【文档说明】《广西中考真题数学》2021年广西南宁市中考数学试卷含答案解析.docx，共(26)页，171.212 KB，由envi的店铺上传

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2021年广西北部湾南宁中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36分）1.下列各数是有理数的是()A.𝜋B.√2C.√33D.02.如图是一个几何体的主视图，则该几何体是()A.B.C.D.3.如图，小明从A入口进入博物馆参观，参观后可从B，C，D三个出口走出，他恰好从C

出口走出的概率是()A.14B.13C.12D.234.我国天问一号火星探测器于2021年5月15日成功着陆火星表面.经测算，地球跟火星最远距离约400000000千米，其中数据400000000科学记数法表示为()A.4×109B.4

0×107C.4×108D.0.4×1095.如图是某市一天的气温随时间变化的情况，下列说法正确的是()A.这一天最低温度是−4℃B.这一天12时温度最高C.最高温比最低温高8℃D.0时至8时气温呈下降趋势6.下列运算正确的是()A.𝑎

2⋅𝑎3=𝑎5B.(𝑎2)3=𝑎5C.𝑎6÷𝑎2=𝑎3D.3𝑎2−2𝑎=𝑎27.平面直角坐标系内与点𝑃(3,4)关于原点对称的点的坐标是()A.(−3,4)B.(−3,−4)C.(3,−4)

D.(4,3)8.如图，⊙𝑂的半径OB为4，𝑂𝐶⊥𝐴𝐵于点D，∠𝐵𝐴𝐶=30°，则OD的长是()A.√2B.√3C.2D.39.一次函数𝑦=2𝑥+1的图象不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限10.《九章算术》是人类

科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步.问：人与车各几何？译文：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行，问：人与车各多少？设有x辆车，人数为y，根据

题意可列方程组为()A.{𝑦=3𝑥−2𝑦=2𝑥+9B.{𝑦=3(𝑥−2)𝑦=2𝑥+9C.{𝑦=3𝑥−2𝑦=2𝑥−9D.{𝑦=3(𝑥−2)𝑦=2𝑥−911.如图，矩形纸片ABCD，AD：𝐴𝐵=√2：1，点E

，F分别在AD，BC上，把纸片如图沿EF折叠，点A，B的对应点分别为𝐴′，𝐵′，连接𝐴𝐴′并延长交线段CD于点G，则𝐸𝐹𝐴𝐺的值为()A.√22B.23C.12D.√5312.定义一种运算：𝑎∗

𝑏={𝑎,𝑎≥𝑏𝑏,𝑎<𝑏，则不等式(2𝑥+1)∗(2−𝑥)>3的解集是()A.𝑥>1或𝑥<13B.−1<𝑥<13C.𝑥>1或𝑥<−1D.𝑥>13或𝑥<−1二、填空题（本大题共6小题，共18分）13.要使分式1𝑥−2有意义，则x

的取值范围是______．14.分解因式：𝑎2−4𝑏2=______．15.如图，从楼顶A处看楼下荷塘C处的俯角为45°，看楼下荷塘D处的俯角为60°，已知楼高AB为30米，则荷塘的宽CD为______米(结果保留根号)．16.为了庆祝中国

共产党成立100周年，某校举行“党在我心中”演讲比赛，评委将从演讲内容，演讲能力，演讲效果三个方面给选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按演讲内容占50%，演讲能力占40%，演讲效果占10%，计算选手的综合成绩(百

分制).小婷的三项成绩依次是84，95，90，她的综合成绩是______．17.如图，从一块边长为2，∠𝐴=120°的菱形铁片上剪出一个扇形，这个扇形在以A为圆心的圆上(阴影部分)，且圆弧与BC，CD分别相切于点E，F，将剪下来的扇形围成一个圆锥，

则圆锥的底面圆半径是______．18.如图，已知点𝐴(3,0)，𝐵(1,0)，两点𝐶(−3,9)，𝐷(2,4)在抛物线𝑦=𝑥2上，向左或向右平移抛物线后，C，D的对应点分别为𝐶′，𝐷′.当四边形𝐴𝐵𝐶′𝐷′的周长最小时，抛物线的解析式为__

____．三、解答题（本大题共8小题，共66分）19.计算：23×(−12+1)÷(1−3)．20.解分式方程：𝑥𝑥+1=𝑥3𝑥+3+1．21.如图，四边形ABCD中，𝐴𝐵//𝐶𝐷，∠𝐵=∠𝐷，连接AC．(1)求证：

△𝐴𝐵𝐶≌△𝐶𝐷𝐴；(2)尺规作图：过点C作AB的垂线，垂足为𝐸(不要求写作法，保留作图痕迹)；(3)在(2)的条件下，已知四边形ABCD的面积为20，𝐴𝐵=5，求CE的长．22.某水果公司以10元/𝑘𝑔的成本价新进2000箱

