【文档说明】高三北师大版数学（文）一轮复习教师文档：第二章第十节　变化率与导数、导数的运算 含解析.doc，共(5)页，168.000 KB，由envi的店铺上传

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第十节变化率与导数、导数的运算授课提示：对应学生用书第37页[基础梳理]1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处导数的定义称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率＝ΔyΔx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ΔyΔx＝．

(2)导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．(3)函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝f（x＋Δ

x）－f（x）Δx为f(x)的导函数．2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos__xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin__x

f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)f′(x)＝axln__af(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a＞0，且a≠1)f′(x)＝1xlnaf(x)＝lnxf′(x)＝1x3.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．(2)[f(x)

·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．(3)f（x）g（x）′＝f′（x）g（x）－f（x）g′（x）[g（x）]2(g(x)≠0)．1．求导其实质是一种数学运算即求导运算，有公式和法则，也有相应的适用范围或成立条件，要注意

这一点，如(xn)′＝nxn－1中，n≠0且n∈Q*.f（x）g（x）′＝f′（x）·g（x）－f（x）·g′（x）g2（x），要满足“＝”前后各代数式有意义，且导数都存在．2．(1)f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f

(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0))′＝0.(2)f′(x)是一个函数，与f′(x0)不同．3．(1)“过”与“在”：曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)

为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点．(2)“切点”与“公共点”：曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点．[四基自测]1．(基础点：求导数值)若f(x)＝x·ex，则f′(1)等于()A．0B．eC．

2eD．e2答案：C2．(易错点：导数的运算)已知f(x)＝x·lnx，则f′(x)＝()A.mxxB．x＋1C.1x＋xD．lnx＋1答案：D3．(基础点：求切线)函数f(x)＝x3在(0，0)处的切线为()A．不存在B．x＝0C．y＝0D．y＝x答案：C

4．(易错点：求切点)曲线y＝ex过点(0，0)的切线的斜率为________．答案：e授课提示：对应学生用书第38页考点一导数的计算挖掘1求导函数值/自主练透[例1](1)设函数f(x)＝1－ex的图像与x轴交于P点(x0，

y0)，则f′(x0)＝________．[解析]令1－ex0＝0，∴x0＝0，而f′(x)＝－ex，∴f′(x0)＝f′(0)＝－e0＝－1.[答案]－1(2)若函数f(x)＝lnx－f′(－1)x2＋3x－4，则f′(1)＝________．[解析]∵f′(x)＝1x－2f′(－1)

x＋3，∴f′(－1)＝－1＋2f′(－1)＋3，解得f′(－1)＝－2，∴f′(1)＝1＋4＋3＝8.[答案]8(3)若f(x)＝sinx＋π3，则f′π3＝________．[解析]∵f(x)＝sin

x＋π3，∴f′(x)＝cosx＋π3，∴f′π3＝cosπ3＋π3＝－12.[答案]－12挖掘2已知导数值求自变量/互动探究[例2](1)已知函数f(x)＝x(2020＋lnx)且f′(x0)＝2021，则x0＝()A．e

2B．1C．ln2D．e[解析]∵f(x)＝x(2020＋lnx)＝2020x＋xlnx，∴f′(x)＝2020＋lnx＋x·1x＝2021＋lnx，又f′(x0)＝2021，∴lnx0＝0，∴x0＝1.[答案]B(2)已知

函数f(x)的导函数f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋lnx，若f′(x0)＝0，则x0＝________．[解析]∵f(x)＝2xf′(1)＋lnx，∴f′(x)＝[2xf′(1)]′＋(lnx)′＝

2f′(1)＋1x，∴f′(1)＝2f′(1)＋1，即f′(1)＝－1.∴f′(x0)＝－2＋1x0，∴－2＋1x0＝0，∴x0＝12.[答案]12[破题技法]1.求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导

，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错．(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导；(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数

公式转化为和或差的形式，再求导．2．求导公式或求导法则中，要注意“＋”“－”的变化，如(cosx)′＝－sinx．区分f′(x)与f′(x0)．3．复合函数的求导，要分清复合的层次．考点二导数的几何意义及应用挖掘1利用导数几何意义求切点、斜率、切线/互动探究[例1](1)(2018·高考全国

卷Ⅰ)设函数ƒ(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若ƒ(x)为奇函数，则曲线y＝ƒ(x)在点(0，0)处的切线方程为()A．y＝－2xB．y＝－xC．y＝2xD．y＝x[解析]法一：∵ƒ(x)＝x3＋(a－

1)x2＋ax，∴ƒ′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a.又ƒ(x)为奇函数，∴ƒ(－x)＝－ƒ(x)恒成立，即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－1)x2－ax恒成立，∴a＝1，∴ƒ′(x)＝3x2＋1，∴ƒ′(0)＝1，∴曲线y＝ƒ(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x.故选D.法二

