【文档说明】第35讲 等差数列的前n项和-解析版-2023届高考数学二轮复习经典结论微专题.docx，共(10)页，504.519 KB，由envi的店铺上传

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第35讲等差数列的前n项和通关一、等差数列的前n项和公式公式一()12nnnaaS+=证明:(倒序相加法)1231nnnSaaaaa−=+++++①,12nnnnSaaa−−=+++21aa++②,由①+②得()()()(121322nnnnnSaaaaaaa−

−=+++++++)1a+,因为121321nnnnaaaaaaaa−−+=+=+==+,所以()12nnSnaa=+,由此得()12nnnaaS+=公式二:1(1)2nnndSna−=+证明:将1(1)naand=+−代入()12nnna

aS+=可得1(1)2nnndSna−=+.通关二、前n项和与函数关系由211(1)222nnnddSnadnan−=+=+−,令1,22ddABa==−,则;2(,nSAnBnAB=+为常数).(1)当0d=即0A=时,1,nnSBnn

aS==是关于n的一个一次函数;它的图像是在直线1yax=上的一群孤立的点.(2)当0d即0A时,nS是关于n的一个常数项为零的二次函数;它的图像是在抛物线2yAxBx=+上的一群孤立的点.①当0d时,nS有最小值;②当0d时,nS有最大

值.通关三、nSna=中（n为奇数）公式：nSna=中（n为奇数）证明：因为12nnaaSn+=，当n为奇数时，12naa+就是前n项的中项a中，所以nSna=中（n为奇数）要点诠释：1.a中是这n项的中项，其中n必须为奇数

，中项的下标为12n+，所以nSna=中（n为奇数），为便于记忆，公式记为：nSna=中（n为奇数），中项a中可以临时推算出来2.公式a中的下标推算方法：（1）等差中项推算法：当n为奇数时，向所为奇数向a中是首项1a和尾项na的中项，所以下标是12n+；（2）定义推算法，

当n为奇数时，项数为奇数项，a中必须是数列中正中间的一项，他前后项数应该一样多，所以，先从总项n中去掉中项a中这一项，还一项，还有1−n项，其前面有一半数量的项，即中项中a前面有12n−项，所以中项a中排在第112n−+项的位置，所以中项a中的下标为12

n+.结论一、等差数列前n项和公式及其变形212111()()(1)()222222nnnnaanaanndddnSnanan−++−==+=+−==（与首末两项等距离两项之和）【例1】）记nS为等差数列{}na的前n项和，若2,2621=+−=aaa，则10S=________【答案】25

【解析】因为{}na是等差数列，且2,2621=+−=aaa，设等差数列{}na的公差为d，根据等差数列通项公式dnaan)1(1−+=可得2511=+++dada即=+−++−dd5)2(22整理可得66=d，解得1d=，根据等差数列前n项和公式1(

1)2nnndSna−=+可得1010(101)10(2)2045252S−=−+=−+=，所以1025S=【变式】已知{}na是公差为1的等差数列，nS为{}na的前n项和，844SS=，则10a=（）A.172B.192C.10D.12【答案】B【解析】因

为{}na是公差为1得等差，844SS=，所以118743814(4)22aa+=+，解得211=a，则101199122a=+=，故选B结论二、前n项和构造等差数列若{}na是等差数列，则2

11(),()2222nnSddddSnannan=+−=+−，所以nSn也成等差数列，其首项与{}na首项相同，公差是{}na公差的21【例2】等差数列{}na的前n项和为nS，3,0,211==

−=+−mmmSSS，则=m（）A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】解法一:由题意知11111()0()2,32mmmmmmmmmaaSaaSSaSS−+++===−=−−=−=−=所以公差1

11325mnmdaaamm++=−===−+=，故选C解法二:等差数列，nSn也为等差数列，即11211mmmSSSmmm−++=−+，代入得5=m，故选C【变式】已知等差数列{}na的前n项和为nS，9519,495SSa=−=−，则nS取得最大值时n的值为（）A.4B

.5C.6D.4或5【答案】B【解析】解法一:由{}na为等差数列得955353952429595SSaaaadd−=−=−===−，由19a=得211nan=−+，令2110nan=−+得112n，所以nS取得最大值时n的

