【文档说明】2007年高考试题——数学文（天津卷）.doc，共(13)页，1.264 MB，由envi的店铺上传

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2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）全解全析本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至10页．考试结束后，将

本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干

净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上无效．3．本卷共10小题，每小题5分，共50分．参考公式：如果事件AB，互斥，那么球的表面积公式()()()PABPAPB+=+24πSR=如果事件AB，相互独立，那么其中R表示球的半径(

)()()PABPAPB=一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知集合12Sxx=+R，21012T=−−，，，，，则ST=（）A．2B．12，C．012，，D．1012−，，，B【解析】(直接法)121SxxSxx=

+=RR,21012T=−−，，，，,故ST=12，.(排除法)由121SxxSxx=+=RR可知ST中的元素比0要大,而C、D项中有元素0，故排除C、D项，且ST中含有元素比1，故排除A项.故答案为B.（2）设变量xy，满足约束条件142xyxyy−−

+，，则目标函数24zxy=+的最大值为（）Ａ．10Ｂ．12Ｃ．13Ｄ．14C【解析】先画出约束条件142xyxyy−−+，，的可行域:如右图:0xy2y=•35(,)221xy−=−4xy+=得到当35,22xy==时目标函数24zxy=+有最大值

为,max35241322Z=+=．（3）“2a=”是“直线20axy+=平行于直线1xy+=”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件C【解析】当2

a=则直线220xy+=平行于直线1xy+=,则是充分条件;直线20axy+=平行于直线1xy+=时有:2a=,则是必要条件,故是充分必要条件.（4）设12log3a=，0.213b=，132c=，则（）A

．abcB．cbaC．cabD．bac解析：∵由指、对函数的性质可知：1122log3log10a==,0.21013b=,1321c=∴有abc.（5）函数2log(4)(0)yxx=+的反函数是（）A．24(2)xyx=+B．24(0)xyx=+

C．24(2)xyx=−D．24(0)xyx=−解析：由2log(4)yx=+得42yx+=,即24yx=−,故反函数是24xy=−,再根据原函数的值域为反函数的定义域则有:∵0x,则44x+,∴2log(4)2yx=+

,故反函数的定义域为2x,则有24(2)xyx=−.（6）设ab，为两条直线，，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）A．若ab，与所成的角相等，则ab∥B．若a∥，b∥，∥，则ab∥C．若a，b，ab∥，则∥D．若a⊥，b⊥，⊥，

则ab⊥6.D【解析】Ａ项中若ab，与所成的角相等，则ab，可以平行、相交、异面故错；Ｂ项中若ab，∥∥，∥，则ab，可以平行、异面故错；Ｃ项中若ab，，ab∥则,可以平行、相交；而D项是对，因为

此时ab，所成的角与,所成的角是相等或是互补的，则ab⊥．（7）设双曲线22221(00)xyabab−=，的离心率为3，且它的一条准线与抛物线24yx=的准线重合，则此双曲线的方程为（）Ａ．2211224xy−=Ｂ．2214896xy−=Ｃ．

222133xy−=Ｄ．22136xy−=D【解析】∵抛物线24yx=的准线为1x=−,故有21ac−=−------①又∵双曲线22221(00)xyabab−=，的离心率为3,故有:3ca=-------

②,①②得到3a=,进而求出23,6cb==,∴双曲线的方程为22136xy−=（8）设等差数列na的公差d不为0，19ad=．若ka是1a与2ka的等比中项，则k=（）Ａ．2Ｂ．4Ｃ．6Ｄ．8B【解析】由等差数列na

且19ad=，得1(1)(8)kaakdkd=+−=+21(21)(28)kaakdkd=+−=+，又∵ka是1a与2ka的等比中项，则有212kkaaa=即：2[(8)]9[(28)]kddkd+=+得2280kk−−=

，解之得124,2kk==−（舍去）．（9）设函数()sin()3fxxx=+R，则()fx（）A．在区间2736，上是增函数B．在区间2−−，上是减函数C．在区间84，上是增函数D．在区间536，上是减函数A【解

