【文档说明】江苏省南通市通州区2022-2023学年高三上学期 期中质量监测数学试题.docx，共(14)页，909.990 KB，由envi的店铺上传

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2023届高三第一学期期中质量监测数学2022.11.14本试卷共6页，22小题，满分150分。考试时间120分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。将条形码横贴

在答题卡“条形码粘贴处”。2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，

然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在复平面内，复数

2i2i−+对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合20Mxxa=−，2log1Nxx=.若MN=，则实数a的取值集合为（）A.(,0−B.(0,4C

.()0,+D.)4,+3.已知0a，0b，则“1ab+”是“2ab+”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.“碳达峰”，是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后开始下降；而“碳中和”，是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等

形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”.某地区二氧化碳的排放量达到峰值a（亿吨）后开始下降，其二氧化碳的排放量S（亿吨）与时间t（年）满足函数关系式tSab=，若经过5年，二氧化碳的排放量为45a（亿吨）.已知该地区通过植树造林、节能减排等形式，能抵消自产生的二氧化碳排放量为

4a（亿吨），则该地区要能实现“碳中和”，至少需要经过多少年?（参考数据：lg20.3）（）A.28B.29C.30D.315.如图是函数()fx的大致图象，则函数()fx的解析式可以为()fx=（）A.21xx−B.2sin1xx−C.21x

x−D.||e1xx−6.已知112tansin=−，则tan4−=（）A.7−B.17−C.19D.437.已知正六棱锥PABCDEF−的底面边长为2，侧面与底面所成二面角的大小为60°.圆柱

1OO的上底面圆1O与正六棱锥PABCDEF−的侧面均相切，下底面圆O在该正六棱锥底面内，则圆柱1OO体积的最大值为（）A.49B.43C.233D.4338.若1ln22xxeye+=，其中0x，2y，则（）A.xeyB.2xey

C.24xeyD.2xey二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.设na是公差为d的等差数列，nS是其前n项的和，且10a，20002

022SS=，则（）A.0dB.20110a=C.40220S=D.2011nSS10.已知函数()fx，()gx的定义域均为R，它们的导函数分别为()fx，()gx.若()1yfx=+是奇函数，()()cosgxx=，()fx与()gx图象的交点为()11,xy，()22

,xy，…，(),mmxy，则（）A.()fx的图象关于点()1,0−对称B.()fx的图象关于直线1x=对称C.()gx的图象关于直线12x=对称D.()1miiixym=+=11.在圆O的内接四边形AB

CD中，2AB=，6BC=，4CDDA==，则（）A.7BD=B.四边形ABCD的面积为83C.12AOBD=D.1ACBD=12.在矩形ABCD中，2AB=，1AD=，E为DC的中点.将CBE△绕直线BE旋转至1CBE△的位置，F为1AC的中点，则（）A.存在某个位置，

使得1BEAC⊥B.存在无数个位置，使得DF∥平面1CBEC.当二面角1CBEA−−为120°时，点F到平面1CBE的距离为64D.当四棱锥1CABED−的体积最大时，以1AC为直径的球面与被平面1CBE截得的交线长为2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知

a为单位向量，向量b在a上的投影向量为a，且2ab=−，则=______.14.《莱因德纸草书》（RhindPapyrus）是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目，请给出答案：把100个面

包分给5个人，使每人所得面包数成等差数列，且使较大的三分之和的17是较小的两份之和，则最小的一份为______.15.已知函数()()22sin0,02fxAxA=−−的最小值为0，且()3ffx=，则()fx图象的一个对称中心的坐标为______.

16.已知函数()()xfxaea=R，若直线yx=是曲线()yfx=的切线，则a=______；若直线yx=与曲线()yfx=交于()11,Axy，()22,Bxy两点，且11224xyxy，则a的取值范围是______.四

、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）已知数列na的前n项和为nS，且22nnnSa=−.（1）求证：2nna是等差数列，并求出na的通项公式；（2）设()32nnnbna+

=+，求证：1231nbbbb++++.18.（12分）在ABC△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3sincosbAbAac−=−.（1）求B；（2）若点D在AC边上，满足3ACAD=，且3AB=，2BD=，求cosCBD的值.19.（12分）已

知函数()3231fxxxax=+++，1x，2x分别是()fx的极大值点和极小值点.（1）若0a=，()()13fxfx=，13xx，求132xx+的值；（2）若()()125fxfx+，求a的取值范围.20.（1

