【文档说明】2023年高考真题——数学（新高考II卷） 含解析.docx，共(24)页，1.504 MB，由envi的店铺上传

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2023年普通高等学校招生全国统一考试（新高考全国Ⅱ卷）数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在复平面内，()()13i3i+−对应的点位于（）．A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.【详解】因为()()213i3i38i3i68i+−=+−=+，则所求复数对应的点为()6,8，位于第一象限.故选：A.2.设集合0,A

a=−，1,2,22Baa=−−，若AB，则=a（）．A.2B.1C.23D.1−【答案】B【解析】【分析】根据包含关系分20a−=和220a−=两种情况讨论，运算求解即可.【详解】因为AB，则有：若20a−=，解得2a=，此时0,

2A=−，1,0,2B=，不符合题意；若220a−=，解得1a=，此时0,1A=−，1,1,0B=−，符合题意；综上所述：1a=.故选：B.3.某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和

高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（）．A.4515400200CC种B.2040400200CC种C.3030400200CC种D.4020400200CC种【答案】D【解析】【分析】利

用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案.【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取4006040600=人，高中部共抽取2006020600=，根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有4020400200CC种.故选：D.4.若()()21ln21xfxxax−=++为偶函数，则=a（）

．A.1−B.0C.12D.1【答案】B【解析】【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出a值，再检验即可.【详解】因为()fx为偶函数，则1(1)(1)(1)ln(1)ln33ffaa=−+=−+，，解得0a=，当0

a=时，()21ln21xxxfx−=+，()()21210xx−+，解得12x或12x−，则其定义域为12xx或12x−，关于原点对称.()()()()()()()121212121lnlnlnln21212121fx

xxxxxxxxfxxxxx−−−+−=−−−====−+−++−−，故此时()fx为偶函数.故选：B.5.已知椭圆22:13xCy+=的左、右焦点分别为1F，2F，直线yxm=+与C交于A，B两点，若1FAB△面积是2FAB△面积的2倍，则m=（）．A.23B.23C.

23−D.23−【答案】C【解析】【分析】首先联立直线方程与椭圆方程，利用0，求出m范围，再根据三角形面积比得到关于m的方程，解出即可.【详解】将直线yxm=+与椭圆联立2213yxmxy=++=，消去y可得2246330xmxm++−=，因为直线与椭圆相交于,AB点，则()

223604433mm−−=，解得22m−，设1F到AB的距离12,dF到AB距离2d，易知()()122,0,2,0FF−，则1|2|2md−+=，2|2|2md+=，12|2||2|22|2||2

|2FABFABmSmSmm−+−+===++，解得23m=−或32−（舍去），故选：C.6.已知函数()elnxfxax=−在区间()1,2上单调递增，则a的最小值为（）．A.2eB.eC.1e−D.2e−【答案】C【解析】【分析】根据()1e0xfxax=−在()1,2

上恒成立，再根据分参求最值即可求出．【详解】依题可知，()1e0xfxax=−在()1,2上恒成立，显然0a，所以1exxa，设()()e,1,2xgxxx=，所以()()1e0xgxx=+，所以()gx在()1,

2上单调递增，()()1egxg=，故1ea，即11eea−=，即a的最小值为1e−．故选：C．7.已知为锐角，15cos4+=，则sin2=（）．A.358−B.158−+C.354−D.154−+【答案】D【解析】【分析】根据二倍角公式

（或者半角公式）即可求出．【详解】因为215cos12sin24+=−=，而为锐角，解得：sin2=()25135518164−−−==．故选：D．8.记nS为等比数列na的前n项和，若45S=−，6221

SS=，则8S=（）．A.120B.85C.85−D.120−【答案】C【解析】【分析】方法一：根据等比数列的前n项和公式求出公比，再根据48,SS的关系即可解出；方法二：根据等比数列的前n项和的性质求解．【详

解】方法一：设等比数列na的公比为q，首项为1a，若1q=，则61126323SaaS===，与题意不符，所以1q；由45S=−，6221SS=可得，()41151aqq−=−−，()()6211112111aqaqqq−−=−

