【文档说明】第43讲 表面积与体积-解析版-2023届高考数学二轮复习经典结论微专题.docx，共(13)页，2.360 MB，由envi的店铺上传

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第43讲表面积与体积通关一、多面体的表面积和体积公式名称侧面积S侧全面积S全体积V棱柱棱柱直截面周长l2SS+侧底Sh底或Sl直截面直棱柱chSh底棱锥棱锥各侧面面积之和SS+侧底13Sh底正棱锥1

2chS侧棱台棱台各侧面面积之和+SSS+侧上底下底1(+)3hSSSS+上底下底上底下底正棱台1()2cch+要点诠释：表中S表示面积，',cc分别表示上、下底面周长，h表示高，'h表示斜高，l表示侧棱长通关二、旋转体的表面积和体积公式名

称侧面积S侧全面积S全体积V圆柱2rl2()rlr+2rh（即2lr）圆锥rl()rlr+213rh圆台12()rrl+221212()()rrlrr+++2211221()3hrrrr++球24R343R要点诠释表中,lh分别表示母线、高，表示圆柱圆锥的底面半径，1

2,rr分别表示圆台的上下底面半径，R表示球的半径.结论一、公式法1.柱体的体积公式：VSh=柱2.锥体的体积公式：13VSh=锥3.台体的体积公式：1()3VSSSSh=++台4.球的体积：343VR=球【例1】如图，在长方体1111ABCDABCD−中，1=6,4,3ABADAA==分

别过1,BCAD的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为1121113111,,)AEADPDEBEBVVVVFFCFSVBBCFC−=−==−,若123::1:4:1VVV=，则截面11AEFD的面积为__________.【答案】

413【解析】由3121:4:1::VVV=可知111111111266ABCDABCDVVABAAAD−===，又因为111162AAEVSADAAAEADAE===，解得2AE=.在1RtAAE中，113AE=，所以1111141

3AEFDSAEAD==.【变式】如图，在三棱柱111ABCABC−中，若,EF分别为AB，AC的中点，平面11EBCF将三棱柱分成体积为1V，2V的两部分，那么12:VV=____________.【答案】7:5【解析】设三棱柱的高为h，111ABCABC

SSS==，则14ARFSS=，所以1111734412VhSSSSSh=++=，所以2751212VShShSh=−=，所以12:7:5VV=.结论二、等体积法（颠倒法）一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的。尽量使颠倒后的

底面在已知多面体的表面或者对角面上.ABCDBACDCABDDABCVVVV−−−−===【例】2三棱柱111ABCABC−各侧棱和底面边长均为a，点D是1CC上任意一点，连结1AB，BD，1AD，AD则三棱锥1AABD−的体积为()A.3

16aB.326aC.3312aD.3112a【答案】C【解析】如图所示，由题意知三棱锥11AABDBAADVV−−=，所以3113332212Vaaaa==.故选C.【变式】已知长方体1111ABCDABCD=，棱12AA=.（1）求点1A到平

面11ABD的距离.（2）连接1AB，过点A作1AB的垂线交1BB于E，交1AB于F.①求证：1BDEAC⊥平面；②求点D到平面11ABD的距离【解析】（1）解法一设点1A到平面11ABD的距离为h.因为111111AABDAABDVV−−=，所以1111111133

ABDABDhSAAS=.在11SABD中，由已知条件有1AB15ABAD==，112BD=，所以11221232(5).222ABDS=−=而12AA=，111211122ABDS==，所以1111111222332ABDA

BDAAShS===.解法二连结11AC交11BD于点O，则1111ACBD⊥，因为1AA⊥上底面1111ABCD，从而有111AABD⊥，因为1111ACAAA=，所以11BD⊥面1AAO，又11BD面11ABD，所以面1AAO⊥面11ABD，且

面1AAO面11ABDAO=.过1A作1AHAO⊥交AO于H，则1AH⊥面11ABD，所以点1A到平面11ABD的距离即为1AH长.在1RtAAO中，由已知条件可得22232(5)22AO=−=

