【文档说明】《小升初数学无忧衔接》第15讲 角与角的运算（解析版）.docx，共(22)页，425.880 KB，由envi的店铺上传

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第十五讲角与角的运算【课程解读】————小学初中课程解读————小学课程初中课程小学数学中，要求知道平角与周角，了解周角、平角、钝角、直角、锐角之间的大小关系;能用量角器量指定角的度数，能画指定度数的角，会用三角尺画30°，45°，60°，90°角

。初中数学中，理解角的概念，能比较角的大小;认识度、分、秒，会对度、分、秒进行简单的换算，并会计算角的和、差;理解对顶角、余角、补角等概念，探索并掌握对顶角相等、同角（等角）的余角相等，同角（等角）的补角相等的性质。【知识衔接】————小学知识回顾—

———（1）1平角=180°，1周角=360°，1直角=90°，1周角=2平角=4直角.（2）锐角：小于90°的角叫做锐角；钝角：大于90°小于180°的角叫做钝角.————初中知识链接————1.角的概念(1)有公共端点的两条射线组成的图形叫做角．这个公共端点是角的顶点，这两条射线

是角的两条边．(2)角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．2.角的表示1、角通常用三个大写字母及符号“∠”表示．三个大写字母应分别写在顶点和两边上的任意点，顶点的字母必须写在中间．如∠AOB

，“O”表示顶点，"A、B"表示两边上的任意点．2、角也可用一个大写字母表示．这个字母应写在顶点上．但当两个或两个以上的角有同一个顶点时，不能用一个大写字母表示．3、角还可用一个数字或一个希腊字母表示．在角的内部

靠近角的顶点处画一弧线，写上数字或希腊字母．3.度分秒我们把1度的角60等分，每份就是1分的角，记作'1；把1分的角60等份，每份就是1秒的角，记作''1的角60等分，每份就是1秒的角，记作1".即：''''601601==，归纳：以度、分、秒为单位的角的度量制叫做角度制．1平角=180°，1周

角=360°.4.角的大小比较(1)度量方法：用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小。(2)叠合方法：把两个角叠合在一起比较大小。5.角的平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．6.尺

规作图熟练掌握用尺规作一个角等于已知角．【经典题型】小学经典题型1．下图中一共有（）锐角。A．3个B．4个C．5个【答案】A【解析】锐角是小于90°的角，图中三个单独的角都是锐角。2．一个钝角与一个锐角比，

（）。A．钝角小于锐角B．钝角大于锐角C．无法比较【答案】B【解析】钝角是大于90°小于180°的角，锐角是小于90°的角，所有钝角都大于锐角。3．下列说法正确的是（）。A．角的两条边越长角就越大。B．三角形中最多有两个锐角。C．0.56和0.560的大小相等，但计数单位不同。【答案】C【解

析】A、角的大小和边的长度无关，所以说法错误。B、三角形最多有三个锐角，比如等边三角形三个角都是60°。C、0.56＝0.560，但是二者的计数单位不同，说法正确。故答案为：C4．三个相等的角组成一个平角，这三个角

一定都是（）。A．锐角B．直角C．钝角【答案】A【解析】180°÷3=60°，60°的角是锐角。故答案为：A。5．有一个内角是91度的三角形是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．锐角三角形【答案】B【解析】解：91°是钝角，因

此这个三角形的钝角三角形.故答案为B．6．用10倍的放大镜看一个30°的角，这个角是（）A.30°B.300°C.3000°【答案】A初中经典题型1．如图，OAOB⊥，若3420BOC=，则AOC的度数是（）A．5520B．5540C．5560D．5580【答案】B【

解析】∵OAOB⊥∴90AOB=∴903420'5540'AOCAOBBOC=−=−=故选B2．下列各数中，正确的角度互化是（）A．63.5°=63°50′B．23°12′36″=23.48°C．18°18′18″=18.33°D．2

