【文档说明】2.4.2 圆的一般方程（课件）-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）.pptx，共(24)页，1.219 MB，由envi的店铺上传

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2.4圆的方程2.4.2圆的一般方程学习目标素养目标学科素养1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径．(重点)2.会在不同条件下求圆的一般方程．(重点)1、直观想象2、数学运算3、数形结合自主学习一．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形方程x2＋y2＋Dx＋E

y＋F＝0变形为：x＋D22＋y＋E22＝D2＋E2－4F4，1.当D2＋E2－4F＞0时，方程表示圆，圆心为，半径为．2.当D2＋E2－4F＝0时，方程表示点．3.当D2＋E2－4F＜0时，方程不表示任何图形

．12D2＋E2－4F－D2，－E2－D2，－E2自主学习思考1：方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0都表示圆吗？不一定，当D2＋E2－4F＞0时才表示圆．二．圆的一般方程1.方程：当时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程

．2.本质：圆的方程的另一种表示形式，更具有方程特征．自主学习D2＋E2－4F＞0思考2：如果点P(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0内，那么应满足什么关系式？圆外呢？若点P在圆内，则x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F＜0；若点P在圆外，

则x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F＞0．小试牛刀1.思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程.()(2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程.()(3)若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则

E≠0.()(4)任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程.()2.圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径长分别为()A．(4，－6)，16B．(2，－3)，4C．(－2，3)，4D．(2，－3)，16×√√√C解析由x2＋y2＋4x－6y－3＝0，

得(x＋2)2＋(y－3)2＝16，故圆心为(－2，3)，半径长为4.题型一圆的一般方程的认识经典例题例1若方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是________．(－∞，1)解析：把方程配方得(x＋a)2＋(y＋a)2＝1－a，由条件可知1－a

＞0，即a＜1.总结二元二次方程表示圆的判断方法任何一个圆的方程都可化为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式，但形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程不一定表示圆．判断它是否表示圆可以有以下两种方法：1

.计算D2＋E2－4F，若其值为正，则表示圆；若其值为0，则表示一个点；若其值为负，则不表示任何图形．2.将该方程配方为x＋D22＋y＋E22＝D2＋E2－4F4，根据圆的标准方程来判断．题型一圆的一般方程的认识经

典例题跟踪训练1下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出其圆心坐标和半径长．①x2＋y2－4x＝0；②2x2＋2y2－3x＋4y＋6＝0；③x2＋y2＋2ax＝0.解：①方程可变形为(x－2)2＋y2＝4，故方程表示圆，圆心为C(2,0)，半径

r＝2.②方程可变形为2x－342＋2(y＋1)2＝－238，此方程无实数解．故方程不表示任何图形．③原方程可化为(x＋a)2＋y2＝a2.当a＝0时，方程表示点(0,0)，不表示圆；当a≠0时，方程表示以(－a,0)为圆心，|a|为半径的

圆．题型一圆的一般方程的认识经典例题题型二求圆的一般方程经典例题例2已知△ABC的三个顶点为A(1,4)，B(－2,3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径．解：设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋D

x＋Ey＋F＝0，∵A，B，C在圆上，∴1＋16＋D＋4E＋F＝0，4＋9－2D＋3E＋F＝0，16＋25＋4D－5E＋F＝0，∴D＝－2，E＝2，F＝－23，∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23

＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝25.∴外心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5.总结圆的方程的求法1.求圆的方程时，如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方

程，再用待定系数法求出a，b，r；2.如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F．题型二求圆的一般方程经典例题跟踪训练2已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，

圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为2，求圆的一般方程．解：圆心C－D2，－E2，∵圆心在直线x＋y－1＝0上，∴－D2－E2－1＝0，即D＋E＝－2.①又∵半径长r＝D2＋E2－122＝2，∴D2＋E2＝20.②由①②可得D＝

2，E＝－4或D＝－4，E＝2.又∵圆心在第二象限，∴－D2＜0，即D＞0.则D＝2，E＝－4.故圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.题型二求圆的一般方程经典例题题型三与圆有关的轨迹问题经典例题例3已知等腰三角形

的顶点是A(4,2)，底边一个端点是B(3,5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么图形．解：设另一端点C的坐标为(x，y)．依题意，得|AC|＝|AB|．由两点间距离公式，得(x－4)2＋(y－

