【文档说明】[29918340]专题4.31 相似三角形折叠问题（巩固篇）（专项练习）-九年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）.docx，共(79)页，2.284 MB，由envi的店铺上传

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专题4.31相似三角形折叠问题（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CE=2DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=G

C；③EG=DE+BG；④AG∥CF；⑤S△FGC=3.6．其中正确结论的个数是（）A．2B．3C．4D．52．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB=4，BC=2，那么线段EF的长为（）A．25B．5C．455D．2553．

如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，若AB=4，BC=8．则D′F的长为（）A．25B．4C．3D．24．如图，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的一点H重合（H不与端点C，D重合），折痕交AD于点E，交BC于点F，边AB

折叠后与边BC交于点G，设正方形ABCD的周长为m，CHG△的周长为n，则nm的值为（）A．22B．12C．512−D．随H点位置的变化而变化5．如图，D是等边△ABC边AD上的一点，且AD：DB=1：2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E、F分别在AC、BC上，则CE：C

F=（）A．34B．45C．56D．676．如图，矩形ABCD中，AB＝36，BC＝12，E为AD中点，F为AB上一点，将△AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是（）A．6﹣25B．36C．215D．6+257．在矩形AB

CD中，BC＝2，DC＝2，取AD中点E，连接BD、BE，将BDE沿BE翻折至BEF，过点A作AG⊥BF于G，则AG的值为（）A．22B．233C．239D．2658．如图，已知//ADBC，ABBC⊥，3AB=，点E为射线BC上一个动点，连接A

E，将ABE△沿AE折叠，点B落在点B处，过点B作AD的垂线，分别交AD，BC于M，N两点，当B为线段MN的三等分点时，BE的长为（）A．32B．322C．32或322D．322或3559．如图，在矩形纸片ABCD中，点E、F分别在矩形的边AB、AD上，将矩形纸片沿CE

、CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，点C、H、G恰好在同一直线上，若AB＝6，AD＝4，BE＝2，则DF的长是（）A．2B．74C．322D．310．如图，在正方形ABCD中，6AB=，M是AD边上的一点，:1:2AMMD=．将BM

A△沿BM对折至BMN△，连接DN，则DN的长是（）A．52B．958C．3D．65511．如图，在RtABC△中，90C=，点D是AB的中点，连接CD，将ACD△沿CD翻折得到,ECDDE与BC交于点F，连接BE

．若3,4ACBC==，则点F到BE的距离为（）A．23914B．277C．1439D．566512．如图，在ABC中，4ACBC==，90C=，D是BC边上一点，且3CDBD=，连接AD，把ACD△沿AD翻折，得到'ADC△，'DC与AB交于点E，连接'BC，

则'BDC△的面积为（）A．7225B．3625C．5425D．272513．如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E、H在AD边上，点F，G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A、D点的对

称点为D¢，若90FPG??，AEP¢△为8，DPH¢△的面积为2，则矩形ABCD的长为（）A．6510+B．61052+C．3510+D．31052+14．如图，在RtABC中，90,610BACBACA===，D为BC边的中点，点E是CA延长线上一点，把CDE沿DE翻折，

点C落在C处，EC与AB交于点F，连接BC．当43FAEA=时，BC的长为（）A．655B．610C．55D．6215．如图，在△ABC中，AC＝BC＝4，∠C＝90°，D是BC边上一点，且CD＝3BD，连接AD，把△ACD沿AD翻折，

得到△ADC'，DC′与AB交于点E，连接BC′，则△BDC'的面积为（）A．7225B．3625C．5425D．272516．已知Rt△ABC，∠ACB=90º，BC=10，AC=20，点D为斜边中点，连接CD，将△BCD沿CD翻折得△B’CD，B’D交AC于点E，则'D

EEB的值为（）A．56B．35C．74D．53二、填空题17．如图，在正方形ABCD中，MN分别是AD、BC边上的点，将四边形ABNM沿直线MN翻折，使得点A、B分别落在点'A、'B处，且点'B恰好为线段CD的中点，''AB交AD于点G，作DPMN⊥于点P，交'

'AB于点Q．若4AG=，则PQ=________．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点E是AB边上一动点，过点E作DE⊥AB交AC边于点D，将∠A沿直线DE翻折，点A落在线段AB上的F处，连接FC，当△BCF为等腰三角形时，AE的长为____

_．19．如图1，把一张正方形纸片对折得到长方形ABCD，再沿∠ADC的平分线DE折叠，如图2，点C落在点C′处，最后按图3所示方式折叠，使点A落在DE的中点A′处，折痕是FG，若原正方形纸片的边长为6cm，则FG=____cm．20．矩形纸片ABCD，AB=

9，BC=6，在矩形边上有一点P，且DP=3．将矩形纸片折叠，使点B与点P重合，折痕所在直线交矩形两边于点E，F，则EF长为________．21．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰好落在边AD上的点F处，点G在

AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰好落在线段BF上的H处，有下列结论：①∠EBG＝45°；②2S△BFG＝5S△FGH；③△DEF∽△ABG；④4CE＝5ED．其中正确的是_____．（填写所有正确结论的序号）22．如图，在矩形ABCD中，6AB=，8BC=，对角线,A

CBD相交于点O，点P为边AD上一动点，连接OP，以OP为折痕，将AOP折叠，点A的对应点为点E，线段PE与OD相交于点F．若PDF为直角三角形，则DP的长__________．23．如图．在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，

边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E，那么点D的坐标为______．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴和y轴上，OC=3，OA=26，D是BC的中点

，将△OCD沿直线OD折叠后得到△OGD，延长OG交AB于点E，连接DE，则点G的坐标为_________．25．如图，已知ABC中，445CACBC===，，D是线段AC上一点（不与A,C重合）,连接BD，将ABD△沿AB翻折，使点D落在点E处

，延长BD与EA的延长线交于点F，若BEF是直角三角形，则AF的长为_________.26．如图，在矩形ABCD中，8AB=，12BC=，E是BC的中点，连接AE，P是边AD上一动点，沿过点P的直线将

矩形折叠，使点D落在AE上的点D¢处，当APD△是直角三角形时，PD=__________．27．如图，在矩形ABCD中，AB：BC＝3：4，点E是对角线BD上一动点（不与点B，D重合），将矩形沿过点E的直线MN折叠，使得点A，B的对应点G，F分别在直线AD与BC上，当△DEF为

直角三角形时，CN：BN的值为_____．28．在矩形ABCD中，3AB=，4BC=，点E，F分别为BC，AC上的两个动点，将CEF△沿EF折叠，点C的对应点为G，若点G落在射线AB上，且AGF恰为直角三角形，则线段CF的长为______．29．如图，在直角坐标系中，点A(2，0)，点B(0

，1)，过点A的直线l垂直于线段AB，点P是直线l上一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，把△ACP沿AP翻折180，使点C落在点D处，若以A，D，P为顶点的三角形与△ABP相似，则所有满足此条件的点P的坐标为_______

____________________．30．如图，等边ABC的边长为10，点M是边AB上一动点，将等边ABC沿过点M的直线折叠，该直线与直线AC交于点N，使点A落在直线BC上的点D处，且:1:4,BDDC=折痕为,M

N则AN的长为______．31．如图，正方形纸片ABCD沿直线BE折叠，点C恰好落在点G处，连接BG并延长，交CD于点H，延长EG交AD于点F，连接FH．若AF＝FD＝6cm，则FH的长为_____cm．32．如图，已知矩形AB

CD中，3AB=，4BC=，点M，N分别在边AD，BC上，沿着MN折叠矩形ABCD，使点A，B分别落在E，F处，且点F在线段CD上（不与两端点重合），过点M作MHBC⊥于点H，连接BF，给出下列判断：①MHNBCF∽；②折痕MN的长度的取值范围为1534MN；③当四边形CDMH为正方形时，N为

HC的中点；④若13DFDC=，则折叠后重叠部分的面积为5512．其中正确的是_____．（写出所有正确判断的序号）.33．如图，正方形ABCD的边长为4，E为AB的中点，将△ADE沿直线DE折叠后，点A落在点F处

，DF交对角线AC于G，则FG的长是________．三、解答题34．如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点C在y轴上，将边BC折叠，使点B落在边OA的点D处．已知折叠55CE=，且3tan4EDA=．（1）判断OCD与ADE是否相似？请说明理

由；（2）求直线CE与x轴交点P的坐标；（3）是否存在过点D的直线l，使直线l、直线CE与x轴所围成的三角形和直线l、直线CE与y轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由．35．如图，已知正方形纸片ABCD的边长

为2，将正方形纸片折叠，使顶点A落在边CD上的点P处（点P与C、D不重合），折痕为EF，折叠后AB边落在PQ的位置，PQ与BC交于点G．（1）观察操作结果，找到一个与△EDP相似的三角形，并证明你的结论

；（2）当点P位于CD中点时，你找到的三角形与△EDP周长的比是多少？36．在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与A，B重合），分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形．如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD

的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”．解决问题：（1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=70°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；（2）四边形AOBC在平面直角坐标系中

的位置如图2所示，若点A，B，C的坐标分别为（6，8）、（25，0）、（19，8），则在四边形AOBC的边OB上是否存在强相似点？若存在，请求出其坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图3，将矩形ABCD沿CE折叠，使点D落在AB边上的点F处，若点F恰好是四边形AB

CE的边AB上的一个强相似点，直接写出BCAB的值．37．阅读理解：如图①，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与A、B重合），分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABC

D的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”．解决问题：（1）如图①，∠A=∠B=∠DEC=45°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；（2）如图②，在矩形ABCD中，A、B、C、D四点均在正方形网格（网

格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图②中画出矩形ABCD的边AB上的强相似点；（3）如图③，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB与BC的数量关系．38．在△A

BC中，∠ACB＝90°，AB＝25，BC＝15．(1)如图1，折叠△ABC使点A落在AC边上的点D处，折痕交AC、AB分别于Q、H，若S△ABC＝9S△DHQ，则HQ＝____．(2)如图2，折叠△ABC使点A落在BC边上的点