2.25°=22°15′【答案】D【解析】解：A、63.5°=63°30'≠63°50'，故A不符合题意；B、23.48°=23°28'48''≠23°12'36''，故B不符合题意；C、18.33°=18°19'48''≠18°18'18''，故C不符合题意；D、

22.25°=22°15'，故D正确.故选D．3．如图，点C，O，B在同一条直线上，∠AOB=90°，∠AOE=∠DOB，则下列结论：①∠EOD=90°；②∠COE=∠AOD；③∠AOE+∠DOC=180o；④互余的角有4对．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．

4个【答案】D【解析】解：∵∠AOB＝90°∴∠AOD＋∠BOD＝90°∵∠AOE＝∠DOB∴∠AOE＋∠AOD＝90°，即∠EOD＝90°，故①正确；∵∠AOE+∠COE=90°，∴∠COE＝∠AOD，故②正确，∴∠COE＋∠BOD＝90°，∴互余的角有∠AOD与∠

BOD、∠AOE与∠AOD、∠AOE与∠COE、∠COE与∠BOD，共4对，故④正确；∵∠DOC+∠BOD=180°，∴∠AOE+∠DOC=180o，故③正确；∴①②③④都正确．故选：D．4．借助一副三角尺，你能画出下面哪个度数的角（）A．15B．25C．35D．55【答案】A【解析

】用一副三角尺，可以画出小于180°的角有：15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，165°．故选：A．5．将一副三角板(含30°、45°的直角三角形)摆放成如图所示，图中∠1的度数是()A．90°B．12

0°C．135°D．150°【答案】B【解析】解：根据题意得：∠1=180°－60°=120°.故选：B6．如图，∠AOC＝∠BOD＝90°，∠AOD＝140°，则∠BOC的度数为（）A．30°B．45°C．50°D．40°【答案】D【解析】∵∠AOC＝90°，∠AOD＝140°，∴∠C

OD＝∠AOD﹣∠AOC＝50°，∵∠BOD＝90°，∴∠BOC＝∠BOD﹣∠COD＝90°﹣50°＝40°．故选：D．7．如图，点O为直线AB上一点，OC⊥OD．如果∠1=35°，那么∠2的度数是（）A．35°B．45°C．55°

D．65°【答案】C【解析】∵OC⊥OD，∴∠COD＝90°．∴∠2＝180°−∠COD−∠1＝180°−90°−35°＝55°，故选C．8．在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC，OD，使OC⊥OD，当∠AOC＝30°时

，∠BOD的度数是()A．60°B．120°C．60°或90°D．60°或120°【答案】D【解析】①当OC、OD在AB的一旁时，∵OC⊥OD，∴∠DOC=90°，∵∠AOC=30∘，∴∠BOD=180

∘−∠COD−∠AOC=60∘②当OC、OD在AB的两旁时，∵OC⊥OD，∠AOC=30∘，∴∠AOD=60∘，∴∠BOD=180∘−∠AOD=120∘.故选D.9．若∠1＝8324，∠2＝78.6°

，∠3＝7836，则有（）A．∠1＝∠2B．∠2＝∠3C．∠1＝∠3D．以上都不对【答案】B【解析】∵∠2＝78.6°=7836，∴∠2＝∠3故选B．10．把121.34化成度、分、秒的形式为__________．【答案】12120'24''【解析】121.34

＝12120.4′＝12120′24″，故答案为：12120′24″．11．比较：31.75°_____31°45′（填“＜”“＞”或“=”）【答案】=【解析】解：∵31.75°=31°+0.75°=31°+0.75×60′=31°+45′=31°45′

，∴31.75°=31°45′，故答案为：=．12．计算：50°﹣15°30′=______．【答案】34°30′【解析】根据度化成分乘以60，可得度分的表示方法，根据同单位的相减，可得答案：50°﹣