析】由函数图象的变换可知:()sin3fxx=+的图象是将()sin3fxx=+的图象x轴下方的对折上去,此时函数的最小正周期变为,则函数在区间32kxk++即36kxk−+上为增函数,

当1k=时有:2736x,故在区间2736，上()fx是增函数.（10）设()fx是定义在R上的奇函数，且当0x时，2()fxx=，若对任意的2xtt+，，不等式()2()fxtfx+恒成立，则实数t的取值范围是（）A．)2+，∞B．)2+，∞C．(02

，D．2120−−，，A【解析】（排除法）当2t=则2x+2，2得(2)2()fxfx+,即222(2)22220xxxx+−−在2x+2，2时恒成立,而2222xx−−最大值,是当22x=+时出现,故2222xx−−的最大值为0,则()2()fxtfx

+恒成立,排除B,C项,同理再验证1t=−时,()2()fxtfx+不成立,故排除D项.第Ⅱ卷注意事项：1．答卷前将密封线内的项目填写清楚．2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上．3．本卷共12小题，共100分．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共

24分．把答案填在题中横线上．（11）从一堆苹果中任取了20只，并得到它们的质量（单位：克）数据分布表如下：分组)90100，)100110，)110120，)120130，)130140，)140150，频数123101则这堆苹果

中，质量不小于．．．120克的苹果数约占苹果总数的％．11.70【解析】由表中可知这堆苹果中，质量不小于120克的苹果数为:2012314−−−=故约占苹果总数的00140.707020==.（12）921xx+的二项展开式中常数项是（用数字作答）

．12.84【解析】根据二项式展开式通项公式到展开式中常数项是：9293199rrrrrrTCxxCx−−−+==,令930r−=得3r=,故有:3984C=（13）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为．13.14【解析

】长方体的各顶点均在同一球的球面上则长方体的体对角线长为球的直径，设球的直径为D则：222212314D=++=，由于球的表面积为:214SD==.（14）已知两圆2210xy+=和22(1)(3)20

xy−+−=相交于AB，两点，则直线AB的方程是．14.30xy+=【解析】2222(1)(3)202610xyxxyy−+−=−+−=--------①2210xy+=-------②由①-②得到:26

030xyxy+=+=即.（15）在ABC△中，2AB=，3AC=，D是边BC的中点，则ADBC=．15.83−【解析】根据向量的加减法法则有:BCACAB=−112()333ADABBDABACABACAB=+=+−=+,此时2212

122()()33333ADBCACABACABACACABAB=+−=+−··18183333=−−=−.（16）如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，

则不同的涂色方法共有种（用数字作答）．16.630【解析】分为三类:第一类是只用两种颜色则为:226230CA=种,第二类是用三种颜色则为:22116242240CACC=种,第三类是用四种颜色则为:4464360CA=种,故

共计为630种.三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）在ABC△中，已知2AC=，3BC=，4cos5A=−．（Ⅰ）求sinB的值；（Ⅱ）求sin26B+的值．ABDC（18）（本小题满分12分

）已知甲盒内有大小相同的3个红球和4个黑球，乙盒内有大小相同的5个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．（Ⅰ）求取出的4个球均为红球的概率；（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（19）（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD−中，PA⊥底面ABCD，ABADAC

CD⊥⊥，，60ABC=°，PAABBC==，E是PC的中点．（Ⅰ）求PB和平面PAD所成的角的大小；（Ⅱ）证明AE⊥平面PCD；（Ⅲ）求二面角APDC−−的大小．（20）（本小题满分12分）在数列na中，12a=，1431nnaan+=−+，n*N

．（Ⅰ）证明数列nan−是等比数列；（Ⅱ）求数列na的前n项和nS；（Ⅲ）证明不等式14nnSS+≤，对任意n*N皆成立．（21）（本小题满分14分）设函数2()()fxxxa=−−（xR），其中aR．（Ⅰ）当1a=时，求曲线()yf

x=在点(2(2))f，处的切线方程；（Ⅱ）当0a时，求函数()fx的极大值和极小值；ABCDPE（Ⅲ）当3a时，证明存在10k−，，使得不等式22(cos)(cos)fkxfkx−−≥对任意的xR恒成立

