【文档说明】第13讲 圆弧形动点轨迹与最值问题专题探究-【专题突破】2022-2023学年九年级数学上学期重难点及章节分类精品讲义(浙教版)（原卷版）.docx，共(8)页，1.318 MB，由envi的店铺上传

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第13讲圆弧形动点轨迹与最值问题专题探究类型一定义法【知识点睛】❖定义法——若一动点到定点的距离恒等于固定长，则该点的运动轨迹为以定点为圆心，定长为半径的圆（或圆弧）❖此类问题常出现环境——折叠❖求最值时常结合原理

——①圆与圆外定点最值的求解方法如图：点A为圆外定点，点P为圆周上一点，则AP最小值=OA-r；AP最大值=OA+r②圆上点到圆外定直线最值的求解方法如图：直线l为圆外定直线，点P、点Q为圆周上一点，则PH即为圆O上的点到直线l的最

小值;QH为最大值l【类题讲练】1．如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝2，以AC为边在△ABC外作等边三角形ACD，连接BD，则BD＝．2．如图，在边长为3的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边上的一点，且AM＝AD，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△

A′MN，连接A′C．则A′C长度的最小值是．3．如图，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，则∠CAD的度数为（）A．68°B．88°C．90°D．112°OPHQ4．如图，点A，B的坐标分别为A（4，0

），B（0，4），C为坐标平面内一点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，OM的最大值为．5．如图，△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，过点C任作一条直线CD，将线段BC沿直线CD翻折得线段CE，直线AE交直线CD于点F．（1）小智同学通过思考推得当点E在AB上

方时，∠AEB的角度是不变的，请按小智的思路帮助小智完成以下推理过程：∵AC＝BC＝EC，∴A、B、E三点在以C为圆心以AC为半径的圆上．∴∠AEB＝∠ACB＝°．（2）若BE＝2，求CF的长．（3）线段AE最大值为；若取BC的中点M，则线段MF的最小值为．类型二定

边对直角【知识点睛】❖模型原理：直径所对的圆周角是直角❖思路构造：若一条定边所对的“动角”始终为直角，则直角顶点运动轨迹是以该定边为直径的圆（或圆弧）如图：求最值时常结合原理——同类型一（略）故：有公共斜边的两个直角三角形必满足四点共圆用此方法解题的一般步骤：①确定动点所

在角=直角②确定“定直角”所对的边为定边③确定该动点的运动轨迹为以“定边”为直径的圆弧【类题讲练】1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5，点D是边BC上一动点，连接AD，在AD上取一点E，使∠DAC＝∠DCE，连接BE，则BE的最小值为（）A．2﹣

3B．C．﹣2D．2．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，BC＝2，∠A＝60°，点D为弧BC上一动点，CE垂直直线OD于点E，当点D由B点沿弧BC运动到点C时，点E经过的路径长为．3．如图，已知正方形ABCD的边长是4，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B作BG⊥CE于点G，点P是A

B边上另一动点，则PD+PG的最小值为．4．如图，直线l1∥l2∥l3，A，B，C分别为直线l1，l2，l3上的动点，连接AB，BC，AC，线段AC交直线l2于点D．设直线l1，l2之间的距离为m，直线l2，l3之间的距离为n，若∠ABC＝90°，BD

＝4，且＝，则m+n的最大值为．5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E为边BC上一动点，F为AE中点，G为DE上一点，BF＝FG，则CG的最小值为．6．如图，正方形OABC中，A（8，0），B（8，8），点D坐标为（﹣6，0），连接CD，点P为边

OA上一个动点，连接CP，过点D作DE⊥CP于点E，连接AE，当AE取最小值时，点E的纵坐标为（）A．3﹣B．4﹣C．D．7．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2，点P从C点出发，沿CB运

动到点B停止，过点B作射线AP的垂线，垂足为Q，点Q运动的路径长为（）A．B．C．D．8．（1）【学习心得】于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90

°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝°．（2）【问题解决】如图2，在四边形A

BCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的数．（3）【问题拓展】如图3，如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小

