【文档说明】《历年高考数学真题试卷》2014年北京高考文科数学试题及答案.docx，共(17)页，658.731 KB，由envi的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-b35a89ac2ef1b34ffd5aa2184b2275ac.html

以下为本文档部分文字说明：

O5430.80.70.5tp否是输出Sk=k+1S=S+2kk<3k=0，S=0结束开始2014年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四

个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）若集合0,1,2,4A=，1,2,3B=，则AB=（）（A）0,1,2,3,4（B）0,4（C）1,2（D）3（2）下列函数中，定义域是R且为增函数的是（）（A）xye−

=（B）yx=（C）lnyx=（D）yx=（3）已知向量()2,4a=，()1,1b=−，则2ab−=（）（A）()5,7（B）()5,9（C）()3,7（D）()3,9（4）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）（A）1（B）3（C）

7（D）15（5）设a、b是实数，则“ab”是“22ab”的（）(A)充分而不必要条件(B)必要而不必要条件(C)充分必要条件(D)既不充分不必要条件（6）已知函数()26logfxxx=−，在下列区间

中，包含()fx零点的区间是（）(A)()0,1(B)()1,2(C)()2,4(D)()4,+（7）已知圆()()22:341Cxy−+−=和两点(),0Am−，()(),00Bmm，若圆C上存在点P，使得90APB=，则m的最大值为（）（A）7（B）6（C）5（D）

4（8）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系2patbtc=++（a、b、c是常数），如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（

）（A）3.50分钟（B）3.75分钟（C）4.00分钟（D）4.25分钟第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）若()()12xiiixR+=−+，则x=.（10）设双曲线C的两个焦点为()2,

0−，()2,0，一个顶点式()1,0，则C的方程为.（11）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为.（12）在ABC中，1a=，2b=，1cos4C=，则c=；sinA=.（13）若x

、y满足11010yxyxy−−+−，则3zxy=+的最小值为.（14）顾客请一位工艺师把A、B两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件颜料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行

精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：工序时间原料粗加工精加工原料A915原料B621则最短交货期为工作日.三、解答题共6小题，共80分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤。（15）（本小题13分）已知

na是等差数列，满足13a=，412a=，数列nb满足14b=，420b=，且nnba−为等比数列.（Ⅰ）求数列na和nb的通项公式；（Ⅱ）求数列nb的前n项和.俯视图侧（左）视图正（主）视图11122（16）（本小题13分）函数()3s

in26fxx=+的部分图象如图所示.（Ⅰ）写出()fx的最小正周期及图中0x、0y的值；（Ⅱ）求()fx在区间,212−−上的最大值和最小值.Oyxy0x0（17）（本小题

14分）如图，在三棱柱111ABCABC−中，侧棱垂直于底面，ABBC⊥，12AAAC==，E、F分别为11AC、BC的中点.（Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面11BBCC；（Ⅱ）求证：1//CF平面ABE；（Ⅲ）求三棱锥EABC−的体积.C1B1A1FE

CBA（18）（本小题14分）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：（Ⅰ）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅

读时间少于12小时的概率；（Ⅱ）求频率分布直方图中的a，b的值；（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论）（19）（本小题14分）组号分组频

数1)02，62)24，83)46，174)68，225)810，256)1012，127)1214，68)1416，29)1618，2合计100阅读时间ba频数组距18161412108642O已知椭圆C：2224xy+=.（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线

2y=，点B在椭圆C上，且OAOB⊥，求线段AB长度的最小值.（20）（本小题13分）已知函数3()23fxxx=−.（Ⅰ）求()fx在区间[2,1]−上的最大值；（Ⅱ）若过点(1,)Pt存在3条直线与曲线()yfx=相切，求t的取值范围；（

Ⅲ）问过点(1,2),(2,10),(0,2)ABC−分别存在几条直线与曲线()yfx=相切？（只需写出结论）2014年普通高等学校招生全国统一考试否是输出Sk=k+1S=S+2kk<3k=0，S=0结束开始数学（文）