值为5，故选B解法二:由nSn为等差数列得955353952429595SSaaaadd−=−=−===−，由19a=得211nan=−+，令2110nan=−+得112n，所以nS取得最大值时n的

值为5，故选B结论三、相同项数的和构造等差数列等差数列前n项和为nS，则232,,,,nnnnnSSSSS−−也成等差数列，且公差2dnd=，注意是第一个n项和，第二个n项和，，即每n项和为一段.【例3】一个等差数列的前10项的和为30，前30项的和为10，求

前40项的和.【解析】解法一:设其首项为1a，公差为d，则10130110910302,302930102SadSad=+==+=解得1215a=，故401440392140394,4040()40

1525215dSad=−=+=+−=−解法二:易知数列10201030204030,,,SSSSSSS−−−成等差数列，设其公差为1d,则前3项得和为10130323102SdS+==即1011011080,30,33

SdSd+===−所以4030101330SSSd−=+=+4030803()50,50403SS−=−=−+=−解法三:设2,nSpnqn=+则103010010309003010SpqSpq=+==+=解得2213213,153153npqSnn=−==−+所以24021

3404040153S=−+=−解法四:因为数列{}na为等差数，所以nSn也为等差数列，点(,)nSnn在一条直线上，即：103040(10,),(30,),(40,),103040SSS三点共线，于是

301040103010401030104010SSSS−−=−−，将103030,10SS==代入解之得4040S=−解法五:因为数列{}na为等差数，所以nSn也为等差数列，设nSanbn=+，将101013,,10103SS==代入nSanbn=+，解得221315,,1

31533naSnnb=−=−+=4040213401,4040153SS=−+=−=−解法六:因为1130301011123014020()10(),2aaSSaaaaa+−=+++==

+又301020SS−=−所以1401404040()2,402aaaaS++=−==−解法七:利用性质，()()nmmnmnSSSnm++−=−可得301040(1030)()403010SSS+−==−−解法八:利用性质当,()mnSmSmmn==时，()

mnSmn+=−+由于103030,10SS==，可得40(3010)40S=−+=−【变式】设数列{}na为等差数，它的前2n项和与前4n项和分别为,,XYZ，则下列等式中恒成立的是（）A.23XZY+=B.44XZY+=C.237XZY+=D.86XZY+

=【答案】D【解析】设数列{}na的前3n项的和为R，则由等差数列的性质得,,,XYXRYZR−−−也成等差数列，所以2()33YXXRYRYX−=+−=−，又因为2()RYYXZR−=−+−将33RYX=−代入得86XZY+=，故选D结

论四、等差数列前n项和与通项关系若{}na为等差数列，nS为前n项和，则21(21)nnSna−=−【例4】已知等差数列{}na中，9418,240,30(9)nnSSan−===，则项数为（）A.10B.14C.15D.17【答案】C【解析】因为1919559()()(230)91

82240,15222nnaanaanSaaSn+++========故选C【变式】已知等差数列{}na的前n项和为nS，若5113SS=，则36aa=（）A.112B.113C.335D.225【答案】C【解析】由等差数列前n项和公式15531111165()52311()112

aaSaaaSa+===+，解之得：36aa=335故选C结论五、前n项和比值与通项比值关系已知两等差数列{}na，{}nb的前n项和分别为nS和nT，则2121212121,,21nnmmnnnnaSaSnbTbmT−−−−−==−【例5】已知两等差数列{}na，{}nb的前n项和

分别为nS和nT，且71427nnSnTn+=+，则1111ab=_________【解析】解法一:因为342721412172122122,2212121121111112111121111=++==++=+=+=TSbbaababbbaaa解法二:由1211111

2121111121(21)()214(21)2213nnnnaaaaSSnabbT−−−+==−===解法三令差数列前n项和分别为1(71),(427),(146)nnnnnSnnkTnnkaSSkn−=+=+=−=−111111484(823)1113nnnakbTTkn

bk−=−=+==【变式】等差数列{}na，{}nb的前n项和分别为nS和nT，若2132nnSnTn+=+，则31119715aaabb++=+（）【答案】129130【解析】3111911112171511112132133322111292221223212130aa

aaaSbbbbT+++=====++结论六、等差数列奇数项与偶数项的性质1.若项数为n2，则1,;nnSaSSndSa+−==偶奇偶奇2.若项数为21n+，则1111,(1),,.nnnSnSnaSnaSSaSn++++==+−==奇奇奇偶偶偶【例6】在项数为21n+的等差数列{

