【文档说明】山东省烟台市2024届高三上学期期末考试数学试题word版含解析.docx，共(25)页，1.950 MB，由envi的店铺上传

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2023~2024学年度第一学期期末学业水平诊断高三数学注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效：在草稿纸､试题卷

上答题无效.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.设集合U=R，集合0,12MxxNxx==−，则()UMN=ð（）A.3xxB.3xx

C.{1xx−或0}xD.{1xx−或0}x【答案】A【解析】【分析】解出集合12Nxx=−，利用集合的运算计算即可.【详解】由12x−，得212x−−，即13x−，所以13N

xx=−，所以0133MNxxxxxx=−=，所以()3UMNxx=ð.故选：A.2.“直线1sin102xy+−=与cos10xy++=平行”是“π4=”的（）A.充分不必要条件B

.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据两条直线平行，对应方程系数的关系求解，分两个方面判断即可．【详解】若直线1sin102xy+−=与cos10xy++=平行，易得:sin0,cos0，故：1sin121cos1−=，则1

11ππsincos,sin2,sin21,22π(),π()22224kkkk====+=+ZZ得不到π4=，故不是充分条件；反之，当π4=时1sin121cos1−=成立，故直线1sin102xy+−=与cos10x

y++=平行，是必要条件；故“直线1sin102xy+−=与cos10xy++=平行”是“π4=”的必要不充分条件，故选：B．3.已知0,0abc且1c，则（）A.aacbbc++B.ccabC.abccD.c

cab【答案】D【解析】【分析】对于选项A,B利用作差法即可判断；对于选项C,D利用指数函数及幂函数的单调性即可判断.【详解】对于选项A：因为0,0abc，所以0ba−，由()()()()()0acbab

ccbaacabcbbcbbcb+−+−+−==+++，故aacbbc++，选项A错误；对于选项B：因为0,0abc，所以0ba−，由()0cbaccabab−−=，故ccab，选项B错误；对于选项C：由指数函数可

知,0xycc=，在定义域上单调性不确定，故无法确定,abcc的大小，比如当01c时，则abcc，选项C错误；对于选项D：由幂函数可知,0cyxc=，在定义域上单调递增，且ab，所以ccab，选项D正确.故选：D.4.已知||||

1,()(3)3ababab==+−=−，则向量a与b夹角的大小为（）A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】B【解析】【分析】利用向量的数量积公式，求解即可.【详解】结合题意：设向量a与b夹角为，22(

)(3)32cos3abababab+−=−−=−，因为||||1ab==，所以132cos3−−=−，解得1cos2=.因为0,π，所以π3=.故选：B.5.我国古代十进制数的算筹记数法是世界数学史上一个伟大的创造.算

筹一般为小圆棍算筹计数法的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，以此类推；遇零则置空.纵式和横式对应数字的算筹表示如下表所示，例如：10记为“”，62记为“”.现从由4根算筹表示的两位数

中任取一个数，则取到的数字为质数的概率为（）数字123456789纵式横式A.25B.35C.38D.310【答案】A【解析】【分析】分类讨论，利用古典概型的概率公式求解即可.【详解】由题意可知，共有4根算筹，当十位1根，个位3根，共有2个两位数13、17；当十位2根，

个位2根，共有4个两位数22，26，62，66；当十位3根，个位1根，共有2个两位数31，71；当十位4根，个位0根，共有2个两位数40，80；其中质数有13、17、31、71，所以取到的数字为质数的概率为4224225=+++，故选：A6.已知

()fx为定义在R上的奇函数，当()0,x+时，()ln1,012,1xxfxxx+=−，则方程()10fx−=实数根的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】根据奇函数的定义求出()fx

的解析式，进而解方程即可.【详解】因为()fx为定义在R上的奇函数，所以()00f=，当10x−时，01x−，()()()ln1fxfxx=−−=−−−，当1x−时，1x−，()()2fxfxx=−−=−−，综上()()2,1

ln1,010,0ln1,102,1xxxxfxxxxxx−+==−−−−−−−，当1x时，令()1fx=无解；当01x时，令()1fx=解得1x=；当0x=时，令()1fx=

无解；当10x−时，令()1fx=解得2ex−=−；当1x−时，令()1fx=，解得3x=−，综上()10fx−=实数根的个数为3个，故选：C7.已知F为双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的一个焦点，过点F作C的一条渐近线的垂线，垂足为A，直线AF与C的另外一条