（北京卷）答案及解析第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）若集合0,1,2,4A=，1,2,3B=，则AB=（）（A）

0,1,2,3,4（B）0,4（C）1,2（D）3【答案】C【解析】因为}2,1{=BA，所以选C.【考点】本小题主要考查集合的基本运算，属容易题，熟练集合的基础知识是解答集合题目的关键.（2）下列函数中，定义域是R且为增函数的是（）（A）xye−=（B）yx=（C）lnyx=（D

）yx=【答案】B【解析】对于选项A，在R上是减函数；选项C的定义域为),0(+；选项D，在)0,(−上是减函数，故选B.【考点】本小题主要考查函数的单调性，属基础题，难度不大.（3）已知向量()2,4a=，()1,1b=−，则2ab−=（）（A）()5,7（B

）()5,9（C）()3,7（D）()3,9【答案】A【解析】因为)8,4(2=a，所以)7,5()1,1()8,4(2=−−=−ba，故选A.【考点】本小题主要考查平面向量的基本运算，属容易题（4）执行如图所示的程

序框图，输出的S值为（）（A）1（B）3（C）7（D）15【答案】C【解析】当k=0时，1=S；当k=1时，321=+=S；当k=2时，743=+=S；当k=3时，输出7=S，故选C.【考点】本小题主要考查程序框图的基础知识，难度不大，程序框图

是高考新增内容，是高考的重点知识，熟练本部分的基础知识是解答的关键.（5）设a、b是实数，则“ab”是“22ab”的（）(A)充分而不必要条件(B)必要而不必要条件(C)充分必要条件(D)既不充分不必要条件O5430.80.70.5tp【答案】D【解析】若2,0−==ba，则22ba

，故不充分；若0,2=−=ba，则22ab，而ba，故不必要，故选D.【考点】本小题主要考查不等式的性质，熟练不等式的性质是解答好本类题目的关键.（6）已知函数()26logfxxx=−，在下列区间中，包含()fx零点的区间是（）(A)()0,1(B)()1,2(C)(

)2,4(D)()4,+【答案】C【解析】因为0223)4(,014)2(−=−=ff，所以由根的存在性定理可知，选C.【考点】本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.（7）已知圆()()22:341Cxy−+−

=和两点(),0Am−，()(),00Bmm，若圆C上存在点P，使得90APB=，则m的最大值为（）（A）7（B）6（C）5（D）4【答案】B【解析】由题意知，点P在以原点(0,0)为圆心，以m为半径的圆上，又因为点P在已知圆上，所以只要两个圆有交点即可

，所以51=−m，故选B.【考点】本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力.（8）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系2patbtc=+

+（a、b、c是常数），如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）（A）3.50分钟（B）3.75分钟（C）4.00分钟（D）4.25分钟【答案】B【解析】由图形可知，三点)5.0,5(),8.

0,4(),7.0,3(都在函数cbtatp++=2的图象上，所以=++=++=++5.05258.04167.039cbacbacba，解得2,5.1,2.0−==−=cba.所以1613)415(2.025.12.022+−−=−+−=tttp

，当415=t=75.3时，p取最大值，故选B.【考点】本小题以实际应用为背景，主要考查二次函数的解析式的求解、二次函数的最值等基础知识，考查同学们分析问题与解决问题的能力.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题

，每小题5分，共30分。（9）若()()12xiiixR+=−+，则x=.【答案】2【解析】由题意知：ixi211+−=−，所以由复数相等的定义知2=x【考点】本小题主要考查复数相等的定义、复数的运算，难度不大，复数是高考的重点，年年必考，熟练复数的基础知识是解答好本类题目的关键.（10）设双曲

线C的两个焦点为()2,0−，()2,0，一个顶点式()1,0，则C的方程为.【答案】122=−yx【解析】由题意知：1,2==ac，所以1222=−=acb，又因为双曲线的焦点在x轴上，所以C的方程为122=−yx.【考点】本小题驻澳考查双曲线方程的求解、cba,,的关系式，考