−①，由①可得，24121qq++=，解得：24q=，所以8S=()()()()8411411151168511aqaqqqq−−=+=−+=−−−．故选：C．方法二：设等比数列na的公比为q，因为45S

=−，6221SS=，所以1q−，否则40S=，从而，2426486,,,SSSSSSS−−−成等比数列，所以有，()()22225215SSS−−=+，解得：21S=−或254S=，当21S=−时，2426486,,,SSSSSSS−−−，即为81,4,16,

21S−−−+，易知，82164S+=−，即885S=−；当254S=时，()()()2241234122110SaaaaaaqqS=+++=++=+，与45S=−矛盾，舍去．故选：C．【点睛】本题主要考查

等比数列的前n项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握48,SS的关系，从而减少相关量的求解，简化运算．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全

部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，120APB=，2PA=，点C在底面圆周上，且二面角PACO−−为45°，则（）．A.该圆锥的体积为πB.该圆锥的侧面积为43πC.22AC=D.PAC△的面积

为3【答案】AC【解析】【分析】根据圆锥的体积、侧面积判断A、B选项的正确性，利用二面角的知识判断C、D选项的正确性.【详解】依题意，120APB=，2PA=，所以1,3OPOAOB===，A选项，圆锥的体积为()21π31π3

=，A选项正确；B选项，圆锥的侧面积为π3223π=，B选项错误；C选项，设D是AC的中点，连接,ODPD，则,ACODACPD⊥⊥，所以PDO是二面角PACO−−的平面角，则45PDO=，所以1OPOD==

，故312ADCD==−=，则22AC=，C选项正确；D选项，22112PD=+=，所以122222PACS==，D选项错误.故选：AC.10.设O为坐标原点，直线()31yx=−−过抛物线()2:20Cypxp=的焦点，且与C交于M，N两点，l为

C的准线，则（）．A.2p=B.83MN=C.以MN为直径的圆与l相切D.OMN为等腰三角形【答案】AC【解析】【分析】先求得焦点坐标，从而求得p，根据弦长公式求得MN，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答案.【详解】A选项：直线()31yx=−

−过点()1,0，所以抛物线()2:20Cypxp=的焦点()1,0F，所以1,2,242ppp===，则A选项正确，且抛物线C的方程为24yx=.B选项：设()()1122,,,MxyNxy，由()2314yxyx=−−=消去y并化简得()()231033

310xxxx−+=−−=，解得1213,3xx==，所以121163233MNxxp=++=++=，B选项错误.C选项：设MN的中点为A，,,MNA到直线l的距离分别为12,,ddd，因为()()12111222dddM

FNFMN=+=+=，即A到直线l的距离等于MN的一半，所以以MN为直径的圆与直线l相切，C选项正确.D选项：直线()31yx=−−，即330xy+−=，O到直线330xy+−=的距离为32d=，所以三角形OMN的面积为1163432323=，

由上述分析可知()1212333123,3133yy=−−=−=−−=，所以()22221231332321,333OMON=+−==+=，所以三角形OMN不是等腰三角形，D选项

错误.故选：AC.11.若函数()()2ln0bcfxaxaxx=++既有极大值也有极小值，则（）．A.0bcB.0abC.280bac+D.0ac【答案】BCD【解析】【分析】求出函数()fx的导数

()fx，由已知可得()fx在(0,)+上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答.【详解】函数2()lnbcfxaxxx=++的定义域为(0,)+，求导得223322()abc

axbxcfxxxxx−−=−−=，因为函数()fx既有极大值也有极小值，则函数()fx在(0,)+上有两个变号零点，而0a，因此方程220axbxc−−=有两个不等的正根12,xx，于是21212Δ80020bac

bxxacxxa=++==−，即有280bac+，0ab，0ac，显然20abc，即0bc，A错误，BCD正确.故选：BCD12.在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为(01)，

收到0的概率为1−；发送1时，收到0的概率为(01)，收到1的概率为1−.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译

码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.A.采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为2(1)(1)−−B.采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为2(1)−C.采用三次传输方案，若发送1，则译码为

1的概率为23(1)(1)−+−D.当00.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率【答案】ABD【解析】【分析】利用相互独立事件的概率公式计算判断AB；利用相互独立事件及

