【文档说明】《历年高考数学真题试卷》2011年高考浙江文科数学试题及答案(精校版).docx，共(15)页，173.464 KB，由envi的店铺上传

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2011年浙江省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2011•浙江）若P={x|x＜1}，Q={x|x＞1}，则（）A．P⊆QB．Q⊆PC．∁RP⊆QD．Q⊆∁RP【考点】集合的包含关系判断及应用．菁优网

版权所有【专题】集合．【分析】利用集合的补集的定义求出P的补集；利用子集的定义判断出Q⊆CRP．【解答】解：∵P={x|x＜1}，∴CRP={x|x≥1}，∵Q={x|x＞1}，∴Q⊆CRP，故选D．【点评】本题考查利用集合的交集、补集、并集定义求交集、补集、并

集；利用集合包含关系的定义判断集合的包含关系．2．（5分）（2011•浙江）若复数z=1+i，i为虚数单位，则（1+z）•z=（）A．1+3iB．3+3iC．3﹣iD．3【考点】复数代数形式的乘除运算．菁优网版权所有【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用两个复数代数形式的乘法法则，

把（1+z）•z化简到最简形式．【解答】解：∵复数z=1+i，i为虚数单位，则（1+z）•z=（2+i）（1+i）=1+3i故选A．【点评】本题考查两个复数代数形式的乘法，以及虚数单位的幂运算性质．3．（5分）（2011•浙江）若实数x，y满足不等式组，则3x+4y的最小值是（）A

．13B．15C．20D．28【考点】简单线性规划．菁优网版权所有【专题】不等式的解法及应用．【分析】我画出满足不等式组的平面区域，求出平面区域中各角点的坐标，然后利用角点法，将各个点的坐标逐一代入目标函数，比较

后即可得到3x+4y的最小值．【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：由图可知，当x=3，y=1时3x+4y取最小值13故选A【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程

组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．4．（5分）（2011•浙江）若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则（）A．α内存在直线与l异面B．α内存在与l平行的直

线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交【考点】直线与平面平行的性质；平面的基本性质及推论．菁优网版权所有【专题】空间位置关系与距离．【分析】根据线面关系的定义，我们根据已知中直线l不平行于平面α，且l⊄α，判断出直线l与α的关系，利用直线与平面相

交的定义，我们逐一分析四个答案，即可得到结论．【解答】解：直线l不平行于平面α，且l⊄α，则l与α相交l与α内的直线可能相交，也可能异面，但不可能平行故B，C，D错误故选A【点评】本题考查线线、线面位置

关系的判定，考查逻辑推理能力和空间想象能力．其中利用已知判断出直线l与α的关系是解答本题的关键．5．（5分）（2011•浙江）在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c．若acosA=bsinB，则sinAcosA+cos2B=（）A．﹣

B．C．﹣1D．1【考点】余弦定理；正弦定理．菁优网版权所有【专题】解三角形．【分析】利用三角形中的正弦定理，将已知等式中的边用三角形的角的正弦表示，代入要求的式子，利用三角函数的平方关系求出值．【解答】解：∵acosA=bsinB由正弦定理得sinAcosA=sinBsi

nB∴sinAcosA+cos2B=sin2B+cos2B=1故选D【点评】本题考查三角形中的正弦定理、余弦定理、三角函数的平方关系．6．（5分）（2011•浙江）若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“”的（）A．

充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等式的基本性质．菁优网版权所有【专题】简易逻辑．【分析】根据不等式的性质，我们先判断“0＜ab＜1”⇒“”与“”⇒“0＜ab＜1”的真

假，然后结合充要条件的定义即可得到答案．【解答】解：若“0＜ab＜1”当a，b均小于0时，即“0＜ab＜1”⇒“”为假命题若“”当a＜0时，ab＞1即“”⇒“0＜ab＜1”为假命题综上“0＜ab＜1”是“”

的既不充分也不必要条件故选D．【点评】本题考查的知识点是必要条件，充分条件与充要条件的判断，及不等式的性质，其中根据不等式的性质判断“0＜ab＜1”⇒“”与“”⇒“0＜ab＜1”的真假，是解答本题的关键．7．（5分）（2011•浙江）几何体的三视图