M处，折痕交AC、AB分别于E、F．若FM∥AC，求证：四边形AEMF是菱形；(3)在(1)(2)的条件下，线段CQ上是否存在点P，使得△CMP和△HQP相似？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由．39．如图

，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°,△ABD是等边三角形，将四边形ACBD沿直线EF折叠，使D与C重合，CE与CF分别交AB于点G、H.（1）求证：△AEG∽△CHG；（2）△AEG与△BHF是否相似，并说明理由；（3）若BC=1，求cos

∠CHG的值.40．已知矩形纸片ABCD中，AB=2，BC=3.操作：将矩形纸片沿EF折叠，使点B落在边CD上．探究：⑴如图1，若点B与点D重合，你认为1EDA和FDC全等吗？如果全等，请给出证明，如果不全等，请说明理由；⑵如图2，若点B与CD的

中点重合，请你判断11FCBBDG、和1EAG之间的关系，如果全等，只需写出结果，如果相似，请写出结果和相应的相似比；⑶如图2，请你探索，当点B落在CD边上何处，即1BC的长度为多少时，1FCB与1BDG全等．41．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，

且AE＝13AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q．（1）求∠ABP的度数；（2）求PBFPEBSS的值；（3）若CD边上有且只有2个点G，使△GPD与△GFC相似，请直接写出BCAB的值．42．42．阅读理解：如图①，在四边形ABCD的边AB上任取

一点E（点E不与A、B重合），分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的

边AB上的“强相似点”．解决问题：（1）如图①，∠A=∠B=∠DEC=45°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；（2）如图②，在矩形ABCD中，A、B、C、D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即

每个小正方形的顶点）上，试在图②中画出矩形ABCD的边AB上的强相似点；（3）如图③，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB与BC的数

量关系．43．已知：如图，在四边形ABCD中，E是边AB的中点，连接EDEC，．将ADE沿直线ED折叠，将BCE沿直线EC折叠，点AB、同时落在CD边上点F处．延长,ADEF相交于点G，连接GC．（1）填空：直线AD与直线BC的位置关系是_______；

（2）若90,12AAB==，求ADBC的值；（3）在（2）的条件下，若CFG△与EFD△相似，求AD的长．参考答案1．D【分析】先计算出DE=2，EC=4，再根据折叠的性质AF=AD=6，EF=ED=2，∠AFE=∠D=90°

，∠FAE=∠DAE，然后根据“HL”可证明Rt△ABG≌Rt△AFG，则GB=GF，∠BAG=∠FAG，所以∠GAE=12∠BAD=45°；GE=GF+EF=BG+DE；设BG=x，则GF=x，CG=BC-BG=6-x，在Rt△CG

E中，根据勾股定理得（6-x）2+42=（x+2）2，解得x=3，则BG=CG=3，则点G为BC的中点；同时得到GF=GC，根据等腰三角形的性质得∠GFC=∠GCF，再由Rt△ABG≌Rt△AFG得到∠AGB=∠AGF，然后根据三角形外角性质得∠BGF=∠GFC+∠

GCF，易得∠AGB=∠GCF，根据平行线的判定方法得到CF∥AG；过F作FH⊥DC，则△EFH∽△EGC，△EFH∽△EGC，由相似比为25，可计算S△FGC．【详解】解∵正方形ABCD的边长为6，CE=2DE，∴DE=2，EC=4，

∵把△ADE沿AE折叠使△ADE落在△AFE的位置，∴AF=AD=6，EF=ED=2，∠AFE=∠D=90°，∠FAE=∠DAE，在Rt△ABG和Rt△AFG中，∵AB=AF，AG=AG，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），∴GB=GF，∠BAG

=∠FAG，∴∠GAE=∠FAE+∠FAG=12∠BAD=45°，所以①正确；设BG=x，则GF=x，C=BC﹣BG=6﹣x，在Rt△CGE中，GE=x+2，EC=4，CG=6﹣x，∵222CGCEGE+=，∴222(6)4(2)xx

−+=+，解得x=3，∴BG=3，CG=6﹣3=3，∴BG=CG，所以②正确；∵EF=ED，GB=GF，∴GE=GF+EF=BG+DE，所以③正确；∵GF=GC，∴∠GFC=∠GCF，又∵Rt△ABG≌R

t△AFG，∴∠AGB=∠AGF，而∠BGF=∠GFC+∠GCF，∴∠AGB+∠AGF=∠GFC+∠GCF，∴∠AGB=∠GCF，∴CF∥AG，所以④正确；过F作FH⊥DC．∵BC⊥DH，∴FH∥GC，∴△EFH

∽△EGC，∴EHEFGCEG=，EF=DE=2，GF=3，∴EG=5，∴△EFH∽△EGC，∴相似比为：EHEFGCEG==25，∴S△FGC=S△GCE﹣S△FEC=12×3×4﹣12×4×（25×3）=

3.6，所以⑤正确．故正确的有①②③④⑤，故选D．【点拨】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了三角形全等的判定与性质、勾股定理和正方形的性质．2．B【详解】解：连接AF，根据折叠的性知AF=CF，AC⊥E

F，OA=OC，由AD=2，CD=4，根据勾股定理可求得AC=2225ADCD+=，所以OC=5，然后根据矩形的性质可得△COF∽△CDA，因此根据相似的性质可得OCOFCDAD=，代入数值可得542OF=，可求得OF=52，所以EF=2OF=5．故

选B．【点拨】本题考查折叠变换，勾股定理，相似三角形的性质及判定的应用，掌握性质定理正确推理论证是解题关键．3．C【分析】连接AC交EF于点O，由矩形的性质得出AD=BC=8，∠B=90°，由勾股定理得出AC=22ABBC45+=

，由折叠的性质得出EF⊥AC，AO=CO=12AC=25，证出Rt△AOF∽Rt△ADC，则AOADAFAC=，求出AF=5，即可得出结果．【详解】解：连接AC交EF于点O，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴8ADBC==，90BD==，222

24845ACABBC=+=+=，∵折叠矩形使C与A重合时，EFAC⊥，1252AOCOAC===，∴90AOFD==，OAFDAC=，∴则Rt△AOF∽Rt△ADC∴AOADAFAC=，即：25845AF=，解得：5AF=，∴'853DFDFADAF==−=

−=，故选C．【点拨】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握折叠的性质，证明三角形相似是解题的关键．4．B【分析】设CH=x，DE=y，则DH=4m-x，EH=4m-y，然后利用正方形的性质和折叠可以证明△DEH∽△CHG，利用相似三角形的

对应边成比例可以把CG，HG分别用x，y分别表示，△CHG的周长也用x，y表示，然后在Rt△DEH中根据勾股定理可以得到2mx-x2=2my，进而求出△CHG的周长．【详解】解：设CH=x，DE=y，则DH=4m-x，EH=4m-y，∵∠EHG=90°，∴∠DHE+∠

CHG=90°．∵∠DHE+∠DEH=90°，∴∠DEH=∠CHG，又∵∠D=∠C=90°，△DEH∽△CHG，∴CGCHHGDHDEEH==，即44CGxHGmmyxy==−−，∴CG=()4mxxy−，HG=()4mxyy−，△CHG的周长为n=CH+CG+HG=22mxxy−

，在Rt△DEH中，DH2+DE2=EH2即（4m-x）2+y2=（4m-y）2整理得2mx-x2=2my，∴n=CH+HG+CG=2222mxmyxmyy−==，∴12nm=．【点拨】本题综合考查了相似三角形的应用和

正方形性质的应用，解题的关键是灵活运用相似三角形性质与判定和正方形性质.5．B【详解】解：由折叠的性质可得，∠EDF=∠C=60º,CE=DE,CF=DF再由∠BDF+∠ADE=∠BDF+∠BFD=120º可得∠ADE=∠BFD，又因∠

A=∠B=60º，根据两角对应相等的两三角形相似可得△AED∽△BDF所以DEADAEDFBFBD==，设AD=a，BD=2a，AB=BC=CA=3a，再设CE==DE=x，CF==DF=y，则AE=3a-x，BF=3a-y，所以332xaaxyaya−==−整理可得ay=3ax-xy，2ax=3

ay-xy，即xy=3ax-ay①，xy=3ay-2ax②；把①代入②可得3ax-ay=3ay-2ax，所以5ax=4ay，4455xaya==，即45CECF=故选B．【点拨】本题考查相似三角形的判定及性质．6．C【分析】连接EC，利用矩形的性质，求出EG，DE的

长度，证明EC平分∠DCF，再证∠FEC＝90°，最后证△FEC∽△EDC，利用相似的性质即可求出EF的长度．【详解】解：如图，连接EC，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠D＝90°，BC＝AD＝12，DC＝AB＝36，∵E为AD中点，∴AE＝DE＝12AD＝6，由翻折知，△AEF≌△GEF，∴

AE＝GE＝6，∠AEF＝∠GEF，∠EGF＝∠EAF＝90°＝∠D，∴GE＝DE，∴EC平分∠DCG，∴∠DCE＝∠GCE，∵∠GEC＝90°﹣∠GCE，∠DEC＝90°﹣∠DCE，∴∠GEC＝∠DEC，∴∠FEC＝∠FEG+∠GEC＝12×180°＝9

0°，∴∠FEC＝∠D＝90°，又∵∠DCE＝∠GCE，∴△FEC∽△EDC，∴EFECDEDC=，∵EC＝()2222636+=+DEDC＝310，∴310636=EF，∴FE＝215，故选：C．【点拨】本

题考查了矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质等，解题关键是能够作出适当的辅助线，连接CE，构造相似三角形，最终利用相似的性质求出结果．7．C【分析】连接DF并延长BC交DF于点M，根据等腰三角形三

线合一得出EM⊥DF，FM＝DM，利用勾股定理求出BE，再根据△ABE∽△MDE得出EM，连接AF，根据EM是△ADF的中位线得出AF，利用勾股定理求BG，再用勾股定理得出AG即可．【详解】解：连接DF并延长BE交DF于点M，如图所示，∵△BDE沿BE翻折得到△BEF，∴BF

