【文档说明】2020年高考真题——数学（文）（全国卷Ⅲ）含解析【精准解析】.doc，共(21)页，1.447 MB，由envi的店铺上传

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2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡

上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合1235711A=，，，，，，315|Bxx

=，则A∩B中元素的个数为（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】【分析】采用列举法列举出AB中元素的即可.【详解】由题意，{5,7,11}AB=，故AB中元素的个数为3.故选：B【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.2.若()11+=−zii

，则z=（）A.1–iB.1+iC.–iD.i【答案】D【解析】【分析】先利用除法运算求得z，再利用共轭复数的概念得到z即可.【详解】因为21(1)21(1)(1)2iiiziiii−−−====−++−，所以zi=.故

选：D【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到共轭复数的概念，是一道基础题.3.设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为（）A.0.01B.0.1C.1D.10【答案】C【解析】

【分析】根据新数据与原数据关系确定方差关系，即得结果.【详解】因为数据(1,2,,)iaxbin+=L，的方差是数据(1,2,,)ixin=L，的方差的2a倍，所以所求数据方差为2100.01=1故选：C【点睛】本题考查方差，

考查基本分析求解能力，属基础题.4.Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：0.23(53)()=1etIKt−

−+，其中K为最大确诊病例数．当I(*t)=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则*t约为（）（ln19≈3）A.60B.63C.66D.69【答案】C【解析】【分析】将tt=代入函数()()0.23531tKIte−−=+结合()0.95ItK=求得t即可得解.【详

解】()()0.23531tKIte−−=+，所以()()0.23530.951tKItKe−−==+，则()0.235319te−=，所以，()0.2353ln193t−=，解得353660.23t

+.故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.5.已知πsinsin=31++，则πsin=6+（）A.12B.33C.23D.22【答案】B【解析】【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和

的正弦公式即可求得三角函数式的值.【详解】由题意可得：13sinsincos122++=，则：33sincos122+=，313sincos223+=，从而有：3sincoscossin663+=，即3sin63

+=.故选：B.【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.6.在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若=1ACBC，则点C的轨迹为（）A.圆B.椭圆C.抛物线D.直线【答案】A【解析】【分析】首先建立平面直角坐标系，然后结合数量积

的定义求解其轨迹方程即可.【详解】设()20ABaa=，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则：()(),0,,0AaBa−，设(),Cxy，可得：()(),,,ACxayBCxay→→=+=

−，从而：()()2ACBCxaxay→→=+−+，结合题意可得：()()21xaxay+−+=，整理可得：2221xya+=+，即点C的轨迹是以AB中点为圆心，21a+为半径的圆.故选：A.【点睛】本题主要考查平面向量及其数量积的坐

标运算，轨迹方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C：y2=2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为（）A.（14，0）B.（12，0）C.（1，0）D.（2，0）【答案】B【解析】【

分析】根据题中所给的条件ODOE⊥，结合抛物线的对称性，可知4COxCOx==，从而可以确定出点D的坐标，代入方程求得p的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.【详解】因为直线2x=与抛物线22(0)ypxp=交于,CD两点，且ODOE⊥，根据抛物线的对称性可以

确定4DOxCOx==，所以(2,2)C，代入抛物线方程44p=，求得1p=，所以其焦点坐标为1(,0)2，故选：B.【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单

题目.8.点(0，﹣1)到直线()1ykx=+距离的最大值为（）A.1B.2C.3D.2【答案】B【解析】【分析】首先根据直线方程判断出直线过定点(1,0)P−，设(0,1)A−，当直线(1)ykx=+与AP垂直时，点A到直线(1)ykx=+距离最大，即可求得结果.【详解】由(1)

ykx=+可知直线过定点(1,0)P−，设(0,1)A−，当直线(1)ykx=+与AP垂直时，点A到直线(1)ykx=+距离最大，即为||2AP=.故选：B.【点睛】该题考查的是有关解析几何初步的问题，涉及到的知识点有直线过定点问题，利用几何性质是

解题的关键，属于基础题.9.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A.6+42B.4+42C.6+23D.4+23【答案】C【解析】【分析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积.【详解】根据三视图特征，在正方体

中截取出符合题意的立体图形根据立体图形可得：12222ABCADCCDBSSS====△△△根据勾股定理可得：22ABADDB===ADB△是边长为22的等边三角形根据三角形面积公式可得：2113sin60(22)23222ADBSABAD===△该几何体的表面积是：2