如图所示，则这个几何体的直观图可以是（）A．B．C．D．【考点】空间几何体的直观图；简单空间图形的三视图．菁优网版权所有【专题】立体几何．【分析】A、C选项中正视图不符合，D答案中侧视图不符合，由排除法即可选出答案．【解答】解：A、C选项中正视图不符

合，A的正视图为，C的正视图为D答案中侧视图不符合．D答案中侧视图为故选B【点评】本题考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力．8．（5分）（2011•浙江）从已有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则

所取的3个球中至少有1个白球的概率是（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有【专题】概率与统计．【分析】用间接法，首先分析从5个球中任取3个球的情况数目，再求出所取的3个球中没有白球即全部红球的情况数目

，计算可得没有白球的概率，而“没有白球”与“3个球中至少有1个白球”为对立事件，由对立事件的概率公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，首先分析从5个球中任取3个球，共C53=10种取法，所取的3个球中没有白球即全部红球的情况有C33=1种，则没有白球的概率为；则所取的3个球中至少有1个白球的概

率是．故选D．【点评】本题考查古典概型的计算，注意至多、至少一类的问题，可以选用间接法，即借助对立事件的概率的性质，先求其对立事件的概率，进而求出其本身的概率．9．（5分）（2011•浙江）已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）与双曲线

C2：x2﹣=1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C1恰好将线段AB三等分，则（）A．a2=B．a2=3C．b2=D．b2=2【考点】椭圆的简单性质；圆锥曲线的综合

．菁优网版权所有【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先由双曲线方程确定一条渐近线方程为y=2x，根据对称性易知AB为圆的直径且AB=2a，利用椭圆与双曲线有公共的焦点，得方程a2﹣b2=5；设C1与

y=2x在第一象限的交点的坐标为（x，2x），代入C1的方程得：；对称性知直线y=2x被C1截得的弦长=2x，根据C1恰好将线段AB三等分得：2x=，从而可解出a2，b2的值，故可得结论．【解答】解：由题意，C2的焦点为（

±，0），一条渐近线方程为y=2x，根据对称性易知AB为圆的直径且AB=2a∴C1的半焦距c=，于是得a2﹣b2=5①设C1与y=2x在第一象限的交点的坐标为（x，2x），代入C1的方程得：②，由对称性知直线y=2x被C1截得的弦长=2x，由题得：2x=，所以③由

②③得a2=11b2④由①④得a2=5.5，b2=0.5故选C【点评】本题以椭圆，双曲线为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系，解题思路清晰，但计算有点烦琐，需要小心谨慎．10．（5分）（2011•浙江）设函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），若x=﹣1为函数y=f（x）e

x的一个极值点，则下列图象不可能为y=f（x）的图象是（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的图象与图象变化．菁优网版权所有【专题】函数的性质及应用；导数的概念及应用．【分析】先求出函数f（

x）ex的导函数，利用x=﹣1为函数f（x）ex的一个极值点可得a，b，c之间的关系，再代入函数f（x）=ax2+bx+c，对答案分别代入验证，看哪个答案不成立即可．【解答】解：由y=f（x）ex=ex（ax2+bx+c）⇒y′=f′（x）ex+exf（x）=ex[ax2+（b+2

a）x+b+c]，由x=﹣1为函数f（x）ex的一个极值点可得，﹣1是方程ax2+（b+2a）x+b+c=0的一个根，所以有a﹣（b+2a）+b+c=0⇒c=a．法一：所以函数f（x）=ax2+bx+a，对称轴为x=﹣，且f（﹣1）=2a﹣b，f（0）=a．对于A，由图得a＞0，

f（0）＞0，f（﹣1）=0，不矛盾，对于B，由图得a＜0，f（0）＜0，f（﹣1）=0，不矛盾，对于C，由图得a＜0，f（0）＜0，x=﹣＞0⇒b＞0⇒f（﹣1）＜0，不矛盾，对于D，由图得a＞0，f（0）＞0，x=﹣＜﹣1⇒b＞2a⇒f

（﹣1）＜0与原图中f（﹣1）＞0矛盾，D不对．法二：所以函数f（x）=ax2+bx+a，由此得函数相应方程的两根之积为1，对照四个选项发现，D不成立．故选：D．【点评】本题考查极值点与导函数之间的关系．一般在知道一个函数的极值点时，直接把极值点代入导数令其等0即可．可导函