荔枝，每箱质量5kg，在出售荔枝前，需要去掉损坏的荔枝，现随机抽取20箱，去掉损坏荔枝后称得每箱的质量(单位：𝑘𝑔)如下：4.74.84.64.54.84.94.84.74.84.74.84.94.74.84.54.74.74.94.75.0整理数据：质量(𝑘𝑔)4.54.64.74

.84.95.0数量(箱)217a31分析数据：平均数众数中位数4.75bc(1)直接写出上述表格中a，b，c的值．(2)平均数、众数、中位数都能反映这组数据的集中趋势，请根据以上样本数据分析的结果，任意选择其中一个统计量，估算这2000箱荔枝共损坏了多少千克？(

3)根据(2)中的结果，求该公司销售这批荔枝每千克定为多少元才不亏本(结果保留一位小数)？23.【阅读理解】如图①，𝑙1//𝑙2，△𝐴𝐵𝐶的面积与△𝐷𝐵𝐶的面积相等吗？为什么？解：相等.在△𝐴

𝐵𝐶和△𝐷𝐵𝐶中，分别作𝐴𝐸⊥𝑙2，𝐷𝐹⊥𝑙2，垂足分别为E，F．∴∠𝐴𝐸𝐹=∠𝐷𝐹𝐶=90°，∴𝐴𝐸//𝐷𝐹．∵𝑙1//𝑙2，∴四边形AEFD是平行四边

形，∴𝐴𝐸=𝐷𝐹．又𝑆△𝐴𝐵𝐶=12𝐵𝐶⋅𝐴𝐸，𝑆△𝐷𝐵𝐶=12𝐵𝐶⋅𝐷𝐹．∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=𝑆△𝐷𝐵𝐶．【类比探究】如图②，在正方形ABCD的右侧作等腰△𝐶𝐷𝐸，𝐶𝐸=

𝐷𝐸，𝐴𝐷=4，连接AE，求△𝐴𝐷𝐸的面积．解：过点E作𝐸𝐹⊥𝐶𝐷于点F，连接AF．请将余下的求解步骤补充完整．【拓展应用】如图③，在正方形ABCD的右侧作正方形CEFG，点B，C，E在同一直线上

，𝐴𝐷=4，连接BD，BF，DF，直接写出△𝐵𝐷𝐹的面积．24.2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情.如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线

为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线𝐶1：𝑦=−112𝑥2+76𝑥+1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线𝐶2：𝑦=−18𝑥2+𝑏𝑥+𝑐运动．(1)当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水

平线的高度为8米，求抛物线𝐶2的函数解析式(不要求写出自变量x的取值范围)；(2)在(1)的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？(3)当运动员运动到坡顶正上方，且与

坡顶距离超过3米时，求b的取值范围．25.如图①，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于点D，𝐵𝐶=14，𝐴𝐷=8，𝐵𝐷=6，点E是AD上一动点(不与点A，D重合)，在△𝐴𝐷𝐶内作矩形EF

GH，点F在DC上，点G，H在AC上，设𝐷𝐸=𝑥，连接BE．(1)当矩形EFGH是正方形时，直接写出EF的长；(2)设△𝐴𝐵𝐸的面积为𝑆1，矩形EFGH的面积为𝑆2，令𝑦=𝑆1𝑆2，求y关于x的函数解析式(不要求写出

自变量x的取值范围)；(3)如图②，点𝑃(𝑎,𝑏)是(2)中得到的函数图象上的任意一点，过点P的直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于M，N两点，求△𝑂𝑀𝑁面积的最小值，并说明理由．26.如图，已知AD，EF是⊙𝑂的直径，𝐴𝐷=6√2，⊙𝑂与▱OABC的边AB，OC分别交于点

E，M，连接CD并延长，与AF的延长线交于点G，∠𝐴𝐹𝐸=∠𝑂𝐶𝐷．(1)求证：CD是⊙𝑂的切线；(2)若𝐺𝐹=1，求cos∠𝐴𝐸𝐹的值；(3)在(2)的条件下，若∠𝐴𝐵𝐶的平分线BH交CO于

点H，连接AH交⊙𝑂于点N，求𝐴𝐵𝑁𝐻的值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：0是有理数．故选：D．根据有理数的定义，可得答案．本题考查了实数，无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限不循环小数．2.【答案】C【解析】解：由该几

何体的主视图可知，该几何体是．故选：C．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．依题意，该几何体的主视图为上下两个梯形，易判断该几何体是上下两个圆台组成．本题考查了由三视图判断几何体，考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也考查了空间想象能力．3.【答案】B【解析

