【文档说明】2008年高考试题——数学文（天津卷）.doc，共(10)页，903.500 KB，由envi的店铺上传

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绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：

1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。3.本卷

共10小题，每小题5分，共50分。参考公式：如果时间A，B互斥，那么球的表面积公式P（A+B）=P（A）+P（B）24SR=.如果事件A，B相互独立，那么其中R表示球的半径.P（A·B）=P（A）·P（

B）一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.（1）设集合|0{8}xxNU=，{1,2,4,5}S=，{3,5,7}T=，则()UST=ð（A）{1,2,4}（B）{1,2,3,4,5,7}（C）{1,2}（D）{1,2,4,5,6,8}解析：因为{1,2,4,

6,8}TU=ð，所以(){1,2,4}UST=ð，选A．（2）设变量yx,满足约束条件++−1210yxyxyx，则目标函数yxz+=5的最大值为（A）2（B）3（C）4（D）5解析：如图，由图象可知目标函数yxz+=5过点(1,0)A时z

取得最大值，max5z=，选D．（3）函数1yx=+（04x）的反函数是（A）2(1)yx=−（13x）（B）2(1)yx=−（04x）（C）21yx=−（13x）（D）21yx=−（04x）解

析：当04x时，[,3]11x+，解1yx=+得12()(1)fxx−=−，选A．（4）若等差数列{}na的前5项和525S=，且23a=，则7a=（A）12（B）13（C）14（D）15解析：1524545()5()722aaaaSa++===，所以42722

55132aaaada−=+=+=，选B．（5）设ba,是两条直线，,是两个平面，则ba⊥的一个充分条件是（A）⊥⊥,//,ba（B）//,,⊥⊥ba（C）//,,⊥ba（D）⊥

,//,ba解析：选C，A、B、D的反例如图．（6）把函数sinyx=（xR）的图象上所有点向左平行移动3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（A）sin(2)3yx=−，

xR（B）sin()26xy=+，xR（C）sin(2)3yx=+，xR（D）sin(2)32yx=+，xR解析：选C,132sinsin()sin(2)33yxyxyx=⎯⎯⎯⎯⎯⎯→=+⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→=

+向左平移个单位横坐标缩短到原来的倍．（7）设椭圆22221xymn+=（0m，0n）的右焦点与抛物线28yx=的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为（A）2211216xy+=（B）2211612xy+=（C

）2214864xy+=（D）2216448xy+=解析：抛物线的焦点为(2,0)，椭圆焦点在x轴上，排除A、C，由12e=排除D，选B．（8）已知函数2,0()2,0xxfxxx+=−+，则不等式2()fxx的解集是（A）[1,1]−（B）[2,2]−（C）

[2,1]−（D）[1,2]−解析：依题意得221100001122xxxxxxxxx+−+−−或或，选A．（9）设5sin7a=，2cos7b=，2tan7c=，则（A）cba（B）acb（

C）acb（D）bac解析：2sin7a=，因为2472，所以220cossin1tan7772，选D．（10）设1a，若对于任意的[,2]xaa，都有2[,]y

aa满足方程loglog3aaxy+=，这时a的取值集合为（A）2{|1}aa（B）{|}2aa（C）3|}2{aa（D）{2,3}解析：易得3ayx=，在[,2]aa上单调递减，所以22[,]2yaa，故212

2aaaa，选B．第Ⅱ卷注意事项：1．答卷前将密封线内的项目填写清楚。2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上3．本卷共12小题，共100分。二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.）（11）一

个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工________________人．解析：依题意知抽取超过45岁的职工为258010200=．

（12）52()xx+的二项展开式中，3x的系数是________________（用数字作答）．解析：5521552()2rrrrrrrTCxCxx−−+==，1r=，所以系数为10．（13）若一个球的体积为

34，则它的表面积为________________．解析：由34433R=得3R=，所以2142SR==．（14）已知平面向量(2,4)a=，(1,2)b=−．若()caabb=−，则||c=_____________

．解析：因为(2,4)6(1,2)(8,8)c=−−=−，所以||82c=．（15）已知圆C的圆心与点(2,1)P−关于直线1yx=+对称．直线34110xy+−=与圆C相交于BA,两点，且6=AB，则圆

C的方程为_______________________．解析：圆心的坐标为(0,1)−，所以2222(411)3185r−−=+=，圆的方程为22(1)18xy++=．（16）有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4