查分析问题与解决问题的能力.（11）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为.【答案】22【解析】由三视图可知：该几何体为一条侧棱垂直底面的三棱锥，底面为边长为2的等边三角形，棱锥的高为2，所以最长的棱长为222222=+.【考点】本小题主要考查立体

几何的三视图，考查同学们的空间想象能力，考查分析问题与解决问题的能力.（12）在ABC中，1a=，2b=，1cos4C=，则c=；sinA=.【答案】2，815【解析】由余弦定理得：441225cos2

222=−=−+=Cabbac，故2=c；因为87222144cos=−+=A，所以815sin=A.【考点】本小题主要考查解三角形的知识，考查正弦定理，三角函数的基本关系式等基础止水，属中低档题目.俯视图侧（左）视图正（主）视图11122（13）若x

、y满足11010yxyxy−−+−，则3zxy=+的最小值为.【答案】1【解析】画出不等式组表示的平面区域，可知区域为三角形，平移直线yxz+=3可得，当直线经过两条直线1=y与01=−+yx的交点(0,1)

时，z取得最小值1.【考点】本小题主要考查在约束条件下的简单的目标函数的最值问题，正确画图与平移直线是解答这类问题的关键.（14）顾客请一位工艺师把A、B两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件颜料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后

交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：工序时间原料粗加工精加工原料A915原料B621则最短交货期为工作日.【答案】42【解析】因为第一件进行粗加工时，工艺师什么都不能做，所以最短交货期为42211

56=++天.【考点】本小题以实际问题为背景，主要考查逻辑思维能力，考查分析问题与解决问题的能力.三、解答题共6小题，共80分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤。（15）（本小题13分）已知na是等差数列，满足13a=，41

2a=，数列nb满足14b=，420b=，且nnba−为等比数列.（Ⅰ）求数列na和nb的通项公式；（Ⅱ）求数列nb的前n项和.（15）（共13分）解：（Ⅰ）设等差数列na的公差为d，由题意得41123333a

ad−−===所以()()11312naandnn=+−==，，．设等比数列nnba−的公比为q，由题意得344112012843baqba−−===−−，解得2q=．所以()11112nnnnbabaq−−−=−=．从而()13212nnbnn−=+=，，（Ⅱ）

由⑴知()13212nnbnn−=+=，，．数列3n的前n项和为()312nn+，数列12n−的前n项和为1212112nn−=−−×．所以，数列nb的前n项和为()31212nnn++−．（16）（本小题13分）函数()3sin26

fxx=+的部分图象如图所示.（Ⅰ）写出()fx的最小正周期及图中0x、0y的值；（Ⅱ）求()fx在区间,212−−上的最大值和最小值.（16）（共13分）解：（Ⅰ）()fx的最小正周期为π07π6x=．03y=（

Ⅱ）因为ππ212x−−，，所以π5π2066x+−，．于是当π206x+=，即π12x=−时，()fx取得最大值0；当ππ262x+=−，即π3x=−时，()fx取得最小值

3−．（17）（本小题14分）如图，在三棱柱111ABCABC−中，侧棱垂直于底面，ABBC⊥，12AAAC==，E、F分别为11AC、BC的中点.（Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面11BBCC；（Ⅱ）求证：1//CF平面ABE；C1B1A

1FECBAOyxy0x0（Ⅲ）求三棱锥EABC−的体积.（17）（共14分）解：（Ⅰ）在三棱柱111ABCABC−中，1BB⊥底面ABC．所以1BBAB⊥．又因为ABBC⊥．所以AB⊥平面11BBCC

．所以平面ABE⊥平面11BBCC．（Ⅱ）取AB中点G，连结EG，FG．因为E，F分别是11AC，BC的中点，所以FGAC∥，且12FGAC=．因为11ACAC∥，且11ACAC=，所以1FGEC∥，且1FGEC=．所以四边形1FGEC为平行四边形．所以1C