＝BD，∠FBE＝∠DBE，∴BM为等腰三角形FBD的中线，高线，角平分线，∴EM⊥DF，FM＝DM，∵BC＝AD＝2，E为AD的中点，∴DE＝EA＝1，∴226,BDBCCD=+=，∴223BEABAE=+=，∵∠BAE＝∠DME＝90°，∠AEB＝∠MED，∴△BAE∽△DME，∴BAAEB

EDMMEDE==，即2131DMME==，∴63,33DMME==，连接AF，∵M是DF的中点，E是AD的中点，∴ME是△ADF的中位线，∴12MEAF=，∴2323AFME==，∵6.BDBF==，设BG＝x，则FG＝6x−，由勾股定理得：

BA2﹣BG2＝AF2﹣FG2＝AG2，即2242(6)3xx−=−−，解得569x=，∴256232()99AG=−=，故选：C．【点拨】本题主要考查图形的翻折，矩形的性质，三角形的中位线，等腰三角形三线合一，勾股定理等知识点，熟练应用三角形形似得线

段比例求值是解题的关键．8．D【分析】因为点'B为线段MN的三等分点，没有指明线段'BM的占比情况，所以需要分两种情况讨论：①1'3BMMN=；②2'3BMMN=．然后由一线三垂直模型可证'AMB∽'BNE，再根据相似三角形的性质求得EN的值，最后由BEBNEN

=−即可求得BE的长．【详解】当点'B为线段MN的三等分点时，需要分两种情况讨论：①如图1，当1'3BMMN=时，∵AD∥BC，ABBC⊥，MNBC⊥，∴四边形ABNM为矩形，∴11'133BMMNAB===，22'

233BNMNAB===，BNAM=．由折叠的性质可得'3ABAB==，'90ABEABC==．在'RtABM中，'2222'3122AMABBM=−=−=．∵''90ABMMAB+=，''90ABMEBN+=

，∴''EBNMAB=，∴'BNE∽'AMB，∴''ENBNBMAM=，即2122EN=，解得22EN=，∴2322222BEBNEN=−=−=．②如图2，当2'3BMMN=时，∵AD∥BC，ABBC⊥

，MNBC⊥，∴四边形ABNM为矩形，∴22'233BMMNAB===，11'133BNMNAB===，BNAM=．由折叠的性质可得'3ABAB==，'90ABEABC==．在'RtABM中，2222''325AMABBM=−=−=．∵''90ABMMAB+=，''90

ABMEBN+=，∴''EBNMAB=，∴'BNE∽'AMB，∴''ENBNBMAM=，即125EN=，解得255EN=，∴2535555BEBNEN=−=−=．综上所述，BE的长为322或355．故选

：D．【点拨】本题考查了矩形的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，由'B为线段MN的三等分点，分两种情况讨论线段'BM的占比情况，以及利用K型相似进行相关计算是解决此题的关键．9．A【分析】构造如图所示

的正方形CMPD，然后根据相似三角形的判定和性质解直角三角形FNP即可．【详解】如图，延长CE，FG交于点N，过点N作//lAB，延长,CBDA交l于,MP，∴∠CMN=∠DPN=90°，∴四边形CMPD是矩

形，根据折叠，∠MCN=∠GCN，CD=CG，DFFG=，∵∠CMN=∠CGN=90°，CN=CN，∴RtMNCRtGNC，∴6CMCGCD===，MNNG=四边形CMPD为正方形，//BEMN∴CBECMN，∴42

63BECBMNCM===，2BE=，3MN=，3NP=，设DFx=,则4AFx=−，在RtPNF中，由222FPNPNF+=可得222(42)3(3)xx−++=+解得2x=；故选A．【点拨】本题考查了折叠问题，正方形的性质

与判定，矩形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形，勾股定理等知识点的综合运用，难度较大．作出合适的辅助线是解题的关键．10．D【分析】延长MN与CD交于点E，连接BE，过点N作NFCD⊥，根据折叠的正方形的性质得到NECE=，在RtMD

E中应用勾股定理求出DE的长度，通过证明MDENFE∽，利用相似三角形的性质求出NF和DF的长度，利用勾股定理即可求解．【详解】解：如图，延长MN与CD交于点E，连接BE，过点N作NFCD⊥，∵6AB=，M是AD边上的一点，:1:2AMMD=，∴2AM=，4DM=

，∵将BMA△沿BM对折至BMN△，四边形ABCD是正方形，∴90BNEC==，ABANBC==，∴RtBNERtBCE≌(HL)，∴NECE=，∴2EMMNNENE=+=+，在RtMDE中，设DEx=，则628MExx=−+=−，根据

勾股定理可得()22248xx+=−，解得3x=，∴3NEDE==，5ME=，∵NFCD⊥，90MDE=，∴MDENFE∽，∴25EFNFNEDEMDME===，∴125NF=，95EF=，∴65DF=，∴22655DNDFNF=+=，故选：D．【点拨】本题考查折叠的性质、相似三角

形的判定与性质、勾股定理的应用等内容，做出合适的辅助线是解题的关键．11．D【分析】连接AE，交CD于点H，过点C作CM⊥AB于点M，过点D作DG⊥BE于点G，过点F作FN⊥BE于点N，由题意易得225ABACBC=+=，则125CM=，进而可得52ADCDBD===，然后

可得22710DHADAH=−=，由折叠的性质可得,AHHEAECD=⊥，DEAD=，则有DH是△ABE的中位线，可求得△DFC∽△EFB，△DGE∽△FNE，最后根据相似三角形的性质可求解．【详解】解：连接

AE，交CD于点H，过点C作CM⊥AB于点M，过点D作DG⊥BE于点G，过点F作FN⊥BE于点N，如图示：∵90ACB=，3,4ACBC==，∴225ABACBC=+=，∴根据△ABC的面积可得1122ACBCABCM=，∴125CM=，∵点D是AB的中点，∴52ADCDB

D===，由折叠的性质可得,AHHEAECD=⊥，DEAD=，∵1122ADCSCDAHADCM==，∴125ADCMAHCD==，∴22710DHADAH=−=，∵DG⊥BE，BDDEAD==，∴BGGE=，∴DG是△ABE的中位线，∴12

5DGAH==，∵点D是AB的中点，AHHE=，∴DH是△ABE的中位线，∴7//,225DHBEBEEGDH===，∴∠CDF=∠BEF，∵∠DFC=∠EFB，∴△DFC∽△EFB，∴2514DFDCEFEB==，∴2539111414DEDFEFD

FEFEFEF+==+=+=，∵DG⊥BE，FN⊥BE，∴90DGEFNE==，∵∠NEF=∠GED，∴△DGE∽△FNE，∴3914DGDEFNFE==，∴5665FN=；故选D．【点拨】本题主要考查相似三角形的性质与判定及三角形中位线，熟练掌握相似三角形的性质与判定及三角形中

位线是解题的关键．12．B【分析】先求出BD，CD，进而求出AD，再构造直角三角形，判断出BDGADC△△，求出35DG=，45BG=，进而求出625BDES=△，285AG=，再判断出AHGADC△△，求出7AH=，215HG=，再判断出BFHACD△△，求出6

825BF=，最后用三角形的面积的差，即可得出结论．【详解】解：∵3CDBD=，4BC=，∴1BD=，3CD=，∴1S62ACDACCD==，在RtACD△中，根据勾股定理得，225ADACCD=+=，过点B作BGAD⊥交AD的延长线于G，∴90BGDC==，∵BDGADC=，

∴BDGADC△△，∴BDDGBGADCDAC==，∴1534DGBG==，∴35DG=，45BG=，∴16225BDGSDGBG==，285AGADDG=+=，延长GB交AC的延长线于H，由折叠知，6AC'DACDSS==△△，'4ACA

C==，'CADCAD=，∵90CAEH==，∴AHGADC△△，∴285534AHHG==，∴AHHGAGADCDAC==，∴7AH=，215HG=，∴''3CHAHAC=−=，175BHHG

BG=−=，1294225AHGSAGHG==△，过点B作'BFCH⊥于F，∴90BFHC==，∴90HFBH+=，∵'90CADH+=，∴'FBHCADCAD==，∴BFHACD△△，∴BFBHACAD=，∴

17545BF=，∴6825BF=，∴'1102'225BCHSCHBF==△，∴'''BCDAGHBDEBCHACDSSSSS=−−−△△△△△294610236625252525=−−−=，故选：B．【点拨】本题考查了直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，

三角形相似，灵活运用三角形相似，旋转性质是解题的关键．13．D【分析】设AB=CD=x，由翻折可知：PA′=AB=x，PD′=CD=x，因为△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，推出D′H＝12x，由S△D′PH=12D′P·D′H=12A′P·D′H，可解得x=22，分

别求出PE和PH，从而得出AD的长.【详解】解：∵四边形ABC是矩形，∴AB=CD，AD=BC，设AB=CD=x，由翻折可知：PA′=AB=x，PD′=CD=x，∵△A′EP的面积为8，△D′PH的面积为2，又∵90FPG??，∠A′

PF=∠D′PG=90°，∴∠A′PD′=90°，则∠A′PE+∠D′PH=90°，∴∠A′PE=∠D′HP，∴△A′EP∽△D′PH，∴A′P2：D′H2=8：2，∴A′P：D′H=2：1，∵A′P=x，∴D′

H=12x，∵S△D′PH=12D′P·D′H=12A′P·D′H，即11222xx=，∴x=22（负根舍弃），∴AB=CD=22，D′H=DH=2，D′P=A′P=CD=22，A′E=2D′P=42，∴PE=()()224222210+=，PH=()()2222210+=，∴

AD=42210102+++=52310+，故选D.【点拨】本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．14．D【分析】如图，连接CC′，过点C′作C′H⊥EC于H．设AB交DE于N，过点N作NT⊥EF于N，过点