362332=++.故选：C.【点睛】本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体图形，考查了分析能力和空间想象能力，属于基础题.10.设a=log32，b=log53，c=23，则（）A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b

【答案】A【解析】【分析】分别将a,b改写为331log23a=，351log33b=，再利用单调性比较即可.【详解】因为333112log2log9333ac===，355112log3log25333bc===，所以acb.故选：A【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生

转化与回归的思想，是一道中档题.11.在△ABC中，cosC=23，AC=4，BC=3，则tanB=（）A.5B.25C.45D.85【答案】C【解析】【分析】先根据余弦定理求c，再根据余弦定理求cosB，最后根据同角三角函数关系求tan.B【详解】设,,AB

cBCaCAb===22222cos916234933cababCc=+−=+−==22221145cossin1()tan452999acbBBBac+−===−==故选：C【点睛】本题考查余弦定理以及同角三角函数关系，考查基本分析求解能力，属基础题.12.已知函数f(x)=sin

x+1sinx，则（）A.f(x)的最小值为2B.f(x)的图像关于y轴对称C.f(x)的图像关于直线x=对称D.f(x)的图像关于直线2x=对称【答案】D【解析】【分析】根据基本不等式使用条件可判断A;根据奇偶性可判断B;根据对称性判断C,D.【详解】sinx可以为负，所

以A错；1sin0()()sin()sinxxkkZfxxfxx−=−−=−QQ()fx关于原点对称；11(2)sin(),()sin(),sinsinfxxfxfxxfxxx−=−−−=+=Q故B错；()fx

关于直线2x=对称，故C错，D对故选：D【点睛】本题考查函数定义域与最值、奇偶性、对称性，考查基本分析判断能力，属中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若x，y满足约束条件0,201,xyxyx+−

，，则z=3x+2y的最大值为_________．【答案】7【解析】【分析】作出可行域，利用截距的几何意义解决.【详解】不等式组所表示的可行域如图因为32zxy=+，所以322xzy=−+，易知截距2z越大，则z越大，平移直线32xy=−，当322xzy=

−+经过A点时截距最大，此时z最大，由21yxx==，得12xy==，(1,2)A，所以max31227z=+=.故答案为：7.【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函

数的最大值，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.14.设双曲线C：22221xyab−=(a>0，b>0)的一条渐近线为y=2x，则C的离心率为_________．【答案】3【解析】【分析】根据已知可得2ba=，结合双曲

线中,,abc的关系，即可求解.【详解】由双曲线方程22221xyab−=可得其焦点在x轴上，因为其一条渐近线为2yx=，所以2ba=，2213cbeaa==+=.故答案为：3【点睛】本题考查的是有关双曲线性质，利用渐近线方程与离心率关系是解题的关

键，要注意判断焦点所在位置，属于基础题.15.设函数e()xfxxa=+．若(1)4ef=，则a=_________．【答案】1【解析】【分析】由题意首先求得导函数的解析式，然后得到关于实数a的方程，解方程即

可确定实数a的值【详解】由函数的解析式可得：()()()()()221xxxexaeexafxxaxa+−+−==++，则：()()()()12211111eaaefaa+−==++，据此可得：()241aeea=+，

整理可得：2210aa−+=，解得：1a=.故答案为：1.【点睛】本题主要考查导数的运算法则，导数的计算，方程的数学思想等知识，属于中等题.16.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．【答案】23【解析】【分析】

将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值.【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中2,3BCABAC===，且点M为BC边上的中点，设内切圆的圆心为O，由于223122AM=−=，故122

2222S==△ABC，设内切圆半径为r，则：ABCAOBBOCAOCSSSS=++△△△△111222ABrBCrACr=++()1332222r=++=，解得：22r=，其体积：34233Vr==.故答案为：23.【点睛】与球有关的

组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.三、解答题：共70分.解答应

写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.设等比数列{an}满足124aa+=，318aa−=．（1）求{an}的通项公式；（2）记nS为数列{log3a

n}的前n项和．若13mmmSSS+++=，求m．【答案】（1）13−=nna；（2）6m=.【解析】【分析】（1）设等比数列na的公比为q，根据题意，列出方程组，求得首项和公比，进而求得通项公式；（2）由（1）求出3{log}na的通项公式，利用等

