【文档说明】河南省周口市恒大中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题（含答案）.pdf，共(15)页，1.415 MB，由envi的店铺上传

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2024-2025学年（上）高二数学开学考试卷数学试题试卷考试时间：120分钟满分：150第I卷（选择题）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1．复数13(1)(12)iii（）．A．1B．iC．34

55iD．35i2．设向量a，b满足||2ar，22aab，则||ab的最小值为（）A．2B．1C．12D．143．设复数1iz（i是虚数单位），则复数22zz（）A．1iB．1iC．2iD．2i4．已知向量(,

0)ABm，(2,2)BC，()ABACBC，则m的值为（）A．1B．2C．3D．45．若直线//a平面，//a平面，Ç=直线b，则()A．//ab或a与b异面B．//abC

．a与b异面D．a与b相交6．2020年11月5日—11月10日，在上海国家会展中心举办了第三届中国国际进口博览会，其中的“科技生活展区”设置了各类与人民生活息息相关的科技专区.现从“高档家用电器”、“智能家居”、“消费电子”、“服务机器人”、“人工智能及

软件技术”五个专区中选择两个专区参观，则选择的两个专区中包括“人工智能及软件技术”专区的概率是（）A．110B．310C．25D．357．已知21iz，其中i为虚数单位，则1zz（）A．1iB．1iC．1iD．1i8．ABCV的内角,,ABC所对的边分别为,,abc，且

20tan,sin43aBbA，则a的值为（）A．6B．5C．4D．3二．多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，有多项符合要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）9．如图，在正方体1111ABCDABCD

中，P为棱AB上的动点，DQ平面1DPC，Q为垂足，则（）．A．1QDQCB．平面1DPC截正方体所得的截面可能为三角形C．当P位于AB中点时三棱锥1DDCP的外接球半径最大D．线段DQ的长度随线段AP的长度增大而增大10．如图(a)，边长为2的正方形AP₁P₂P₃中，B，C分别是P₁

P₂，P₂P₃的中点，AP₂交BC于D，现沿AB，AC及BC把这个正方形折成一个四面体，如图(b)，使P₁，P₂，P₃三点重合，重合后的点记为P，则有（）A．平面PAD⊥平面PBCB．四面体P-ABC的体积为13C．点P到平面ABC的距离为13D．四面体P-ABC的外接球的体积为6π11

．在ABCV中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，三条中线相交于点G.已知2bc，3a，ABC的平分线与AC相交于点D，则（）A．边AC上的中线长为22B．ABCV内切圆的面积为928C．BCD△与BAD面积之比为3:2D．G到AC的距离为716第II卷（非选择题）

二、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，从下列四个条件中选择两个作为已知条件，能够得到l的是.（填入条件的序号即可）①//lm；②//；③m；④l.13．如图，在四边形ABCD中，设A

Ba，ADb，BCc，则DC可用,,abc表示为．14．如图所示，四边形ABCD是梯形，AB//CD，且AB//平面α，AD，BC与平面α分别交于点M，N且点M是AD的中点，AB＝4，CD＝6，则MN＝.四、解答题（共5小

题，共计77分.）15．（13分）化简下列各式：(1)()()ABMBOBMO；(2)ABADDC；(3)OAODAD；16．（15分）如图，有一块三棱锥形木块AB

CD，其中面ABC内有一点P．(1)若要在面ABC内过点P画一条线段EF，其中点E在线段AB上，点F在线段AC上，且满足EF与AD垂直，该如何求作？请在图中画出线段EF并说明画法，不必证明．(2)经测量，AB＝AC＝6cm，AD＝5cm，∠BAC＝60°，∠BAD＝∠C

AD＝3arccos5，若P恰为三角形ABC的重心，EF为（1）中所求线段，求三棱锥ADEF的体积．17．（15分）如图，公园有一块边长为2的等边ABCV的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上．（1）设ADx（0x），EDy，求用x表示y的

函数关系式；（2）如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？请说明理由．18．（17分）已知平面向量1,ax，23,bxx，xR.

