【文档说明】湖南省永州市2022届高三下学期第三次适应性考试（三模）数学试题含答案.docx，共(14)页，401.809 KB，由envi的店铺上传

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永州市2022年高考第三次适应性考试试卷数学命题人：李军（永州四中）张玉桂（永州四中）陈诗跃（永州一中）周海洋（双牌二中）钟华梁（宁远一中）审题人：席俊雄（永州市教科院）注意事项：1．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效．2．考试结束后，

只交答题卡．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i为虚数单位，复数z在复平面内对应点的坐标为()1,1，则()1iz−=（）A.1B.2C.iD.2i2.设集合()()|230Axxx=+

−，|1Bxx=，则（）A.AB=B.ABR=C.|13ABxx=D.|1ABxx=U3.“ab”是“lnlnab”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.某新能源汽车销售公司统计了某款汽车行驶

里程x(单位：万千米)对应维修保养费用y(单位：万元)的四组数据，这四组数据如下表：行驶里程x/万千米1245维修保养费用y/万元0.500.902.302.70若用最小二乘法求得回归直线方程为0.58yxa=+，则估计该款汽车行驶里程为6万千米时的维修保养费是（）

A.3.34万元B.3.62万元C.3.82万元D.4.02万元5.若()87878011(1)(1)xaaxaxax=+++++++，则3a=（）A.56B.28C.28−D.56−6.中国古代数学瑰宝《九章算术》记录形似“楔体”的“羡除”．所谓“

羡除”，就是三个侧面都是梯形或平行四边形（其中最多只有一个平行四边形），两个不平行对面是三角形的五面体．如图，在羡除ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，EAD，FBC均为正三角形，//EF平面ABCD，且2EFAB=，则羡除ABCDEF的体积为（）A.433B.823C.42D

.437.已知双曲线2222:1xyCab−=的左、右焦点分别为1F、2F，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上，OPc=（c为双曲线C的半焦距），直线2PF与双曲线C右支交于另一个点Q，123tan4FQF=，则双曲线C的离心率为

（）A.3B.2C.52D.1028.在正四棱柱1111ABCDABCD−中，122BBBC==，E为1AA的中点，点F为线段1CC上的动点，则三棱锥1EBBF−的外接球表面积的最大值为（）A.πB.4πC.5πD.10π二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分

．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.已知等差数列na是递减数列，nS为其前n项和，且78SS=，则（）A.0d＞B.80a=C.150SD.7S、8S均为nS的最大值10.已知事件A与事件B为互斥事件，A是事件

A的对立事件，B是事件B的对立事件，若()13PA=，()16PB=，则（）A.()23PA=B.()12PAB=C.()0PAB=D.事件A与事件B不独立11.已知函数()21ln12fxxxx=−−+，则（）A.()fx的图象关于直线1x=

对称B.()fx在)2,+上为减函数C.()fx有4个零点D.00x，使()00fx12.已知抛物线C:24yx=与圆F:()22114xy−+=，点P在抛物线C上，点Q在圆F上，点()1,0A−，则（）A.PQ的最小值为12B.FPQ最大值为45C.当PAQ最大时

，四边形APFQ的面积为1528+D.若PQ的中点也在圆C上，则点P的纵坐标的取值范围为2,2−三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知1sincos2−=，则sin2＝________.14.已知非零向量a，b满足ba−=，()aab⊥−，则a与b夹角为_

_________．15.已知直线l:32yx=+，函数()1ln3fxxax=−+，若()fx存在切线与l关于直线yx=对称，则=a__________．16.已知函数()()πsin03fxx=+，若()fx在

()π2π，内单调且有一个零点，则的取值范围是__________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.从①()22bcabc−=−，②23sincoscaCcA=+这两个条件中选一个，补充在下面问题中，并解答.已知ABC的内角A，B，C的对边分别为

a，b，c，且.（1）求A的值；（2）若ABC的外接圆半径为3，求bc+的最大值.(注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答记分)19.某游乐场开展摸球有奖活动，在一个不透明的盒子中放入大小相同的10个小球，其中红球4个，黑球6个，游客花10元钱，就可以参加一次摸球有奖活动，从

盒子中一次随机摸取4个小球，规定摸取到两个或两个以上的红球就中奖.根据摸取到的红球个数，设立如下的中奖等级：摸取到的红球个数234中奖等级三等奖二等奖一等奖（1）求游客在一次摸球有奖活动中中奖的概率；（2）若游乐场规定：在一次摸球有奖活动中，游客中三等奖，可获得奖金15元；中二等奖，可获得奖金2