】解：画树状图如下：由树状图知，共有6种等可能结果，其中从C出口出来的有2种结果，所以恰好在C出口出来的概率为26=13，故选：B．画树状图，共有6种等可能结果，其中从C出口出来的有2种结果，再由概率公式求解即可．此题考查的是列表法或树状图法求概率以

及概率公式．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．4.【答案】C【解析】解：400000000=4×108，故选：C．科学记数法的表示形式为𝑎×10𝑛的形式，其中1≤|𝑎|<10，n为整数．确定

n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．此题考查科学记数法的表示方法，关键是确定a的值以及n的值．5.【答案】A【解析】解：从图象可以看出，这一天中的最高气温是大概14时是8℃，最低气温

是−4℃，从0时至4时，这天的气温在逐渐降低，从4时至8时，这天的气温在逐渐升高，故A正确，B，D错误；这一天中最高气温与最低气温的差为12℃，故C错误；故选：A．根据该市一天内的气温变化图，分析变化趋势和具体数值

，即可求出答案．本题考查了函数的图象，认真观察函数的图象，从图象中得到必要的信息是解决问题的关键．6.【答案】A【解析】解：𝐴.𝑎2⋅𝑎3=𝑎5，故此选项符合题意；B.(𝑎2)3=𝑎6，故此选项不合题意；C.𝑎6÷𝑎2=𝑎4

，故此选项不合题意；D.3𝑎2−2𝑎，不是同类项，无法合并，故此选项不合题意．故选：A．直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法除法运算法则计算得出答案．此题主要考查了合并同类项以及幂的乘方运算、同底数幂的乘法除法运算法则，正确掌握

相关运算法则是解题关键．7.【答案】B【解析】解：点𝑃(3,4)关于中心对称的点的坐标为(−3,−4)．故选：B．平面直角坐标系中任意一点𝑃(𝑥,𝑦)，关于原点的对称点是(−𝑥,−𝑦)，记忆方法是结合平面直角坐标

系的图形记忆．此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．8.【答案】C【解析】解：连接OA，∵𝑂𝐶⊥𝐴𝐵，∠𝐵𝐴𝐶=30°，∴∠𝐴𝐶𝑂=90°−30°=60°，∵𝑂𝐴=𝑂𝐶

，∴△𝐴𝑂𝐶为等边三角形，∵𝑂𝐶⊥𝐴𝐵，∴𝑂𝐷=12𝑂𝐶=2，故选：C．连接OA，证明△𝐴𝑂𝐶为等边三角形，根据等腰三角形的性质解答即可．本题考查的是垂径定理、等边三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．9.【答案】D【解析】解：∵𝑘=

2>0，图象过一三象限，𝑏=1>0，图象过第二象限，∴直线𝑦=2𝑥+1经过一、二、三象限，不经过第四象限．故选：D．根据k，b的符号确定一次函数𝑦=𝑥+2的图象经过的象限．本题考查一次函数的𝑘>0，𝑏>0的图象性质．需注意x

的系数为1，难度不大．10.【答案】B【解析】解：设共有y人，x辆车，依题意得：{𝑦=3(𝑥−2)𝑦=2𝑥+9．故选：B．设共有x人，y辆车，根据“如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行”，即可得出关于

x，y的二元一次方程组，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．11.【答案】A【解析】解：过点F作𝐹𝐻⊥𝐴𝐷于点H，设AG与EF交于点

O，如图所示：由折叠A与𝐴′对应易知：∠𝐴𝑂𝐸=90°，∵∠𝐸𝐴𝑂+∠𝐴𝐸𝑂=90°，∠𝐸𝐴𝑂+∠𝐴𝐺𝐷=90°，∴∠𝐴𝐸𝑂=∠𝐴𝐺𝐷，即∠𝐹𝐸𝐻=∠𝐴𝐺𝐷，

又∵∠𝐴𝐷𝐺=∠𝐹𝐻𝐸=90°，∴△𝐴𝐷𝐺∽△𝐹𝐻𝐸，∴𝐸𝐹𝐴𝐺=𝐻𝐹𝐴𝐷=𝐴𝐵𝐴𝐷=1√2=√22，故选：A．过点F作𝐹𝐻⊥𝐴𝐷于点H，设AG与EF交于点O，利用两角对应相等求证△𝐴𝐷𝐺∽△𝐹𝐻𝐸，即可求

出𝐸𝐹𝐴𝐺的值．本题考查翻折变换，矩形性质以及相似三角形判定与性质，本题通过翻折变换推出∠𝐴𝑂𝐸=90°进而利用角进行转化求出△𝐴𝐷𝐺∽△𝐹𝐻𝐸是解题的关键．12.【答案】C【解析】解：由