2分）如图，在三棱锥ABCD−中，平面ABD⊥平面BCD，2ABAD==，2BCBDCD===，O为BD中点.（1）求二面角ACDB−−的正弦值；（2）E为ACD△内的动点（包含边界），且OE∥平面ABC，求OE与平面ACD所成角的正弦值的最大值.21.（12分）已知双曲线

C：228xy−=的左焦点为F，过点F作直线l交C的左支于A，B两点.（1）若3AFFB=，求l的方程；（2）若点()4,2P−，直线AP交直线2x=−于点Q.设直线QA，QB的斜率分别1k，2k，求证：

12kk−为定值.22.（12分）已知函数()()xfxxpe=−的极值为1−.（1）求p的值，并求()fx的单调区间；（2）若()()()fafbab=，证明：2ababee+++.2023届高三第一学期期中质量监测数学参考答案及评分建议一、选择题：本题共8小题，每小题5分，

共40分。1-4DCAC5-8CBBD二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。9.ACD10.BC11.ABD12.BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.2−14.5315.5,112答案不唯一，一般形式5,1212k+16.

1e；ln20,2四、解答题：本题共6小题，共70分。17.（10分）【解】（1）因为22nnnSa=−①，所以2n时，11122nnnSa−−−=−②，−①②得112222nnnnnaaa−−=−−+，即1122nnnaa−−=+，2n，……2分所以1

11222nnnnaa−−−=，2n，在①式中，令1n=，得12a=，所以数列2nna是以1为首项12为公差的等差数列.……4分所以()1111222nnann+=+−=，所以()112nnan−=+.……6分（2）由()()()

()1213112121222nnnnnbnnnn−−−+==−++++，……8分所以123001121111113232424252nbbbb++++=−+−+−+()()()2111111

122222nnnnnn−−−+−=−+++.因为()11022nn−+，所以1231ubbbb++++，得证.……10分18.（12分）【解】（1）因为3sincosbAbAa

c−=−，由正弦定理，可得3sinsinsincossinsinBABACA−+=，即()3sinsinsincossinsinBABAABA−++=，……2分所以3sinsincossinsinBABAA+=.因为sin0A，所以3sincos1BB+=，……4分即1sin62B

+=.因为()0,B，所以7,666B+，所以566B+=，即23B=.……6分（2）因为点D在AC边上，满足3ACAD=，所以2133BDBABC=+，……7分所以22222141433999

BDBABCBABCBABC=+=++，因为3AB=，2BD=，23ABC=，所以241414939992BCBC=+−，即260BCBC−=，解得6BC=，即6a=.……9分在ABC△中，

由余弦定理，得222236236cos633AC=+−=，即37AC=，所以27DC=.……11分在BCD△中，由余弦定理，得()22226271cos2262CBD+−==.……12分19.（12分）【解】（1）当0a=时，()3231fxxx=++，所以()()

23632fxxxxx=+=+，令()0fx=，得0x=或2x=−.……1分列表如下：x(),2−−2−()2,0−0()0,+()fx+0−0+()fx极大值极小值所以()fx在2x=−处取极大值，即12x=−，且()15fx=.……3分由()()135fxfx==，所以

3233315xx++=，即3233340xx+−=，所以()()233120xx−+=.因为13xx，所以31x=，……5分所以1323xx+=−.……6分（2）由()236fxxxa=++，因为1x，2x分别是()fx的极大值点和极小值点，所以1x，2x是

方程()0fx=的两个不相等的实根，且36120a−，即3a，所以12122,.3xxaxx+=−=……8分因为()()()()3232121112223131fxfxxxaxxxax+=+++++++()()()()221212121212123322xxxx

xxxxxxaxx=++−++−+++()()()()22223322226233aaaa=−−−+−−+−+=−，因为()()125fxfx+，所以625a−，解得12a.综

上，132a.……12分20.（12分）【解】（1）（方法一）连结AO.因为ABAD=，O为BD中点，所以AOBD⊥.因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD平面BCDBD=，AO平面ABD，所以AO⊥平面BC

D.因为CD平面BCD，所以AOCD⊥.过点O作OECD⊥，交CD于点E，连结AE.……2分因为AO，OE平面AOE，AOOEO=，所以CD⊥平面AOE，因为AEAOE，所以CDAE⊥，所以AEO是二