2)2＝(4－3)2＋(2－5)2＝10，整理，得(x－4)2＋(y－2)2＝10．这是以点A(4,2)为圆心，以10为半径的圆，如图所示．题型三与圆有关的轨迹问题经典例题又因为A，B，C为三角形的三个顶点，所以A，B，C三点不共线，即点B，C不能重合．所以点C的横坐标x≠3，且点B

，C不能为一直径的两端点，所以x＋32≠4，即点C的横坐标x≠5．故端点C的轨迹方程是(x－4)2＋(y－2)2＝10(x≠3，且x≠5)，即另一个端点C的轨迹是以A(4,2)为圆心，10为半径的圆，但除去(3,5)和(5，－1)两点．总结

求涉及到曲线的轨迹问题时，一般有两种方法：一是直接法，即把动点满足的条件直接用坐标“翻译”过来的方法；二是代入法，代入法也叫相关点法，就是把动点(x，y)与相关点(x0，y0)建立等式，再把x0，y0用x，y表示后代入到它所满足的曲线的方法．解题时要注意条件的限制．题型三与圆有关的轨迹问题经典例

题跟踪训练3点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1,1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP的中点M的轨迹方程；(2)求BP的中点E的轨迹方程．解：(1)设线段AP的中点为M(x，y)，由中点公式得点P坐标为(2x－2,2

y)．∵点P在圆x2＋y2＝4上，∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，故线段AP的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.题型三与圆有关的轨迹问题经典例题(2)设点E(x，y)，P(x0，y0)．∵B(1,1)，∴,整理得x0＝2x－1，y0＝2y－1，∵点P在圆x2＋y2＝4上，∴

(2x－1)2＋(2y－1)2＝4，整理得点E的轨迹方程为x2＋y2－x－y－12＝0.题型三与圆有关的轨迹问题经典例题当堂达标1.若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则实数m的取值范围是()A．m＜12B．m≤12C．m

＜2D．m≤2A解析：由D2＋E2－4F＞0得(－1)2＋12－4m＞0，解得m＜12，故选A.当堂达标2.圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的面积为()A.8πB.4πC.2πD.πC解析：原方程可化为(x－1)2＋(y＋3)2＝2，∴半径r＝2，

∴圆的面积为S＝πr2＝2π.当堂达标3.若点M(3,0)是圆x2＋y2－8x－4y＋10＝0内一点，则过点M(3,0)的最长的弦所在的直线方程是()A.x＋y－3＝0B.x－y－3＝0C.2x－y－6＝0D.2x＋y－6＝0C解析：圆x2＋y2－8x－4y＋10＝0的圆心坐标为(4,2)

，则过点M(3,0)且过圆心(4,2)的弦最长.由k＝2－04－3＝2，可知C正确.当堂达标4.（多选）若圆22240xyxy+−−=的圆心到直线0xya−+=的距离为22，则实数a的值为（）A．2B．2−C．12D．0AD解析：因为圆22240xyxy+−−=的圆心为(1,

2)，所以圆心(1,2)到直线0xya−+=的距离为|12|2211a−+=+，所以0a=或2a=.故选：AD5.已知点O(0,0)在圆x2＋y2＋kx＋2ky＋2k2＋k－1＝0外，求k的取值范围．解：∵方程表示圆，∴k2＋(2k)2－4(2k2＋k－1)＞0，即

3k2＋4k－4＜0，解得－2＜k＜23．又∵点O(0,0)在圆外，∴2k2＋k－1＞0，解得k＞12或k＜－1．综上所述，k的取值范围是(－2，－1)∪(12，23)．当堂达标当堂达标6.如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4,3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的端点

B的轨迹方程.解：设B点坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)，由于点C的坐标是(4,3)且点C是线段AB的中点，所以4＝x0＋x2，3＝y0＋y2，于是有x0＝8－x，y0＝6－y.①因为点A在圆(x＋1)2＋y2

＝4上运动，所以点A的坐标满足方程(x＋1)2＋y2＝4，即(x0＋1)2＋y20＝4，②把①代入②，得(8－x＋1)2＋(6－y)2＝4，整理，得(x－9)2＋(y－6)2＝4.所以点B的轨迹方程为(x－9)2＋(y－6)2＝4.对应课后练习课后作业