【文档说明】专题4 函数基本性质的灵活应用（教师版）-高考数学满分突破之函数与导数.docx，共(49)页，2.556 MB，由envi的店铺上传

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专题4函数基本性质的灵活应用一、考情分析函数的性质是整个高中数学的核心内容,所有高中数学内容，都可以围绕这一主线考查学生。单调性与奇偶性更是高考的必考内容,在高考命题中函数常与方程、不等式等其他知识结合考查,而且考

查的形式不一,简单的题目也有出现，但是压轴题目是肯定会对函数的性质进行考查的。二、考点梳理1．周期性的常用结论—对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x),则T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝()1fx,则T＝2a(a>0)．(3)若f(x＋a)＝－(

)1fx,则T＝2a(a>0)．(4)若()()()2fxafxafx+=+−,则T＝6a(a>0)．(5)若f(x＋a)＝()()11fxfx−+,则T＝2a(a>0)．(6)若f(x＋a)＝()()11fxfx+−,则T＝4a(a>0)．2．

函数对称性与函数周期性的关系（类比三角函数）(1)若函数()fx的图象既关于直线xa=对称,又关于直线xb=对称()ab,则()fx是周期函数,且()2ba−是它的一个周期.(2)若函数()fx的图象既

关于点(),0a对称,又关于点(),0b对称()ab,则()fx是周期函数,且()2ba−是它的一个周期.(3)若函数()fx的图象既关于直线xa=对称,又关于点(),0b对称()ab,则()fx是周期函数,且()4ba−是它的一个周期.3.复合函数设()xgfy=是定义在M

上的函数,若()fx与()gx的单调性相反,则()xgfy=在M上是减函数；若()fx与()gx的单调性相同,则()xgfy=在M上是增函数,简称同增异减.4.对称性的一般结论①若()()faxfbx+=−,则()fx图像关于直线2abx+=对称；

②cxbfxaf=−++)()(，函数)(xfy=关于点)2,2(cba+对称.三、题型突破(一)函数单调性的灵活应用例1.（1）、（2022·安徽蚌埠·高一期末）若函数log,1,()41,1,axxfxaxx=−+在

R上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．(0,1)B．(1,)+C．1,14D．10,4【答案】D【分析】要保证函数log,1,()41,1,axxfxaxx=−+在R上单调递减，需使得l

og,1axx和41,1axx−+都为减函数，且x=1处函数值满足411log1aa−+,由此解得答案.【详解】由函数log,1()41,1axxfxaxx=−+在R上单调递减，可得0140411log1aaaa

−−+，解得104a，故选：D.（2）、（2021·嘉峪关市第一中学高三（理））函数2()ln(3)fxxax=−−在(1,)+上单调递增，则a的取值范围是（）A．(,2]−−B．(,2)−−C．(,2]−D．(,2)−【答案】A【分析】根据

复合函数的同增异减原理，只要保证2()3uxxax=−−在(1,)+上单调递增，且满足定义，即可得解.【详解】函数2()ln(3)fxxax=−−为复合函数，令2()3uxxax=−−，lnyu=为增函数，

故只要2()3uxxax=−−在(1,)+上为增函数即可，只要：12(1)0au，解得：2a−，故选：A.【点睛】本题考查了复合函数的同增异减原理，同时注意满足定义域，有一定的计算量，属于基础题.（3）、（2021·广东汕

头·）已知()fx是定义在R上的函数，满足xR.都有()()fxfx=−，且在[0,)+上单调递增.若12af=，(sin1)bf=，(cos2)cf=，则a，b，c的大小关系为（）A．abcB．bacC．acbD．cab【答案】B【分析】首先判断函数的奇偶性，

从而得到(cos(2))cf=−，再根据函数的单调性比较函数值的大小即可.【详解】因为函数()fx满足()()fxfx=−，所以函数是()fx是奇函数，所以(cos2)(cos2)(cos(2))cfff==

−=−，又因为16，21−所以1cos(2)sinsin126−=又在[0,)+上单调递增，所以1(cos(2))()(sin1)2fff−，即bac，故选：B【点睛】本题主要考查函数的奇偶性及单调性的应用，比较函数值的大小，在求解的过程中，要注意对奇偶性的应用，其实