(1)若ab，求ab；(2)若a与b的夹角为锐角，求x的取值范围.19．（17分）某校组织《反间谍法》知识竞赛，将所有学生的成绩（单位：分）按照[45,55)，[55,65)，…，[105,115]分成七组，得

到如图所示的频率分布直方图.(1)求这次竞赛成绩平均数的估计值；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）(2)从竞赛成绩不低于85分的学生中用分层随机抽样的方法抽取12人，再从第六组和第七组被抽到的学生中任选2人做主题演讲，求至少有1名第七组的学生做主题演讲的概率.参考

答案：题号12345678910答案BBABBCBBABDABD题号11答案BC1．B【解析】根据复数的乘法、除法的运算法则，准确运算，即可求解.【详解】根据复数的运算法则，可得1313(13)(3)10(1)(12)3(3)(3)1

0iiiiiiiiiii.故选：B.2．B【分析】先求出||||abb，再根据已知求出1||cosb，即得||ab的最小值.【详解】由题得222||244||abababbb

，因为22aab，所以14=22||cos,||cosbb，因为||0,cos0b，所以当cos=1时，||1minb，所以||ab的最小值为1.故选：B【点睛】本

题主要考查平面向量的模和数量积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．A【分析】利用复数除法、复数乘法运算求得正确答案.【详解】22zz221i21i2i1i2i1i1i1i1i

.故选：A4．B【分析】向量垂直的定义及向量的数量积坐标公式计算即可．【详解】因为(2,2)ACABBCm，(22,2)ABACm，()()0ABACBCABACBC

，故222402mm故选：B5．B【分析】过a作平面交平面于直线c，作平面交平面于直线d，由线面平行的性质可证得////acd，由平行关系可得//c，又线面平行性质可得//cb，由此可得结论.【详解】过a作平面交平面于直线c，//a

，a，c，//ac；过a作平面交平面于直线d，同理可得：//ad；//cd，又c，d，//c，c，b，//cb，又//ac，//ab.故选：B.6．C【解析】先

分别对五个专区作标记，列举出总的基本事件，以及满足“选择的两个专区中包括人工智能及软件技术专区”所对应的基本事件，基本事件的个数比即为所求概率.【详解】分别记“高档家用电器”、“智能家居”、“消费电子”、“服务机器人”、“人工智能及软件技术”五个专区为A、B、C、D、E；从这五个

专区中选择两个专区参观，所包含的基本事件有：AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共10个基本事件；选择的两个专区中包括“人工智能及软件技术”专区（即E专区），所对应的基本事件有：AE，BE，CE，DE，共4个基本事件；因此，选择的两个专区中包括“人工智能及软件技术”专区

的概率是42105P.故选：C.7．B【分析】根据复数的乘、除法运算可得1iz，进而1iz，结合复数的乘法计算即可求解.【详解】由题意知，22(1i)1i1i(1i)(1i)z，所以

1iz，所以(1)(1i)(1i1)1izz.故选：B8．B【分析】根据正弦定理可得sin4aB，再结合同角商数关系，平方关系，最后求得a.【详解】由,sin4sinsinabbAAB得sin4aB，又20tan3aB，所以3cos5B，从而4sin5B

，所以5a.故选：B9．ABD【分析】对于A，求证1RtRtDQDDQC即可判断；对于B，由等边1ACD△即可判断；对于C，由外接球半径2212DDRr和sinn2siDACCDCDrDPC<（DCP的外接圆半径为r）即可判断；对于D，由11111133DDCPD

CPDDCPDCPVSDQVSDD和1112DCPSPNCD随AP的增大而变小可判断.【详解】选项A，连接1DQ，CQ，则1DQDQ，DQCQ，又因为1DDDC，DQDQ

，所以1RtRtDQDDQC，故1QDQC，选项A正确；选项B，当P位于点A时，截面为三角形，选项B正确；选项C，1DD平面DCP，记DCP的外接圆半径为r，则外接球半径2212DDRr，由正弦定理得

2sinCDrDPC，当P位于AB中点时，45DPCDAC，则ssniinDACDPC，sinn2siDACCDCDrDPC<，选项C错误；选项D，11113DDCPDDCPDCPVVSDD△为定值，过P作PMCD于点M，过M