新定义得{2𝑥+1≥2−𝑥2𝑥+1>3或{2𝑥+1<2−𝑥2−𝑥>3，解得𝑥>1或𝑥<−1故选：C．分𝑥+1≥2和𝑥+1<2两种情况，根据新定义列出不等式组分别求解可得．此题考查的是一元一次不等式组

的解法，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．13.【答案】𝑥≠2【解析】解：当分母𝑥−2≠0，即𝑥≠2时，分式1𝑥−2有意义．故答案为：𝑥≠2．分式有意义，则

分母𝑥−2≠0，由此易求x的取值范围．本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：(1)分式无意义⇔分母为零；(2)分式有意义⇔分母不为零；(3)分式值为零⇔分子为零且分母不为零．14.【答案】(𝑎+2𝑏)(𝑎−2𝑏)【解析】解：𝑎2−4𝑏2=(𝑎+2𝑏)

(𝑎−2𝑏)．故答案为：(𝑎+2𝑏)(𝑎−2𝑏)．直接用平方差公式进行分解．平方差公式：𝑎2−𝑏2=(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)．本题考查运用平方差公式进行因式分解，熟记公式结构是解题的关键．15.【答

案】(30−10√3)【解析】解：由题意可得，∠𝐴𝐷𝐵=60°，∠𝐴𝐶𝐵=45°，𝐴𝐵=30𝑚，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∵∠𝐴𝐶𝐵=45°，∴𝐴𝐵=𝐵𝐶，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐷中，∵∠𝐴𝐷𝐵=60°，∴𝐵𝐷=√33𝐴𝐵=10√3(𝑚)，

∴𝐶𝐷=𝐵𝐶−𝐵𝐷=(30−10√3)𝑚，故答案为：(30−10√3).在两个直角三角形中，利用特殊锐角的三角函数可求出答案．本题考查直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角公式是正确解答的前提．16.【答案

】89分【解析】解：小婷的综合成绩为84×50%+95×40%+90×10%=89(分)，故答案为：89分．根据加权平均数的定义列式计算可得．本题考查的是加权平均数的求法，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键．17.【答案】√33【解析】解：连接AC、AE，如图

，∵四边形ABCD为菱形，∴∠𝐵𝐴𝐶=12∠𝐵𝐴𝐷=12×120°=60°，𝐴𝐵=𝐴𝐶，∴△𝐴𝐵𝐶为等边三角形，∵圆弧与BC相切于E，∴𝐴𝐸⊥𝐵𝐶，∴𝐵𝐸=𝐶𝐸=1，∴𝐴𝐸

=√𝐴𝐵2−𝐵𝐸2=√22−12=√3，设圆锥的底面圆半径为r，根据题意得2𝜋𝑟=120×𝜋×√3180，解得𝑟=√33，即圆锥的底面圆半径为√33．故答案为√33．连接AC、AE，如图，利用菱形的性质

得到∠𝐵𝐴𝐶=60°，𝐴𝐵=𝐴𝐶，则可判断△𝐴𝐵𝐶为等边三角形，再根据切线的性质得𝐴𝐸⊥𝐵𝐶，所以𝐵𝐸=𝐶𝐸=1，利用勾股定理计算出𝐴𝐸=√3，设圆锥的底面圆半径为r，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的

周长，所以2𝜋𝑟=120×𝜋×√3180，然后解方程即可．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了菱形的性质和圆锥的计算．18.【答案】𝑦=(𝑥−2513)2【解析】解：过C、D作x轴平行线，

作B关于直线𝑦=4的对称点𝐵′，过𝐵′作𝐵′𝐸//𝐶𝐷，且𝐵′𝐸=𝐶𝐷，连接AE交直线𝑦=9于𝐶′，过𝐶′作𝐶′𝐷′//𝐶𝐷，交直线𝑦=4于𝐷′，如图：作图可知：四边形𝐵′𝐸�

�𝐷和四边形𝐶′𝐷′𝐷𝐶是平行四边形，∴𝐵′𝐸//𝐶𝐷，𝐶′𝐷′//𝐶𝐷，且𝐵′𝐸=𝐷𝑃，𝐶′𝐷′=𝐶𝐷，∴𝐶′𝐷′//𝐵′𝐸且𝐶′𝐷′=𝐵′𝐸，∴四边形𝐵′𝐸𝐶′𝐷′是

平行四边形，∴𝐵′𝐷′=𝐸𝐶′，∵𝐵关于直线𝑦=4的对称点𝐵′，∴𝐵𝐷′=𝐵′𝐷′，∴𝐸𝐶′=𝐵𝐷′，∴𝐴𝐸=𝐴𝐶′+𝐸𝐶′=𝐴𝐶′+𝐵𝐷′，即此时𝐴𝐶′+

𝐵𝐷′转化到一条直线上，𝐴𝐶′+𝐵𝐷′最小，最小值为AE的长度，而AB、CD为定值，∴此时四边形𝐴𝐵𝐶′𝐷′的周长最小，∵𝐵(3,0)关于直线𝑦=4的对称点𝐵′，∴𝐵′(3,8)，∵四边形𝐵′𝐸𝐶𝐷是平行四边形，𝐶(