就是将自变量的取值放在函数的同一个单调区间上，最后通过单调性比较函数值的大小即可.【变式训练1-1】、（2020·安徽宣城·模拟预测）已知函数()sin2fxxx=−，且()0.3231ln,log,223afbfcf===，则以下结论正确的是A．c

abB．acbC．abcD．bac【答案】D【详解】因为()cos20fxx=−，所以函数()sin2fxxx=−的单调递减函数，又因为0.3213log0,lnln1,12232e=，即0.3213logln232，所以由函数的单调性可得

：0.3213(log)(ln)(2)32fff，应选答案D．【变式训练1-2】．（2020·全国高一课时练习）若函数()22log3yxaxa=−+在[2,)+上是单调增函数，则a的取值范围是____________．【答案】(

4,4]−【分析】利用复合函数单调性的判断方法,分内层和外层分别判断,解出a的取值范围.【详解】由题意得，设2()3gxxaxa=−+，根据对数函数及复合函数单调性可知：()gx在)2,+上是单调增函数，且(2)0g，所以2240aa

+，所以44a−．故答案为:(4,4]−【点睛】本题考查复合函数单调性的应用,考查对数函数的性质,考查学生运算求解能力,属于中档题.【变式训练1-3】、（2022·浙江·玉环市坎门中学高一开学考试）已知函数()22,12,1xxaxax

fxx−+−=在R上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．(,1−B．1,3C．)3,+D．(),13,−+【答案】B【分析】由题可得21122aaa−+−，解之即得.【详解】

∵()22,12,1xxaxaxfxx−+−=在R上单调递增，∴21122aaa−+−，解得13a.故选：B.(二)函数奇偶性的灵活应用例2．（1）、（2022·上海静安·模拟预测）已知函数()sin

cosfxxx=+，下列结论正确的是（）A．()fx为偶函数B．()fx为非奇非偶函数C．()fx在0,上单调递减D．()fx的图象关于直线4x=对称【答案】A【分析】()()fxfx−=,所以()fx为偶函数，所以选项A正确，选项B错误

；当0πx时，此时函数的单调递减区间为π[,π]4，所以选项C错误；3ππ44ff−，即()fx的图象不关于直线π4x=对称，所以选项D错误.【详解】解：由题得函数的定义

域为R，关于原点对称.()sin()cos()|sin|cos()fxxxxxfx−=−+−=+=,所以()fx为偶函数，所以选项A正确，选项B错误；当0πx时，()πsincos2sin()4fxxxx=+=+，令322,,242kxkk

Z+++所以522,,44kxkkZ++令0k=得5,44x令1k=−得73,44x−−所以此时函数的单调递减区间为π[,π]4，所以选项C错误；=sinπππ4+cos=424f

−−−，=sin+c3π3π3os=0ππ4444ff−，即()fx的图象不关于直线π4x=对称，所以选项D错误.故选：A（2）．（2014·湖南高考真题（理））已知)(),(xgxf分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且1)()(23+

+=−xxxgxf，则=+)1()1(gfA.3−B.1−C.1D.3【答案】C【解析】试题分析：分别令1x=和1x=−可得()()113fg−=和()()111fg−−−=,因为函数)(),(xgxf分别是定义在R上的偶函数和奇函数,所以()()()()11,11ffgg−=

−=−,即()()111fg−−−=()()111fg+=,则()()()()()()1131211111fgffgg−==+==−()()111fg+=,故选C.考点：奇偶性（3）、（2022·全国·模拟预测）已知定义在R上的函数()fx满足()()24fxfx+=+

，且()1fx+是奇函数，则（）A．()fx是偶函数B．()fx的图象关于直线12x=对称C．()fx是奇函数D．()fx的图象关于点1,02对称【答案】C【分析】由周期函数的概念易知函数()fx的周期为

2，根据图象平移可得()fx的图象关于点()1,0对称，进而可得奇偶性.【详解】由()()24fxfx+=+可得2是函数()fx的周期，因为()1fx+是奇函数，所以函数()fx的图象关于点()1,0对称，所