张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有________________种（用数字作答）．解析：数字之和为10的情况有4，4，1，1、4，3，2，1、3，3，2，2．所以共有44444442218432AAA+==种不同排法．三、解答题（本题

共6道大题，满分76分）（17）（本小题满分12分）已知函数22s(incoss1)2cofxxxx++=（,0xR）的最小值正周期是2．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数()fx的最大值，并且

求使()fx取得最大值的x的集合．（17）本小题主要考查特殊角三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余弦、函数sin()yAx=+的性质等基础知识，考查基本运算能力．满分12分．（Ⅰ）解：()242sin224sin2cos4cos2sin222

cos2sin12sin22cos12++=++=++=+++=xxxxxxxxf由题设，函数()xf的最小正周期是2，可得222=，所以2=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()244sin2++=xxf．当kx2244+=+，

即()Zkkx+=216时，+44sinx取得最大值1，所以函数()xf的最大值是22+，此时x的集合为+=Zkkxx,216|．（18）（本小题满分12分）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为21与p，且乙投球2次均未命中的概率为

161．（Ⅰ）求乙投球的命中率p；（Ⅱ）求甲投球2次，至少命中1次的概率；（Ⅲ）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率．（18）本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分．（Ⅰ）解法一：设“甲投球一次命中”为事件A，“

乙投球一次命中”为事件B．由题意得()()()1611122=−=−pBP解得43=p或45（舍去），所以乙投球的命中率为43．解法二：设设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B．由题意得1()()16P

BPB=，于是1()4PB=或1()4PB=−（舍去），故31()4pPB=−=．所以乙投球的命中率为34．（Ⅱ）解法一：由题设和（Ⅰ）知()()21,21==APAP．故甲投球2次至少命中1次的概率为()431=−AAP解

法二：由题设和（Ⅰ）知()()21,21==APAP故甲投球2次至少命中1次的概率为()()()()4312=+APAPAPAPC（Ⅲ）由题设和（Ⅰ）知，()()()()41,43,21,21====BPBPAPAP甲、乙两人各投球2次，共命中2次有三种情况：甲、乙两人各中一次；甲中两次，乙两次

均不中；甲两次均不中，乙中2次。概率分别为()()()()1631212=BPBPCAPAPC，()()641=BBPAAP，()()649=BBPAAP所以甲、乙两人各投两次，共命中2次的概率为3211649641163=++．（19）（本小题满分12

分）如图，在四棱锥ABCDP−中，底面ABCD是矩形．已知60,22,2,2,3=====PABPDPAADAB．（Ⅰ）证明⊥AD平面PAB；（Ⅱ）求异面直线PC与AD所成的角的大小；（Ⅲ）求二面角ABDP−−的大小．（

19）本小题主要考查直线和平面垂直，异面直线所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力．满分12分．（Ⅰ）证明：在PAD中，由题设22,2==PDPA可得222PDADPA=+于是PAAD⊥.在

矩形ABCD中，ABAD⊥.又AABPA=，所以⊥AD平面PAB．（Ⅱ）解：由题设，ADBC//，所以PCB（或其补角）是异面直线PC与AD所成的角.在PAB中，由余弦定理得由（Ⅰ）知⊥AD平面PAB，PB平面PAB，所以PBAD⊥，因而PBBC⊥，于是PBC是直

角三角形，故27tan==BCPBPCB．7cos222=−+=PABABPAABPAPB所以异面直线PC与AD所成的角的大小为27arctan．（Ⅲ）解：过点P做ABPH⊥于H，过点H做BDHE⊥于E，连结PE因为⊥AD平面PAB，PH平面PAB，所以PHAD⊥.又AA

BAD=，因而⊥PH平面ABCD，故HE为PE再平面ABCD内的射影.由三垂线定理可知，PEBD⊥，从而PEH是二面角ABDP−−的平面角。由题设可得，134,13,2,160cos,360sin22===+==−=====BHBDADHEADAB

BDAHABBHPAAHPAPH于是再PHERT中，439tan=PEH所以二面角ABDP−−的大小为439arctan．（20）（本小题满分12分）在数列{}na中，11a=，22a=，且11(1)nnnaqaqa+−=+−（2,0nq

）．（Ⅰ）设1nnnbaa+=−（*nN），证明{}nb是等比数列；（Ⅱ）求数列{}na的通项公式；（Ⅲ）若3a是6a与9a的等差中项，求q的值，并证明：对任意的*nN，na是3na+与6na+的等差中项．（20）本小题主要考查等差数列、等比数列的概念、等比数列