，122AO=，12AA=，所以122223322AH==.（2）①证明因为长方体中棱1ABAD==，所以.BDAC⊥又1DDABCD⊥底面，且ACABCD底面，所以1ACDD⊥，从而1ACBDD⊥面，所以1ACBD⊥.因为11AD⊥面11AABB，且11AEAABB，所以11

AEAD⊥，且1AEAB⊥，所以11AEABD⊥面，且111BDABD面，所以1.AEBD⊥又因为AEACA=，所以1BDEAC⊥面.②11ADAD∥，且1111ADABD面，所以11ADABD∥面，所以点D到平面11ABD的距离可以转化为点A到面11ABD的距离.又因为11A

EABD⊥面，所以AF即为所求距离，22125521AF==+.结论三、割补法运用割补法处理不规则的空间几何体或不易求解的空间几何体的体积计算问题，关键是能根据几何体中的线面关系合理选择截面进行切割或者补成规则的几何体。要

弄清切割后或补形后的几何体的体积是否与原几何体的体积之间有明显的确定关系，从一定意义上说，用割补法求几何体的体积，就是求体积的“加、减法”。【例3】若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为60°的菱形，则该棱

柱的体积等于（）A.2B.22C.32D.42【答案】B【解析】如图，ABCD是正方形，取AF中点H，若60DAF=，则连结DH，易知底面三角形是边长为2的正三角形，且DAF为正三角形，于是,DHAFBHAF⊥⊥，且3DHBH==，2

2BD=，不难算得2DBHS=，于是111223333DABFFBDHABDHBDHBDHBDHVVVSFHSAHSAF−−−=+=+==.因此322ABFDCEDABFVV−−==.若60EFA=，则连

结EH，此时有EHAF⊥，可计算出223EABFV−=，同上可知三棱柱的体积为22.故选B.【变式】如图，已知三棱雉DABC−中，,,ADBCADBC⊥之间的距离为h，且,ADaBCb==，则三棱雉DABC−的体积为_________

____。【答案】6abh【解析】以AB，BC为邻边补成平行四边形ABCE，以AD为侧棱补成平行六面体ABCEDGMF−，如右图，则三棱雉DABC−的体积1V与平行六面体ABCEDGMF−的体积2V之间有1216VV=，

易知平行六面体左、右侧面之间的距离就是异面直线AD，BC之间的距离h.因为ADBC⊥，所以四边形BCMG为矩形.所以1211666BCMGabhVVSh===矩形.结论四、正方体与球的组合正方体ABCDABCD−的棱长为a，

内切球半径为12a，棱切球半径为22a，外接球半径为32a.【例4】若三棱雉的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_______。【答案】9【解析】此三棱雉可以看成边长为3的正方体的一个角，故它的外接球的直径为3333++=，从而它的外接球的表面积为9.【变式】正方体全

面积为24，则它的内切球的表面积为__________接球的表面积__________。【答案】412【解析】由球与正方体的对称性易知，正方体的外接球和内切球的球心都与正方体的中心重合，体对角线为外接球的一条直径，内切球的直径等于正方体

边长的一半.正方体的全面积为24，故它的边长为2426=，故它的体对角线长为12223+=，即它的内切球的半径为1，外接球的半径为3，故它的内切球的表面积为2414=，外接球的表面积为24(3)12=.结论五、正四面体与球的组合正四面体

ABCD−的棱长为a，它的高为63a，体积为3212a，外接球半径为64a，内接半径为612a.【例5】知正四面体棱长为a，则其外接球的表面积为__________，内切球的表面积为__________.【答案】

232a216a【解析】正四面体的外接球和内切球是同心球，且球心在正四面体一截面的高上.解法一如图，正四面体PABC−中，内切球切底面ABC于E，切侧面PAB于F，则E，F为底面和侧面的中心.连结PE，则PEABC

⊥平面.取AB中点D，连结PD，CD，F，E分别在PD，CD上.设内切球半径为r，外接球半径为R，rOE=，222236.33ROPPEPCCEaaa==−=−=PCD为等腰三角形，

连结DO并延长交PC于G，则GD垂直平分PC，2222312222DGCDCGaaa=−=−=.因为~RtRtDEODGC，所以OECGDEDG=，所以612GCDErOEa