D作DM⊥EC于M．证明∠CC′B=90°，求出CC′，BC即可解决问题．【详解】解：如图，连接CC′，过点C′作C′H⊥EC于H．设AB交DE于N，过点N作NT⊥EF于N，过点D作DM⊥EC于M．∵∠FAE=∠CAB=90°，43FAAE=，∴EF：AF：AE=5：4：3，∵C′

H∥AF，∴△EAF∽△EHC′，∴EC′：C′H：EH=EF：AF：AE=5：4：3，设EH=3k，C′H=4k，EC′=EC=5k，则CH=EC=EH=2k，由翻折可知，∠AEN=∠TEN，∵NA⊥EA，NT⊥ET，∴

∠NAE=∠NTE，∵NE=NE，∴△NEA≌△NET（AAS），∴AN=NT，EA=ET，设AE=3m，AF=4m，EF=5m，AN=NT=x，则AE=ET=3m，TF=2m，在Rt△FNT中，∵FN2=NT2+FT2，∴（4m-x）2=x2

+（2m）2，解得x=32m，∵AC=AB=610，∠CAB=90°，∴BC=2AC=125，∴CD=BD=65，∵DM⊥CM，∠DCM=45°，∴CM=DM=310，∵AN∥DM，∴ANEADMEM=，∴3

1232mANDMEAEMm===，∴EM=610，∴EC=910=5k，∴9105k=，∴18103610,55CHCH==，∴222218103610()()18255CCCHCH=+=+=，∵DC=DC′=DB，∴∠CC′B

=90°，∴2222(125)(182)62BCBCCC=−=−=，故选：D．【点拨】本题考查翻折变换，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质，全等三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构

建方程解决问题．15．B【分析】先求出BD，CD，进而求出AD，再构造直角三角形，判断出△BDE∽△ADC，求出DE＝35，BE＝45，进而求出S△BDE＝625，AE＝285，再判断出△AHE∽△ADC，求出AH＝7，HE＝215，再判断出△BFH∽△ACD，求出BF＝6825，最后用

三角形的面积的差，即可得出结论．【详解】解：∵CD＝3BD，BC＝4，∴BD＝1，CD＝3，∴S△ACD＝12AC•CD＝6，在Rt△ACD中，根据勾股定理得，AD＝22ACCD+＝5，过点B作BE⊥AD交AD的延长线于E，∴∠BED＝90°＝∠C，∵∠BDE＝∠ADC，∴△BDE∽△ADC，∴

BDDEBEADCDAC==，∴1534DEBE==，∴DE＝35，BE＝45，∴S△BDE＝12DE•BE＝625，AE＝AD+DE＝285，延长EB交AC的延长线于H，由折叠知，S△AC'D＝S△ACD＝6，AC'＝AC

＝4，∠C'AD＝∠CAD，∵∠C＝∠AEH＝90°，∴△AHE∽△ADC，∴AHHEAEADCDAC==，∴285534AHHE==，∴AH＝7，HE＝215，∴C'H＝AH﹣AC'＝3，BH＝HE﹣BE＝175，S△AHE＝12AE•HE＝29425，过点B作BF⊥C'H于F，∴∠B

FH＝90°＝∠C，∴∠H+∠FBH＝90°，∵∠C'AD+∠H＝90°，∴∠FBH＝∠C'AD＝∠CAD，∴△BFH∽△ACD，∴BFBHACAD=，∴1745BF=，∴BF＝6825，∴S△BC'H＝12C'H•BF＝10225，∴S△BC'D

＝S△AEH﹣S△BDE﹣S△BC'H﹣S△AC'D＝29425﹣625﹣10225﹣6＝3625，故选：B．【点拨】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，构造出相似三角形是解本题的关

键．16．A【分析】如图，过点B作BH⊥CD于H，过点E作EF⊥CD于F，由勾股定理可求AB的长，由锐角三角函数可求BH，CH，DH的长，由折叠的性质可得∠BDC=∠B'DC，S△BCD=S△DCB'=50，利用锐角三角函数可求EF=20511，由面积关系可求解．【详解】解：如图，过点B

作BH⊥CD于H，过点E作EF⊥CD于F，∵∠ACB=90°，BC=10，AC=20，∴AB=22100400105ACBC+=+=，S△ABC=12×10×20=100，∵点D为斜边中点，∠ACB=90°，∴AD=CD=BD=55，∴∠DAC=∠DCA，∠

DBC=∠DCB，∴sin∠BCD=sin∠DBC=ACBHABBC=，∴2010105BH=，∴BH=45，∴CH=221008025BCBH−=−=，∴DH=35，∵将△BCD沿CD翻折得△B′CD，∴∠BDC=∠B'DC，S△BCD=S△DCB'=

50，∴tan∠BDC=tan∠B'DC=BHEFDHDF=，∴454335EFDF==，∴设DF=3x，EF=4x，∵tan∠DCA=tan∠DAC=EFBCFCAC=，∴41020xFC=，∴FC=8x，∵DF+CF=CD，∴3x+8x=55，∴x=5511，∴EF=20511，∴S△DE

C=12×DC×EF=25011，∴S△CEB'=50-25011=30011，∴'56DECBECSDEBES==，故选：A．【点拨】本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，锐角三角函数的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线是本题的关键．17．955【分析】根据中点这个条件考

虑倍长，构造出全等三角形，进而结合翻折得性质产生等腰三角形，综合等腰三角形的性质通过设未知数表示各线段，再通过相似三角形建立等式求解正方形的边长，最后利用三角函数值快速求解．【详解】如图，连接BBB，延长NBAD、交于点F，则CNBFDB△△≌，CBNFBDDGB==

，根据翻折的性质可得FMN为等腰三角形，EFMEFN=，作FEMN⊥于点E，设DBBCx==，则正方形边长为2x，则5BBMNx==，54BNx=，52FMFNx==，32CNFDx==，1124,4,,4444xxxDGxGMAMAMFG=−=−

===−由AMGFBG△△∽，得AMMGFBFG=，则444511444xxxx−=−，解得6x=，则159216,,,8,222BCBNCNDGDM=====，2521555PDDM==设CBBNFEMFEMDP====，则1tan2BCBC

==，设CBNDGB==，则3tan4NCBC==，此时作QHGD⊥，,tantanQHQHGHDH==，128tantan5QHQHQH+==，则12555QDQH==，955PQPDDQ=−=故答案为：955．【点拨】本题考

查了正方形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定与性质，及三角函数的应用，综合性比较强，难度较大，熟练掌握做辅助线的方法是解决问题的一个关键点，再有就是结合图中构造出的全等或相似，准确列式计算也是本题的一个关

键点．18．2或52或75．【分析】由勾股定理求出AB，设AE=x，则EF=x，BF=10﹣2x；分三种情况讨论：①当BF=BC时，列出方程，解方程即可；②当BF=CF时，F在BC的垂直平分线上，得出AF=BF，列出方

程，解方程即可；③当CF=BC时，作CG⊥AB于G，则BG=FG12=BF，由射影定理求出BG，再解方程即可．【详解】由翻折变换的性质得：AE=EF．∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB2286=+=10．设AE=x

，则EF=x，BF=10﹣2x．分三种情况讨论：①当BF=BC时，10﹣2x=6，解得：x=2，∴AE=2；②当BF=CF时．∵BF=CF，∴∠B=∠FCB．∵∠A+∠B=90°，∠FCA+∠FCB=90°，∴∠A=∠FCA，∴AF=FC．∵BF=FC，∴AF=BF，∴x+x=

10﹣2x，解得：x52=，∴AE52=；③当CF=BC时，作CG⊥AB于G，如图所示：则BG=FG12=BF．根据射影定理得：BC2=BG•AB，∴BG22618105BCAB===，即12(10﹣2x)185=，解得：x75=，∴AE75=；

综上所述：当△BCF为等腰三角形时，AE的长为：2或52或75．故答案为：2或52或75．【点拨】本题考查了翻折变换的性质、勾股定理、射影定理、等腰三角形的性质；本题有一定难度，需要进行分类讨论．19．10．【详解】解：作GM⊥AC′于M，A′N⊥AD于N，

AA′交EC′于K．易知MG=AB=AC′，∵GF⊥AA′，∴∠AFG+∠FAK=90°，∠MGF+∠MFG=90°，∴∠MGF=∠KAC′，∴△AKC′≌△GFM，∴GF=AK，∵AN=4.5cm，A′N=1.5cm，C′K∥A′N，∴'''KCACANAN=，∴

'31.54.5KC=，∴C′K=1.5cm，在Rt△AC′K中，AK=22''ACCK+=10cm，∴FG=AK=10cm，故答案为10．20．62或210．【详解】试题分析：根据P点的不同位置，此题分两种情况计

算：①点P在CD上；②点P在AD上．①点P在CD上时,如图：∵PD=3，CD=AB=9，∴CP=6，∵EF垂直平分PB，∴四边形PFBE是邻边相等的矩形即正方形，EF过点C，∵BF=BC=6，∴由勾股定理求得EF=62；②点P

在AD上时，如图：先建立相似三角形，过E作EQ⊥AB于Q，∵PD=3，AD=6，∴AP=3，AB=9，由勾股定理求得PB=2239+=310，∵EF垂直平分PB，∴∠1=∠2（同角的余角相等），又∵∠

A=∠EQF=90°，∴△ABP∽△EFQ（两角对应相等，两三角形相似），∴对应线段成比例：EFEQPBAB=,代入相应数值：69310EF=，∴EF=210．综上所述：EF长为62或210．考点：翻折变换（折叠问题）．21．①②④【分析】

①根据折叠、矩形的性质进行推理即可；②根据等高三角形的面积比等于底边的比计算分析即可；③由矩形的性质、勾股定理及相似三角形的判定定理计算分析即可；④由矩形的性质可得CD的长，根据CE＝CD﹣ED求得CE的值，则可求得答案．【详解】解：①由折叠的性质可知：∠CBE＝∠FBE，∠ABG