作1MNCD，则1PNCD，如图，可知1112DCPSPNCD随AP的增大而变小，所以由1113DDCPDCPVSDQ为定值可知，DQ随AP的增大而增大，故选项D正确．故选：ABD.10．ABD【分析】利用线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理

判断A；利用锥体的体积公式结合等积变换可判断BC；利用三棱锥PABC的外接球即是以2，1，1为棱长的长方体的外接球判断D.【详解】对于A，由已知可得������⊥������，������⊥������，������∩������=���，������，������⊂平面PBC，则

PA⊥平面PBC，又PA平面PAD，故平面PAD平面PBC，故A正确；对于B，因为������，������，������两两垂直，则������−���������=������−���������=13×12×1×1×2=13，故B正确；对于C，设P

到平面ABC的距离为h，∵���△���������=22−12×1×2−12×1×2−12×1×1=32，������−���������=13×32×ℎ=ℎ2=13，解得23h．点P到平面ABC的距离为23，故C错误；

对于D，因������，������，������两两垂直，故三棱锥PABC的外接球即是以2，1，1为棱长的长方体的外接球，故球的半径为4+1+12=62，则球的体积为43π×64×62=6π，故D正确，故选：ABD．11．BC【分析】如图，取ABACBC、、边上的中点NFE、、，则边AC

上的中线为12BFBABC，两边同时平方结合向量数量积即可判断A；设ABCV内切圆的为r，由11sin22ABCSacBabcr，求出r即可判断B；由角平分线定理，BCDBA

DSCDBCSADAB，可判断C；G到AC的距离为sinGFBFA，求出,sinGFBFA代入可判断D.【详解】如下图，取ABACBC、、边上的中点NFE、、，则边AC上的中线为12BFBABC，则22242c

osBFBABCBABCB，2449223cosBFB，又因为49493cos223124B，则23449223224BF

，则222BF.故A不正确；因为397cos,sin14164BB，设ABCV内切圆的为r，11sin22ABCSacBabcr，则7322234r

，则3714r，ABCV内切圆的面积为：23791428，故B正确.对于C，由角平分线定理知：32BCDBADSCDBCaSADABc，所以C正确；对于D，因为2bc，在三角形BFA和三角形BFC中，

coscosAFBBFC，则22141+922BFBFBFBF，解得：222BF，所以12222326GF，所以21114145222cos24422BFBFABF，所以3154sin44BFA，所以G到AC的距离为：3154227sin

4464GFBFA，故D不正确.故选：BC.12．①③（或②④）【分析】由直线与平面，平面与平面的位置关系对选项一一分析即可得出答案.【详解】选①②l，若//lm，//，则可能l，不正确；选①③

l，若//lm，m，则l，正确；选①④l，若//lm，l，则可能l，不正确；选②③l，若//，m，则可能l，不正确；选②④l，若//，l，则l，正

确；选③④l，若m，l，则可能l，不正确；故答案为：①③（或②④）13．abc【解析】利用向量的加法与减法法则，在图形中寻找回路即可得到答案.【详解】DCDBBCABADBCabc

.故答案为：abc【点睛】本题考查平面向量的加法的几何意义，考查数形结合思想，属于基础题.14．5【分析】利用线面平行的性质定理可得////ABCDMN，由梯形的中位线即可求解.【详解】四边形ABCD是梯形，AB//CD，且AB//平面α，平面ABCD平面M

N，则////ABCDMN，又点M是AD的中点，所以MN是梯形ABCD的中位线，所以52ABCDMN.故答案为：515．(1)AB(2)CB(3)0【分析】（1）（2）（3

）按照向量的加法、减法法则计算即得.【详解】（1）()()ABMBOBMO()()ABBOMBMOAOOBAB；（2）ABADDC

DBDCCB；（3）0OAODADDAADuuruuuruuuruuuruuurr.16．(1)答案见解析(2)4393【分析】（1）在AD上任取一点Q；过点Q在平面ABD内作A

D的垂线，交AB于G；过点Q在平面ACD内作AD的垂线，交AC于H；连接GH，若GH过点P，则GH就是所求线段EF；若GH不过点P，则过点P作GH的平行线，与AB、AC相交即得线段EF.（2）取BC中点M，连MA、MD，由余弦定理求得5BDCD，根