：∵ƒ(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，∴ƒ′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a为偶函数，∴a＝1，即ƒ′(x)＝3x2＋1，∴ƒ′(0)＝1，∴曲线y＝ƒ(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x.故选D.[答案]D(2

)(2019·高考全国卷Ⅰ)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0，0)处的切线方程为________．[解析]y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝ex(3x2＋9x＋3)，∴斜率k＝e0×3＝3，∴切线方程为y＝3x.[答

案]y＝3x(3)若直线l与曲线C满足下列两个条件：(Ⅰ)直线l在点P(x0，y0)处与曲线C相切；(Ⅱ)曲线C在点P附近位于直线l的两侧．则称直线l在点P处“切过”曲线C.下列命题正确的是________(写出所有正确命题的序号)：①直线l

：y＝0在点P(0，0)处“切过”曲线C：y＝x3；②直线l：x＝－1在点P(－1，0)处“切过”曲线C：y＝(x＋1)2③直线l：y＝x在点P(0，0)处“切过”曲线C：y＝sinx；④直线l：y＝x在点P(0

，0)处“切过”曲线C：y＝tanx；⑤直线l：y＝x－1在点P(1，0)处“切过”曲线C：y＝lnx.[解析]对于①，由y＝x3，得y′＝3x2，则y′|x＝0＝0，直线y＝0是过点P(0，0)的曲线C的切线，又当x＞0时，y＞0，当x＜0

时，y＜0，满足曲线C在P(0，0)附近位于直线y＝0两侧，∴命题①正确；对于②，由y＝(x＋1)2，得y′＝2(x＋1)，则y′|x＝－1＝0，而直线l：x＝－1斜率不存在，在点P(－1，0)处不与曲线C相切，∴命题②错误；对于③，由y＝sinx

，得y′＝cosx，则y′|x＝0＝1，直线y＝sinx是过点P(0，0)的曲线C的切线，又x∈(－π2，0)时，x＜sinx，x∈(0，π2)时，x＞sinx，满足曲线C在P(0，0)附近位于直线y＝x两侧，∴命题③正确；对于④，由y＝tanx，得y′＝1cos2x，则y′|x＝0＝1，直线

y＝x是过点P(0，0)的曲线的切线，又x∈(－π2，0)时，tanx＜x，x∈(0，π2)时，tanx＞x，满足曲线C在P(0，0)附近位于直线y＝x两侧，∴命题④正确；对于⑤，由y＝lnx，得y′＝1x，则y′|x＝1＝1，曲线在P(1，0)处的切线为y＝x－1，设g

(x)＝x－1－lnx，得g′(x)＝1－1x，当x∈(0，1)时，g′(x)＜0，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，∴g(x)在(0，＋∞)上的极小值也是最小值为g(1)＝0，∴直线y＝x－1恒在曲线y＝lnx的上方，不满足曲线C在点P附近位于直线l的两侧，命题⑤错误，故答案为

①③④.[答案]①③④[破题技法]求曲线的切线方程，注意已知点是否为切点，其关键点为：(1)当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．(2)当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标P′

(x1，f(x1))；第二步：写出过P′(x1，f(x1))的切线方程，为y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；第三步：将点P(x0，y0)代入切线方程求出x1；第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0

)的切线方程．挖掘2根据导数的几何意义求解析式中的参数/互动探究[例2](1)(2019·高考全国卷Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xlnx在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则()A．a＝e，b＝－1B．a＝e，b＝1C．a＝e－1，b＝1D．a＝e－1，b＝－1

[解析]y′＝aex＋lnx＋1，k＝y′|x＝1＝ae＋1，∴切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1.又∵切线方程为y＝2x＋b，∴ae＋1＝2，b＝－1，即a＝e－1，b＝－1.故选D.[答案]D(2)(2018·高考全国卷

Ⅲ)曲线y＝(ax＋1)ex在点(0，1)处的切线的斜率为－2，则a＝________．[解析]∵y′＝(ax＋a＋1)ex，∴当x＝0时，y′＝a＋1，∴a＋1＝－2，得a＝－3.[答案]－3(3)若曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝exa(a＞0)存在公共切线，则a

的取值范围为()A．(0，1)B．(1，e24]C．[e24，2]D．[e24，＋∞)[解析]易知曲线y＝x2在点(m，m2)处的切线斜率为2m，曲线y＝exa在点(n，ena)处的切线的斜率为ena，故2m＝ena，由斜率公式得2m＝m2－enam－n，

即m＝2n－2，则4n－4＝ena有解，即y＝4x－4，y＝exa的图像有交点即可，两图像相切时有a＝e24，所以a≥e24，故选D.[答案]D[破题技法]有关切线问题求参数对于此类问题，首先明确参数存在何处．其关键点为：(1)利用切点，求f′(x

0)，利用斜率建立关系k＝f′(x0)．(2)利用切点的双重性，既在切线上又在曲线上建立关系．(3)联立方程组求解．