−3,9)，𝐷(2,4)，∴𝐸(−2,13)，设直线AE解析式为𝑦=𝑘𝑥+𝑏，则{0=𝑘+𝑏13=−2𝑘+𝑏，解得{𝑘=−133𝑏=133，∴直线AE解析式为𝑦=−133𝑥+133，令𝑦=9得9=−13

3𝑥+133，∴𝑥=−1413，∴𝐶′(−1413,9)，∴𝐶𝐶′=−1413−(−3)=2513，即将抛物线𝑦=𝑥2向右移2513个单位后，四边形𝐴𝐵𝐶′𝐷′的周长最小，∴此时抛物

线为𝑦=(𝑥−2513)2，故答案为：𝑦=(𝑥−2513)2．过C、D作x轴平行线，作B关于直线𝑦=4的对称点𝐵′，过𝐵′作𝐵′𝐸//𝐶𝐷，且𝐵′𝐸=𝐶𝐷，连接AE交直线𝑦=9于𝐶′，过𝐶′作𝐶′𝐷′//𝐶𝐷，交

直线𝑦=4于𝐷′，四边形𝐵′𝐸𝐶𝐷和四边形𝐶′𝐷′𝐷𝐶是平行四边形，可得四边形𝐵′𝐸𝐶′𝐷′是平行四边形，可证𝐴𝐸=𝐴𝐶′+𝐸𝐶′=𝐴𝐶′+𝐵𝐷′，𝐴𝐶

′+𝐵𝐷′最小，最小值为AE的长度，故此时四边形𝐴𝐵𝐶′𝐷′的周长最小，求出𝐵′(3,8)，𝐸(−2,13)，可得直线AE解析式为𝑦=−133𝑥+133，从而𝐶′(−1413,9)，𝐶𝐶′=

−1413−(−3)=2513，故将抛物线𝑦=𝑥2向右移2513个单位后，四边形𝐴𝐵𝐶′𝐷′的周长最小，即可得到答案．本题考查二次函数背景下的平移、对称变换，解题的关键是作出图形，求到𝐶′的坐标．19.【答案】解：原式=8×12÷(−2)=4÷(−2)

=−2．【解析】原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可求出值．此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20.【答案】解：去分母得：3𝑥=𝑥+3𝑥+3，解得：𝑥=−3，检验：当𝑥=−3时，3(

𝑥+1)≠0，∴分式方程的解为𝑥=−3．【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．21.【答案】(1)证明：∵𝐴𝐵//�

�𝐷，∴∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐶𝐴𝐵，在△𝐴𝐵𝐶和△𝐶𝐷𝐴中，{∠𝐵=∠𝐷∠𝐶𝐴𝐵=∠𝐴𝐶𝐷𝐴𝐶=𝐶𝐴，∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐶𝐷𝐴(𝐴𝐴𝑆)；(2)解：过点C作AB的垂线，垂足为E，如图：(3)

解：由(1)知：△𝐴𝐵𝐶≌△𝐶𝐷𝐴，∵四边形ABCD的面积为20，∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=𝑆△𝐶𝐷𝐴=10，∴12𝐴𝐵⋅𝐶𝐸=10，∵𝐴𝐵=5，∴𝐶𝐸=4．【解析】(1)由𝐴𝐵//𝐶𝐷得∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐶𝐴𝐵，结合∠𝐵=∠𝐷，𝐴𝐶

=𝐶𝐴，即可根据AAS证明△𝐴𝐵𝐶≌△𝐶𝐷𝐴；(2)以C为圆心，CB为半径作弧，交线段AB延长线于F，分别以B、F为圆心，大于12𝐵𝐹的线段长为半径作弧，两弧交于G、H，连接GH，交AF于E，作直线CE，则CE即为AB的垂线；(3)由△

𝐴𝐵𝐶≌△𝐶𝐷𝐴，四边形ABCD的面积为20，可得𝑆△𝐴𝐵𝐶=𝑆△𝐶𝐷𝐴=10，即可列出12𝐴𝐵⋅𝐶𝐸=10，而𝐴𝐵=5，即得𝐶𝐸=4．本题考查全等三角形的判定和性质，涉及尺规作图、三角形面积等知识，解题的关键

是掌握过一点作已知直线的垂线的方法：即是作线段BF的垂直平分线．22.【答案】解：(1)𝑎=20−2−1−7−3−1=6，分析数据：样本中，4.7出现的次数最多；故众数b为4.7，将数据从小到大排列，

