【文档说明】3.2.1 双曲线及其标准方程（课件）-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）.pptx，共(30)页，1.060 MB，由envi的店铺上传

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第三章圆锥曲线的方程3.2.1双曲线及其标准方程学习目标素养目标学科素养1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单问题．1

、直观想象2、数学运算3、逻辑推理一．双曲线的定义文字语言平面内与两个定点F1，F2的距离的等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹.符号语言||PF1|－|PF2||＝常数(常数＜|F1F2|)焦点定点焦距的距离差的绝对值F

1，F2两焦点间自主学习思考：(1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)双曲线的定义中，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，若|MF1|－|MF2|＝2a(常数)，且2a<|F1F2|，则点M的轨迹是什么？(

1)当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的绝对值大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．(2)点M在双曲线的右支上．自主学习二．双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上

标准方程(a＞0，b＞0)(a＞0，b＞0)焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)图形a，b，c的关系c2＝x2a2－y2b2＝1y2a2－x2b2＝1a2＋b2自主学习思考：如何从

双曲线的标准方程判断焦点的位置？焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上．自主学习1.思考辨

析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．()(2)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．()(3)在双曲

线标准方程x2a2－y2b2＝1中，a＞0，b＞0且a≠b．()(4)在双曲线标准方程中，a，b，c之间的关系与椭圆中a，b，c之间的关系相同．()××××小试牛刀2.已知双曲线x216－y29＝1，则双曲线的

焦点坐标为()A．(－7，0)，(7，0)B．(－5，0)，(5，0)C．(0，－5)，(0，5)D．(0，－7)，(0，7)√小试牛刀题型一求双曲线的标准方程例1根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)a＝4，经过点A1，－41

03；(2)焦点在x轴上，经过点P(4，－2)和点Q(26，22)；(3)过点P3，154，Q－163，5且焦点在坐标轴上．解：(1)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为x216－y2b2＝1(b>0)，把点A的坐标代入，得b2＝－1615×1609<0，不符合题意；当焦

点在y轴上时，设所求标准方程为y216－x2b2＝1(b>0)，把点A的坐标代入，得b2＝9.故所求双曲线的标准方程为y216－x29＝1.经典例题(2)因为焦点在x轴上，可设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，将点(4，－2

)和(26，22)代入方程得16a2－4b2＝1，①24a2－8b2＝1，②解得a2＝8，b2＝4，所以双曲线的标准方程为x28－y24＝1.(3)设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB<0.因为点P，Q在

双曲线上，则9A＋22516B＝1，2569A＋25B＝1，解得A＝－116，B＝19.故双曲线的标准方程为y29－x216＝1.题型一求双曲线的标准方程经典例题总结求双曲线标准方程的步骤(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于

哪条坐标轴上，以确定方程的形式．(2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解．提醒：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，注意标明条件mn＜0.题型一求双曲线的标准方程经典例题跟踪训练1求满足下列条件的参数的值

．(1)已知双曲线方程为2x2－y2＝k，焦距为6，求k的值；(2)椭圆x24＋y2a2＝1与双曲线x2a－y22＝1有相同的焦点，求a的值．解：(1)若焦点在x轴上，则方程可化为x2k2－y2k＝1，所以k2＋k＝32，即k＝6；若焦点在y轴上

，则方程可化为y2－k－x2－k2＝1，所以－k＋－k2＝32，即k＝－6．综上所述，k的值为6或－6．题型一求双曲线的标准方程经典例题(2)由双曲线方程知焦点在x轴上且c2＝a＋2(a＞0)．由椭圆方程，知c2＝4－a2，所以a＋2＝4－a2，即

a2＋a－2＝0，解得a＝1或a＝－2(舍去)．因此a的值为1．题型一求双曲线的标准方程经典例题题型二双曲线中焦点三角形问题例2若F1，F2是双曲线x29－y216＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到

另一个焦点的距离；(2)如图，若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．经典例题解：双曲线的标准方程为x29－y216＝1，故a＝3，b＝4，c＝a2＋b2＝5.(1)由双曲

线的定义得||MF1|－|MF2||＝2a＝6，又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，假设点M到另一个焦点的距离等于x，则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22.故点M到另一个焦点的距离为10或22.(2)将|PF2|－|PF1|＝2a＝

6两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，则|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.在△F1PF2中，由余弦定理得cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|

＝100－1002×32＝0，且∠F1PF2∈(0°，180°)，所以∠F1PF2＝90°，故12FPFS△＝12|PF1|·|PF2|＝12×32＝16.题型二双曲线中焦点三角形问题经典例题总结求双曲线中的焦点△PF1F2面积的方法1.①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2

||＝2a；②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式；③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值；④利用公式12PFFS△＝12×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积．2

.利用公式12PFFS△＝12×|F1F2|×|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积．3.若双曲线中焦点三角形的顶角∠F1PF2＝θ，则面积S＝b2tanθ2．这一结论适用于选择或填空题．题型二双曲线中焦

