个增函数包含一个增函数、两个减函数；两个增函数、一个减函数；三个增函数，其中当三个函数中一个为增函数、另两个为减函数时，由于减函数加减函数一定为减函数，所以①不正确.选D.考点：1.抽象函数；2.函数的单调性

；3.函数的周期性.三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分6分.将边长为1的正方形11AAOO（及其内部）绕的1

OO旋转一周形成圆柱，如图，AC长为23，11AB长为3，其中1B与C在平面11AAOO的同侧.（1）求三棱锥111COAB−的体积；（2）求异面直线1BC与1AA所成的角的大小.【答案】（1）312；（2）π4.【解析】试题分析：（1）由题意可知，圆柱的高1h=，底面半径

1r=，1113=，再由三角形面积公式计算111S后即得.（2）设过点1的母线与下底面交于点，根据11//，知1C或其补角为直线1C与1所成的角，再结合题设条件确定πC3=，C1=．得出1πC4=即可．试题

解析：（1）由题意可知，圆柱的高1h=，底面半径1r=．由11的长为π3，可知111π3=．111111111113sin24S==，111111C13V312Sh−==．从而直线1C与1所成的角

的大小为π4．考点：1.几何体的体积；2.空间角.[来20．（本题满分14）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.有一块正方形菜地EFGH,EH所在直线是一条小河.收获的蔬菜可送到F点或河边运走.于是，菜地分为两个区域1S和2S，其中1S中的蔬菜运到河边较近，2S中的蔬菜运到F

点较近，而菜地内1S和2S的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为（1,0），如图.（3）求菜地内的分界线C的方程;（4）菜农从蔬菜运量估计出1S面积是2S面积的两倍，由此得到1S面积的“经验值”为38.设M是C上

纵坐标为1的点，请计算以EH为一边、另有一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于1S面积的经验值.【答案】（1）24yx=（02y）；（2）矩形面积为52，五边形面积为114，五边形面积更接近于1S面积的“经验值”．【解析】试题分析：（1

）由C上的点到直线与到点F的距离相等，知C是以F为焦点、以为准线的抛物线在正方形FG内的部分．（2）通过计算矩形面积，五边形面积，以及计算矩形面积与“经验值”之差的绝对值，五边形面积与“经验值”之差的绝对值，比较二者大小即可．试题解析

：（1）因为C上的点到直线与到点F的距离相等，所以C是以F为焦点、以为准线的抛物线在正方形FG内的部分，其方程为24yx=（02y）．（2）依题意，点的坐标为1,14．所求的矩形面积为52，而所求的五边形面积为114．矩形面积与“经

验值”之差的绝对值为581236−=，而五边形面积与“经验值”之差的绝对值为11814312−=，所以五边形面积更接近于1S面积的“经验值”．考点：1.抛物线的定义及其标准方程；2.面积计算.21.（本题满分

14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.双曲线2221(0)yxbb−=的左、右焦点分别为12FF、，直线l过2F且与双曲线交于AB、两点.（1）若l的倾斜角为π2，1FAB

是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设3b=，若l的斜率存在，且11()0FAFBAB+=，求l的斜率.【答案】（1）2yx=；（2）155.【解析】试题分析：（1）设(),xy，根据题设条件得到()24413bb+=，从而解得2b的值．（2）设()11,xy，()22,xy

，直线:l()2ykx=−与双曲线方程联立，得到一元二次方程，根据l与双曲线交于两点，可得230k−，且()23610k=+．再设的中点为(),xy，由()11FF0+=即1F0=，从而得到1F1kk=−，进而构建关于k的方程求解即可．试题解析：（1）设(

),xy．由()22132yxykx−==−，得()222234430kxkxk−−++=．因为l与双曲线交于两点，所以230k−，且()23610k=+．设的中点为(),xy．由()11FF0+=即1F0=，知1F⊥