＝∠FBG，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴∠EBG＝∠GBH+∠EBF＝12∠CBF+12∠ABF＝12∠ABC＝45°．故①正确；②由折叠的性质可知：BF＝BC＝10，BH＝AB＝6，∴HF＝BF﹣BH＝4，∴BFGFGHs

s＝BFHF＝104＝52，∴2S△BFG＝5S△FGH；故②正确；③∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，在Rt△ABF中，AF＝22BFAB−＝8，设GF＝x，即HG＝AG＝8﹣x，在Rt△HGF中，HG2+HF2＝GF2，即（8﹣x）2+42＝x2，解得x＝5，∴AG＝3，∴F

D＝2；同理可得ED＝83，∴ABAG＝63＝2，EDFD＝832＝43，∴ABAG≠EDFD，∴△ABG与△DEF不相似，故③错误；④∵CD＝AB＝6，ED＝83，∴CE＝CD﹣ED＝103，∴CEED＝54，∴4CE＝5ED．故④正确．综上所述

，正确的结论的序号为①②④，故答案为：①②④．【点拨】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．22．52或1【分析】先根据矩形的性质、折叠的性质可得90,8,10

,5DABADBDOAODOE======，,EPAPEADB==，设DPx=，从而可得8EPx=−，再根据直角三角形的定义分90DFP=和90DPF=两种情况，然后分别利用相似三角形的判定与性质、勾股定理

求解即可得．【详解】四边形ABCD是矩形，6AB=，8BC=22190,8,10,52DABADBCBDABADOAODBD====+====ADBOAP=由折叠的性质可知，,5,EPAPOEOAEOA

P====EADB=设DPx=，则8EPAPADDPx==−=−由题意，分以下两种情况：（1）如图1，当90DFP=时，PDF为直角三角形90EFO=在EFO△和DAB中，90EADBEFODAB===EFODABO

EOFEFBDBADA==，即51068OFEF==解得3,4OFEF==844FPEPEFxx=−=−−=−，532DFODOF=−=−=在RtPDF中，222FPDFDP+=，即222(4)2xx−+=解得52x=即52DP=（2）如图2，当90DPF=

时，PDF为直角三角形EADB=，OFEPFD=180180EOFEADBPFD−−=−−，即90EOFDPF==在EOF△和DAB中，90EADBEOFDAB===EOF

DABOEOFADAB=，即586OF=解得154OF=155544DFODOF=−=−=90DPFDAB==//PFABDPFDABDFDPDBDA=，即54108x=解得1x=即1DP=综上，DP的长为52或1故答案为：52或1．【点拨

】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，依据题意，正确画出图形，并分两种情况讨论是解题关键．23．（﹣45，125）【分析】首先过D作DF⊥AF于F，根据折叠可以证明△CDE≌△AOE，然后利用全等三角形的性质得到OE=DE，OA=C

D=1，设OE=x，那么CE=3﹣x，DE=x，利用勾股定理即可求出OE的长度，而利用已知条件可以证明△AEO∽△ADF，而AD=AB=3，接着利用相似三角形的性质即可求出DF、AF的长度，也就求出了

D的坐标．【详解】解：如图，过D作DF⊥AO于F，∵点B的坐标为（1，3），∴BC=AO=1，AB=OC=3，根据折叠可知：CD=BC=OA=1，∠CDE=∠B=∠AOE=90°，AD=AB=3，在△CDE和△AOE中，CDEAOECED

AEOCDAO===，∴△CDE≌△AOE，∴OE=DE，OA=CD=1，AE=CE，设OE=x，那么CE=3﹣x，DE=x，∴在Rt△DCE中，CE2=DE2+CD2，∴（3﹣x）2=x2+12，∴x=43，∴OE=43，AE=CE

=OC﹣OE=3﹣43=53，又∵DF⊥AF，∴DF∥EO，∴△AEO∽△ADF，∴AE：AD=EO：DF=AO：AF，即53：3=43：DF=1：AF，∴DF=125，AF=95，∴OF=95﹣1=45，∴D的坐标为：（﹣45，125）．

故答案为（﹣45，125）．【点拨】此题主要考查了图形的折叠问题、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及坐标与图形的性质．解题的关键是把握折叠的隐含条件，利用隐含条件得到全等三角形和相似三角形，然后利用它们的性质即可解决问题．24．（665，35）．【详解】解：过点G

作GF⊥OA于点F，如图所示．∵点D为BC的中点，∴DC=DB=DG，∵四边形OABC是矩形，∴AB=OC，OA=BC，∠C=∠OGD=∠ABC=90°．在Rt△DGE和Rt△DBE中，∵DB=DG，DE=DE，∴Rt△DGE≌Rt△DBE（

HL），∴BE=GE．设AE=a，则BE=3﹣a，OE=22OAAE+=224a+，OG=OC=3，∴OE=OG++GE，即224a+=3+3﹣a，解得：a=1，∴AE=1，OE=5．∵GF⊥OA，EA⊥

OA，∴GF∥EA，∴OFGFOGOAEAOE==，∴OF=OGOAOE=3265=665，GF=OGEAOE=315=35，∴点G的坐标为（665，35）．故答案为（665，35）．考点：翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性

质；矩形的性质．25．42或424−【分析】分别讨论∠E=90°，∠EBF=90°两种情况：①当∠E=90°时，由折叠性质和等腰三角形的性质可推出△BDC为等腰直角三角形，再求出∠ABD=∠ABE=22.5°，进而得到∠F=45°，推出△ADF为等腰直角三角形即可求出斜边AF的长度；②当∠EBF=

90°时，先证△ABD∽△ACB，利用对应边成比例求出AD和CD的长，再证△ADF∽△CDB，利用对应边成比例求出AF.【详解】①当∠E=90°时，由折叠性质可知∠ADB=∠E=90°，如图所示，在△ABC中，CA=CB=4，∠C=45°∴∠ABC=

∠BAC=()1180C2−=67.5°∵∠BDC=90°，∠C=45°∴△BCD为等腰直角三角形，∴CD=22BC=22，∠DBC=45°∴∠EBA=∠DBA=∠ABC-∠DBC=67.5°-45°=22.5°∴∠EBF=45°∴∠F=90°-45°=45°∴△ADF为等腰直角三角形∴

AF=()()2AD=2CACD=2422=424−−−②当∠EBF=90°时，如图所示，由折叠的性质可知∠ABE=∠ABD=45°，∵∠BAD=∠CAB∴△ABD∽△ACB∴ABAD=ACAB由情况①中的AD=422−，BD=22，可得AB=22ADBD=422+−∴AD=2AB32162=

=842AC4−−∴CD=()ACAD=4842=424−−−−∵∠DBC=∠ABC-∠ABD=22.8°∵∠E=∠ADB=∠C+∠DBC=67.5°∴∠F=22.5°=∠DBC∴EF∥BC∴△ADF∽△CDB∴ADAF=CDBC∴(

)8424ADBCAF===42CD424−−∵∠E=∠BDA=∠C+∠DBC=45°+67.5°-∠ABD=112.5°-∠ABD，∠EBF=2∠ABD∴∠E+∠EBF=112.5°+∠ABD＞90°∴∠F不可能为直角综上所述，AF的长

为42或424−.故答案为：42或424−.【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握折叠前后对应角相等，分类讨论利用相似三角形的性质求边长是解题的关键.2

6．163或487【分析】根据矩形的性质得到AD＝BC＝12，∠BAD＝∠D＝∠B＝90°，根据勾股定理可求出AE的长，设PD＝PD＝x，则AP＝12﹣x，当△APD是直角三角形时，分两种情况：①当∠ADP＝90°，②当∠APD＝90°

时，根据相似三角形的性质列出方程，解之即可得到结果．【详解】∵在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，∴AD＝BC＝12，∠BAD＝∠D＝∠B＝90°，∵E是BC的中点，∴BE＝CE＝6，∴AE＝22228610ABBE+=+=，∵沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的

点D¢处，∴PD＝PD，设PD＝PD＝x，则AP＝12﹣x，当△APD是直角三角形时，①当∠ADP＝90°时，∴∠ADP＝∠B＝90°，∵AD∥BC，∴∠PAD＝∠AEB，∴△ABE∽△PDA，∴APPDAEAB=，∴12108xx−=，解得：

x＝163，即PD＝163；②当∠APD＝90°时，∴∠APD＝∠B＝90°，∵∠PAE＝∠AEB，∴△APD∽△EBA，∴APPDBEAB=，∴1268xx−=，解得：x＝487，即PD＝487；综上所述，当△APD是直角三角形时，PD＝163或487．故答案为：163或4

87．【点拨】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握上述知识、灵活应用分类思想和方程思想是解题的关键．27．257或725．【分析】分两种情况进行讨论：当∠DFE＝90°时，

△DEF为直角三角形；当∠EDF＝90°时，△DEF为直角三角形，分别判定△DCF∽△BCD，得到CFCD＝CDCB，进而得出CF，根据线段的和差关系可得CN和BN的长，于是得到结论．【详解】解：∵AB：BC＝3：

4，设AB＝3x，BC＝4x，∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝3x，AD＝BC＝4x，分两种情况：①如图所示，当∠DFE＝90°时，△DEF为直角三角形，∵∠CDF+∠CFD＝∠EFN+∠CFD＝90°，

∴∠CDF＝∠EFN，由折叠可得，EF＝EB，BN＝FN，∴∠EFN＝∠EBN，∴∠CDF＝∠CBD，又∵∠DCF＝∠BCD＝90°，∴△DCF∽△BCD，∴CFCD＝CDCB，即3CFx＝34xx，∴CF＝94x，∴FN＝NB＝

9442xx−＝78x，∴CN＝CF+NF＝94x+78x＝258x，∴CN：BN＝258x：78x＝25：7．②如图所示，当∠EDF＝90°时，△DEF为直角三角形，∵∠CDF+∠CDB＝∠CDF+∠CBD＝90°，