差数列求和公式求得nS，根据已知列出关于m的等量关系式，求得结果.【详解】（1）设等比数列na的公比为q，根据题意，有1121148aaqaqa+=−=，解得113aq==，所以13−=nna；（2）令313loglog31nnnban−===−，所以(01)(1)22n

nnnnS+−−==，根据13mmmSSS+++=，可得(1)(1)(2)(3)222mmmmmm−++++=，整理得2560mm−−=，因为0m，所以6m=，【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计

算，以及等差数列求和公式的应用，考查计算求解能力，属于基础题目.18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：锻炼人次空气质量等级[0，200](200，400](400，600]1（优）216252（良）51

0123（轻度污染）6784（中度污染）720（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天

的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次≤400人次>400空气质量好空气

质量不好附：22()()()()()nadbcKabcdacbd−=++++，P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】（1）该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率分别为0.43、0.27、0.21、0.09；（2）350；（3）有

，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率；（2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以100可得结果；（3）根据表格中的数据完善22列联表，计算出2K的观测值，再结合临界值表可得结论.【详解】（1）由频数分布表可知，该市一

天的空气质量等级为1的概率为216250.43100++=，等级为2的概率为510120.27100++=，等级为3的概率为6780.21100++=，等级为4的概率为7200.09100++=；（2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为10020300355004

5350100++=（3）22列联表如下：人次400人次400空气质量不好3337空气质量好228()2210033837225.8203.84155457030K−=，因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质

量有关.【点睛】本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考查数据处理能力，属于基础题.19.如图，在长方体1111ABCDABCD−中，点E，F分别在棱1DD，1BB上，且12DEE

D=，12BFFB=．证明：（1）当ABBC=时，EFAC⊥；（2）点1C在平面AEF内．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据正方形性质得ACBD⊥，根据长方体性质得1ACBB⊥,进而可证AC⊥平面11BBDD,即得结果；（2

）只需证明1//ECAF即可，在1CC上取点M使得12CMMC=,再通过平行四边形性质进行证明即可.【详解】（1）因为长方体1111ABCDABCD−,所以1BB⊥平面ABCD1ACBB⊥,因为长方体1111,ABCDABCDABBC−=,所以四边形ABCD为正方形ACBD⊥因为11,BBBD

BBBBD=I、平面11BBDD,因此AC⊥平面11BBDD,因为EF平面11BBDD,所以ACEF⊥；（2）在1CC上取点M使得12CMMC=,连,DMMF,因为111112,//,=DEEDDDCCDDCC=,所以11,//,EDMCEDMC=所以四边形1

DMCE为平行四边形，1//DMEC因为//,=,MFDAMFDA所以四边形MFAD为平行四边形，1//,//DMAFECAF因此1C在平面AEF内【点睛】本题考查线面垂直判定定理、线线平行判定，考查基本分析论证能力，属中档题.20.已知函数32()fxxkxk=−+．（

1）讨论()fx的单调性；（2）若()fx有三个零点，求k的取值范围．【答案】（1）详见解析；(2)4(0,)27.【解析】【分析】（1）'2()3fxxk=−，对k分0k和0k两种情况讨论即可；（2）()fx有三个零点，由（1）知0k

，且()03()03kfkf−，解不等式组得到k的范围，再利用零点存在性定理加以说明即可.【详解】（1）由题，'2()3fxxk=−，当0k时，'()0fx恒成立，所以()fx在(,)−+上单调递增；当0k

时，令'()0fx=，得3kx=，令'()0fx，得33kkx−，令'()0fx，得3kx−或3kx，所以()fx在(,)33kk−上单调递减，在(,)3k−−，(,)3k+上单调递增.（2）由（1）知，()fx

有三个零点，则0k，且()03()03kfkf−即2220332033kkkkkk+−，解得4027k，当4027k时，3kk，且2()0fkk=，所以()fx在(,)3kk上有唯一一个

零点，同理13kk−−−，32(1)(1)0fkkk−−=−−+，所以()fx在(1,)3kk−−−上有唯一一个零点，又()fx在(,)33kk−上有唯一一个零点，所以()fx有三个零点，综上可知k的取值范围为4(0,)2