，故1F1kk=−．而2122223xxkxk+==−，()2623kykxk=−=−，1F2323kkk=−，所以23123kkk=−−，得235k=，故l的斜率为155．考点：1.双

曲线的几何性质；2.直线与双曲线的位置关系；3.平面向量的数量积.22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知aR，函数21()log()fxa

x=+.（1）当5a=时，解不等式()0fx；（2）若关于x的方程2()log[(4)25]0fxaxa−−+−=的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围；（3）设0a，若对任意1[,1]2t，函数()fx在区间[,1]tt+上的最大值与最小值

的差不超过1，求a的取值范围.【答案】（1）()1,0,4x−−+；（2）(1,23,4；（3）2,3+．【解析】试题分析：（1）由21log50x+，得151x+，从而得解．（2）将其转化为(

)()24510axax−+−−=，讨论当4a=、3a=时，以及3a且4a时的情况即可．（3）讨论()fx在()0,+上的单调性，再确定函数()fx在区间,1tt+上的最大值与最小值之差，从而得到()2110atat++−，对任意1,12t成立．试题解析：（1

）由21log50x+，得151x+，解得()1,0,4x−−+．（2）()1425aaxax+=−+−，()()24510axax−+−−=，当4a=时，1x=−，经检验，满足题意．当3a=时，121xx==−，经检验，满足题意．当3a且4

a时，114xa=−，21x=−，12xx．1x是原方程的解当且仅当110ax+，即2a；2x是原方程的解当且仅当210ax+，即1a．于是满足题意的(1,2a．综上，a的取值范围为(1,23,

4．因为0a，所以函数()211yatat=++−在区间1,12上单调递增，12t=时，y有最小值3142a−，由31042a−，得23a．故a的取值范围为2,3+．考点：1.对数函数的性质；2.函数与方程；3.二次函数的性

质.23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.若无穷数列{}na满足：只要*(,N)pqaapq=，必有11pqaa++=，则称{}na具有性质P

.[（1）若{}na具有性质P，且12451,2,3,2aaaa====，67821aaa++=，求3a；（2）若无穷数列{}nb是等差数列，无穷数列{}nc是公比为正数的等比数列，151bc==，5181bc==，

nnnabc=+，判断{}na是否具有性质P，并说明理由；（3）设{}nb是无穷数列，已知*1sin(N)nnnaban+=+.求证：“对任意1,{}naa都具有性质P”的充要条件为“{}nb是常数列”.【答案】（

1）16；（2）na不具有性质，理由见解析；（3）见解析．【解析】试题分析：（1）根据已知条件，得到678332aaaa++=++，结合67821aaa++=求解即可．（2）根据nb的公差为20，nc的公比为13，写出通项公式，从而可得520193nnn

nabcn−=+=−+．通过计算1582aa==，248a=，63043a=，26aa，即知na不具有性质．（3）从充分性、必要性两方面加以证明，其中必要性用反证法证明．试题解析：（1）因为52aa=，所以63aa=，74

3aa==，852aa==．于是678332aaaa++=++，又因为67821aaa++=，解得316a=．（2）nb的公差为20，nc的公比为13，所以()12012019nbnn=+−=−，1518133nnnc−−==．520193nnnnabcn−=+=−

+．1582aa==，但248a=，63043a=，26aa，所以na不具有性质．[证]（3）充分性：当nb为常数列时，11sinnnaba+=+．对任意给定的1a，只要pqaa=，则由11sinsinpqbaba+=+，必有11pqaa++=．充分性得证．[必要性：用反证法证明．

假设nb不是常数列，则存在k，使得12kbbbb====，而1kbb+．下面证明存在满足1sinnnnaba+=+的na，使得121kaaa+===，但21kkaa++．设()sinfxxxb=−−，取m

，使得πmb，则()0fmmb=−，()0fmmb−=−−，故存在c使得()0fc=．考点：1.等差数列、等比数列的通项公式；2.充要条件的证明；3.反证法.