据线面垂直的判定证得BC面MAD，由已知得三棱锥A-DEF的体积为三棱锥A-BCD体积的49，根据棱锥的体积公式可求得答案.【详解】（1）解：如图，在AD上任取一点Q；过点Q在平面ABD内作AD的垂线，交AB于G；过点Q在平面ACD内作AD

的垂线，交AC于H；连接GH，若GH过点P，则GH就是所求线段EF；若GH不过点P，则过点P作GH的平行线，与AB、AC相交即得线段EF.（2）解：取BC中点M，连MA、MD，因为P为三角形ABC的重心，故P在AM上，且AP=2PM.由题意知，AB＝AC＝6cm，AD＝5c

m，∠BAC＝60°，∠BAD＝∠CAD＝3arccos5，所以2236+255655BDCD，所以MABC，MDBC，故BC面MAD，于是//EFBC，故三棱锥A-DEF的体积为三棱锥A-BC

D体积的49，由题意得6,33,5,4,5BCAMBDDMAD，在AMD中，22222254337cos225420ADMDAMADMADMD，所以339sin20ADM，

所以133933945,2202AMDS所以4414399933ADEFABCDADMVVSBC.17．（1）222()212yxxx；（2）DE为AB中线或AC中线，理由见解析．【分析】（1）在ADEV中，利用余弦定理有222yxAExAE

，依题意12ADEABCSS，即13sin6022xAE，2xAE，由此求得222()212yxxx；（2）如果DE是水管，利用基本不等式可求得最小值为2，此时2x，即//DEBC，且2ADDE

时，DE最短．如果DE是参观线路，注意到224xx在1,2xx时值相等，根据对钩函数的性质可知最大值为3.【详解】（1）在ADEV中，2222cos60yxAExAE，即222yxAExAE，①又12AD

EABCSS，即13sin6022xAE，所以2xAE，②②代入①得：2222()2yxx（0y），所以222()2yxx（12x）．（2）如果DE是水管，222()22222yxx

，当且仅当224xx，即2x时“=”成立，故min2y，即//DEBC，且2ADDE时，DE最短；如果DE是参观线路，记224()fxxx，由对勾函数的性质可知：函数224()fxxx在1,2上递减，在2,2上递增，故max

()(1)(2)5fxff，所以max523y.即DE为AB中线或AC中线时，DE最长．18．(1)2或10(2)1,00,3【分析】（1）根据垂直关系可构造方程求得x，由向量模长的坐标运算可求得结果；（2）根据向量共线的坐标表示可求得x的值，根据夹角为

锐角可构造不等式组求得结果.【详解】（1）ab，2230abxx，解得：1x或3x，当1x时，0,2ab，22022ab；当3x时，8,6ab，228610ab；综上所述：2ab

或10（2）若,ab共线，则23xxx，解得：0x或2x，当0x时，1,0a，3,0b，此时,ab同向；当2x时，1,2a，1,2b，此时,ab反向；若a

与b的夹角为锐角，则22300abxxx，解得：13x且0x，x的取值范围为1,00,3.19．(1)85.7(2)35【分析】（1）利用频率之和为1，列式求解a，利用平均数的计算公式求解即可；（2）根据分层抽样确定第六组和第七组分别抽取的人数，

利用古典概型的概率公式计算.【详解】（1）(0.00820.0120.01540.03)10700.651aaaa，解得0.005a，这次竞赛成绩平均数的估计值为500.05600.08700.12800.15900.31000.21100.185.7x

.（2）不低于85分的三组频率之比为3:2:1，用分层随机抽样的方法抽取12人，应从第六组和第七组分别抽取4人和2人，设第六组的4人为A，B，C，D，第七组的2人为甲、乙，于是从这6人中任选2人的所有情况为：甲乙，甲A，甲B，甲C，甲D，乙A，乙B

，乙C，乙D，AB，AC，AD，BC，BD，CD，共15种，其中甲、乙至少有1人被选中的有9种，所以至少有1名第七组的学生做主题演讲的概率为93155.