渐近线交于点B.若3BFAF=，则双曲线C的离心率为（）A.2B.62C.3D.3【答案】C【解析】【分析】设过右焦点(),0Fc垂直于渐近线的直线为()ayxcb=−−，求出2,aabAcc，利用向量关系表示出2332,aabBccc−+，

再代入另外一条渐近线byxa=−，整理计算即可.【详解】因为双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的渐近线为byxa=，不妨设过右焦点(),0Fc垂直于渐近线的直线为()ayxcb=−−，联立()ayxcbbyxa=−−=，解

得2,aabAcc，设()11,Bxy，由3BFAF=，可得()221133,3,3,aabaabcxycccccc−−=−−=−−，即211333acxccabyc−=−−

=−，解得211323axccabyc=−+=，即2332,aabBccc−+，因为2332,aabBccc−+在另外一条渐近线byxa=−上，所以2332,abbaccac

=−−+整理得：223ca=，即23e=，所以3e=.故选：C.8.已知函数()()e2,ln2xfxxgxxx=+−=+−，若12,0xxR，使得()()12fxgx=，则12xx的最小值为（

）A.e−B.1−C.1e−D.21e−【答案】C【解析】【分析】结合题意构造函数()exhxx=+，得到12lnxx=，表示出1121exxxx=,再借助导数求出()exuxx=得最小值即可.【详解】因为12,0xxR，使得()()12fx

gx=，所以1122e2ln2xxxx+−=+−，即12ln1222elnelnxxxxxx+=+=+，令()exhxx=+，()e10xhx=+，所以()exhxx=+在R上单调递增.所以12lnxx=，即12exx=，所以1121exxxx=，令()exuxx=，则()()e1x

uxx=+，当(),1x−−时，()0ux，()exuxx=在(),1−−单调递减;当()1,x−+时，()0ux，()exuxx=在()1,−+单调递减;所以当=1x−时，函数()exuxx=取得最小值，即()1111eeu−−=−=−.11211ee

xxxx=−.故选：C.【点睛】结论点睛：指对同构的常见形式：积型：elnaabb，①lnelneabab，构建()exfxx=；②elnelnaabb，构建()lnfxxx=；商型：elnabab，①lneelnabab，构建()

exfxx=；②elnelnaabb，构建()lnxfxx=；和型：elnaabb，①lneelnabab，构建()exfxx=；②elnelnaabb，构建()lnfxxx=

.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知样本数据12,,,nxxx的平均数为x，则数据12,,,,nxxxx（）A.与

原数据的极差相同B.与原数据的中位数相同C.与原数据的方差相同D.与原数据的平均数相同【答案】AD【解析】【分析】根据题意，由数据平均数、方差、中位数、极差的定义分析选项，综合可得答案.【详解】由样本数据12,,,nxxx的平均数为x，可得()121nxxxxn=+++，其方差为

()()()2222121nsxxxxxxn=−+−++−，对于数据12,,,,nxxxx，其平均数()1211nxxxxxxn+++=+=+，其方差()()()()122222221111nxxxxxnssnxxnx==−−++++−++−；即两

组数据的平均数相同，方差不同，可得C错误，D正确；由极差定义，两组数据的最大值和最小值不变，则两组数据的极差相同，即A正确；对于中位数，两组数据的中位数不一定相同，即B错误.故选：AD10.将函数()

fx的图象向右平移π6个单位长度，得到sin2yx=的图象，则（）A.()fx的最小正周期为πB.()fx的图象关于直线5π6x=对称C.()fx在π,04−上单调递增D.当π0,4x时，()fx的最小值为12【答案】ACD【解析】【分析】利用三角函数的图象变换，

求出()π=sin23fxx+，再利用三角函数的性质逐一判断即可.【详解】结合题意：要得到函数()fx的解析式，只需将sin2yx=向左平移π6个单位长度.所以()ππ=sin2sin263fxxx+=+

,对于选项A:由()π=sin23fxx+可得2=，所以2ππT==,故选项A正确；对于选项B:将5π6x=代入()π=sin23fxx+得：5π5π66π=sin2sin2π03f+==，所以()fx的图象不关于直线5π6

x=对称，故选项B错误；对于选项C:对于()π=sin23fxx+，令π23tx=+，则=sinyt，因为π,04x−，所以πππ2,363tx=+−，而=sinyt在ππ,63