．（22）（本小题满分14分）设椭圆22221(0)xyabab+=的左、右焦点分别为12FFA，，是椭圆上的一点，212AFFF⊥，原点O到直线1AF的距离为113OF．（Ⅰ）证明2ab=；（Ⅱ）求(0)tb，使得下述命题成立：设圆2

22xyt+=上任意点00()Mxy，处的切线交椭圆于1Q，2Q两点，则12OQOQ⊥．2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分．（

1）B（2）C（3）C（4）A（5）C（6）D（7）D（8）B（9）A（10）A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分．（11）70（12）84（13）14（14）30xy+=（15）52（16）630三、解答题（17）本小题考查同角三角函数的基本关系式、两角

和公式、倍角公式、正弦定理等的知识，考查基本运算能力．满分12分．（Ⅰ）解：在ABC△中，2243sin1cos155AA=−=−−=，由正弦定理，sinsinBCACAB=．所以232sinsin355A

CBABC===．（Ⅱ）解：因为4cos5A=−，所以角A为钝角，从而角B为锐角，于是22221cos1sin155BB=−=−=，22117cos22cos121525BB=−=−=，221421sin22sincos25515BBB===．sin2sin2cosc

os2sin666BBB+=+4213171252252=+1271750+=．（18）本小题主要考查互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分．（Ⅰ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为红球”为

事件A，“从乙盒内取出的2个球均为红球”为事件B．由于事件AB，相互独立，且2327C1()C7PA==，2329C5()C18PB==，故取出的4个球均为红球的概率是155()()()718126PABPAPB===．（Ⅱ）解：设“从甲盒内取出的2个球

中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个红球为黑球”为事件C，“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件D．由于事件CD，互斥，且1123442279CCC2()CC21PC==，1125242275CCC

10()CC63PD==．故取出的4个红球中恰有4个红球的概率为21016()()()216363PCDPCPD+=+=+=．（19）本小题考查直线与平面垂直、直线和平面所成的角、二面角等基础知识．考查

空间想象能力、记忆能力和推理论证能力．满分12分．（Ⅰ）解：在四棱锥PABCD−中，因PA⊥底面ABCD，AB平面ABCD，故PAAB⊥．又ABAD⊥，PAADA=，从而AB⊥平面PAD．故PB在平面

PAD内的射影为PA，从而APB∠为PB和平面PAD所成的角．在RtPAB△中，ABPA=，故45APB=∠．ABCDPEM所以PB和平面PAD所成的角的大小为45．（Ⅱ）证明：在四棱锥PABCD−中，因PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，故CDPA⊥

．由条件CDPC⊥，PAACA=，CD⊥面PAC．又AE面PAC，AECD⊥．由PAABBC=，60ABC=∠，可得ACPA=．E是PC的中点，AEPC⊥，PCCDC=．综上得AE⊥平面PCD．（Ⅲ）解：过点E作EMPD⊥，垂足为M，连结AM．由（Ⅱ）知，AE⊥平面PCD，AM在平面

PCD内的射影是EM，则AMPD⊥．因此AME∠是二面角APDC−−的平面角．由已知，可得30CAD=∠．设ACa=，可得PAa=，233ADa=，213PDa=，22AEa=．在RtADP△中，AMPD⊥，AMPDPAAD=，则232737213aaPAADAMaPDa==．在RtAEM

△中，14sin4AEAMEAM==．所以二面角APDC−−的大小14arcsin4．（20）本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公式及前n项和公式、不等式的证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力．满分12分

．（Ⅰ）证明：由题设1431nnaan+=−+，得1(1)4()nnanan+−+=−，n*N．又111a−=，所以数列nan−是首项为1，且公比为4的等比数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知14nnan−−=，于是数列na的通项公式为14

nnan−=+．所以数列na的前n项和41(1)32nnnnS−+=+．（Ⅲ）证明：对任意的n*N，1141(1)(2)41(1)443232nnnnnnnnSS++−++−+−=+−+