找最中间的两个数为4.7，4.8，故中位数𝑐=4.7+4.82=4.75，∴𝑎=6，𝑏=4.7，𝑐=4.75；(2)选择平均数4.7，这2000箱荔枝共损坏了2000×(5−4.7)=600(千克)；(3)10×2000×5÷(2000×

5−600)≈10.7(元)，答：该公司销售这批荔枝每千克定为10.7元才不亏本．【解析】(1)根据题意以及众数、中位数的定义分别求出即可；(2)从平均数、中位数、众数中，任选一个计算即可；(3)求出成本，根据(2)的结果计算即可得到答案．本题考查的是平均数

、众数和中位数的定义及运用．要学会根据统计量的意义分析解决问题．23.【答案】解：【类比探究】过点E作𝐸𝐹⊥𝐶𝐷于点F，连接AF，∵四边形ABCD是正方形，∴𝐴𝐷=𝐶𝐷=4，∠𝐴𝐷𝐶=90°，∵𝐷𝐸=𝐶𝐸，𝐸𝐹⊥𝐶𝐷，∴

𝐷𝐹=𝐶𝐹=12𝐶𝐷=2，∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐸𝐹𝐷=90°，∴𝐴𝐷//𝐸𝐹，∴𝑆△𝐴𝐷𝐸=𝑆△𝐴𝐷𝐹，∴𝑆△𝐴𝐷𝐸=12×𝐴𝐷×𝐷𝐹=12×4×2=4；【拓展应用】如图③，连接CF，∵四边形ABCD和四边形CGFE都是正方形，∴∠

𝐵𝐷𝐶=45°，∠𝐺𝐶𝐹=45°，∴∠𝐵𝐷𝐶=∠𝐺𝐶𝐹，∴𝐵𝐷//𝐶𝐹，∴𝑆△𝐵𝐷𝐹=𝑆△𝐵𝐶𝐷，∴𝑆△𝐵𝐷𝐹=12𝐵𝐶×𝐵𝐶=8．【解析】【类比探究】由等腰三角形的性质可得𝐷𝐹=𝐶𝐹=12𝐶𝐷=2，∠�

�𝐷𝐶=∠𝐸𝐹𝐷=90°，可证𝐴𝐷//𝐸𝐹，可得𝑆△𝐴𝐷𝐸=𝑆△𝐴𝐷𝐹，由三角形的面积公式可求解；【拓展应用】连接CF，由正方形的性质可得∠𝐵𝐷𝐶=∠𝐺𝐶𝐹，可得𝐵𝐷//𝐶𝐹，可得𝑆△𝐵𝐷𝐹

=𝑆△𝐵𝐶𝐷，由三角形的面积公式可求解．本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形面积公式等知识，能掌握和运用“阅读理解”中的知识是解题的关键．24.【答案】解：(1)由题意可知抛物线𝐶2：𝑦=−18𝑥2+𝑏𝑥+𝑐过点(0,4

)和(4,8)，将其代入得：{4=𝑐8=−18×42+4𝑏+𝑐，解得：{𝑏=32𝑐=4，∴抛物线𝐶2的函数解析式为：𝑦=−18𝑥2+32𝑥+4；(2)设运动员运动的水平距离为m米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意得：−18𝑚2+32𝑚+4−(−112𝑚2+76𝑚+

1)=1，整理得：(𝑚−12)(𝑚+4)=0，解得：𝑚1=12，𝑚2=−4(舍去)，故运动员运动的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米；(3)𝐶1：𝑦=−112𝑥2+76𝑥+1=−

112(𝑥−7)2+6112，当𝑥=7时，运动员到达坡顶，即−18×72+7𝑏+4>3+6112，解得：𝑏>3524．【解析】(1)根据题意将点(0,4)和(4,8)代入𝐶2：𝑦=−18𝑥2+𝑏𝑥+𝑐求出b、c的

值即可写出𝐶2的函数解析式；(2)设运动员运动的水平距离为m米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意得：−18𝑚2+32𝑚+4−(−112𝑚2+76𝑚+1)=1，解出m即可；(3)求出山坡的顶点坐标为(7,6112)，根据题意即−18×72+7𝑏+4>3+61

12，再解出b的取值范围即可．本题考查二次函数的基本性质及其应用，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合是解决本题的关键．25.【答案】解：(1)设𝐸𝐹=𝑚．∵𝐵𝐶=14，𝐵𝐷=6，∴𝐶𝐷=𝐵𝐶−𝐵𝐷=14−

6=8，∵𝐴𝐷=8，∴𝐴𝐷=𝐷𝐶=8，∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，∴∠𝐴𝐷𝐶=90°，∴𝐴𝐶=√2𝐴𝐷=8√2，∵四边形EFGH是正方形，∴𝐸𝐻=𝐹𝐺=𝐺𝐻=𝐸𝐹=𝑚，∠𝐸𝐻𝐺=∠𝐹𝐺𝐻