以()()2fxfx=−−，()()fxfx=−−，所以()fx是奇函数，故选：C.【变式训练2-1】．（2008·重庆高考真题（理））若定义在R上的函数()fx满足：对任意1,x2xR有1212()()()1fxxfxfx+=++则下列说法一定正确

的是A．()fx为奇函数B．()fx为偶函数C．()1fx+为奇函数D．()1fx+为偶函数【答案】C【详解】x1=x2=0，则()()()0001fff=++，()01f=−，令x1=x，x2=-x，则()()()01ffxfx=+−+，所以()()110fxfx++−+=，即

()()11fxfx+=−−+，()1fx+为奇函数，故选C.【变式训练2-2】．（2015·全国高考真题（文））设函数()()21ln11fxxx=+−+,则使()()21fxfx−成立的x的取值范围是A．1,1

3B．()1,1,3−+C．11,33−D．11,,33−+【答案】A【详解】试题分析：()()21ln11fxxx=+−+，定义域为，∵，∴函数为偶函数，当时，函

数单调递增，根据偶函数性质可知：得()()21fxfx−成立，∴，∴，∴的范围为1,13故答案为A.考点：抽象函数的不等式.【思路点晴】本题考查了偶函数的性质和利用偶函数图象的特点解决实际问

题，属于基础题型，应牢记．根据函数的表达式可知函数为偶函数，根据初等函数的性质判断函数在大于零的单调性为递增，根据偶函数关于原点对称可知，距离原点越远的点，函数值越大，把()()21fxfx−可转化为，解

绝对值不等式即可．【变式训练2-3】、（2022·上海市嘉定区第二中学模拟预测）已知函数()yfx=是定义域为R的奇函数，且当0x时，()1afxxx=++．若函数()yfx=在)3,+上的最小值为3，则实数a的值为________．【答

案】3【分析】根据已知条件及奇函数的定义求出当0x时函数的解析式，再利用函数的单调性对a进行分类讨论，确定单调性即可求解.【详解】由题意可知，因为0x，所以0x−，所以()1afxxx−=−−+，因为函数

()fx是定义域为R的奇函数，所以()()1afxfxxx=−−=+−.因为函数()yfx=在)3,+上的最小值为3当0a时，由函数的性质知，函数()fx在)3,+上单调递增；当3x=时，()fx取得最小值为(3)23af=+，因为函数()yfx=在)3,+上

的最小值为3，所以233a+=，解得3a=（舍），当09a时，由函数的性质知，函数()fx在)3,+上单调递增；当3x=时，()fx取得最小值为(3)23af=+，因为函数()yfx=在)3,+上的最小值为3，所以233a+=，解得3a=，当9a时，由对勾函数的

性质知，函数()fx在),a+上单调递增；在()0,a上单调递减；当xa=时，()fx取得最小值为()121afaaaa=++=+，因为函数()yfx=在)3,+上的最小值为3，所以213a+=，

解得1a=（舍），综上，实数a的值为3.故答案为：3.(三)函数对称性的灵活应用例3．（1）、（2022·全国高三专题练习）已知函数()lnln(2)fxxx=+−，则A．()fx在（0，2）单调递增B．()fx在（

0，2）单调递减C()y=fx．的图像关于直线x=1对称D()y=fx．的图像关于点（1，0）对称【答案】C【详解】由题意知，(2)ln(2)ln()fxxxfx−=−+=，所以()fx的图象关于直线1x=对称，故C正确，D错误；又()ln[(2)]fxxx=−（02x），由复合函数的单调性

可知()fx在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，所以A，B错误，故选C．【名师点睛】如果函数()fx，xD，满足xD，恒有()()faxfbx+=−，那么函数的图象有对称轴2abx+=；如果函数()fx，xD，满足xD，恒有()()f

axfbx−=−+，那么函数()fx的图象有对称中心(,0)2ab+．（2）、（2019·甘肃兰州市·兰州一中高三月考（文））函数f（x）=3344xx−的大数图象为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】由函数()fx是

奇函数，图象关于原点对称，排除C、D项；再由当()0,1x时，函数()fx的值小于0，排除B，即可得到答案.【详解】由题知，函数()fx满足()333()3()4444xxxxfxfx−−−==−=−−−，所以函数()fx是奇函数，图象关于原点对称，排除C、D项；又由