∴∠CDF＝∠CBD，又∵∠DCF＝∠BCD＝90°，∴△DCF∽△BCD，∴CFCD＝CDCB，即3CFx＝34xx，∴CF＝94x，∴NF＝BN＝94+42xx＝258x，∴CN＝NF﹣CF＝258x﹣94x＝78x，∴CN：BN＝7：25，综上所述

，CN：BN的值为257或725．故答案为：257或725．【点拨】本题考查图形的折叠问题、相似三角形的判定与性质，难度较大，解题的关键是掌握相似三角形判定与性质，特别注意要分类讨论．28．207或209【分析】分两种情况讨论，由

勾股定理可得AC=5，通过证明△AFG∽△ABC，由相似三角形的性质可求CF的长．【详解】解：当AGF为直角三角形时，按两种情况分析：如图，当AGF为直角时，设CFx=．在RtABC△中，3AB=，4BC=，5AC=．由折叠的性质知GFFC=．90AGFABC==

Q，GFEC∥，AGFABC△∽△，AFGFACBC=，即554xx−=，解得：209x=，故CF的长为209．如图，当AFG为直角时，设CFy=．BACBAC=Q，90AFGABC==，AFGABC△∽△，AFFGABBC=．CF

FG=Q，即534yy−=，解得：207y=，故CF的长为207，综上所述，CF的长为207或209．【点拨】本题考查了翻折变换，勾股定理，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，证明△AFG∽△ABC是本题的关键．29．5314,40,4,122−−（，）或（）或（）或（）【详解】∵点A(

2，0)，点B(0，1)，∴OA=2,OB=1,22215OC=+=.∵l⊥AB,∴∠PAC＋OAB=90°.∵∠OBA+∠OAB=90°,∴∠OBA=∠PAC.∵∠AOB=∠ACP,∴△ABO∽△PAC,12ACOB

PCOA==.设AC=m,PC=2m,5APm=.当点P在x轴的上方时，由ADPDABAP=得,25m5mm=,12m=,12AC=,PC=1,15222OC=+=,5,12P由ADPDAPAB=得,

255mmm=,∴m＝2,∴AC=2,PC=4,∴OC＝2+2=4,∴P（4,4）.当点P在x轴的下方时，由ADPDABAP=得,25m5mm=,12m=,12AC=,PC=1,13222OC=−=,3,12P−由ADPDAPAB=得,255mmm=,∴m＝

2,∴AC=2,PC=4,∴OC＝2-2=0,∴P（0,4）.所以P点坐标为5,12或（4,4）或3,12−或（0,4）【点睛】本题考察了相似三角形的判定，相似三角形的性质，平面直角坐

标系点的坐标及分类讨论的思想.在利用相似三角形的性质列比例式时，要找好对应边，如果对应边不确定，要分类讨论.因点P在x轴上方和下方得到的结果也不一样，所以要分两种情况求解.请在此填写本题解析!30．7或653．【分析】分情况讨论：方法一：当点A落

在如图1所示的位置时，证明△BMD∽△CDN，得到BDDMBMCNDNCD==，根据:1:4,BDDC=设,ANa=求出AN；方法二：当A在CB的延长线上时，如图2，同样方法求出AN.【详解】方法一：当点A落在如图1所示的位置时，ACB是等边三角形，60

ABCMDN====，,MDCBBMDBMDN=+=，,BMDNDC=,BMDCDN得BDDMBMCNDNCD==，,DNAN=得BDDNBMCNANCD==，:1

:4,10,BDDCBC==2,8DBCD==，设,ANa=则10CNx=−，2108DMBMxx==−，216,1010xDMBMxx==−−，10,BMDM+=216101010xxx+=−−，解得7,x=7AN=；方法二：当

A在CB的延长线上时，如图2，与①同理可得BMDCDN.得BDDMBMCNDNCD==.:1:4,10BDDCBC==，1040,33DBCD==，设,ANx=则10,CNx=−1031040DMBMxx

=−，()()10400,310910xDMDMxx==−−，10,BMDM+=()()1040010310910xxx+=−−，解得：653x=，653AN=，故答案为：7或653.【点拨】此题考查等边三角形的性质，折叠的性质，相似

三角形的判定及性质，解题中注意题中的条件“点A落在直线BC上的点D处”故点A可在线段BC上，也可在延长线上，应分类讨论避免漏解.31．35【分析】连接BF，先证明Rt△ABF≌Rt△GBF，得到∠AFB=∠GFB，FA=FG，再证明Rt△FGH≌Rt△FDH，得到∠GF

H=∠DFH，于是∠BFH=∠BFG+∠GFH=12×180°=90°，根据△ABF∽△DFH，得ABBFDFFH=，从而可求出FH．【详解】解：如图，连接BF．∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠C＝90°，AB＝BC＝

AF+FD＝12cm．由折叠可知，BG＝BC＝12cm，∠BGE＝∠BCE＝90°．∴AB＝GB．在Rt△ABF和Rt△GBF中，BFBFABGB＝＝，∴Rt△ABF≌Rt△GBF（HL）．∴∠AFB＝∠GFB，FA＝FG，又∵AF＝FD

，∴FG＝FD．同理可证Rt△FGH≌Rt△FDH，∴∠GFH＝∠DFH，∴∠BFH＝∠BFG+∠GFH＝12180°＝90°，∴∠AFB+∠DFH＝90°．又∵∠AFB+∠ABF＝90°，∴∠ABF＝∠DFH．又∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABF∽△DFH

，∴ABBFDFFH=，在Rt△ABF中，由勾股定理，得BF＝222212665ABAF+=+=，∴12656FH=，∴FH＝35．故答案为：35．【点拨】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理以及相似三角形的判定与性质，综合运用相关性

质是解题的关键．32．①②③④【分析】由题意，逐一判定，①由折叠的性质以及等腰三角形三线合一的性质即可判定；②根据题意点F在线段CD上（不与两端点重合），假设F分别在C、D两点，即可得出其取值范围；③由相似三角形、正方形的性质以及勾股定理构建方程，即可判定；④由相似三角形以及勾股定理，得出梯

形MEFN的面积和△MEO的面积，即可得解；【详解】由折叠性质，得，BG=FG，BN=FN∴BF⊥MN∵∠BIH=∠MIG，MHBC⊥∴∠HBI=∠GMI∵∠MHN=∠BCF=90°∴MHNBCF∽故①结论正确；假设

F与C重合时，MN取得最小值，即为3；假设F与D重合时，MN取得最大值，∵MHNBCF∽∴MHBCMNBF=∵MH=3，BC=4，2222435BFBCCF=+=+=∴154MN=∵点F在线段CD上（不与两端点重合）∴折痕MN的长度的取值范围为1534MN故②

结论正确；∵四边形CDMH为正方形∴MH=HC=3∴BH=1∵MHNBCF∽∴MHBCHNCF=令HNx=，则3CNx=−，1FNBNx==+∴()()222213CFFNNCxx=−=+−−∴()()223413xxx=+−−∴

132x=，23x=（不符合题意，舍去）∴12HNHC=，即N为HC的中点故③结论正确；④∵13DFDC=，AB=CD=3∴DF=1，CF=2∴22224225BFBCCF=+=+=∴BG=GF=5∵MHNBCF∽∴MHBCHNCF=∴HN=32∵△FGN∽△MHN∴GN

=52∴()222255522FNNGNF=+=+=∴222253222CNFNCF=−=−=∴BH=BC-HN-NC=4-32-32=1∵∠EMO=∠CNF，∠MEO=∠

NCF=90°∴△MEO∽△NCF∴MENCEOCF=∴EO=43∴折叠后重叠部分的面积为：()1115145513122222312MEOMEFNSSMEFNEFMEEO−=+−=+−=△梯形故④结论正确；故答案为：①②③④.【点拨】此题主要考查矩形的折叠性

质以及相似三角形的综合运用，熟练掌握，即可解题.33．87【分析】延长DF，EF分别交BC于H，M，连接DM，根据折叠的性质得到DA=DF，∠DAE=∠DFE=90°，根据全等三角形的性质得到CM=FM

，设CM=FM=x，则BM=4−x，EM=2+x，根据勾股定理列出方程求出x，从而得到CM=FM=43，根据相似三角形的判定与性质即可得到结论．【详解】解：延长DF，EF分别交BC于H，M，连接DM，∵四边形ABCD是正方形，∴DA=DC，∠DA

E=∠DCB=90°，∵将ADE沿直线DE折叠后，点A落在点F处，∴,90===DADFDAEDFE，∴,,90====DCDFAEEFDCMDFM，∵DMDM=，∴()RtDCMRtDFMHL，∴

=CMFM，,∵正方形ABCD的边长为4，E为AB的中点，∴4,2=====ABBCAEEFBE，设==CMFMx，则BM=4−x，EM=2+x，在RtBEM中，由勾股定理得：222+=BEBMEM，即2222(4)(2)+−=+xx，解得

：43x=，∴43==CMFM，83=BM，103=EM，∵90==MFHMBE，=HMFEMB，∴MFHMBE，∴==MFFHMHMBBEME，即43810233==FHMH，解得：1FH=，53=MH，∴415=

+=+=DHDFFH，54333=+=+=CHCMMH，∵//ADBC，∴AGDCGH，∴=ADDGCHHG，即43=DGHG，∴44205777===DGDH，∴208477=−=−=FGDFDG，故答案为：87．【点拨】本题主要考查了翻

折变换（折叠问题）、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质综合，正确的作出辅助线是解题的关键．34．（1）相似，理由见解析；（2）（16，0）；（3）存在，y1=-2x+12，y2=2x-12．【分析】（1）由折叠知，9

0CDEB==，根据同角的余角相等可得23=，再有90CODDAE==即可得到OCD与ADE相似；（2））3tan4AEEDAAD==∵，设3AEt=，则4ADt=，由勾股定理得5DEt=，358OCABAEEBAEDEttt==+=+=+=∴，由（1）OC