=90°，∴∠𝐴𝐻𝐸=∠𝐹𝐺𝐶=90°，∵∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐶=45°，∴∠𝐴𝐸𝐻=∠𝐸𝐴𝐻=45°，∠𝐺𝐹𝐶=∠𝐶=45°，∴𝐴𝐻=𝐸𝐻=𝑥，𝐶𝐺=𝐹𝐺=𝑥，∴3𝑚=8√2，∴𝑚=8√23，∴𝐸

𝐹=8√23．(2)∵𝐷𝐸=𝐷𝐹=𝑥，𝐷𝐴=𝐷𝐶=8，∴𝐴𝐸=𝐶𝐹=8−𝑥，∴𝐸𝐻=√22𝐴𝐸=√22(8−𝑥)，𝐸𝐹=√2𝐷𝐸=√2𝑥，∴𝑦=𝑆1𝑆2=12×(8−𝑥)×6√2𝑥×√22(8−𝑥)=3𝑥，∴𝑦=

3√2𝑥(0<𝑥<8)．(3)如图③中，由(2)可知点P在𝑦=3𝑥上，当OP最小时，点P在第一象限的角平分线时，此时𝑃(√3,√3)，当直线𝑀𝑁⊥𝑂𝑃时，△𝑂𝑀𝑁的面积最小，此时𝑂𝑀=𝑂𝑁=2√3，∴△𝑀𝑂𝑁的面积的最小值=12

×2√3×2√3=6．【解析】(1)设𝐸𝐹=𝑚.证明𝐴𝐻=𝐻𝐺=𝐶𝐺=𝑚，构建方程求解即可．(2)解直角三角形可得𝐸𝐻=√22𝐴𝐸=√22(8−𝑥)，𝐸𝐹=√2𝐷𝐸=√2𝑥，利用三角形面积公式，矩形的面积公式

求解即可．(3)如图③中，由(2)可知点P在𝑦=3𝑥上，当OP最小时，点P在第一象限的角平分线时，此时𝑃(√3,√3)，当直线𝑀𝑁⊥𝑂𝑃时，△𝑂𝑀𝑁的面积最小．本题属于四边形综合题，考查了矩

形的性质正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，反比例函数的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会寻找特殊位置解决最值问题，属于中考常考题型．26.【答案】(1)证明：∵四边形OABC是平行四边形，∴𝑂𝐶//𝐴𝐵，∴∠𝐷𝑂𝐶=∠

𝑂𝐴𝐸，∵𝑂𝐴=𝑂𝐸，∴∠𝑂𝐴𝐸=∠𝐴𝐸𝐹，∴∠𝐷𝑂𝐶=∠𝐴𝐸𝐹，∵𝐸𝐹是⊙𝑂的直径，∴∠𝐸𝐴𝐹=90°，∴∠𝐴𝐹𝐸+∠𝐴𝐸𝐹=90°，∴

∠𝐴𝐹𝐸+∠𝐷𝑂𝐶=90°，∵∠𝐴𝐹𝐸=∠𝑂𝐶𝐷，∴∠𝑂𝐶𝐷+∠𝐷𝑂𝐶=90°，∴∠𝑂𝐷𝐶=90°，∴𝑂𝐷⊥𝐶𝐷，∴𝐶𝐷是⊙𝑂的切线；(2)连接DF，如图：∵𝐴𝐷是⊙𝑂的直径，∴∠𝐴𝐷𝐹+∠

𝐷𝐴𝐹=90°，∵𝐶𝐷是⊙𝑂的切线，∴∠𝐺+∠𝐷𝐴𝐹=90°，∴∠𝐴𝐷𝐹=∠𝐺，又∠𝐷𝐴𝐹=∠𝐺𝐴𝐷，∴△𝐴𝐷𝐹∽△𝐴𝐺𝐷，∴𝐴𝐹𝐴𝐷=𝐴�

�𝐴𝐺，∵𝐴𝐷=6√2，𝐺𝐹=1，∴𝐴𝐹6√2=6√2𝐴𝐹+1，解得𝐴𝐹=8或𝐴𝐹=−9(舍去)，在𝑅𝑡△𝐴𝐸𝐹中，𝐴𝐸=√𝐸𝐹2−𝐴𝐹2=√𝐴𝐷2−𝐴𝐹2=2√2，∴

cos∠𝐴𝐸𝐹=𝐴𝐸𝐸𝐹=13；(3)延长CO交AF于K，连接MN、MF，如图：∵𝐸𝐹是⊙𝑂直径，∴∠𝐸𝐴𝐹=90°，∵𝑂𝐶//𝐴𝐵，∴∠𝐶𝐾𝐴=90°，即𝑂𝐾⊥𝐴𝐹，∵𝐸𝐹=𝐴𝐷=6√2，𝐴𝐹=8，∴𝐹𝑂=3√2