的通项公式及前n项和公式，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法．满分12分．（Ⅰ）证明：由题设11(1)nnnaqaqa+−=+−（2n），得11()nnnnaaqaa+−−=−，即1nnbq

b−=，2n．又1211baa=−=，0q，所以{}nb是首项为1，公比为q的等比数列．（Ⅱ）解法：由（Ⅰ）211aa−=，32aaq−=，……21nnaaq−−=，（2n）．将以上各式相加，得211nn

aaqq−−+++=（2n）．所以当2n时，11,,.1,111nnqqqanq−=−+=−上式对1n=显然成立．（Ⅲ）解：由（Ⅱ），当1q=时，显然3a不是6a与9a的等差中项，故1q．由3693aaaa−=−可得

5228qqqq−=−，由0q得3611qq−=−，①整理得323()20qq+−=，解得32q=−或31q=（舍去）．于是32q=−．另一方面，21133(1)11nnnnnqqqaaqqq+−−+−−==−−−，15166(1)11nnnnnqqqaaqqq−+−

+−−==−−−．由①可得36nnnnaaaa++−=−，*nN．所以对任意的*nN，na是3na+与6na+的等差中项．（21）（本小题满分14分）已知函数432()2fxxaxxb=+++（xR），其中Rba,．（Ⅰ）当10

3a=−时，讨论函数()fx的单调性；（Ⅱ）若函数()fx仅在0x=处有极值，求a的取值范围；（Ⅲ）若对于任意的[2,2]a−，不等式()1fx在[1,1]−上恒成立，求b的取值范围．（21）本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、函

数的最大值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．满分14分．（Ⅰ）解：322()434(434)fxxaxxxxax=++=++．当103a=−时，2()(4104)2(21)(2)fxxxxxxx=−+=−−．令()0fx=，解得10x=

，212x=，32x=．当x变化时，()fx，()fx的变化情况如下表：x(,0)−01(0,)2121(,2)22(2,)+()fx－0＋0－0＋()fx↘极小值↗极大值↘极小值↗所以()fx在1(0,)2，(2,)+内是增函数，在(,0)−，1(,2)2

内是减函数．（Ⅱ）解：2()(434)fxxxax=++，显然0x=不是方程24340xax++=的根．为使()fx仅在0x=处有极值，必须24403xax++成立，即有29640a=−．解些不等式，得3838a−．这时，(0)fb=是唯一极值．因此满足条件的a的取

值范围是88[,]33−．（Ⅲ）解：由条件[2,2]a−，可知29640a=−，从而24340xax++恒成立．当0x时，()0fx；当0x时，()0fx．因此函数()fx在[1,1]−上的最大值是(1)f与(1)f

−两者中的较大者．为使对任意的[2,2]a−，不等式()1fx在[1,1]−上恒成立，当且仅当111))1((ff−，即22baba−−−+，在[2,2]a−上恒成立．所以4b−，因此满足条件的b的取值范围是(,4]−

−．（22）（本小题满分14分）已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是()0,31−F，一条渐近线的方程是025=−yx．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若以()0kk为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为281，求k的取

值范围．（22）本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理运算能力．满分14分．（Ⅰ）解：设双曲线C的方程为22221xyab−=（0,0ab）．由题设得22

952abba+==，解得2245ab==，所以双曲线方程为22145xy−=．的方程为ykxm=+（0k）．点11(,)Mxy，22(,)Nxy的坐（Ⅱ）解：设直线l22145ykxmx

y=+−=标满足方程组将①式代入②式，得22()145xkxm+−=，整理得222(54)84200kxkmxm−−−−=．此方程有两个一等实根，于是2504k−，且222(8)4(54)(420)0kmkm=−+−+．整理

得22540mk+−．③由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标00(,)xy满足12024254xxkmxk+==−，002554mykxmk=+=−．从而线段MN的垂直平分线方程为22514()5454mkmyxkkk−=−−−−．此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为29(,

0)54kmk−，29(0,)54mk−．由题设可得2219981||||254542kmmkk=−−．整理得222(54)||kmk−=，0k．将上式代入③式得222(54)540||kkk−+−，整理得22(45)(4||5)0k

kk−−−，0k．解得50||2k或5||4k．所以k的取值范围是5555,)(,0)(0,)(,)4224(−+−−．