DG===，所以6663124RPOaaa==−=，所以外接球的表面积为2263442Saa==，内切球的表面积为22614126Saa==解法二由于球心将正四面

体分割成四个全等的三棱雉，且每个三棱雉的高为内切球的半径.因为正四面体的体积114r33ABCABCVSPES==，又63PEa=，所以6.12ra=又因为RrPE+=，所以6663124Raaa=−=.所以外接球的表

面积为2263S442aa==，内切球的表面积为22614126Saa==.【变式】如图所示，正四面体ABCD−的外接球的体积为43，则正四面体的体积为_________.【答案】83【解析】解法一：如图，1O

为底面BCD的中心，大圆圆心O在1AO上，设正四面体棱长为a，由题意知34433R=，故3R=.所以3AODOR===，1633OOhRa=−=−，133DOa=所以在1RtOOD中，22211ODOOOD=+，解得22a=.所以3281

23Va==.解法二：在RtAED中应用射影定理.如图，1O为底面BCD的中心，在正四面体ABCD−中，大圆圆心O在1AO上，AE为球的大圆直径.由题意知34433R=，故3R=.因为AE为球的直径，故1AEOD⊥，ADDE⊥，设ADa=，则1233323ODaa==，

故163AOa=，1162233OERAOa=−=−由射影定理知，2111ODAOOE=，解得22a=.故328123Va==.解法三：将正四面体ABCD−置于正方体中，正四面体的外接球即为正方体的外接球，正方体的体对角线为球的直径.由43V=球得3R=，所以

体对角线长为23，因此正方体边长为2，所以正方体的面对角线即正四面体的棱长，为22，所以323128Va==.结论六、表面积和体积最值问题1.求棱长或高为定值的几何体的体积或表面积的最值.2.求表面积一定的空间几何体的体积最大值和求体积一定的空间几何体的表面

积的最小值.3.组合体中的最值问题一般思路：(1)根据几何体的结构特征和体积、表面积的计算公式，将体积或表面积的最值转化为平面图形中的有关最值，根据平面图形的有关结论直接进行判断；(2)利用基本不等式或建立关于表面积和体积的函数关系式，然后利用函数或者导数方法解决.【例6】已知正四棱锥P

ABCD−内接于一个半径为R的球，则正四棱锥PABCD−体积的最大值是（）.A.31681RB.33281RC.36481RD.3R【答案】C【解析】如右图，记O为正四棱雉PABCD−外接球心，1O为底面ABCD的中心，则P，O，1O三点共线，连结1PO，

OA，1OA.设1OOx=，则221OARx=−，222ABRx=−，1PORx=+，所以正四棱锥PABCD−的体积3311(22)()()64(22)()()33381RxRxRxRRxRxRx−++++−++=„，当

且仅当22RxRx−=+，即3Rx=时，等号成立.故选C.【变式】如图所示，1AA是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于A，B的任意一点，12AAAB==.(1)求证：1BCAAC⊥

平面；(2)求三棱锥1AABC−的体积的最大值.【解析】（1）证明因为C是底面圆周上异于A，B的一点，且AB为底面圆的直径，所以BCAC⊥.因为1AAABC⊥平面，BCABC平面，所以1.AABC⊥因为1AAACA=，11AAAAC平面，1

ACAAC平面，所以1BCAAC⊥平面.（2）解法一：设ACx=，在RtABC中，2224(02)BCABACxx=−=−，故AABCV121-111114(02)3323AABCABCVSAAACBCAAxxx===−，即()()122222-211144243

33AABCVxxxxx=−=−=−−+.因为02x，所以204x.所以当22x=，即2x=时，三棱雉1AABC−的体积取得最大值23.解法二：在RtABC中，2224ACBCAB+==，7222111111112332332323AABCABCAC

BCABVSAAACBCAAACBC−+=====„.当且仅当ACBC=时，等号成立，此时2ACBC==.所以三棱雉1AABC−的体积的最大值为23.解法三：欲使1AABCV−最大，只需ABCS最大，只需C到AB的距离最

大.又C到AB的最大距离为1，所以1AABCV−最大值为23.