−上单调递增，所以()π=sin23fxx+在π,04−上单调递增，故选项C正确；对于选项D:对于()π=sin23fxx+，令π23tx=+，则=sinyt，因为π

0,4x，所以ππ5π2,336tx=+，结合正弦函数图象可知=sinyt在ππ,32上单调递增，在π5π,26上单调递减，故π5π236tx=+=，即π4x=时，()minπ5π1sin4

62fxf===，故选项D正确.故选：ACD.11.如图，在正四棱台1111ABCDABCD−中，111224,ABABAAP===为棱1CC上一点，则（）A.不存在点P，使得直线BP平面11ABDB.当点P与1C重合时，直线1CC⊥平面BPDC.当

P为1CC中点时，直线BP与AD所成角的余弦值为71326D.当P为1CC中点时，三棱锥111AABD−与三棱锥PBCD−的体积之比为1:2【答案】BCD【解析】【分析】连接AC交BD于O，以OA为x轴，

OB为y轴，垂直于平面ABCD为z轴建立坐标系，利用空间向量法判断ABC，利用三棱锥体积公式判断D.【详解】连接AC交BD于O，因为正四棱台1111ABCDABCD−，所以以OA为x轴，OB为y轴，垂直于平面ABCD为z轴建立如图所示坐标系，设点1A在底面投影为E，则2A

EOAOE=−=，22112AEAAAE=−=，即正四棱台1111ABCDABCD−的高为2，则()22,0,0A，()0,22,0B，()22,0,0C−，()10,2,2B，()12,0,2C−，()

10,2,2D−，所以()122,2,2AB=−，()122,2,2AD=−−，()12,0,2CC=，()22,22,0BC=−−，因为P为棱1CC上一点，所以()()12,0,201CPCC==

，所以()222,22,2BPBCCP=+=−+−，设平面11ABD的法向量()111,,nxyz=，则111111112222022220ABnxyzADnxyz=−++==−−+=，令11x=可得平面11ABD的一个法向量为()1,0,2n=，令2222

20nBP=−++=解得23=，故存在点P，使得直线BP平面11ABD，A说法错误；当点P与1C重合时即()2,0,2P−，()0,22,0D−，()2,22,2BP=−−，()0,42,0BD=−，设平面BPD的法

向量()222,,mxyz=，则222222220420BPmxyzBDmy=−−+==−=，令21x=可得平面BPD的一个法向量为()1,0,1m=，因为12CCm=，所以当点P与1C重合时，直线1CC⊥平面BPD，

B说法正确；当P为1CC中点时，即322,22,22BP=−−，()22,22,0AD=−−，所以68713cos,26134BPADBPADBPAD+===，所以直线BP与AD所成角的余弦值为713cos,26BPAD=

，C说法正确；设正四棱台1111ABCDABCD−的高为h，当P为1CC中点时，三棱锥111AABD−的体积1111111222223323ABDVSh===，三棱锥PBCD−的体积211124244323223BC

DhVS===，所以三棱锥111AABD−与三棱锥PBCD−的体积之比为1:2，D说法正确；故选：BCD12.我国著名数学家华罗庚先生说：“就数学本身而言，是壮丽多彩､千姿百态､引人入胜的……认为数学枯燥乏味

的人，只是看到了数学的严谨性，而没有体会出数学的内在美.”图形美是数学美的重要方面.如图，由抛物线22(0)ypxp=分别逆时针旋转90180270､､可围成“四角花瓣”图案（阴影区域），则（）A.开口向下的抛物线的方程为()220xpyp=−B.若8AB=，则2p=C.设1p=，则1

t=时，直线xt=截第一象限花瓣的弦长最大D.无论p为何值，过点B且与第二象限花瓣相切的两条直线的夹角为定值【答案】ABD【解析】【分析】根据图象的对称性判断A；由8AB=及抛物线方程得到点A的坐标，由对称性得到点B坐标，代入()220xpyp=−即可求p，判断B

；由题意得到直线xt=截第一象限花瓣弦长的函数，借助导数即可判断C；利用导数的几何意义求出过点B的切线，借助图象的对称性判断D.【详解】对于A，因为抛物线22(0)ypxp=的焦点为,02p，若抛物线逆时针旋转270，则开口向下，焦点为0,2p−