15°30′=49°60′﹣15°30′=34°30′.13．钟表在8：20时，时针与分针的夹角是_________度．【答案】130°【解析】解：8：20时，时针与分针相距4＋2060＝133份，8

：20时，时针与分针所夹的角是30°×133=130°，故答案为：130°．14．比较：28°15′_____28.15°（填“＞”、“＜”或“＝”）．【答案】＞【解析】∵28°15′=28°+（15÷60）°=28.25°，∴28°15′＞28.15

°．故答案为＞．15．如图，过直线AB上一点O作射线OC，∠BOC=29°18′，则∠AOC的度数为_____．【答案】150°42′【解析】∵∠BOC=29°18′，∴∠AOC的度数为：180°-29°18′=150°42′．故答案为150°42′．16．

在同一平面上，若∠BOA＝65°，∠BOC＝15°，则∠AOC=____．【答案】80°或50°【解析】解：如图，当OC在∠AOB的内部时，∠AOC=∠BOA-∠BOC=65°-15°=50°，当OC在∠AO

B的外部时，∠AOC=∠BOA+∠BOC=65°+15°=80°，故∠AOC的度数是50°或80°，故答案为：80°或50°17．写出利用一副三角板能够画出的所有小于平角的度数．【答案】15°，30°，45°，60

°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，165°【解析】（1）30°，45°，60°，90°；（2）30°+45°=75°，30°+90°=120°，45°+60°=105°，45°+9

0°=135°，60°+90°=150°，30°+45°+90°=165°；（3）45°-30°=15°．18．如图，直线,ABCD相交于点,OOA平分EOC，若70EOC=．（1）求BOD的度数；（

2）求BOC的度数．【答案】（1）35；（2）145【解析】解：（1）∵OA平分∠EOC，∠EOC=70°，∴∠AOC=12∠EOC=35°，∴∠BOD=∠AOC=35°.（2）∵∠BOD+∠BOC=180°，∴∠BOC=180°-35°=145°．19．如图，已知∠AOC=

50°，∠BOD=40°，∠AOD=60°，求∠1，∠2，∠3的度数．【答案】∠1=20°，∠2=30°，∠3=10°．【解析】∵∠AOC+∠BOD=∠AOD+∠2，又∵∠AOC=50°，∠BOD=40°，∠AOD=60°，∴∠2=50°+40°-

60°=30°，∴∠1=∠BOD-∠2=40°-30°=10°，∠3=∠AOC-∠2=50°-30°=20°．20．如图所示，将两块三角板的直角顶点重合．（1）写出以C为顶点的相等的角；（2）若∠ACB=150°，请直接写出∠DCE的度数；（3）写出∠ACB与∠DCE之间所具有的数量关系；（4

）当三角板ACD绕点C旋转时，你所写出的（3）中的关系是否变化？请说明理由．【答案】（1）∠ACD=∠BCE；∠ACE=∠BCD（2）∠DCE=30°；（3）∠ACB+∠DCE=180°；（4）不变，理由:见解析．【解析】（1）∠ACD=∠BCE；∠ACE=∠BCD；（2

）∵∠ACB=150°，∠BCE=90°，∴∠ACE=150°-90°=60°，∴∠DCE=90°-∠ACE=30°；（3）∠ACB+∠DCE=∠BCE+∠ACE+∠DCE=180°；（4）不变，理由如下：∵∠ACB＝∠ACE+∠ECD+∠DC

B，∴∠ACB+∠DCE＝∠ACE+∠ECD+∠DCB+∠DCE＝∠ACD+∠BCE＝90°+90°=180°∴无论如何旋转，∠ACB+∠DCE=180°．【实战演练】————先作小学题——夯实基础————1．用一个放大10倍的放大镜来观察一个30度的角，则看到的角（）A．大小不变B

．缩小了100倍C．放大了100倍【答案】A【解析】根据角的大小和边长无关，和放大的倍数无关，只和两条边张开的度数有关来解答此题．故选A2．看图求出∠1、∠2、∠3的度数。（1）（2）【答案】（1）∠1=40°；