点三角形问题经典例题已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于________．4解析：在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2

＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos60°＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，即(22)2＝22＋|PF1|·|PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝4.跟踪训练2题型二双曲线中焦点三角形问题经典例题题型三与双曲线有关的轨迹问题例3如图所示，在△AB

C中，已知|AB|＝42，且三个内角A，B，C满足2sinA＋sinC＝2sinB，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．经典例题解：以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A(－22，0)，B(22，0)．由正弦定理，得sinA＝|

BC|2R，sinB＝|AC|2R，sinC＝|AB|2R(R为△ABC的外接圆半径)．∵2sinA＋sinC＝2sinB，∴2|BC|＋|AB|＝2|AC|，即|AC|－|BC|＝|AB|2＝22<|AB|.由双曲线的

定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点)．由题意，设所求轨迹方程为x2a2－y2b2＝1(x>a)，∵a＝2，c＝22，∴b2＝c2－a2＝6.即所求轨迹方程为x22－y26＝1(x>2)．题型三与双曲线有关的轨迹问题经典例

题总结双曲线轨迹问题的步骤(1)列出等量关系，化简得到方程；(2)寻找几何关系，结合双曲线的定义，得出对应的方程．求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲线的焦点所在的坐标轴；(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．题型三与双曲线有关的轨迹问题经典例题跟踪训练3如图

所示，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．解：圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆心F1(－5,0)，半径r1＝1.圆F2：

(x－5)2＋y2＝42，圆心F2(5,0)，半径r2＝4.设动圆M的半径为R，则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，∴|MF2|－|MF1|＝3＜10＝|F1F2|.∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，且a＝32，c＝5，于是

b2＝c2－a2＝914.故动圆圆心M的轨迹方程为x294－y2914＝1x≤－32.题型三与双曲线有关的轨迹问题经典例题1.(多选)双曲线22259xy−＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一

个焦点的距离为（）A．2B．7C．17D．22AD解析：因为a2＝25，所以a＝5．由双曲线的定义可得||PF1|－|PF2||＝10．由题意知|PF1|＝12，所以|PF1|－|PF2|＝±10，所以|PF2|＝22或2．故选：AD。当堂达标2.已知F1(－8,3)，F2(

2,3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝10，则P点的轨迹是()A．双曲线B．双曲线的一支C．直线D．一条射线D解析：F1，F2是定点，且|F1F2|＝10，所以满足条件|PF1|－|PF2|＝10的点P的轨迹应为一条射线．当堂达标3.已知双曲线x

2a－3＋y22－a＝1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于()A.32B．5C．7D.12D解析：根据题意可知，双曲线的标准方程为y22－a－x23－a＝1.由其焦距为4，得c＝2，则有c2＝2－a＋3－a＝4，

解得a＝12.当堂达标4.已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，F1，F2为其两个焦点，若过焦点F1的直线与双曲线的同一支相交，且所得弦长|AB|＝m，则△ABF2的周长为()A．4aB．4a－mC．4a＋2mD．4a－2mC解析：不妨设|AF2|>

|AF1|，由双曲线的定义，知|AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a，所以|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|BF1|)＋4a＝m＋4a，于是△ABF2的周长l＝|AF2|＋|B

F2|＋|AB|＝4a＋2m.故选C.当堂达标5.已知方程x22＋m－y2m＋1＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围是________．(－∞，－2)解析：由双曲线标准方程的特点知2＋m＜0且－(

m＋1)＞0，解得m＜－2.即m的取值范围为(－∞，－2)．当堂达标6.已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________．23解析：不妨设点P在双曲线的右支上，

因为PF1⊥PF2，所以|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2＝(22)2，又|PF1|－|PF2|＝2，所以(|PF1|－|PF2|)2＝4，可得2|PF1|·|PF2|＝4，则(|PF1|＋|PF2|)2＝|

PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝12，所以|PF1|＋|PF2|＝23.当堂达标7.求以椭圆x216＋y29＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A(4，－5)的双曲线的标准方程．解：由题意知双曲线的两个焦点分别为F1(0，－3)，F2(0，3)，∵A(4，－5)在双曲

线上，∴2a＝||AF1|－|AF2||＝|20－80|＝25，∴a＝5，∴b2＝c2－a2＝9－5＝4.故双曲线的标准方程为y25－x24＝1.当堂达标8.已知双曲线x29－y216＝1的左、右焦点分别是F1，F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝90°，求△F1PF2

的面积．解：在双曲线的方程中，a＝3，b＝4，则c＝5．设|PF1|＝m，|PF2|＝n(m＞0，n＞0)．由双曲线的定义可知，|m－n|＝2a＝6，两边平方，得m2＋n2－2mn＝36．又∵∠F1PF2＝90°，∴由勾股定理，得m2＋n2＝|F1F2|2＝(2c)2＝100

．∴mn＝32，∴S△F1PF2＝12mn＝16．当堂达标对应课后练习课后作业