DADE∽△△，根据对应边成比例可得OCCDADDE=，10CDt=∴，在DCE中根据勾股定义即可求出1t=，从而得到点C、点E的坐标，再根据待定系数法即可得到直线CE的解析式，从而得到点P的坐标．（3）存在，应该有两条如图：①直线BF，根据折叠的性质可知CE必垂直平分BD，那么∠

DGP=∠CGF=90°，而∠CFG=∠DPG（都是∠OCP的余角），由此可得出两三角形相似，那么可根据B、D两点的坐标求出此直线的解析式．②直线DN，由于∠FCO=∠NDO，那么可根据∠OCE即∠BEC的正切值，求出∠NDO的正切值，然后用OD的长求出ON的值，即可求

出N点的坐标，然后根据N、D两点的坐标求出直线DN的解析式．【详解】解：（1）△OCD与△ADE相似．理由如下：由折叠知，∠CDE=∠B=90°，∴∠CDO+∠EDA=90°，∵∠CDO+∠OCD=90°，∴∠OCD=∠EOA．又∵∠COD=∠DAE=90°，∴△OCD∽△A

DE．（2）∵3tan4AEEDAAD==∴设AE=3t，则AD=4t，由勾股定理得DE=5t，∴OC=AB=AE+EB=AE+DE=3t+5t=8t．由（1）△OCD∽△ADE，得OCCDADDE=∴845tCDtt=∴CD=10t．在△DCE中，∵CD2+DE2=CE2，∴222(10)

(5)(55)tt+=解得t=1．∴OC=8，AE=3，点C的坐标为（0，8），点E的坐标为（10，3），设直线CE的解析式为y=kx+b，∴1038kbb+==解得128kb=−+∴182yx

=−+，则点P的坐标为（16，0）．（3）存在．①直线BF满足条件．∵CE必垂直平分BD，∴∠DGP=∠CGF=90°，∵∠CFG+∠FCE=90°，∠DPG+∠FCE=90°∴∠CFG=∠DPG，∴△DPG∽△CFG，∴直线BD符合条件，∵D（6

，0），B（10，8），∴直线BD的解析式为y=2x-12．②假设直线DN满足条件，∵△PDM∽△NCM，∴∠PDM=∠NCM，∴∠ODN=∠PCO，∴tan∠PCO=tan∠ODN，∴OPONOCOD=，16,86ON=∵N（0，12）

，D（6，0），∴直线DN的解析式为y=-2x+12．综上所述，满足条件的直线l有2条：y1=-2x+12，y2=2x-12．【点拨】本题考查了一次函数的应用、图形的翻折变换、矩形的性质、相似三角形的判定和性

质等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，修改用分类讨论的思想思考问题．35．（1）与△EDP相似的三角形是△PCG．证明见解析；（2）4：3．【解析】分析：（1）根据题意，∠EPG=90°，可得∠EPD+∠CPG=90°，又∠EPD+∠PED=90°，所以∠CPG=∠PED

．加上∠C=∠D，可得△EDP∽△PCG；（2）根据相似三角形性质求解．因为CP=1，所以需求对应边DE的长度．设DE=x，则AE=EP=2-x，根据勾股定理可求．详解：（1）与△EDP相似的三角形是△PCG．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠C=∠D=90°．由折叠知∠EPQ=∠A=9

0°．∴∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°．∴∠2=∠3．∴△PCG∽△EDP．（2）设ED=x，则AE=2﹣x，由折叠可知：EP=AE=2﹣x．∵点P是CD中点，∴DP=1．∵∠D=90°，∴ED2+DP2=EP2，即x2+12=（2﹣x）2解得x=34．∴34ED=．∵△PCG∽△E

DP，∴14334PCED==．∴△PCG与△EDP周长的比为4：3．点睛：此题考查了相似三角形的判定和性质，涉及折叠问题、勾股定理等知识点.36．(1)是(2)存在(3)32BCAB=【解析】【分析】（1）要证明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行

，很容易证明△ADE∽△BEC，所以问题得解．（2）当点E是AB中点时，点E是四边形ABCD的边AB上的强相似点．只要证明△DEC∽△EBC即可．（3）由点E是矩形ABCD的AB边上的一个强相似点，得△AEM∽△BCE

∽△ECM，根据相似三角形的对应角相等，可求得1303BCEBCD==，利用含30°角的直角三角形性质可得BE与AB，BC边之间的数量关系，从而可求出AB与BC边之间的数量关系．【详解】(1)如图1中，结论：点E是四边形ABCD的边AB上的相似点.理由如下：∵∠DE

B=∠A+∠ADE=∠DEC+∠CEB，又∵∠A=∠B=∠DEC，∴∠ADE=∠CEB，∵∠A=∠B，∴△DAE∽△EBC.∴E是四边形ABCD的边AB上的相似点.(2)当点E是AB中点时，点E是四边形ABCD的边AB上的强相似点.理由：∵△DAE∽△

EBC，∴DEAEECBC=，∴DEECAEBC=，∵AE=EB，∴DEECEBBC=，∵∠DEC=∠B，∴△DEC∽△EBC，∴点E是四边形ABCD的边AB上的强相似点.(3)如图2中,结论：32BCAB=.理由如下：∵点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，∴△AEM∽△B

CE∽△ECM，∴∠BCE=∠ECM=∠AEM.由折叠可知：△ECM≌△DCM，∴∠ECM=∠DCM，CE=CD，∴1303BCEBCD==，1122BECEAB==，在Rt△BCE中,3cos2BCBCBCBCEECCDA

B====，∴32BCAB=【点拨】属于相似形综合题，考查相似三角形的判定与性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，综合性比较强，难度较大.37．（1）点E是四边形ABCD的AB边上的相似点．理由见解析；（2）作图见解析；（3）23

3ABBC=．【解析】试题分析：（1）要证明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，很容易证明△ADE∽△BEC，所以问题得解．（2）根据两个直角三角形相似得到强相似点的两种情况即可．（3）因为点E是梯形ABCD的AB边上的一个强

相似点，所以就有相似三角形出现，根据相似三角形的对应线段成比例，可以判断出AE和BE的数量关系，从而可求出解．试题解析：（1）点E是四边形ABCD的边AB上的相似点．理由：∵∠A=55°，∴∠ADE+∠DEA=125°．∵∠DEC=55°，∴∠BEC+∠DEA=125°．∴∠A

DE=∠BEC．∵∠A=∠B，∴△ADE∽△BEC．∴点E是四边形ABCD的AB边上的相似点．（2）作图如下：（3）∵点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，∴△AEM∽△BCE∽△ECM，∴∠BCE=∠ECM=∠AEM．由折叠可知：△ECM≌△D

CM，∴∠ECM=∠DCM，CE=CD，∴∠BCE=13∠BCD=30°，∴BE=12CE=12AB．在Rt△BCE中，tan∠BCE=BEBC=tan30°，∴33BEBC=，∴233ABBC=．考点：相似形综合题．3

8．（1）5；（2）证明见解析；（3）QP的值为407或10或103．【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出AC，设HQ=x，根据S△ABC=9S△DHQ，构建方程即可解决问题；（2）想办法证明四边相

等即可解决问题；（3）设AE=EM=FM=AF=4m，则BM=3m，FB=5m，构建方程求出m的值，分两种情形分别求解即可解决问题.【详解】解：（1）如图1中，在△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝25，BC＝15，∴AC＝222515−＝20，设HQ＝x，∵HQ∥BC

，∴AQQHACBC=，∴AQ＝43x，∵S△ABC＝9S△DHQ，∴12×20×15＝9×12×x×43x，∴x＝5或﹣5（舍弃），∴HQ＝5，故答案为5．（2）如图2中，由翻折不变性可知：AE＝EM

，AF＝FM，∠AFE＝∠MFE，∵FM∥AC，∴∠AEF＝∠MFE，∴∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF，∴AE＝AF＝MF＝ME，∴四边形AEMF是菱形．（3）如图3中，设AE＝EM＝FM＝AF＝4m，则BM＝3m，FB＝5m，∴4m+5m＝25，∴m＝259，∴AE＝EM＝10

09，∴EC＝20﹣1009＝809，∴CM＝22203EMEC−=，∵QG＝5，AQ＝203，∴QC＝403，设PQ＝x，当QHPQCMPC=时，△HQP∽△MCP，∴5204033xx=−，解得：x＝407，当QHPQPCMC=＝时，△HQP∽△PCM，∴5402033xx

=−解得：x＝10或103，经检验：x＝10或103是分式方程的解，且符合题意，综上所，满足条件长QP的值为407或10或103．39．（1）证明见解析（2）△AEG与△BHF相似（3）17【解析】试题分析：（1）由于△A

BD是等边三角形，那么∠D=∠EAG=60°，根据折叠的性质知：∠D=∠GCH=∠AEG=60°，再加上对顶角∠EGA=∠HGC，即可证得所求的三角形相似；（2）由△ABD是等边三角形和的性质知：∠BAD=∠GCH=∠ABD，再由三角形内角和定理可证明∠1=∠5，即可得到

结论；（3）在Rt△ABC中，已知了BC的长和∠BAC的度数，即可求得AB、AC的值，由折叠的性质知：DE=CE，可设出DE、CE的长，然后表示出AE的长，进而可在Rt△AEC中，由勾股定理求得AE、CE的值，即可得到∠AEG的余弦值，而根据（1）

的相似三角形知∠AEG=∠CHG，由此得解．试题解析：解：（1）∵△ABD是等边三角形，∴∠EAG=∠D=60°；根据折叠的性质知：DE=CE，∠D=∠GCH=∠EAG=60°，又∵∠EGA=∠HGC，∴△AEG∽△CHG

．（2）△AEG与△BHF相似．理由如下：∵∠BAD=∠ABD=∠D，∠GCH=∠D，∴∠BAD=∠GCH=∠ABD，∴∠1+∠2=∠3+∠4．∵∠2=∠3，∠4=∠5，∴∠1=∠5，∴△AEG∽△BHF；（3）△AB

C中，∠BAC=30°，BC=1，则AC=3，AB=2，故AD=AB=2．设DE=EC=x，则AE=2﹣x．在Rt△AEC中，由勾股定理，得：（2﹣x）2+3=x2，解得x=74，∴AE=14，EC=74，∴cos∠AEC=AEEC