当()0,1x时，函数()fx的值小于0，排除B，故选A.【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中熟练应用函数的奇偶性和函数的取值范围，利用排除法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.（3）、（2

019·陕西西安市·高考模拟（文））若定义在R上的函数()fx满足()()2fxfx+=且1,1x−时，()fxx=，则方程()3logfxx=的根的个数是A．4B．5C．6D．7【答案】A【分析】由题意作出函数()fx与3logy

x=的图象，两图象的交点个数即为方程()3logfxx=的根的个数.【详解】因为函数()fx满足()()2fxfx+=，所以函数()fx是周期为2的周期函数.又[1,1]x−时，()||fxx=，所以函数()fx的图象如图所示.再作出3logyx=的图象，易得两图象有4个

交点，所以方程3()log||fxx=有4个零点．故应选A．【点睛】本题考查函数与方程.函数的零点、方程的根、函数图象与x轴交点的横坐标之间是可以等价转化的.【变式训练3-1】、（2021·四川宜宾·三模）已知()y

fx=是定义在R上的奇函数，满足()()12fxfx+=−，下列说法：①()yfx=的图象关于32x=对称；②()yfx=的图象关于3,02对称；③()yfx=在0,6内至少有5个零点；④若()y

fx=在0,1上单调递增，则它在2021,2022上也是单调递增．其中正确的是（）A．①④B．②③C．②③④D．①③④【答案】C【分析】推导出()()30fxfx++−=，可判断①②的正误；分析得出()()()39630022fffff=====

，可判断③的正误；利用函数的单调性与奇偶性、周期性的关系可判断④的正误.【详解】因为()()12fxfx+=−且()yfx=是定义在R上的奇函数，则()()3fxfx+=，故函数()fx是周期为3的周期函数，且(

)()()3fxfxfx+==−−，所以，()()30fxfx++−=，故函数()yfx=的图象关于3,02对称，①错误，②正确；由题意可知，()()()6300fff===，因为()()()3fxfxfx=+=−−，令32x=−，可得3322ff−=

，即3322ff=−，所以，302f=，从而93022ff==，故函数()yfx=在0,6内至少有5个零点，③正确；因为2021367

41=−，20223674=，且函数()fx在0,1上单调递增，则函数()fx在1,0−上也为增函数，故函数()fx在2021,2022上也是单调递增，④正确.故选：C.【变式训练3-2

】、（2021·临澧县第一中学高一期末）设函数()()221log12xfxx=+−，则使得f(12)>f(3x-1)成立的x的取值范围是___________.【答案】1162，【分析】先判断函数的奇偶性，求出函数的单调性，由此得到1>|31|2x−，解不等

式即得解.【详解】由题得函数的定义域为R.()()()221log12xfxxfx−−=−+−=，所以函数是偶函数.当0x>时，()22log112,xyxy−+==都是增函数，所以()()221log12xfxx=+−，是增函数，所以函数在(0,)+

是增函数，在0)（-,上是减函数.因为f(12)>f(3x-1)，所以111>|31|262xx−，.故答案为：1162，【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查抽象不等式的

解法，注意对于偶函数，解其不等式时，避免讨论，运用绝对值得出其大小关系，属于中档题.【变式训练3-3】、（2019·广东中山纪念中学高三月考（文））函数lnxyx=的图像大致为A．B．C．D．【答案】D

【详解】分析：利用函数的奇偶性和函数值的变化趋势，即可作出选择．详解：由题意可知，函数lnxyx=的定义域为(,0)(0,)−+，且满足()lnln()xxfxfxxx−−==−=−−，所以lnxyx=为奇函数，图

象关于原点对称，排除A、C；又0x−→时，0y，1x时，0y，排除B，故选D．点睛：本题主要考查了函数的基本性质和函数图象的识别问题，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力．(四)函数周期性的灵活应用例4．（1）、（2021·宜宾市翠屏区天立学校（文））已知函数()fx是定义在R上的

奇函数，对任意的xR都有3322fxfx+=−，当302x−，时，()()12log1fxx=−，则()()20172019ff+=A．1B．2C．1−D．2−【答案】A【分析】根据题意，对3322fxfx+=−