数的极值点一定是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点．二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）11．（4分）（2011•浙江）设函数，若f（a）=2，则实数a=﹣1．【考点】函数的值．菁优网版权所有【专题】函数的性质及应用．【分析】将x=a代

入到f（x），得到=2．再解方程即可得．【解答】解：由题意，f（a）==2，解得，a=﹣1．故a=﹣1．【点评】本题是对函数值的考查，属于简单题．对这样问题的解答，旨在让学生体会函数，函数值的意义，从而更好的把握函数概念，进一步研究函数的其

他性质．12．（4分）（2011•浙江）若直线与直线x﹣2y+5=0与直线2x+my﹣6=0互相垂直，则实数m=1．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．菁优网版权所有【专题】直线与圆．【分析】求出两条直线的斜率；利用两直线垂直斜率之积为﹣1，列出方程求出m的值．【解答】解：直线x﹣2y

+5=0的斜率为直线2x+my﹣6=0的斜率为∵两直线垂直∴解得m=1故答案为：1【点评】本题考查由直线方程的一般式求直线的斜率、考查两直线垂直斜率之积为﹣1．13．（4分）（2011•浙江）某小学为了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随

机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图（如图）．根据频率分布直方图3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是600．【考点】频率分布直方图．菁优网版权所有【专题】概率与统计．【分析】首先计

算成绩小于60的三个小矩形的面积之和，即成绩小于60的学生的频率，再乘以3000即可．【解答】解：由频率分布直方图成绩小于60的学生的频率为10（0.002+0.006+0.012）=0.2，所以成绩小于

60分的学生数是3000×0，2=600故答案为：600【点评】本题考查频率分布直方图和由频率分布直方图估计总体的分布，考查识图能力．14．（4分）（2011•浙江）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k的值是5．【考点】程序框图．菁优网版权所有【专题】算法和程序框图．【分析

】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出k值．模拟程序的运行过程，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到最终的输出结果．【解答】解：程序在运行过

程中各变量的值如下表示：第一圈k=3a=43b=34第二圈k=4a=44b=44第三圈k=5a=45b=54此时a＞b，退出循环，k值为5故答案为：5．【点评】对于流程图处理方法是：①分析流程图（或伪代码）

，从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型⇒③解模．15．（4分）（2011•浙江）若平面向量α，β满足|α|=1，|β|≤1，

且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，则α和β的夹角θ的范围是[30°，150°]．【考点】数量积表示两个向量的夹角．菁优网版权所有【专题】平面向量及应用．【分析】根据平行四边形的面积，得到对角线分成的两个三角形的面积，利用正弦定理写出三角形面积的表示式，表示

出要求角的正弦值，根据角的范围写出符合条件的角．【解答】解：∵||||sinθ=∴sinθ=，∵||=1，||≤1，∴sinθ，∵θ∈[0，π]∴θ∈[30°，150°]，故答案为：[30°，150°]，或[]，【点评】本题考查两个向量的夹角，

考查利用正弦定理表示三角形的面积，考查不等式的变化，是一个比较简单的综合题目．16．（4分）（2011•浙江）若实数x，y满足x2+y2+xy=1，则x+y的最大值是．【考点】基本不等式．菁优网版权所有【专题】不等式的解法及应用．【分析】利用基本不等式，根据xy≤把题设等式整理

成关于x+y的不等式，求得其范围，则x+y的最大值可得．【解答】解：∵x2+y2+xy=1∴（x+y）2=1+xy∵xy≤∴（x+y）2﹣1≤，整理求得﹣≤x+y≤∴x+y的最大值是故答案为：【点评】本题主要考查了基本不等式．应

熟练掌握如均值不等式，柯西不等式等性质．17．（4分）（2011•浙江）若数列中的最大项是第k项，则k=4．【考点】数列的函数特性．菁优网版权所有【专题】点列、递归数列与数学归纳法．【分析】求数列的最大值，可通过做差或做商比较法判断数列的单调性处理．【解答】解：令

，假设=≥1，则2（n+1）（n+5）≥3n（n+4），即n2≤10，所以n＜4，又n是整数，即n≤3时，an+1＞an，当n≥4时，an+1＜an，所以a4最大．故答案为：4．【点评】本题考查数列的最值问题，利用做差或做商比较法判断数列的单调性是求数列