，𝐹𝐾=𝐴𝐾=4，𝑅𝑡△𝑂𝐾𝐹中，𝑂𝐾=√𝐹𝑂2−𝐹𝐾2=√2，∵∠𝐺+∠𝑂𝐴𝐹=90°，∠𝑂𝐹𝐴+∠𝐴𝐸𝐹=90°，且∠𝑂𝐴𝐹=∠𝑂𝐹𝐴，∴∠𝐺=∠𝐴𝐸𝐹，∴𝑡𝑎𝑛𝐺=tan

∠𝐴𝐸𝐹，即𝐶𝐾𝐺𝐾=𝐴𝐹𝐴𝐸，∴𝐶𝐾𝐹𝐾+𝐺𝐹=𝐴𝐹𝐴𝐸，即𝐶𝐾5=82√2，解得𝐶𝐾=10√2，∵𝐵𝐻平分∠𝐴𝐵𝐶，𝑂𝐶//𝐴𝐵，∴∠𝐶𝐵𝐻=∠𝐴𝐵𝐻=∠𝐶𝐻𝐵，∴𝐶

𝐻=𝐵𝐶=𝑂𝐴=3√2，∴𝑀𝐻=𝐶𝐾−𝑂𝐾−𝑂𝑀−𝐶𝐻=10√2−√2−3√2−3√2=3√2，∴𝐾𝐻=𝑂𝐾+𝑂𝑀+𝑀𝐻=7√2，在𝑅𝑡△𝐴𝐾𝐻中，𝐴�

�=√𝐴𝐾2+𝐾𝐻2=√42+(7√2)2=√114，而∠𝑀𝑁𝐻=∠𝑀𝐹𝐴=12∠𝑀𝑂𝐴=12∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐵𝐻，且∠𝑀𝐻𝑁=∠𝐻𝐴𝐵，∴△𝑀𝑁𝐻∽△𝐻𝐵𝐴，∴𝐴𝐵𝑁𝐻=𝐴𝐻𝑀𝐻=√1

143√2=√573．【解析】(1)由𝑂𝐶//𝐴𝐵，得∠𝐷𝑂𝐶=∠𝑂𝐴𝐸=∠𝐴𝐸𝐹，根据EF是⊙𝑂的直径，可得∠𝐴𝐹𝐸+∠𝐴𝐸𝐹=90°，且已知∠𝐴𝐹𝐸=∠𝑂𝐶𝐷，即可证明∠𝑂𝐶𝐷+∠𝐷𝑂𝐶=90°，CD

是⊙𝑂的切线；(2)连接DF，先证明△𝐴𝐷𝐹∽△𝐴𝐺𝐷，𝐴𝐹𝐴𝐷=𝐴𝐷𝐴𝐺，由𝐴𝐷=6√2，𝐺𝐹=1，得𝐴𝐹=8，在𝑅𝑡△𝐴𝐸𝐹中，𝐴𝐸=√𝐴𝐷2−𝐴𝐹2=2√2，即可求出

cos∠𝐴𝐸𝐹=𝐴𝐸𝐸𝐹=13；(3)延长CO交AF于K，连接MN、MF，由∠𝐸𝐴𝐹=90°，可得∠𝐶𝐾𝐴=90°，即𝑂𝐾⊥𝐴𝐹，而𝐸𝐹=𝐴𝐷=6√2，𝐴𝐹=8

，在𝑅𝑡△𝑂𝐾𝐹中，𝑂𝐾=√2，再证∠𝐺=∠𝐴𝐸𝐹，可得𝐶𝐾𝐺𝐾=𝐴𝐹𝐴𝐸，𝐶𝐾=10√2，根据BH平分∠𝐴𝐵𝐶，𝑂𝐶//𝐴𝐵，得∠𝐶𝐵𝐻=∠𝐴𝐵𝐻=∠𝐶𝐻𝐵，从而

𝐶𝐻=𝐵𝐶=𝑂𝐴=3√2，𝑀𝐻=3√2，𝐾𝐻=7√2，在𝑅𝑡△𝐴𝐾𝐻中，𝐴𝐻=√114，最后证明△𝑀𝑁𝐻∽△𝐻𝐵𝐴，即可得𝐴𝐵𝑁𝐻=𝐴𝐻𝑀𝐻=√1

143√2=√573．本题考查圆的综合应用，涉及圆切线的判定、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是观察、构造相似三角形，把所求线段的比转化为两个相似三角形其它边的比，获得更多资源请扫码加入享学资源网

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