互斥事件的概率计算判断C；求出两种传输方案的概率并作差比较判断D作答.【详解】对于A，依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为2(1)(1)(1)(1)(1)−−

−=−−，A正确；对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到l，0，1的事件，是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为2(1)(1)(1)−

−=−，B正确；对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和，它们互斥，由选项B知，所以所求的概率为22323C(1)(1)(1)(12)−+−=−+，C错误；对于D，由选项C知，三次传输，发送0，则译码为

0的概率2(1)(12)P=−+，单次传输发送0，则译码为0的概率1P=−，而00.5，因此2(1)(12)(1)(1)(12)0PP−=−+−−=−−，即PP，D正确.故选：AB

D【点睛】关键点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知向量a，b满足3ab−=，2abab+=−，则b=______．【答案】3【解析】【分析】

法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令cab=−rrr，结合数量积的运算律运算求解.【详解】法一：因为2abab+=−，即()()222abab+=−，则2222244aabbaabb++=−+rrrrrrrr，整理得220aab−=，又因为3ab−=，即()23ab

−=，则22223aabbb−+==rrrrr，所以3b=.法二：设cab=−rrr，则3,2,22cabcbabcb=+=+−=+rrrrrrrrr，由题意可得：()()2222cbcb+=+rrrr，则22224

444ccbbccbb++=++rrrrrrrr，整理得：22cb=rr，即3bc==rr.故答案为：3.14.底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为______．【答案】28【解析】【分析】方法一：割补法，根据正四棱锥的几何

性质以及棱锥体积公式求得正确答案；方法二：根据台体的体积公式直接运算求解.【详解】方法一：由于2142=，而截去的正四棱锥的高为3，所以原正四棱锥的高为6，所以正四棱锥的体积为()1446323=，截去的正四棱锥的体积为()122343=，所以棱台的体

积为32428−=.方法二：棱台的体积为()13164164283++=.故答案为：28.15.已知直线:10lxmy−+=与()22:14Cxy−+=交于A，B两点，写出满足“ABC面积为85”的m的一个值______．【答案】2（112,2,,22−−中任意一个皆可以）【解析】

【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长AB，以及点C到直线AB的距离，结合面积公式即可解出．【详解】设点C到直线AB的距离为d，由弦长公式得224ABd=−，所以2182425ABCSdd=−=△，解得

：455d=或255d=，由2211211dmm+==++，所以224551m=+或222551m=+，解得：2m=或12m=．故答案为：2（112,2,,22−−中任意一个皆可以）．16.已知函数()()sinfxx=+，如图A，B是直线12y=与曲线()

yfx=的两个交点，若π6AB=，则()πf=______．【答案】32−【解析】【分析】设1211,,,22AxBx，依题可得，21π6xx−=，结合1sin2x=的解可得，()212π3xx−=，从而得到

的值，再根据2π03f=以及()00f，即可得2()sin4π3fxx=−，进而求得()πf．【详解】设1211,,,22AxBx，由π6AB=可得21π6xx−=，由1sin2x=可知，π2π6xk=+或5π2π6xk=+，Zk，由图

可知，()215π2ππ663xx+−+=−=，即()212π3xx−=，4=．因为28ππsin033f=+=，所以8ππ3k+=，即8ππ3k=−+，Zk．所

以82()sin4ππsin4ππ33fxxkxk=−+=−+，所以()2sin4π3fxx=−或()2sin4π3fxx=−−，又因为()00f，所以2(

)sin4π3fxx=−，()23πsin4ππ32f=−=−．故答案为：32−．【点睛】本题主要考查根据图象求出以及函数()fx的表达式，从而解出，熟练掌握三角函数的有关性质，以及特殊角的三角

函数值是解题关键．四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。17.记ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知ABC的面积为3，D为BC中点，且1AD=．（1）若π3ADC=，求tanB；

（2）若228bc+=，求,bc．【答案】（1）35；（2）2bc==.【解析】【分析】（1）方法1，利用三角形面积公式求出a，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面积公式求出a，作出BC边上的高，利用直角三角形求解作答.（2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形