FEG∥．又因为EG平面ABE，1CF平面ABE，所以1CF∥平面ABE．（Ⅲ）因为12AAAC==，1BC=，ABBC⊥，所以223ABACBC=−=．所以三棱锥EABC−的体积111133123323ABC

VSAA===△．（18）（本小题14分）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：GC1B1A1FECBA（Ⅰ）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；（Ⅱ）求频率分

布直方图中的a，b的值；（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论）（18）（共13分）解：（Ⅰ）根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有62210++=名，所以样

本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是1010.9100−=．从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9．（Ⅱ）课外阅读时间落在组[46)，的有17人，频率为0.17，所以0.170.0852a===频率组距．课外阅读时间落在组[810)，的有25人，频

率为0.25，所以0.250.1252b===频率组距．（Ⅲ）样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组．（19）（本小题14分）已知椭圆C：2224xy+=.（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线2y=，点B在椭圆C上，且OAOB⊥，求

线段AB长度的最小值.（19）（共14分）组号分组频数1)02，62)24，83)46，174)68，225)810，256)1012，127)1214，68)1416，29)1618，2合计100阅读时间ba频数组距18161412108642O解

：（Ⅰ）由题意，椭圆C的标准方程为22142xy+=．所以24a=，22b=，从而2222cab=−=．因此2a=，2c=．故椭圆C的离心率22cea==．（Ⅱ）设点A，B的坐标分别为()2t，，()00xy，，其中00x≠．因为OAOB⊥，所以0OAOB=，

即0020txy+=，解得002ytx=−．又220024xy+=，所以()()222002ABxty=−+−()22000022yxyx=++−2220002044yxyx=+++()2202002024442xxxx−−=+

++()22002084042xxx=++≤．因为()22002084042xxx+≥≤，且当204x=时等号成立，所以28AB≥．故线段AB长度的最小值为22．（20）（本小题13分）已知函数3()2

3fxxx=−.（Ⅰ）求()fx在区间[2,1]−上的最大值；（Ⅱ）若过点(1,)Pt存在3条直线与曲线()yfx=相切，求t的取值范围；（Ⅲ）问过点(1,2),(2,10),(0,2)ABC−分别存在几条直线与曲线()yfx=相切？（只需写出结论）（20）（共13分）解：（Ⅰ）由()

323fxxx=−得()263fxx=−.令()0fx=，得22x=−或22x=.因为()210f−=−，222f−=，()22112ff=−=−，所以()fx在区间21−，上的最

大值为222f−=.（Ⅱ）设过点()1Pt，的直线与曲线()yfx=相切于点()00xy，，则300023yxx=−，且切线斜率为2063kx=−，所以切线方程为()20063yyx−=−()0xx−

，因此()()2000631tyxx−=−−.整理得32004630xxt−++=.设()32463gxxxt=−++，则“过点()1Pt，存在3条直线与曲线()yfx=相切”等价于“()gx有3个不同零点”.()()21212121gxxx

xx=−=−.()gx与()gx的情况如下：x(0)−，0(01)，1(1)+，()gx+0−0+()gx↗3t+↘1t+↗所以，(0)3gt=+是()gx的极大值，(1)1gt=+是()gx的极小值．当(0)30g

t=+≤，即3t−≤时，此时()gx在区间(1−，和(1)+，上分别至多有1个零点，所以()gx至多有2个零点．当(1)10gt=+≥，即1t−≥时，此时()gx在区间(0)−，和)0+，上分别至多有1

个零点，所以()gx至多有2个零点．当()00g且()10g，即31t−−时，因为()()1702110gtgt−=−=+，，所以()gx分别在区间)10−，，)01，和)12，上恰有1个零点.由于()gx在区间()0−，和()1+，上单调，所以()gx分

别在区间()0−，和)1−，上恰有1个零点.综上可知，当过点()1Pt，存在3条直线与曲线()yfx=相切时，t的取值范围是()31−−，.（Ⅲ）过点()12A−，存在3条直线与曲线()yfx=相切；过点()210B，存在2条直线与曲线()yfx=相切

；过点()02C，存在1条直线与曲线()yfx=相切.：