值是．类型三定边对定角【知识点睛】❖模型原理：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等❖思路构造：若一条定边所对的“动角”始终为定角，则该定角顶点运动轨迹是以该定角为圆周角，该定边为弦的圆（或圆弧）❖解决办法：当∠P是那个定角时，此类问题要求点P的

运动路径长，则∠P一定为特殊角。下以30°，45°，60°，120°为例，说明动点轨迹圆的确定方法：若∠P=30°，以AB为边，同侧构造等边三角形AOB，O即为圆心若∠P=45°，以AB为斜边，同侧构造等腰直角三角形AOB，O即为圆心若∠P=60°，以AB为底，同侧构造顶角为1

20°的等腰三角形AOB，O即为圆心若∠P=120°，以AB为底，异侧构造顶角为120°的等腰三角形AOB，O即为圆心另：若∠P=135°，以AB为斜边，异侧构造等腰直角三角形AOB，O即为圆心若∠P=150°，以AB为边，异侧构造等边三角形AOB，O即为圆心求最值时常结合原理——同

类型一（略）【类题训练】1．如图，已知等边△ABC的边长为2，D，E分别为BC，AC上的两个动点，且AE＝CD，连接BE，AD交于点P，则CP的最小值是．2．如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，点E在AB上，＝，在矩形内找一点P，使得∠BPE＝60°

，则线段PD的最小值为（）A．2﹣2B．C．4D．23．如图，△ABC，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝60°，过点A作BC的平行线l，P为直线l上一动点，⊙O为△APC的外接圆，直线BP交⊙O于E点，则AE的最小值为（）A．B．7﹣4C．D

．14．如图，⊙O的直径AB＝5，弦AC＝3，点D是劣弧BC上的动点，CE⊥DC交AD于点E，则OE的最小值是（）A．B．C．2﹣D．﹣15．问题提出（1）如图①，AC为⊙O的直径，点P在弧ACB上（不与A、B重合），连接AP、BP，则∠APB∠

ACB（填“＞”“＜”或“＝”）．问题探究（2）如图②，在等边△ABC中，M、N为边AB和AC上的两动点，且BM＝AN，连接BN、CM，BN与CM相交于P，求∠BPC度数．问题解决（3）如图③，在矩形ABCD中

，AB＝8，BC＝6，M、N分别为边AD和CD上的两个动点，且AM：DN＝4：3，连接BM、AN，BM与AN相交于点P，连接CP，求四边形ABCP面积的最大值．6．如图，AB是⊙O的直径，M、N是（异于A、B）上

两点，C是上一动点，∠ACB的角平分线交⊙O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E．当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是．7．如图，AB为⊙O的直径，且AO＝4，点C在半圆上，OC⊥AB，垂足为点O，P为半圆上任意一点过P点作P

E⊥OC于点E，设△OPE的内心为M，连接OM（1）求∠OMP的度数；（2）随着点P在半圆上位置的改变，∠CMO的大小是否改变，说明理由；（3）当点P在半圆上从点B运动到点A时，直接写出内心M所经过的路径长．8．（1）发现：如图1，在平面内，已知⊙A的半径为r，B为⊙A外一点，且AB＝a，P为⊙

A上一动点，连接PA，PB，易得PB的最大值为，最小值为；（用含a，r的代数式表示）（2）应用：①如图2，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，E为AD边中点，F为AB边上一动点，在平面内沿EF将△AEF翻折得到△PEF，连接PB，则PB的最

小值为；②如图3，点P为线段AB外一动点，分别以PA、PB为直角边，P为直角顶点，作等腰Rt△APC和等腰Rt△BPD，连接BC、AD．若AP＝3，AB＝7，求AD的最大值；（3）拓展：如图4，已知以AB为直径的半圆O，C为弧AB上一点，∠ABC＝60°，P为弧BC上任意一

点，CD⊥CP交AP于D，连接BD，若AB＝6，则BD的最小值为．