0元；中一等奖，可获得奖金200元.请从游乐场获利的角度，分析此次摸球有奖活动的合理性.21.如图，在三棱柱111ABCABC−中，112ABAAACBC====.（1）求证：11ABBC⊥；（2）若2AC=，160ABB=，点M满足132AMMC=，求二面角11AABM−−的余

弦值.23.已知各项均为正数的数列na满足11a=，()2121nnaSnn+−=+N，其中nS是数列na的前n项和.（1）求数列na的通项公式；（2）在ka和()1kak+N中插入k个相同的数2k构成一个新数列n

b：223331234,2,,2,2,,2,2,2,,aaaa．求nb的前90项和90T．25.已知椭圆C:22221(0)xyabab+=的焦距为2，点31,2P在椭圆C上.（1）求椭圆C的方程；（

2）设M，N是椭圆C上的两个动点，O为坐标原点，且直线PM，PN的倾斜角互补，求OMN面积的最大值.27.已知函数()()exfxaxa=−R.（1）求()fx的极值；（2）若()21121212ee0ttatattttt==时，(

)1220ttt−+恒成立，求实数的取值范围．【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】C【9题答案】

【答案】BD【10题答案】【答案】ABD【11题答案】【答案】AB【12题答案】【答案】ACD【13题答案】【答案】34【14题答案】【答案】π4##45【15题答案】【答案】23【16题答案】【答案】17312，【17题答案】【

答案】（1）π3A=（2）6【小问1详解】若选①：由()22bcabc−=−，得222bcabc+−=，由余弦定理得：2221cos22bcaAbc+−==，又因为0πA，所以π3A=若选②：由23sincoscaCcA

=+，得2sin3sinsinsincosCACCA=+即3sincos2AA+=，故πsin16A+=又因为0πA,所以7666A+，所以62A+=，所以3A=【小问2详解】由正弦定理

得:2sinaRA=，即23πsin3a=，解得3a=，又由余弦定理得：2222cosabcbcA=+−，即()22239bcbcbcbc+−=+−=所以()()()2223944bcbcbc+++−=，当且仅当“bc=”时取等号.所以bc+的最大值为6.【19题答案】【答案】（

1）2342（2）答案见解析【小问1详解】解：设一次摸球有奖活动中中奖为事件A，则事件A包含的基本事件有：223140464646115CCCCCC++=,基本事件总数为：410210C=，∴()1152321042PA==∴游客在一次摸球有奖活动中中奖的概

率为2342.【小问2详解】解：设游客在一次摸球有奖活动中获得的奖金为X，X可以取0，15，20，200，()2319014242PX==−=()22464103157CCPXC===()314641042035CCPXC===()444101200210CPXC===故X的

分布列为X01520200P1942374351210X的数学期望()9341203015202004273521021EX=+++=由于一次摸球有奖活动中支付给游客奖金的均值()2031021EX

=，所以游乐场可获利，故此次摸球有奖活动合理.【21题答案】【小问1详解】连接11,ABAB交于点O，连接OC，四边形11ABBA为菱形，11ABAB⊥，O为1AB中点，又1CACB=，1ABOC⊥，

1ABOCO=，1,ABCO平面1ACB，1AB⊥平面1ACB，又1BC平面1ACB，11ABBC⊥.【小问2详解】160ABB=，12ABAA==，3OB=，1OA=，在RtOBC中，222OCBCOB=−，1OC=，在OAC中，有222OAOCAC+=，OCOA⊥，又OAOB

O=，,OAOB平面11ABBA，OC⊥平面11ABBA，则以O为坐标原点，,,OAOBOC为,,xyz轴可建立如图所示空间直角坐标系，则()1,0,0A，()10,3,0A−，()11,0,0B−，()0,0,1C，()11,3,1C−−，()12,3,1A

C=−−，设(),,Mxyz，则()1,,AMxyz=−，()11,3,1MCxyz=−−−−−，132AMMC=，()()()()3121323321xxyyzz−=−−=−−=−，解得：

1523525xyz==−=，1232,,555M−，11332,,555AM=，()111,3,0AB=−，设平面11MAB的法向量(),,nabc=，1111332055530AMnabcAB

nab=++==−+=，令1b=，解得：3a=，23c=−，()3,1,23n=−；又OC⊥平面11ABBA，则平面11AAB的一个法向量为()0,0,1m=，3cos,2mnmnmn==，