21(34)02nn=−+−≤．所以不等式14nnSS+≤，对任意n*N皆成立．（21）本小题主要考查运用导数研究函数的性质、曲线的切线方程，函数的极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法．满分14分．（Ⅰ）解：当1a=时，232()(1)2fxxxxx

x=−−=−+−，得(2)2f=−，且2()341fxxx=−+−，(2)5f=−．所以，曲线2(1)yxx=−−在点(22)−，处的切线方程是25(2)yx+=−−，整理得580xy+−=．（Ⅱ）解：2322()()2fxxxaxaxax=−−=−+−22()34(3)()fx

xaxaxaxa=−+−=−−−．令()0fx=，解得3ax=或xa=．由于0a，以下分两种情况讨论．（1）若0a，当x变化时，()fx的正负如下表：x3a−∞，3a3aa，a()a+，∞()fx−0+0−因此，

函数()fx在3ax=处取得极小值3af，且34327afa=−；函数()fx在xa=处取得极大值()fa，且()0fa=．（2）若0a，当x变化时，()fx的正负如下表：x()a−∞，a3aa，3a3a+，∞()fx−0+0−因此，函数

()fx在xa=处取得极小值()fa，且()0fa=；函数()fx在3ax=处取得极大值3af，且34327afa=−．（Ⅲ）证明：由3a，得13a，当10k−，时，cos1kx−≤，22cos1kx−≤．由（Ⅱ）知，()fx在(1−∞，上是减函数，要使22(c

os)(cos)fkxfkx−−≥，xR只要22coscos()kxkxx−−R≤即22coscos()xxkkx−−R≤①设2211()coscoscos24gxxxx=−=−−，则函数()gx在R上的最大值为2．要使①式恒成立，必须22kk−≥，即

2k≥或1k−≤．所以，在区间10−，上存在1k=−，使得22(cos)(cos)fkxfkx−−≥对任意的xR恒成立．（22）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、圆的方程等基础知识，考查曲线和方程

的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．满分14分．（Ⅰ）证法一：由题设212AFFF⊥及1(0)Fc−，，2(0)Fc，，不妨设点()Acy，，其中0y，由于点A在椭圆上，有22221cyab+=，2

22221abyab−+=，解得2bya=，从而得到2bAca，，直线2AF的方程为2()2byxcac=+，整理得2220bxacybc−+=．由题设，原点O到直线1AF的距离为113OF，即242234cbcbac=+，将222cab=−代入原式并化简得222ab=，即2

ab=．证法二：同证法一，得到点A的坐标为2bca，，过点O作1OBAF⊥，垂足为H，易知112FBCFFA△∽△，故211BOFAOFFA=由椭圆定义得122AFAFa+=，又113BOOF=，所以2212

132FAFAFAaFA==−，解得22aFA=，而22bFAa=，得22baa=，即2ab=．（Ⅱ）解法一：圆222xyt+=上的任意点00()Mxy，处的切线方程为200xxyyt+=．当(0)tb，时，圆222x

yt+=上的任意点都在椭圆内，故此圆在点A处的切线必交椭圆于两个不同的点1Q和2Q，因此点111()Qxy，，222()Qxy，的坐标是方程组20022222xxyytxyb+=+=①②的解．当00y时，由①式得AO1

F2FHxy200txxyy−=代入②式，得22220022txxxby−+=，即22224220000(2)4220xyxtxxtby+−+−=，于是2012220042txxxxy+=+

，4220122200222tbyxxxy−=+2201121201txxtxxyyyy−−=422012012201()txtxxxxxy=−++242242200002222200000422122txtbytxtxyxyxy−=−+++4220220022tbxxy−

=+．若12OQOQ⊥，则42242242220000121222222200000022232()0222tbytbxtbxyxxyyxyxyxy−−−++=+==+++．所以，42220032()0tbxy−+=．由22200xyt+=，得4

22320tbt−=．在区间(0)b，内此方程的解为63tb=．当00y=时，必有00x，同理求得在区间(0)b，内的解为63tb=．另一方面，当63tb=时，可推出12120xxyy+=，从而12OQOQ

⊥．综上所述，6(0)3tbb=，使得所述命题成立．