7.【点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及已知零点个数求参数的范围问题，考查学生逻辑推理能力、数学运算能力，是一道中档题.21.已知椭圆222:1(05)25xyCmm+=的离心率为154，A，B分别为C的左、右顶点．（1）求C的方程；（2）若点P在C上，点Q在直线6x=上

，且||||BPBQ=，BPBQ⊥，求APQ的面积．【答案】（1）221612525xy+=；（2）52.【解析】【分析】（1）因为222:1(05)25xyCmm+=，可得5a=，bm=，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案

；（2）点P在C上，点Q在直线6x=上，且||||BPBQ=，BPBQ⊥，过点P作x轴垂线，交点为M，设6x=与x轴交点为N，可得PMBBNQ△△，可求得P点坐标，求出直线AQ的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得APQ的面积.【详解】（1）222:1(05)25xyCm

m+=5a=，bm=，根据离心率22154115cbmeaa==−=−=，解得54m=或54m=−(舍)，C的方程为：22214255xy+=，即221612525xy+=；（2）点P在C上，点Q在直线6x=上，且||||BPBQ=，BPBQ⊥，过点

P作x轴垂线，交点为M，设6x=与x轴交点为N根据题意画出图形，如图||||BPBQ=，BPBQ⊥，90PMBQNB==，又90PBMQBN+=，90BQNQBN+=，PBMBQN=，根据三角形全等条件“AAS”，可得：PMBBNQ△

△，221612525xy+=，(5,0)B，651PMBN==−=，设P点为(,)PPxy，可得P点纵坐标为1Py=，将其代入221612525xy+=，可得：21612525Px+=，解得：3Px=或3Px=−，P点为(3,1)或(3,1)−，①当P点为(3,1)时，故53

2MB=−=，PMBBNQ△△，||||2MBNQ==，可得：Q点为(6,2)，画出图象，如图(5,0)A−,(6,2)Q，可求得直线AQ的直线方程为：211100xy−+=，根据点到直线距离公式可得P到直线AQ

的距离为：222311110555125211d−+===+，根据两点间距离公式可得：()()22652055AQ=++−=，APQ面积为：15555252=；②当P点为(3,1)−时，故5+38MB=

=，PMBBNQ△△，||||8MBNQ==，可得：Q点为(6,8)，画出图象，如图(5,0)A−(6,8)Q，可求得直线AQ的直线方程为：811400xy−+=，根据点到直线距离公式可得P到直线AQ的距离为：()228311140551851858

11d−−+===+，根据两点间距离公式可得：()()226580185AQ=++−=，APQ面积为：15518522185=，综上所述，APQ面积为：52.【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积，考

查了分析能力和计算能力，属于中档题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2222xtty

tt=−−=−+，(t为参数且t≠1)，C与坐标轴交于A，B两点.（1）求|AB|：（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程.【答案】（1）410（2）3cossin120−+=【解析】【分析】（

1）由参数方程得出,AB的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出AB的值；（2）由,AB的坐标得出直线AB的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.【详解】（1）令0x=，则220tt+−=，解得2t=−或1t=（舍），则26412y=++=，即(0,12)A.令0y=，则2320tt−

+=，解得2t=或1t=（舍），则2244x=−−=−，即(4,0)B−.22(04)(120)410AB=++−=；（2）由（1）可知12030(4)ABk−==−−，则直线AB的方程为3(4)yx=+，即3120xy−+=.由cos,sinxy==可得，直线AB

的极坐标方程为3cossin120−+=.【点睛】本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程，属于中档题.[选修4-5：不等式选讲]23.设a，b，cR，a+b+c=0，abc=1．（1）证明：ab

+bc+ca<0；（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥34．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由2222()2220abcabcabacbc++=+++++=结合不等式的性质，即可得出证明；（2）不妨设m

ax{,,}abca=，由题意得出0,,0abc，由()222322bcbcbcaaabcbc+++===，结合基本不等式，即可得出证明.【详解】（1）2222()2220abcabcabacbc++=++++

+=，()22212abbccaabc++=−++.,,abc均不为0，则2220abc++，()222120abbccaabc++=−++；（2）不妨设max{,,}abca=，由0,1abcabc++==可知，0,0,0abc，1,abcabc=−−=，()22232

2224bcbcbcbcbcaaabcbcbc++++====.当且仅当bc=时，取等号，34a，即3max{,,}4abc….【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题.