，故开口向下的抛物线方程为：()220xpyp=−，故A正确；对于B，由题意可知，,AB关于x轴对称，因为8AB=，设()(),,,AABBAxyBxy，所以4Ay=，4By=−，因为点A在抛物线22(0)ypxp=上，所以162Apx=，所以8Axp=，即8,4Ap，所以8,

4Bp−，由B在抛物线()220xpyp=−上，所以()26424pp=−−，解得2p=，故B正确；对于C，当1p=，由2222yxxy==得()2,2A，所以02t，由题意直线xt=截第一象限花瓣弦长为12222222ttytt=−=−，02t，所以122

2ytt−=−，令0y=，则312t=，当3102t时，0y，函数单调递增，当3122t时，0y，函数单调递减，所以当312t=时，函数取到最大值，故C错误；对于D，由2222ypxxpy==−得()2,2Bpp−，过第二象限的两抛物线分别为：22xpy=

①，22ypx=−②，对于①，22xyp=，则xyp=，设切点坐标为2,2mmp，所以过点B的切线方程为：()22mypxpp+=−，将点2,2mmp代入得22440mmpp+−=，解得222mpp=，因为0m，故()222222mppp=

−=−，所以切线的斜率为222−，故无论p为何值，切线斜率均为222−，其与直线yx=的夹角为定值，由题意可知，22xpy=与22ypx=−关于直线yx=对称，故过点B的两切线也关于直线yx=对称，故22ypx=−的切线与直线yx=的夹角为定值，即无论p为何值，过点B且与第二象限花瓣相切的两条直线

的夹角为定值，故D正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：本题的关键是借助抛物线图象的对称性，利用导数的几何意义和导数求单调性及最值解决问题.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.()53(21)xx−+的展开式中3x的系数为________

__.【答案】200−【解析】【分析】先求得二项式5(21)x+展开式的通项为5552rrrCx−−，结合通项进而求得3x项的系数.【详解】由二项式5(21)x+展开式的通项为()55515522rrrrrrTCxCx−−−+==，则()53(21)xx−+的展开式中，含3x的项为23

2323355232200xCxCxx−=−，所以3x项的系数为200−.故答案为：200−.14.已知等差数列na的前n项和为5,25nSS=且815a=，则1a的值为__________.【答案】1【解析】【分析】利用等差数列的基本量

1a和d表示525S=,815a=，计算即可.【详解】结合题意：设等差数列的公差为d，因为525S=,815a=，所以518151025715Sadaad=+==+=，解得112ad==.故答案为：115.若存在两个不相等正实数,xy，使得()()eexyayxyx−=−+，

则实数a的取值范围为__________.【答案】e,2−−.【解析】【分析】对已知等式进行变形，构造新函数，利用导数判断函数的单调性，结合题意进行求解即可.【详解】由()()eexyayxyx−=−+，可得22eey

xaxay=++，令()2emhmam=+，要存在两个不相等正实数,xy，使得()()eexyayxyx−=−+，即()2emhmam=+不是正实数集上的单调函数，则()()e2,0mhmamm=+，当0a时，()e2

0mhmam=+，此时()2emhmam=+在()0,+单调递增,不满足；当a<0时，令()e2mgmam=+，则()e2mgma=+，令()e20mgma=+=，则()ln2ma=−，当()()0,ln2ma−时，()0gm，()e2mgma

m=+在()()0,ln2a−单调递减，当()()ln2,ma−+时，()0gm，()e2mgmam=+在()()ln2,a−+单调递增，要使()2emhmam=+不是正实数集上的单调函数，则()()ln20ha−，即()()ln2e2ln20aaa−+−，解得e2a

−.故答案为：e,2−−.16.如图，在直三棱柱111ABCABC-中，,5ABBCABBC⊥==，12AA=，则该三棱柱外接球的表面积为__________；若点P为线段AC的中点，点Q为线段1AC上一动点，则平面BPQ截三棱柱111ABCABC-

所得截面面积的最大值为__________.【答案】①.54π②.36【解析】【分析】把直三棱柱111ABCABC-可补充一个长方体，结合长方体的性质，求得外接球的半径，得到其表面积；连接PQ，延长PQ交11AC于点E，取11AC的中点M，连接1,BMPM，在过点E作

1//EFBM，证得截面四边形BPEF为直角梯形，设MEx=，求得梯形BPEF的面积为()221(52)(4)2Sxxx=−+，设()2252(52)(4),02fxxxx=−+，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.【详解】由题意，直三棱柱111AB