变形可得()()3fxfx=−，则函数()fx是周期为3的周期函数，据此可得()()20171ff=，()()20190ff=，结合函数的解析式以及奇偶性求出()0f与()1f的值，相加即可得答案．【详解】根据题意，函数()fx满足任

意的xR都有3322fxfx+=−，则()()3fxfx=−，则函数()fx是周期为3的周期函数，()()()2017167231fff=+=，()()()201967330fff==又由函数()fx是定义在R上的奇函数，则()00f=，3,02x−时

，()()12log1fxx=−，则()()121log111f−=−−=−，则()()111ff=−−=；故()()()()20172019011ffff+=+=；故选A．【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性、对称性

的应用，关键是求出函数的周期，属于基础题．（2）、（2022·四川·盐亭中学模拟预测（文））已知定义在R上的奇函数()fx满足(2)(2)fxfx+=−，当(0,1]x时，()3xfx=，则(2022)(2023)ff+=（）A．3B．0C．1−D．3−【答案】D【分析】利

用函数的周期性、奇偶性、对称性以及函数的解析式进行求解处理.【详解】因为(2)(2)fxfx+=−，所以(4)()fxfx+=，所以()fx的周期为4，所以(2022)(2023)(2)(1)ffff+=−+−，又()fx是定义在R上的奇函数，所以(2)

(1)(2)(1)ffff−+−=−−，所以(2022)(2023)(2)(1)ffff+=−−，又因为在(2)(2)fxfx+=−中，令0x=，得(2)(2)(2)fff=−=−，所以(2)0f=，又当(0,1]x时，()3xfx=，所以令1x=，(1)3f=，所以(2

022)(2023)(2)(1)3ffff+==−−=−.故A，B，C错误.故选：D.（3）、（2021·全国高一专题练习）已知定义在R上的函数()fx满足()()1f3xfx+=−，且()3yfx=+为偶函数，若()fx在()0,3内单调递减，则下

面结论正确的是A．()()()4.53.512.5fff−＜＜B．()()()3.54.512.5fff−＜＜C．()()()12.53.54.5fff−＜＜D．()()()3.512.54.5fff−＜＜【答案】B【分析】由题意可判断函数f（x）的周期为

6，对称轴为x＝3，所以有f（12.5）＝f（0.5），f（-4.5）＝f（1.5），f（3.5）＝f（2.5），因为0＜0.5＜1.5＜2.5＜3，且函数在（0，3）内单调递减，从而判断大小【详解】∵函数()fx满足()()13fxfx+=−，∴()()16

3fxfx+=−+=()1fx1fx−=−（），∴f（x）在R上是以6为周期的函数，∴f（12.5）＝f（12+0.5）＝f（0.5），()()()4.54.561.5fff−=−+=又()3yfx=+为偶函数，∴f（x）的对称轴为x＝

3，∴f（3.5）＝f（2.5），又∵0＜0.5＜1.5＜2.5＜3，且()fx在（0，3）内单调递减，∴f（2.5）＜f（1.5）＜f（0.5）即f（3.5）＜f（-4.5）＜f（12.5）故选B．【点睛】本题主要考查了函数

周期性与对称性的推导，考查了周期与单调性的综合运用，利用周期与对称把所要比较的变量转化到同一单调区间，利用函数的单调性比较函数值的大小，是解决此类问题的常用方法，属于中档题．【变式训练4-1】．（2018·德州跃华学校高中部高考模拟（理））已知定义在R

上的函数()fx满足：（1）()()2fxfx−=；（2）()()22fxfx+=−；（3）12,1,3xx时，()()()12120xxfxfx−−.则()()()2018,2019,2020fff大小关系A．

()()()201820192020fffB．()()()202020182019fffC．()()()202020182019fff=D．()()()201820192020fff=【答案】C【分析】根据已知可得函数f（x

）的图象关于直线x＝1对称，周期为4，且在[1，3]上为减函数，进而可比较f（2018），f（2019），f（2020）的大小．【详解】∵函数f（x）满足：①f（2﹣x）＝f（x），故函数的图象关于直线x＝1对称；②f（x+4）＝f（x），故函数