∠2=50°；∠3=130°（2）∠1=128°；∠2=20°；∠3=52°【解析】【详解】（1）∠1=180°-140°=40°∠2=180°-40°-90°=50°∠3=180°-50°=130°（2）∠2=180°-160°=20°∠1=180°-20°-32°=128°∠3=180°-12

8°=52°3．脱口秀180°﹣25°﹣75°＝180°﹣（37°+63°）＝90°﹣37°＝80°+36°+64°＝178°﹣（78°+54°）＝180°﹣85°＝【答案】80°；80°；53°180°；46°；95°

【解析】180°﹣25°﹣75°＝155°-75°=80°180°﹣（37°+63°）＝180°﹣100°=80°90°﹣37°＝53°80°+36°+64°＝116°+64°=180°178°﹣（78°+54°）＝178°-132°=46°180°﹣85°＝95°————再战初中题——能力提升—

———1．已知，OA⊥OC，且∠AOB：∠AOC＝2：3，则∠BOC的度数为（）A．30°B．150°C．30°或150°D．90°【答案】C【解析】解：∵OA⊥OC，∴∠AOC=90°．∵∠AOB：∠AOC=2：3，∴∠AOB=6

0°．因为∠AOB的位置有两种：一种是在∠AOC内，一种是在∠AOC外．①当在∠AOC内时，∠BOC=90°﹣60°=30°；②当在∠AOC外时，∠BOC=90°+60°=150°．故选C．2．关于比较

38°15'和38.15°，下列说法正确的是（）A．38°15'＞38.15°B．38°15'＜38.15°C．38°15'=38.15°D．无法比较【答案】A【解析】∵1°=60′，∴38.15°=38°+（0.15×60）′=38°9′，

∴38°15′＞38.15°．故选：A．3．将一副三角板如图摆放，∠OAB=∠OCD=90°，∠AOB=60°，∠COD=45°，OM平分∠AOD，ON平分∠COB，则∠MON的度数为（）A．60°B．45°C．65.5°D．

52.5°【答案】D【解析】设∠AOM=∠DOM=x，∠CON=∠BON=y，则∠BOD=60°-2x∵∠COD=45°∴60°-2x+2y=45°，∴x-y=7.5°∴∠MON=x+(60°-2x)+y=60°(x-y）=52.5°故选D．4．已知：∠AOC=90°

，∠AOB：∠AOC=2：3，则∠BOC的度数是（）A．30°B．60°C．30°或60°D．30°或150°【答案】D【解析】由∠AOC=90°，∠AOB：∠AOC=2：3，可得当B在∠AOC内侧时，可以知道∠AOB23=90°=60°，∠BOC=30°；当B在∠AO

C外侧时，∠BOC=150°．故选：D．5．如图所示，OC、OD分别是∠AOB、∠AOC的平分线，且∠COD＝30°，则∠AOB为（）A．100°B．120°C．135°D．150°【答案】B【解析】∵∠COD=30°，

OD是∠AOC的角平分线∴∠AOD=30°，∴∠AOC=60°∵OC是∠AOB的角平分线∴∠COB=60°∴∠AOB=120°故选：B．7．如图,∠AOB=∠COD,若∠AOD=110°,∠BOC=70°,则以下结论正确的有()①∠AOC=

∠BOD=90°;②∠AOB=20°;③∠AOB=∠AOD-∠AOC;④∠AOB=211∠BOD．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】解：如图，∵∠AOB=∠COD，∠AOD=110°，∠BOC=70°，∴∠AOD=∠BOC+2∠COD=70°

+2∠COD=110°，则∠AOB=∠COD=20°．①∵∠AOB=∠COD，∴∠BOC+∠AOB=∠BOC+∠COD=90°，即∠AOC=∠BOD=90°，故①正确；②∠AOB=∠COD=20°．故②正确；③由①知，∠AOC=∠BOD=90