面积公式求出ADC即可求解作答；方法2，利用向量运算律建立关系求出a，再利用三角形面积公式求出ADC即可求解作答.【小问1详解】方法1：在ABC中，因为D为BC中点，π3ADC=，1AD=，则1113313sin12222822ADCABCSADDCAD

CaaS=====，解得4a=，在ABD△中，2π3ADB=，由余弦定理得2222coscBDADBDADADB=+−，即2141221()72c=+−−=，解得7c=，则74157

cos14272B+−==，225721sin1cos1()1414BB=−=−=，所以sin3tancos5BBB==.方法2：在ABC中，因为D为BC中点，π3ADC=，1AD=，则1113313sin12222822ADCABCSADDC

ADCaaS=====，解得4a=，在ACD中，由余弦定理得2222cosbCDADCDADADB=+−，即214122132b=+−=，解得3b=，有2224ACADCD+==，则π2

CAD=，π6C=，过A作AEBC⊥于E，于是33cos,sin22CEACCAEACC====，52BE=，所以3tan5AEBBE==.【小问2详解】方法1：在ABD△与ACD中，由余弦定理得222211121cos(π

)4211121cos42caaADCbaaADC=+−−=+−，整理得222122abc+=+，而228bc+=，则23a=，又1331sin22ADCSADC==，解得sin1ADC=，而0πADC，

于是π2ADC=，所以222bcADCD==+=.方法2：在ABC中，因为D为BC中点，则2ADABAC=+，又CBABAC=−，于是2222224()()2()16ADCBABACABACbc+=++−=+=，即2416a+=，解得23a=，又

1331sin22ADCSADC==，解得sin1ADC=，而0πADC，于是π2ADC=，所以222bcADCD==+=.18.na为等差数列，6,2,nnnanban−=为奇数为

偶数，记nS，nT分别为数列na，nb的前n项和，432S=，316T=．（1）求na的通项公式；（2）证明：当5n时，nnTS．【答案】（1）23nan=+；（2）证明见解析.【解析

】【分析】（1）设等差数列na的公差为d，用1,ad表示nS及nT，即可求解作答.（2）方法1，利用（1）的结论求出nS，nb，再分奇偶结合分组求和法求出nT，并与nS作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出nS，nb，再分奇偶借助等差数列前n项和公式

求出nT，并与nS作差比较作答.【小问1详解】设等差数列na的公差为d，而6,21,N2,2nnnankbkank−=−==，则112213316,222,626babaadbaad=−==+=−=+−，于是41314632441216SadT

ad=+==+−=，解得15,2ad==，1(1)23naandn=+−=+，所以数列na的通项公式是23nan=+.【小问2详解】方法1：由（1）知，2(523)42nnnSnn++==+，23,21,N46,2nnnk

bknnk−=−=+=，当n为偶数时，12(1)34661nnbbnnn−+=−−++=+，213(61)372222nnnTnn++==+，当5n时，22371()(4)(1)0222nnTSnnnnnn−=+−+=−，因此nnTS

，当n为奇数时，22113735(1)(1)[4(1)6]52222nnnTTbnnnnn++=−=+++−++=+−，当5n时，22351(5)(4)(2)(5)0222nnTSnnnnnn−=+−−+=+−，因此nnTS，所以当5n时，nnTS.方法

2：由（1）知，2(523)42nnnSnn++==+，23,21,N46,2nnnkbknnk−=−=+=，当n为偶数时，21312412(1)3144637()()222222nnnnnnnTbbb

bbbnn−−+−−++=+++++++=+=+，当5n时，22371()(4)(1)0222nnTSnnnnnn−=+−+=−，因此nnTS，当n为奇数时，若3n，则132411231144(1)61()(

)2222nnnnnnnTbbbbbb−−+−++−+−=+++++++=+235522nn=+−，显然111Tb==−满足上式，因此当n为奇数时，235522nTnn=+−，当5n时，22351(5)(4)(2)

(5)0222nnTSnnnnnn−=+−−+=+−，因此nnTS，所以当5n时，nnTS.19.某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制

定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为()pc；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为()qc．假

设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．（1）当漏诊率()0.5pc=％时，求临界值c和误诊率()qc；（2）设函数()()()fcpcqc=+，当95,105c时，求()fc的解析式，并求(