最值的常用方式．三、解答题（共5小题，满分72分）18．（14分）（2011•浙江）已知函数，x∈R，A＞0，．y=f（x）的部分图象，如图所示，P、Q分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为（1，A）．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及φ

的值；（Ⅱ）若点R的坐标为（1，0），，求A的值．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的周期性及其求法．菁优网版权所有【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（I）由已知函数，我们易求出函数的最小正周期，又由P的坐标为（1，A），我们易构造出一个关于φ的三角

方程，结合解三角方程即可求出φ值．（II）根据（I）的结论及R的坐标，和，利用余弦定理我们易构造出一个关于A的方程，解方程即可得到A的值．【解答】解：（I）由题意得，T==6∵P（1，A）在函数的图象上∴=1又∵∴φ=（

II）由P、Q分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为（1，A），结合（I）可知点Q的坐标为（4，﹣A）连接PQ，在△PRQ中，∠PRQ=可得，∠QRX=，作QM⊥X轴于M，则QM=A，RM=3，所以有tan===∴A=【点评】本题考查的知识点是函数y

=Asin（ωx+φ）的图象变换，三角函数的周期性及其求法，其中根据已知中条件构造关于参数A，φ是解答本题的关键．19．（14分）（2011•浙江）已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1（a1∈R

），且，，成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）对n∈N*，试比较与的大小．【考点】数列与不等式的综合；数列的求和；等比数列的性质．菁优网版权所有【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）由，，成等比数列，利用等比数列的性质及等差数列的通项公式列出关于首

项和公差的方程，根据公差d不为0，解得公差d与首项相等，然后根据首项和公差写出数列的通项公式即可；（Ⅱ）设Tn=与根据（Ⅰ）中求得的通项公式表示出，然后利用等比数列的前n项和的公式求出Tn，即可比较出两者的大小关系．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，由题意可知=×，即（a1+d）

2=a1（a1+3d），从而a1d=d2，因为d≠0，所以d=a1，故an=nd=na1；（Ⅱ）记Tn=++…+，由an=na1，得=2na1，则Tn=++…+=（）=（1﹣），∴Tn﹣=（1﹣）﹣=（﹣），从而，当a1＞0时，Tn＜；当a1＜0时，T

n＞．【点评】此题考查学生掌握等比数列的性质，利用运用等比数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道中档题．20．（14分）（2011•浙江）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂

足O落在线段AD上．（Ⅰ）证明：AP⊥BC；（Ⅱ）已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2．求二面角B﹣AP﹣C的大小．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；空间中直线与直线之间的位置关系；二面角的平面角及求法．菁优网版权所有【专题】空间

位置关系与距离；空间角；立体几何．【分析】（I）由题意．因为PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上所以BC⊥PO．有AB=AC，D为BC的中点，得到BC⊥AD，进而得到线面垂直，即可得到所证；（II）有（I）利用面面垂直的

判定得到PA⊥平面BMC，再利用二面角的定义得到二面角的平面角，然后求出即可．【解答】解：（I）由题意画出图如下：由AB=AC，D为BC的中点，得AD⊥BC，又PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，得到PO⊥BC，∵PO∩AD=O∴BC

⊥平面PAD，故BC⊥PA．（II）如图，在平面PAB中作BM⊥PA于M，连接CM，∵BC⊥PA，∴PA⊥平面BMC，∴AP⊥CM，故∠BMC为二面角B﹣AP﹣C的平面角，在直角三角形ADB中，；在直角三角形P

OD中，PD2=PO2+OD2，在直角三角形PDB中，PB2=PD2+BD2，∴PB2=PO2+OD2+BD2=36，得PB=6，在直角三角形POA中，PA2=AO2+OP2=25，得PA=5，又cos∠BPA=，从而．故BM=，∵BM2+MC2=BC2，∴二面角B﹣AP﹣C的大小为90°．

【点评】（I）此问考查了线面垂直的判定定理，还考查了线面垂直的性质定理；（II）此问考查了面面垂直的判定定理，二面角的平面角的定义，还考查了在三角形中求解．21．（15分）（2011•浙江）设函数f（x）=a2lnx﹣

x2+ax，a＞0，且f（1）≥e﹣1．（Ⅰ）求f（x）的单调区间（Ⅱ）求所有的实数a，使e﹣1≤f（x）≤e2对x∈[1，e]恒成立．注：e为自然对数的底数．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．菁优网版权所有【专题】导数的综合应用