°，∴∠AOB=∠AOD-∠BOD=∠AOD-∠AOC，故③正确；④∵∠AOB=20°，∠BOD=90°，∴∠AOB=29∠BOD．故④错误．综上所述，正确的结论有3个．故选：C．8．如图所示,OC是

∠AOB的平分线,OD是∠BOC的平分线,那么下列各式正确的是()A．∠COD=12∠AOBB．∠AOD=23∠AOBC．∠BOD=13∠AOBD．∠BOC=23∠AOD【答案】D【解析】解：∵OC是∠

AOB的平分线，OD是∠BOC的平分线，∴∠BOC=∠AOC=12∠AOB，∠BOD=12∠AOC=12∠BOC，∴∠BOC=23∠AOD，故选D．9．如图，点B，O，D在同一直线上，若∠1＝15°，∠2＝105°，则∠AO

C的度数是()A．75°B．90°C．105°D．125°【答案】B【解析】∵∠2=105°，∴∠BOC=180°-∠2=75°，∴∠AOC=∠1+∠BOC=15°+75°=90°．故选B．10．射线OC在AOB内部，下列条件不能说明OC是A

OB的平分线的是（）A．12AOCAOB=B．1BOCAOB2=C．AOCBOCAOB+=D．AOCBOC=【答案】C【解析】解：A、当∠AOC=12∠AOB时，OC一定在∠AOB的内部且O

C是∠4OB的平分线，故本选项正确；B、当1BOCAOB2=时，OC一定在∠A0B的内部且OC是∠A0B的平分线，故本选项正确；C、当AOCBOCAOB+=，只能说明OC在∠AOB的内部，但不能说明OC平分∠A

OB，故本选项错误；D、当∠AOC=∠BOC时，OC一定在∠AOB的内部且OC是∠AOB的平分线，故本选项正确.故选C.11．如图所示，OB是AOC的平分线，OC是AOD的平分线，若76COD=，那么

AOD=______BOC=_____.【答案】15238【解析】∵OC是AOD的平分线，76COD=76,2276152AOCCODAODCOD=====∵OB是AOC的平分线11763822BOCA

OC===故答案为：152；38．12．若36AOB=，以OB为一边画一个20BOC=，则AOC的度数是________．【答案】56°或16°【解析】以O为顶点，OB为一边作∠BOC=20°有两种情况：①当∠BOC的一边OC在∠AOB外部时，则∠AOC=∠AOB+∠

BOC=36°+20°=56°；②当∠BOC的一边OC在∠AOB内部时，则∠AOC=∠AOB-∠BOC=36°-20°=16°；故答案为：56°或16°13．374940=，521020=，−=____________【答案】'10

2044【解析】∵374940=，521020=∴−=521020−'374940=201440故答案为：'10204414．已知∠AOB=70°，以O为端点作射线OC，使∠AOC=42°，则∠BOC的度数为______．【答案】

112°或28°【解析】如图,当点C与点C1重合时,∠BOC=∠AOB−∠AOC=70°−42°=28°；当点C与点C2重合时,∠BOC=∠AOB+∠AOC=70°+42°=112∘故答案为112°或28°.15．如图，直线AB，CD相交于点O，OD平分∠BOE，OF平分∠

AOD．（1）若∠AOC＝32°，求∠EOF的度数；（2）若∠EOF＝60°，求∠AOC的度数.【答案】（1）42°；（2）20°.【解析】（1）∵∠AOC=32°，∴∠AOD=180°-∠AOC=148°，∵OF平分∠AOD，∴∠AOF=∠DOF=74°，∵直线AB、CD相交于点O，∴∠AO