又二面角11AABM−−为锐二面角，二面角11AABM−−的余弦值为32.【23题答案】【答案】（1）nan=（2）139011280T=+【小问1详解】解：当1n=时，22a=，当2n时，递推得212nnaSn−−=，∴

22121nnnaaa+−=+，()2221+21=1nnnnaaaa+=++，因为数列na各项均为正数，所以11nnaa+−=，又∵211aa−=，∴数列na为等差数列，故11naann=+−=.【小问2详解】解：在数列nb中，在1ka+

之前的所有项数为()()3123902kkkk++++++=故12k时，当12k=时，数列nb中，13a之前的所有项数恰好为90∴()()123902112132121212122Taaaa=++

++++++()()12312112121222321222+=+++++()1231278122232122=+++++令1231212122232122Q=++++，则23413122122232122Q=++++∴

123412131312222221221122Q−=++++=−+−−∴13121122Q=+,∴1390127811280TQ=+=+.【25题答案】【答案】（1）22143xy+=（2）3【小问1详

解】解：设椭圆的左、右焦点分别为1F、2F，因为焦距为2，31,2P所以22c=且1PFx⊥轴，故232ba=又由于22221abcb=+=+，所以解得2a=，3b=故椭圆C方程为22143xy+=；【小问2详解】解：设()11,Mxy，()22,Nxy，直线MN的方程为ykxm=+，

由于直线PM，PN的倾斜角互补，故0PMPNkk+=联立方程22143ykxmxy=++=，整理得()2223484120kxkmxm+++−=，故()()()()22222843441248340kmkmkm=−+−=+−，即2234mk+且122834kmxxk+=−+，

212241234mxxk−=+1212123331122211211PMPNyykkkkmxxxx−−+=+=++−+−−−−()212221212233886222124489xxkkmkkmkkmxxxxmkkm+−++=++−=−+−−+++

+−()()28861262022232223kkmkkmkmk++−=−==++++，所以12k=，故MN的方程为12yxm=+，且220344mk+=所以弦长()2221212121551()43

4222MNxxxxxxm=+−=+−=−原点到直线MN：220xym−+=的距离为25md=，所以()()22221334243222OMNSMNdmmm==−=−−+△故当且仅当2m=时

，OMN的面积的最大值为3.【27题答案】【小问1详解】解：函数()exfxax=−的定义域为R，()e1xfxa=−，当0a时，()0fx在xR恒成立，()fx在xR单调递减，故()fx无极值；当0a时，令()

e10xfxa=−=，则1lnlnxaa==−，(),lnxa−−时，()0fx，()fx在(),lnxa−−单调递减；()ln,xa−+时，()0fx，()fx在()ln,xa−+

单调递增；故()fx在1lnlnxaa==−取极小值，且1ln1lnfaa=+，无极大值综上，当0a时，()fx无极值；当0a时，()fx在1lnlnxaa==−取极小值，且1ln1lnfaa=+，无极大值.【小问2详解】解：∵()21

121212ee0ttatattttt==，∴2121ee1ttaatt==，即22e0tat−=且11e0tat−=∴()111e0tftat=−=且()222e0tftat=−=，即1t，2t为

()fx的两个零点∴由（1）知，当0a时，()fx在lnxa=−取极小值，且()ln1ln0faa−=+，故10ea又∵()1e10fa=−，∴12101lntta，又∵()1220ttt−+恒成立，∴1212tttt+对任意12101

lntta恒成立，∵1212e0e0ttatat−=−=，∴()2121eetttta+=+，12+221etttta=且2121eetttta−=−∴()()()12121221122112++21122112ee===e+eeeeee+etttttttttttttt

ttttttatt−−−−+−−对任意12101lntta恒成立∴令21ttm−=，则0m，eemmm−−对任意0m恒成立，则0.∴ee0mmm−−−对任意0m恒成立令()ee0mmmhm−=−−，则()1e+emmhm−=−当1

20−，即12时，()1e+e0mmhm−=−恒成立故()hm在()0,m+为单调递增函数，又∵()00h=，∴()0hm对0m恒成立当120−，即102时，()hm为单

调增函数，又∵()1020h=−，1ln0h=，∴010,lnm使()00hm=，当()00,mm时，()0hm¢<，故()hm在()00,mm单调递减∴当()00,mm时，()()00hmh=，不合题意综上，实数的取

值范围为1,2+.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com