CABC-中，,5ABBCABBC⊥==，12AA=，该直三棱柱111ABCABC-可补充一个长方体，其中直三棱柱111ABCABC-的外接球和补成的长方体的外接球是同一个球，又由长方体过同一顶点的三条棱长分别为5,5,2，可得对角线长为22255254++=，所以外接球的半径为542R=

，则该三棱柱外接球的表面积为2544π()54π2=；如图所示，连接PQ，并延长PQ交11AC于点E，取11AC的中点M，连接1,BMPM，则1BMBP=且1//BMBP，在过点E作1//EFBM，可得//EFBP，连接B

F，则四边形BPEF即为过点,,BPQ的截面，在ABC中，因为ABBC=，且P为AC的中点，所以BPAC⊥，又因为1AA⊥平面ABC，BP平面ABC，所以1BPAA⊥，因为1ACAAA=∩，且1,ACAA平面11ACCA，所以BP⊥平面11ACCA，又因为

PE平面11ACCA，所以BPPE⊥，所以四边形BPEF为直角梯形，在ABC中，由5ABBC==且ABBC⊥，可得52AC=，所以15222BPAC==，设MEx=，在直角PME△中，可得2224PEPMMEx=+=+，

又由11522CECMMEx=−=−，可得1522EFCEx==−，所以直角梯形BPEF的面积为()2115252()()42222SxBPEFPExx=+=+−+22211(52)4(52)(4)22xxxx=−+=−+，其中5202x，设()2252(52)

(4),02fxxxx=−+，可得()()()()()()22'22'2[52]452(4)452222fxxxxxxxx=−++−+=−−−，当2[0,)2x时，()0fx，

()fx单调递减；当2(,22)2x时，()0fx，()fx单调递增；52(22,]2x时，()0fx，()fx单调递减，又由()0200,(22)216ff==，可得()0(22)ff，所以当22x=时，函数()

fx取得最大值，此时梯形的面积取得最大值(22)36S=.故答案为：36.【点睛】知识方法点拨：对于立体结合中的截面的探索性以及最值问题的求解策略：1、立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动角的范围等问题；2、解答方法：一般时根据线面平行，线面

垂直判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；3、对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后再该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设

满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设；4、对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若由解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.5、对

于探索性问题的求解，可得建立函数关系，常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）平面向量；（6）导数法等，要特别注意自变量的取值范围.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤

.17.若ABC的内角,,ABC的对边分别为()2sin,,,tancosabAabcaCB−=.（1）求C；的的（2）若3,7ac==，求ABC的面积.【答案】17.π318.334或332【解析】【分析】（1）在三角形中，对已知条件进行“边化角”，化简后再利用两角和的正余公式

，求出角C的余弦值，从而求出角C的大小；（2）由余弦定理求出b的值，再由三角形面积公式求解即可．【小问1详解】(2)sin,tancosabAABCaCB−=，(2)sinsin,(2sinsin)sincossinsincoscoscosabAaC

ABACACBBC−=−=sin0,2sincossincossincosAACBCCB−=，即2sincossincossincossin()sinACBCCBBCA=+=+=，1π2cos1,cos,(0,π),23CCCC===．【小问2详解】在ABC中，由余弦定理

222cos2abcCab+−=，22222π3(7)12cos,,320,132326bbbbbbb+−+==−+==或2b=，所以ABC面积：11π33sin31sin2234abC==或11π33sin32sin2232abC==．18.已知数列na的前n

项和2nSnm=+，且137,2,SSS−成等比数列.（1）求数列na的通项公式；（2）若12nnnaab+=，求证：数列nb的前n项和59nT.【答案】（1）21nan=−（2）证明见解析【解析】为【分析】（1）根据等比中项的定义，得到()23172SSS−=，解出0m=，得到

2nSn=，进而算出数列na的通项公式；（2）利用错位相减法，结合等比数列的前n项和公式算出nT的表达式，进而证出不等式59nT成立.【小问1详解】根据题意，可得()23172SSS−=，即()()()27149mmm+=++，解得0m=，所以2nSn=，当1n=时，111a

S==，当2n时，()221121nnnaSSnnn−=−=−−=−，11211a==−也符合，故21nan=−.【小问2详解】证明：由（1）的结论，可得2212124nnnnnb−−==，所以2