}na中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于（）A.9B.10C.11D.12【答案】B【解析】因为等差数列有21n+项，所以利用性质可得1165111015010SnnSn+====奇偶，故选B.【变式】已知等差数列{}na的前n项和为377，项数n为奇数，且前n项和中，

奇数项和偶数项和之比为6:7，则中间项为.【答案】29【解析】因为等差数列{}na的项数为奇数，所以利用性质可得11721162nSnnSn++===−−奇偶，解的13n=，所以中间项为7a，因为13771337729Saa===结论七、

等差数列前n项和最大、最小值问题1.当10,0ad时，解不等式组10,0nnaa+可得nS取到最大值时n的值；当10,0ad时，解不等式组10,0nnaa+可得nS取到最小值时n的值；2.找到数列中的正负（或负正）转化项，即令0na

=，求出n，若n为整数（即存在为零项），则答案为两个：1,nnaa−；若n不为整数（即不存在为零项），答案为一个，即[0]nna==[取整（或高斯）函数]3.利用2nSanbn=+（二次函数）来求最值，但注意n取整数，不一定取对称轴，所以要看对称轴，当对称轴是12时，答案有两个

，其余为一个.【例7】已知数列{}na是等差数列，前n项和分别为nS，满足1494SaS+=，给出下列四个结论：①70a=；②140S=；③580SS−=；④7S最小，其中一定正确的结论是（）A.①③B.①③④C.②③④D.①②【答案】A【解析】设等差

数列{}na的公差为1491198,4,51292dSaSadad+=+=+，整理得160ad+=，即70a=，①正确.11414714()1402aaSa+=,②不正确.581318SSad−=−−730a=−=,③正确.17747()72aaSa+==可能

大于0，也可能小于0，④不正确，其中正确得结论是①③，故选A【变式】nS是等差数列{}na的前n项和，2018201620172018,,SSSS，则0nS时n的最大值是（）A.2017B.2018C.4033D.4034【答案

】D【解析】2018201620172018,,SSSS1403420182017201840344034()0,0,2aaaaaS++==1403520182017403520184035()2017()0,403502

aaaaSa++==，可知0nS时n的最大值是4034故选D结论八、数列{||}na的前n项和的求解1.求数列{||}na的前n项和的关键时分清哪些项为正的，哪些为负的，最终转化为去掉绝对值符号后的数列及进行求和.2.当{}na的各项都为非负数时，{||}na的前n项和就等于{}na的

前n项和；当从某项开始各项都为负数（或正数）时，求{||}na的前n项和要充分利用{}na的前n项和公式。这样能简化解题过程。3.当求的前n项和表达式需分情况讨论时，其结果应该用分段函数表示。【例8】已知等差数列{}na的各项都为整数，且1345,1aaa=−=−

，则1210...aaa+++=（）A.70B.58C.51D.40【答案】D【解析】设等差数列{}na的公差为d，由各项都为整数得dZ，因为15a=−，所以34(52)(53)1aadd=−+−+=−，化简得2625260dd−+=，解得

2d=或136d=（舍去）所以27nan=−，所以12107(113)||||||531139582aaa+++=++++=+=，故选B【变式】已知数列{}na的前n项和为2349nSnn=−+（1）请问数列{}na是否为

等差数列？如果是，请证明;（2）设||nnba=，求数列{}nb的前n项和【解析】（1）由2349nSnn=−+，可得213(1)49(1)(2)nSnnn−=−−+−，两式相减可得652(2),nann

=−+而由1146aS==，可得652nan=−+，于是由16nnaa+−=−可知，数列{}na为等差数列.（2）记数列{}nb的前n项和为nT，当8n时，2349nTnn=−+；当9n时，82nnTSS=−22400(349)349400nnnn=−−+=

−+，故数列{}nb的前n项和为22349(8)349400(9)nnnnTnnn−+=−+