)fc在区间95,105的最小值．【答案】（1）97.5c=，()3.5%qc=；（2）0.0080.82,95100()0.010.98,100105ccfccc−+=−，最小值为0.02．【解析】【分析】（1）根据题意由

第一个图可先求出c，再根据第二个图求出97.5c的矩形面积即可解出；（2）根据题意确定分段点100，即可得出()fc的解析式，再根据分段函数的最值求法即可解出．【小问1详解】依题可知，左边图形第一个小矩形的面积为50.0020.5%，所以951

00c，所以()950.0020.5%c−=，解得：97.5c=，()()0.0197.59550.0020.0353.5%qc=−+==．【小问2详解】当[95,100]c时，()()()

(95)0.002(100)0.0150.002fcpcqccc=+=−+−+0.0080.820.02c=−+；当(100,105]c时，()()()50.002(100)0.012(105)0.002fcpcqccc=+=+−+−0.010.980.02c=−

,故0.0080.82,95100()0.010.98,100105ccfccc−+=−，所以()fc在区间95,105的最小值为0.02．20.如图，三棱锥ABCD−中，DADBDC==，BDCD⊥，60

ADBADC==，E为BC的中点．（1）证明：BCDA⊥；（2）点F满足EFDA=，求二面角DABF−−的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）33．【解析】【分析】（1）根据题意易证BC⊥平面ADE，从而证得BCDA⊥；（

2）由题可证⊥AE平面BCD，所以以点E为原点，,,EDEBEA所在直线分别为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，再求出平面,ABDABF的一个法向量，根据二面角的向量公式以及同角三角函数关系即可解出．【小问1详解】连接,AEDE，因为E

为BC中点，DBDC=，所以DEBC⊥①，因为DADBDC==，60ADBADC==，所以ACD与ABD△均为等边三角形，ACAB=，从而AEBC⊥②，由①②，AEDEE=，,AEDE平面ADE，所以，BC⊥平面ADE，而AD平面ADE，所以BCDA⊥．【小问2详

解】不妨设2DADBDC===，BDCD⊥，22,2BCDEAE===．2224AEDEAD+==，AEDE⊥，又,AEBCDEBCE⊥=，,DEBC平面BCDAE⊥平面BCD．以点E为原点，,,EDEBEA所在直线分别为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，如图所示：设(2,

0,0),(0,0,2),(0,2,0),(0,0,0)DABE，设平面DAB与平面ABF的一个法向量分别为()()11112222,,,,,nxyznxyz==，二面角DABF−−平面角为,而()0,2,2AB=−，因为()2,0,2EFDA==−

，所以()2,0,2F−，即有()2,0,0AF=−，1111220220xzyz−+=−=，取11x=，所以1(1,1,1)n=；22222020yzx−=−=，取21y=，所以2(0,1

,1)n=，所以，121226cos332nnnn===，从而63sin193=−=．所以二面角DABF−−的正弦值为33．21.已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为()25,0−，离心率为5．（1）求C的方程；（2）记C的左、右顶点分别为1A，2A，过点()4,0−的直线

与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线1MA与2NA交于点P．证明:点P在定直线上.【答案】（1）221416xy−=（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题意求得,ab的值即可确定双曲线方程；（2）设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标

分别写出直线1MA与2NA的方程，联立直线方程，消去y，结合韦达定理计算可得2123xx+=−−，即交点的横坐标为定值，据此可证得点P在定直线=1x−上.【小问1详解】设双曲线方程为()222210,0xyabab−=，由焦点坐标可知

25c=，则由5cea==可得2a=，224bca=−=，双曲线方程为221416xy−=.【小问2详解】由(1)可得()()122,0,2,0AA−，设()()1122,,,MxyNxy，显然直线的斜率不为0，所以设直线MN的方程为4xmy=−，且

1122m−，与221416xy−=联立可得()224132480mymy−−+=，且264(43)0m=+，则1212223248,4141myyyymm+==−−，直线1MA的方程为()1122yyxx=++，直线2NA的方程为()2222yyxx=−−