3135214444nnnT−=++++，两边都乘以14，得234111352144444nnnT+−=++++，以上两式相减，可得：2311311112111215221121444444444123414141824nnnnnnnnnT+−−−−=++++−=+−=−+

−所以565994nnnT+−=，结合65094nn+，可知不等式59nT成立.19.如图，四棱锥VABCD−中，底面ABCD是边长为2的菱形，60BAD=，平面VBD⊥底面ABCD.（1）求证：ACVD⊥；（2）若2VB=，且四棱锥VABCD−的体积为2，求

直线VC与平面VAB所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）105【解析】【分析】（1）由平面VBD⊥底面ABCD，证明AC⊥平面VBD，可证得ACVD⊥；（2）O为AC和BD交点，证明VO⊥底面ABCD，以O为原点，建立空间直角坐标系

，利用向量法求直线VC与平面VAB所成角的正弦值.【小问1详解】平面VBD⊥底面ABCD，平面VBD底面ABCDBD=，底面ABCD是边长为2的菱形，ACBD⊥，AC底面ABCD，则有AC⊥平面VBD，又VD平面VBD，所以ACVD⊥.【小问2详解】底面ABCD

是边长为2的菱形，60BAD=，BAD等边三角形，2BD=，122sin6032ABDS==△，平面VBD⊥底面ABCD，平面VBD底面ABCDBD=，过V点作BD的垂线，垂足为O，则VO⊥底面ABCD，四棱锥VABCD−的体积为2，则11223233ABDSVOVO==，解得

3VO=，则22431BOVBVO=−=−=，所以O为BD中点，即O为AC和BD交点，22413AOOCABBO==−=−=，以O为原点，,,OAOBOV所在直线分别为,,xyz轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0O，()3,0,0A，()0,1,0B，()3,0,0C

−，()0,0,3V，为()3,1,0AB=−，()0,1,3VB=−，()3,0,3VC=−−，设平面VAB的一个法向量(),,nxyz=，则有3030ABnxyVBnyz=−+==−=，令1x=，则3y=，1z=，即()1,3,1n=，3

310cos,565VCnVCnVCn−−===−，所以直线VC与平面VAB所成角的正弦值为105.20.某学校计划举办趣味投篮比赛，比赛分若干局进行.每一局比赛规则如下：两人组成一个小组，每人各投篮3次；若某选手投中次数多

于未投中次数，则称该选手为“好投手”；若两人均为“好投手”，则称该小组为本局比赛的“神投手组合”.假定每位参赛选手均参加每一局的比赛，每人每次投篮结果互不影响.若甲､乙两位同学组成一个小组参赛，且甲､乙同学的投篮命中率分别为21,32.（1）求在一局比赛中甲被称为“好投手

”的概率；（2）若以“甲､乙同学组成的小组获得“神投手组合”的局数为3的概率最大”作为决策依据，试推断本次投篮比赛设置的总局数()4nn为多少时，对该小组更有利？【答案】（1）2027（2）详见解析【解析】【分析】（1）根据

好投手的定义，利用独立重复试验的概率求解；（2）先求得甲、乙同学都获得好投手的概率，比赛设置n局，甲､乙同学组成的小组获得“神投手组合”的局数为X，由10,27XBn，再根据3X=时，甲､乙同学组成的小组获得“神投手组合”的概率最大求解.【小问1详解】解：设一局比赛中甲

被称为好投手的事件为A，则()233322222222122220C1+C3+133333333333327PA=−==；【小问2详解】设一局比赛中乙被称为好投手的事件为B，则()23331111111111111C1+C3+122222222

22222PB=−==，甲、乙同学都获得好投手的概率为：2011027227P==，比赛设置n局，甲､乙同学组成的小组获得“神投手组合”的局数为X，则10,27XBn，且()3

3310103C12727nnPX−==−，设()3331=1010C2727nnfn−−，则()()()()11fnfnfnfn+−，则33323

31333433110101010C1C12727272710101010C1C127272727nnnnnnnn−−+−−−−−−−

，即()17212717327nnnn−+−，即7.18.1nn，又*Nn，则8n=，所以本次投篮比赛设置的总局数8时，对该小组更有利.21.已知函数()()2ln1(1)1axxfxxax+=+−+.（1）讨论函数