面角ACDB−−的平面角.……4分因为2ABAD==，2BCBDCD===，所以直角AOE△中，32OE=，1AO=，72AE=，所以27sin7AEO=，即二面角ACDB−−的正弦值为277.……6分（方法二）连结AO.因为ABAD=，O为BD中点，所以AOBD⊥

.因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD平面BCDBD=，AO平面ABD，所以AO⊥平面BCD.因为BCBD=，O为BD中点，所以COBD⊥，所以OC，OD，OA两两互相垂直.……2分以,,OCODOA为一组基底建立如图所示空间直角坐标系Oxyz−

.因为2ABAD==，2BCBDCD===，所以()3,0,0C，()0,1,0D，()0,1,0B−，()0,0,1A，所以()0,0,1OA=，()3,1,0DC=−，()3,0,1AC=−，所以

()0,0,1OA=为平面BCD的一个法向量.设平面ACD的的法向量(),,nxyz=，所以00DCnACn==，即3030xyxz−=−=.令1x=，得平面ACD的一个法向量()1,3,3n=.……4分所以321

cos717OAnOAnOAn===，所以二面角ACDB−−的正弦值为22172717−=.……6分（2）取AD中点M，CD中点N.因为O为BD中点，所以OMAB∥，因为OM平面ABC，AB平面ABC，所以OM∥平面ABC，同理ON∥平面ABC.

因为OM平面OMN，ON平面OMN，OMONO=，所以平面OMN∥平面ABC.因为E为平面ACD内动点（包含边界），且OE∥平面ABC，所以E在线段MN上.……8分由31,,022N，110,,22M，31,0,

22NM=−，所以31,0,22NENM==−，0,1，则331,,222OEONNE−=+=.设OE与平面ACD所成角为，则()()2223133231222sincos,73146471444OEn−++===−+

−++，当34=时，sin的最大值为437，所以OE与平面ACD所成角的正弦值的最大值为437.……12分21.（12分）【解】（1）由双曲线C的左焦点为()4,0F−，设:4lxmy=−，01m，联立方程组2248xm

yxy=−−=，消x得()221880mymy−−+=.设()11,Axy，()22,Bxy，所以12281myym+=−，12281yym=−.因为3AFFB=，所以123yy=−，……2分即1222821myy

ym+=−=−，2241mym=−−，所以22222483311mymm−=−−=−−，解得2117m=，……4分所以l的方程为()74yx=+.……5分（2）由直线()1:24APykx−=+，得()12,22Qk−+，所以212

1222222222ykykkxmy−−−−==+−，又11111224PAyykkxmy−−===+，所以()()()()12121121121212222222222ymymyykyykkkmymymymy−−−−−−−

−−=−=−−()2111112224222myymymkymymy−−+++=−.……8分因为1112mkyy=−，1212yymyy+=，……10分所以()()()1212121212122222my

yyykkmymyyyy−−−===−−+−（定值）.……12分22.（12分）【解】（1）设()fx的极值点为0x，()()1xfxxpe=+−，则()()0000101xxxpexpe+−=−=−，……2分解得00x=，1p=，经检验，1p=时满足

题意.……3分所以()()1xfxxe=−，()xfxxe=，当0x时，()0fx，当0x时，()0fx，所以()fx的单调减区间为(),0−，单调增区间为()0,+.……5分（2）不妨设ab，因为()()()10afaf

bae==−，由（1）知，01ab，()()01fxf=−.……6分设函数()()1ln1xgxex=−+−，1x，则()()111011xxxegxexx−−+=−=−−，所以()gx在(),1−上单调递减，所以()()00gag=，即(

)ln11aae−−−，所以()()()ln1ln111aaaeae−−−−，即()()()()ln1fafafb−=.又()ln10a−，0b，所以()ln1ab−，即1bea−.……10分由()()fafb=，得ee111abba=−

−，又1b，所以1aeb−所以2abeeab+−−，即2ababee+++，得证.……12分说明：()gx的生成过程.已得0ab，要证2ababee+++，可以考虑11abaebe++，显然不成

立.再考虑e1e1baab++，由于()()()()e1ln1ln1babafbfa+−−.()()()()()()()ln11eln111e1ln10aafafaaaaa−−−−−−+−，所以构造函数()()1ln

1xgxex=−+−，很巧，()0gx，…….获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com