，联立直线1MA与直线2NA的方程可得：()()()()()2121121211212121222222266yxymymyyyyyxxyxymymyyy+−−+++==−−=−−11222112248321622214141

4148483664141mmmyymmmmmyymm−−++−−−===−−−−−，由2123xx+=−−可得=1x−，即1Px=−，据此可得点P在定直线=1x−上运动.【点睛】关键点点睛:求双曲线方程的定直线问题，意在考查学生

的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算，是解题的关键.22.（1）证明：当01x时，sinxxxx−；（2）已知函数()()2cosln1fxaxx=−−，若0x=是()fx的极大值点，求a的取值范围．

【答案】（1）证明见详解（2）()(),22,−−+【解析】【分析】（1）分别构建()()sin,0,1Fxxxx=−，()()2sin,0,1Gxxxxx=−+，求导，利用导数判断原函数的单调性，进而可得结果

；（2）根据题意结合偶函数的性质可知只需要研究()fx在()0,1上的单调性，求导，分类讨论202a和22a，结合（1）中的结论放缩，根据极大值的定义分析求解.【详解】（1）构建()()sin,0,1Fxxxx=−，则()1cos0Fxx=−对()0,1x恒成立，则(

)Fx在()0,1上单调递增，可得()()00FxF=，所以()sin,0,1xxx；构建()()()22sinsin,0,1Gxxxxxxxx=−−=−+，则()()21cos,0,1Gxxxx=−+，构建()()(),0,1gxGxx=，则()2s

in0gxx=−对()0,1x恒成立，则()gx在()0,1上单调递增，可得()()00gxg=，即()0Gx对()0,1x恒成立，则()Gx在()0,1上单调递增，可得()()00GxG

=，所以()2sin,0,1xxxx−；综上所述：sinxxxx−.（2）令210x−，解得11x−，即函数()fx的定义域为()1,1−，若0a=，则()()()2ln1,1,1fxxx=−−−，因为lnyu=−在

定义域内单调递减，21yx=−在()1,0−上单调递增，在()0,1上单调递减，则()()2ln1fxx=−−在()1,0−上单调递减，在()0,1上单调递增，故0x=是()fx的极小值点，不合题意，

所以0a.当0a时，令0ba=因为()()()()()222cosln1cosln1cosln1fxaxxaxxbxx=−−=−−=−−，且()()()()()22cosln1cosln1fxbxxbxxf

x−=−−−−=−−=，所以函数()fx在定义域内为偶函数，由题意可得：()()22sin,1,11xfxbbxxx=−−−−，（i）当202b时，取1min,1mb=，(

)0,xm，则()0,1bx，由（1）可得()()()2222222222sin111xbxbxxfxbbxbxxxx+−=−−−−=−−−，且22220,20,10bxbx−−，所以()()2222201xbx

bfxx+−−，即当()()0,0,1xm时，()0fx¢>，则()fx在()0,m上单调递增，结合偶函数的对称性可知：()fx在(),0m−上单调递减，所以0x=是()fx的极小值点，不合题意；（ⅱ）当

22b时，取()10,0,1xb，则()0,1bx，由（1）可得()()()2233223222222sin2111xxxfxbbxbbxbxbxbxbxbxxx=−−−−−=−+++−−−−，构建()332232

12,0,hxbxbxbxbxb=−+++−，则()3223132,0,hxbxbxbxb=−++，且()33100,0hbhbbb==−，则()0hx对10,xb恒成立，可知(

)hx在10,b上单调递增，且()21020,20hbhb=−=，所以()hx在10,b内存在唯一的零点10,nb，当()0,xn时，则()0hx，且20,10xx−，则()()3322322201xfxbxbxbxb

x−+++−−，即当()()0,0,1xn时，()0fx，则()fx在()0,n上单调递减，结合偶函数的对称性可知：()fx在(),0n−上单调递增，所以0x=是()fx的极大值点，符合题意；综上所述：22b，即22a

，解得2a或2a−，故a的取值范围为()(),22,−−+.【点睛】关键点睛：1.当202a时，利用()sin,0,1xxx，换元放缩；2.当22a时，利用()sin,0,1xxxx−，换元放缩.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.

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