()fx的单调性；（2）求证：()*111ln2122nnnn+++++N.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）对()fx求导可得()()()22121axaxfxx−+−=+，再对参数a进行分类讨论即可讨论出函数()fx单调性；（2）易知当0a=时，满足()l

n11xxx++，再利用对数运算性质以及累加法即可得出证明；【小问1详解】易知函数()fx的定义域为()1,−+，的()()()()()()()2222211121111axxaxxaxaxfxxxx++−+−+−=−=+++，当0a=时，()()21xfxx=+，易知()1,0

x−时，()0fx，此时()fx单调递减，()0,x+时，()0fx¢>，此时()fx单调递增；即()fx在()1,0−上单调递减，在()0,+上单调递增；当0a时，令()()21212agxaxaxaxxa−

=−+−=−−，易知当01a时，()12110aaaa−−−−=，当102a时，120aa−，()fx在()1,0−上单调递减，在120,aa−上单调递增，在12,aa−+单调递减；当112a时，1210aa−−，()fx在21,1

aa−−上单调递减，在12,0aa−上单调递增，在()0,+单调递减；当12a=时，()2012gxx=−，所以()fx在()1,−+单调递减；当a<0时，()12110aaaa−−−−=

，所以()fx在()1,0−单调递减，在()0,+单调递增；综上可知，当0a时，()fx在()1,0−单调递减，在()0,+单调递增；当102a时，()fx在()1,0−上单调递减，在120,aa−上单调递增，在12,aa−+单调递减；当12a=

时，()fx在()1,−+单调递减；当112a时，()fx在21,1aa−−上单调递减，在12,0aa−上单调递增，在()0,+单调递减；【小问2详解】由（1）可知当0a=

时，()fx在()0,+单调递增，所以()()00fxf=，即()ln11xxx++（当且仅当0x=时等号成立），令1xn=可得11ln11nn++，即()1<ln1ln1nnn+−+；()()1<ln2ln12nnn+−++

，()()1<lnln21nnnnn+−−+，累加可得111ln2lnln2122nnnnn+++−=++.【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用（1）中结论，由()1<ln1ln1nnn+−+根据累加法即可求得结论.22.已知P为曲线22:1(1)4xyC

nn+=上任意一点，直线,PMPN与圆221xy+=相切，且分别与C交于,MN两点，O为坐标原点.（1）若OPOM为定值，求n的值，并说明理由；（2）若43n=，求PMN面积的取值范围.【答案】（1）4n=或43n=;（2）432,3【解析】【分析】

（1）利用直线与圆相切，以及韦达定理表示出1212OxxyyPOM+=，进而求出n的值（2）判读出,,MON三点共线，利用（1）问表示出2PMNPMOSSPMrPM===，借助弦长公式，进行换元转化为二次函数求最值即可.【小问1详解】由题意设()()1122,,,PxyMx

y，当直线PM的斜率不为0时，直线PM：xmyt=+，因为直线与圆相切，所以211tdm==+，即221mt+=，联立2214xmytxyn=++=，可得：()2224240mnymntyntn+++−=，所以()()()222212

122224Δ24440,,,44mntntnmntmnntnyyyymnmn−−=−+−+==++()()()2222121212122444tmnxxmytmytmyymtyytmn−=++=+++=+，所以()22121224444mnntnOPOMxxyymn−++−=

+=+，因为221mt+=，所以()()21212243434nmnxxyynm−+−+=+，要使OPOM为定值，则43434nnn−−=，所以4n=或43n=，当直线PM的斜率为0时，因为直线与圆相

切，所以1dt==，即1y=，不妨取1y=，联立22114yxyn=+=，可得2440xn+−=,所以1244xxn=−所以121243xxyyn+=−+，也符合上式.【小问2详解】当43n=时，由（1）可知0OPOM=，OPOM⊥，同理OPON⊥,即,,MON三点

共线，所以2PMNPMOSSPMrPM===，当直线PM的斜率不为0时，由（1）可知：212122224,,34mttyyyymm−−+==++所以()2222212122243121413PMNmtSPMmyyyymm−+==++−=++，因为221mt+=，所以()()22

22222323629133PMNmmmSmmm+−+++=+=++，令233mk+=，所以()()22226241212421PMNkkkkSkkkk−++−===−++，所以当3k=时，PMNS△有最小值为2；当6

k=时，PMNS△有最小值为433；当直线PM的斜率为0时，由（1）可知：4242PMNSPMn==−=.综上:PMN面积的取值范围432,3.【点睛】关键点点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两

个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．