．【分析】（Ⅰ）直接利用导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减来求f（x）的单调区间即可．（Ⅱ）先利用（Ⅰ）的结论求出f（x）在[1，e]上的最值，把原不等式转化为比较

f（x）在[1，e]上的最值与两端点值之间的关系即可求所有的实数a．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）=a2lnx﹣x2+ax，其中x＞0．所以f'（x）=﹣2x+a=﹣．由于a＞0，所以f（x）的增区间为（0，a），f（x）的减区间为（a，+∞）．（Ⅱ）证明：由题得，f（1）=a﹣1≥e﹣1，即a

≥e，由（Ⅰ）知f（x）在[1，e]内单调递增要使e﹣1≤f（x）≤e2对x∈[1，e]恒成立，只要解得a=e．【点评】本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调

递增，当导函数小于0时原函数单调递减．22．（15分）（2011•浙江）如图，设P是抛物线C1：x2=y上的动点．过点P做圆C2：x2+（y+3）2=1的两条切线，交直线l：y=﹣3于A，B两点．（Ⅰ）求C2的圆心M到抛物线C1准线的距离．

（Ⅱ）是否存在点P，使线段AB被抛物线C1在点P处的切线平分？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】圆锥曲线的综合；抽象函数及其应用；直线与圆锥曲线的综合问题．菁优网版权所有【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）先求出抛物

线C1准线的方程，再利用点到直线距离的求法求出C2的圆心M到抛物线C1准线的距离即可．（Ⅱ）先设抛物线C1在点P处的切线交直线l于点D，线段AB被抛物线C1在点P处的切线平分即为xA+xB=2XD．设出过点P做圆

C2x2+（y+3）2=1的两条切线PA，PB，与直线y=﹣3联立，分别求出A，B，D三点的横坐标，代入xA+xB=2XD．看是否能解出点P，即可判断出是否存在点P，使线段AB被抛物线C1在点P处的切线平分．【解答】解：（Ⅰ）因为抛物线C1准线的方程为：y=﹣，所以圆心M到抛物线C1准线的

距离为：|﹣﹣（﹣3）|=．（Ⅱ）设点P的坐标为（x0，x02），抛物线C1在点P处的切线交直线l与点D，因为：y=x2，所以：y′=2x；再设A，B，D的横坐标分别为xA，xB，xD，∴过点P（x0，x0

2）的抛物线C1的切线的斜率k=2x0．过点P（x0，x02）的抛物线C1的切线方程为：y﹣x02=2x0（x﹣x0）①当x0=1时，过点P（1，1）且与圆C2相切的切线PA方程为：y﹣1=（x﹣1）．可得xA=﹣，xB=1，xD=﹣1，xA+xB≠2

xD．当x0=﹣1时，过点P（﹣1，1）且与圆C2的相切的切线PB的方程为：y﹣1=﹣（x+1）．可得xA=﹣1，xB=，xD=1，xA+xB≠2xD．所以x02﹣1≠0．设切线PA，PB的斜率为k1，k2，则：PA：y﹣x02=k1（x﹣x0）②PB：y﹣x

02=k2（x﹣x0）．③将y=﹣3分别代入①，②，③得（x0≠0）；；（k1，k2≠0）从而．又，即（x02﹣1）k12﹣2（x02+3）x0k1+（x02+3）2﹣1=0，同理（x02﹣1）k22﹣2（x02+

3）x0k2+（x02+3）2﹣1=0，所以k1，k2是方程（x02﹣1）k2﹣2（x02+3）x0k+（x02+3）2﹣1=0的两个不等的根，从而k1+k2=，k1•k2=，因为xA+xB=2XD．．所以2x0﹣（3+x02）（）=，即=．从而，进而得

x04=8，．综上所述，存在点P满足题意，点P的坐标为（，2）．【点评】本题是对椭圆与抛物线，以及直线与椭圆和抛物线位置关系的综合考查．在圆锥曲线的三种常见曲线中，抛物线是最容易的，而双曲线是最复杂的，

所以一般出大题时，要么是单独的椭圆与直线，要么是椭圆与抛物线，直线相结合．这一类型题目，是大题中比较有难度的题．