C=∠BOD=32°，∵OD平分∠BOE，∴∠BOD=∠EOD=32°,∴∠EOF=∠DOF-∠EOD=74°-32°=42°；（2）设∠AOC=∠BOD=x°,则∠DOF=∠DOE+∠EOF=（x+60）°,∵OF平分∠AOD,∴∠AOD=2∠DOF=(2x+1

20)°，∵∠AOD+∠BOD=180°，∴2x+120+x=180,∴x=20,∴∠AOC=20°.16．如图所示，已知OB，OC是∠AOD内部的两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD．（1）若∠BOC=25°，∠MOB=15°，∠NOD=10°，求∠AOD的大小；（

2）若∠AOD=75°，∠MON=55°，求∠BOC的大小；（3）若∠AOD=α，∠MON=β，求∠BOC的大小(用含α，β的式子表示)．【答案】（1）∠AOD=75°；（2）∠BOC=35°；（3）2BOC=−．【解析】解：（1）∵OM平

分∠AOB，ON平分∠COD∴∠AOB=2∠MOB=30°，∠COD=2∠NOD=20°∴∠AOD=∠AOB+∠BOC+∠COD=30°+25°+20°=75°（2）∵∠AOD=75°，∠MON=55°，∴∠AOM+∠DON=∠A

OD-∠MON=20°，∵∠BOM+∠CON=∠AOM+∠DON=20°，∴∠BOC=∠MON-（∠BOM+∠CON）=55°-20°=35°，（3）∵OM平分∠AOB，ON平分∠COD，∴∠AOM=∠BOM=12∠AOB，∠CON=∠

DON=12∠COD，∵∠BOC=∠MON-∠BOM-∠CON=∠MON-12∠AOB-12∠COD=∠MON-12（∠AOB+∠COD）=∠MON-12（∠AOD-∠BOC）=β-12（α-∠BOC）=β-

12α+12∠BOC，∴∠BOC=2β-α．17．如图，∠AOB是直角，∠AOC＝50°，ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线，求∠MON的大小？【答案】45°【解析】∵∠AOB是直角，∴∠AOB＝90°．∴∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝90°

+50°＝140°．∵OM平分∠BOC，∴∠COM＝12∠BOC＝70°．∵ON平分∠AOC，∴∠CON＝12∠AOC＝25°．∴∠MON＝∠COM﹣∠CON＝70°﹣25°＝45°．18．如图，已知∠AOC：∠BOC

＝1：4，OD平分∠AOB，且∠COD＝36°，求∠AOB的度数．【答案】120°【解析】设∠AOC＝x°，则∠BOC、∠AOB、∠AOD均可用x表示出来，由∠COD＝36°来列方程，求x．解：设∠AOC＝

x°，则∠BOC＝4x°．∵OD平分∠AOB，∴∠AOD＝12∠AOB＝12(x°＋4x°)＝2.5x°．又∵∠COD＝∠AOD－∠AOC，∴2.5x°－x°＝36°．x＝24．∴∠AOB＝∠AOC＋∠BOC＝x°＋4x°＝120°

．19．已知．如图，∠AOB=160o，∠COE=80o，OF平分∠AOE，已知∠COF=14o，求∠BOE。【答案】28°【解析】解：∵OF平分∠AOE，∴∠AOE＝2∠EOF，∵∠AOE＝∠AOB−∠BOE，∴2∠EOF＝∠AOB−∠BOE，∴2（∠COE−∠

COF）＝∠AOB−∠BOE，∵∠AOB＝160°，∠COE＝80°，∴160°−2∠COF＝160°−∠BOE，∴∠BOE＝2∠COF，∴若∠COF＝14°时，∠BOE＝28°；20．如图，已知∠AOB=90°，∠EOF=60°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，求∠COB和∠AOC的

度数．【答案】∠COB=30°，∠AOC=120°【解析】AOB90=，OE平分AOB，BOE45=，又EOF60=，FOB604515=−=，OF平分BOC，COB21530==，AOCBOCAOB3090120=+=+=.获得更多资源请扫码加入

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