=17．由（1）的相似三角形知：∠AEG=∠CHG，故cos∠CHG=cos∠AEC=17．点睛：此题考查的知识点有：等边三角形的性质、相似三角形的判定和性质、图形的翻折变换以及锐角三角函数的定义等知识，难度适中．40．

(1)全等，理由见解析；（2）△B1DG和△EA1G全等,△FCB1与△B1DG相似，相似比为4:3；（3）当B1C=3−6时,△FCB1与△B1DG全等.【解析】【分析】（1）由四边形ABCD是矩形，可得∠A=∠B=∠

C=∠ADC=90°，AB=CD，由折叠的性质可得：∠A=∠A1，∠B=∠A1DF=90°，CD=A1D，然后利用同角的余角相等，可证得∠A1DE=∠CDF，则可利用ASA证得△EDA1和△FDC全等；（2）易得△B1DG和△EA1G

全等，△FCB1与△B1DG相似，然后设FC=x，由勾股定理可得方程x2+12=（3-x）2，解此方程即可求得答案；（3）设B1C=a，则有FC=B1D=2-a，B1F=BF=1+a，在直角△FCB1中，可得（1+a）2=（2-a）2+a2，解此

方程即可求得答案．【详解】(1)全等，证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠C=∠ADC=90º，AB=CD，由题意知：∠A=∠A1，∠B=∠A1DF=90º，CD=A1D，∴∠A1=∠C=90º，∠CDF+∠EDF=90º，∴∠A1DE=∠CDF，在△E

DA1和△FDC中，111{ACADCDADECDF===，∴△EDA1≌△FDC(ASA)；（2）△B1DG和△EA1G全等，△FCB1与△B1DG相似，设FC=x，则B1F=BF=3−x，B1C=12DC=1，∴x2+12=(3−x)2，∴

x=43，∴△FCB1与△B1DG相似，相似比为4:3.(3)△FCB1与△B1DG全等，设B1C=a，则有FC=B1D=2−a，B1F=BF=1+a，在直角△FCB1中，可得(1+a)2=(2−a)2+a2，整理得a2−6

a+3=0，解得：a=3−6(另一解舍去)，∴当B1C=3−6时，△FCB1与△B1DG全等.【点拨】此题考查了折叠的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与

方程思想的应用．41．（1）∠ABP=30°；（2）3；（3）536【解析】【分析】（1）证明2PEAE=，推出30APE=即可解决问题．（2）由翻折可知：EF垂直平分PB，设EQa=，求出FQ即可解决问题．（3）如图3﹣1中，作点P关于CD的对称点N，连接FN交CD于G，此时FCGP

DG，以PF为直径作圆交CD于12GG，，此时11PDGFCG，22PDGFCG．①当点G与G2重合时，满足条件，易证FCCGDGDP==，，设CFCGaPDDGb====，．构建方程求出a与b的关系即可解决问题．②当G1，与G2重合时，满足条件，此时以PF为

直径的圆与CD相切，设CFmPDn==，，构建方程求出m与n的关系即可解决问题．【详解】解：（1）∵13AEAB=，∴2BEAE=，由翻折可知：BEPE=，∴2PEAEEBPEPB==，，∵四边形ABCD是矩形，∴90A=，∴30APE=，∴60AEP=

，∵AEPEBPEPB=+，∴30EBPEPB＝＝，∴30ABP＝．（2）由翻折可知：EF垂直平分PB，设EQa=，在RtBEQ中，∵30EBQ=，∴22BEEQa==，在RtEFB中，9060EBF

BEF＝，＝，∴30EFB＝，∴24EFBEa==，∴3QFa＝，∴132312PBFPBEPBEQSFQaSEQaPBFQ====．（3）如图3﹣1中，作点P关于CD的对称点N，连接FN交CD于G，此时FCGPDG，以PF为直径作圆交CD于G1，G2，此时11PDGFCG

，22PDGFCG．①当点G与G2重合时，满足条件，易证FCCGDGDP＝，＝，设CFCGaPDDGb＝＝，＝＝，则：2()2BFbaABabBCba=−=+=−，，，∵32ABPB=，∴32()2abba+=−，∴(

23)ab=−，∴22-(23)132(23)−−+===+−+BCbabbABabbb．②当G1，与G2重合时，满足条件，此时以PF为直径的圆与CD相切，设CFmPDn==，，则：2()BFnm=−,22mnPFmn

+==+，∵BFPF＝，∴2()nmmn−=+，∴3nm=，∴25BCnmm=−=，3•232ABPBm==，∴553623BCmABm==．【点拨】本题属于相似三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用参数构建方

程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题.42．（1）点E是四边形ABCD的AB边上的相似点．理由见解析；（2）作图见解析；（3）233ABBC=．【解析】试题分析：（1）要证明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点，只要证明有一组三角形

相似就行，很容易证明△ADE∽△BEC，所以问题得解．（2）根据两个直角三角形相似得到强相似点的两种情况即可．（3）因为点E是梯形ABCD的AB边上的一个强相似点，所以就有相似三角形出现，根据相似三角形的对应线段成比例，可以判断出AE和BE的数量关系，从而可求出解．试题解析：

（1）点E是四边形ABCD的边AB上的相似点．理由：∵∠A=55°，∴∠ADE+∠DEA=125°．∵∠DEC=55°，∴∠BEC+∠DEA=125°．∴∠ADE=∠BEC．∵∠A=∠B，∴△ADE∽△BEC．∴点E是四边形ABCD的AB边上的相似点．（2）作图如下：（3）∵点E是四边形ABC

M的边AB上的一个强相似点，∴△AEM∽△BCE∽△ECM，∴∠BCE=∠ECM=∠AEM．由折叠可知：△ECM≌△DCM，∴∠ECM=∠DCM，CE=CD，∴∠BCE=13∠BCD=30°，∴BE=

12CE=12AB．在Rt△BCE中，tan∠BCE=BEBC=tan30°，∴33BEBC=，∴233ABBC=．考点：相似形综合题．43．（1）平行；（2）36；（3）23或32【分析】（1）由折叠的性质得△ADE

≌△FDE，△BCE≌△FCE，根据全等三角形的性质可得∠A＝∠DFE，∠B＝∠EFC，由平角的定义可得出∠A+∠B＝180°，即可得出AD∥BC；（2）由折叠的性质得∠AED＝∠DEF，∠BEC＝∠F

EC，由平角的定义可得出∠AED+∠BEC＝90°，根据∠A＝90°可得∠AED+∠ADE＝90°，则∠ADE＝∠BEC，由AD∥BC得∠A＝∠B＝90°，可得△ADE∽△BEC，根据相似三角形的性质即可得出结论；（3）分两种情形：①△C

FG∽△EFD，由△CFG∽△EFD，△ADE≌△FDE，△BCE≌△FCE，由（2）求得的△ADE∽△BEC可得△CFG∽△CFE，根据相似三角形的性质得∠CEF＝∠CGF，∠ECF＝∠GCF，等角对

等边得CE＝CG，根据等腰三角形的性质可得CD⊥EG，EF＝GF，由线段中垂线的性质得DE＝DG，则∠DGF＝∠DEF，可得∠DGF+∠CGF＝∠DEG+∠CEF＝90°，可得出四边形ABCG是矩形，则CG＝AB＝12，可得CE＝12，根据勾股定理可求出BC

的值，利用（2）的结果即可求解．②△CFG∽△DFE，延长DE交CB的延长线于T．设AD＝x，BC＝y．构建方程组求解即可．【详解】解：（1）由折叠得：△ADE≌△FDE，△BCE≌△FCE，∴∠A＝∠DFE，∠B＝∠EFC，∵∠DFE

+∠EFC＝180°，∴∠A+∠B＝180°，∴AD∥BC，即直线AD与直线BC的位置关系是平行，故答案为：平行；（2）由折叠的性质得：∠AED＝∠DEF，∠BEC＝∠FEC，∵∠AED+∠DEF+∠BEC+∠FEC＝180°，∴∠AED+∠BEC＝90°，∵∠A＝90°，∴∠AED+∠AD

E＝∠DEF+∠CEF＝90°，∴∠ADE＝∠BEC，由（1）得AD∥BC，∴∠A＝∠B＝90°，∴△ADE∽△BEC，∴=ADAEBEBC，∵E是边AB的中点，AB＝12，∴AE＝BE＝6，∴AD•

BC＝36；（3）①当∠CFG∽△EFD时，∵△CFG∽△EFD，△ADE≌△FDE，∴△CFG∽△ADE，∵△BCE≌△FCE，△ADE∽△BEC，∴△CFG∽△CFE，∴∠CEF＝∠CGF，∠ECF＝∠GCF，

∴CE＝CG，∴CD⊥EG，EF＝GF，∴DE＝DG，∴∠DGF＝∠DEF，∴∠DGF+∠CGF＝∠DEG+∠CEF＝90°，∵∠A＝∠B＝90°，∴四边形ABCG是矩形，∴CG＝AB＝12，∴CE＝12，在Rt△BEC中，BC2

222126CEBE=−=−=63，∵AD•BC＝36，∴AD＝23．②如图2中，当△CFG∽△DFE时，延长DE交CB的延长线于T．设AD＝x，BC＝y．∵∠A＝∠EBT＝90°，∠AED＝∠BET，AE＝EB，∴△AED

≌△BET（AAS），∴DE＝ET，∵△CFG∽△DFE，∴∠FCG＝∠EDF，∴DT∥CG，∵DG∥CT，∴四边形DTCG是平行四边形，∴CG＝DT＝2DE，∴12DFDEFCCG==，∵AD＝DF，CF＝BC，∴y＝2x，∵xy＝36，∴x2＝18，∴x＝32或﹣32（舍弃），∴AD＝32，

综上所述，满足条件的AD的值为23或32．【点拨】此题是相似形综合题，主要考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解本题的关键．