的周期为4；③x1，x2∈[1，3]时，（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0．故函数在[1，3]上为减函数；故f（2018）＝f（2），f（2019）＝f（3），f（2020）＝f（0）＝f（2），故f（2020）＝f（2018）＞f（2019），故选C．【点睛】本题考查的知识点是函数的对

称性，函数的周期性，函数的单调性，从已知的条件中分析出函数的性质，是解答的关键，属于中档题．【变式训练4-2】．（2020·四川阆中中学）已知函数()()()ln2ln4fxxx=++−，则（）A．()fx在()2,4−单调递增B．()fx在()2,4−

单调递减C．()yfx=的图象关于直线1x=对称D．()yfx=的图象关于点()1,0对称【答案】C【分析】利用复合函数的单调性可判断出A、B选项的正误；利用函数对称性的定义可判断出C、D选项的正误.【详解】对于函数()()()ln2ln4fxxx=++−，2040

xx+−，解得24x−，则函数()yfx=的定义域为()2,4−，且()()()()2ln24ln28fxxxxx=+−=−++，由于内层函数228uxx=−++在区间()2,1−上单调递增，在区间()1,4上单调递减，外层函数lnyu=为增函数，所以，函数()

yfx=的单调递增区间为()2,1−，单调递减区间为()1,4，A、B选项均错；()()()()()()2ln22ln42ln4ln2fxxxxxfx−=−++−−=−++=，所以，函数()yfx=的图象关于直线1x=对称，C选项正确；由上可知()()()22fxfxfx+−=不恒为

零，所以，函数()yfx=的图象不关于点()1,0对称，D选项错误.故选：C.【点睛】本题考查对数型复合函数单调性与对称性的判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.【变式训练4-3】、（2022·内蒙古·赤峰二中模拟预测）设函数()fx是定义域为R

的奇函数，且()()11fxfx+=−，若1122−=f，则92f=（）A．32B．32−C．12D．12−【答案】D【分析】由条件可得()fx是周期为4的周期函数，从而结合已知条件，利用函数的周期性和奇偶性即可求解.【详解】由()()11fxfx+=−可得()fx的图象关

于直线1x=对称，即()()2fxfx=−又函数()fx是定义域为R的奇函数，则()()fxfx=−−，所以()()2fxfx−=−−即()()2fxfx=−+，所以()()()42fxfxfx+=−+=所以()fx

是周期为4的周期函数.所以91111422222ffff=+==−−=−故选：D(五)函数性质的综合应用例5．（1）、（2022·全国高三专题练习）已知函数()2sin20201xfxx=++，则()()()1ln2ln

3ln2020ln2ffff+++++11lnln32020ff++=（）A．4040B．4038C．2D．9【答案】B【分析】根据函数不等式可得()()2fxfx+−=，然后分组配对可求和.【详解】()2sin20201xfxx=++，则

()()()22sinsin2020120201xxfxfxxx−+−=+++−++22202022020120201xxx=+=++()()()1ln2ln3ln2020ln2ffff+++++11lnl

n32020ff++()()()111ln2lnln3lnln2020ln232020ffffff=++++++201924038==故选：B

【点睛】关键点睛：本题考查利用函数性质解决求和问题，解答本题的关键是由()()2fxfx+−=，根据()()()1lnlnlnln2fnffnfnn+=+−=，属于中档题.（2）、（2022·广西南宁·三模）函数()()1sinπ1f

xxx=+−，则()=yfx的图象在()24−，内的零点之和为（）A．2B．4C．6D．8【答案】B【分析】由题可知函数()sinπyx=与函数11yx=−−的图象在()24−，内交点的横坐标即为函数()=yfx的零点，利用数形结合及函数的对称性即得.【详解】由(

)()1sinπ01fxxx=+=−可得()1sinπ1xx=−−，则函数()sinπyx=与函数11yx=−−的图象在()24−，内交点的横坐标即为函数()=yfx的零点，又函数()sinπyx=与函数11yx=−−的图象都关于点(

)1,0对称，作出函数()sinπyx=与函数11yx=−−的大致图象，由图象可知()=yfx在()24−，内有四个零点，则零点之和为4．故选：B.【变式训练5-1】．（2022·浙江高三专题练习）设函数()fx的定义域为

R，满足(1)2()fxfx+=，且当(0,1]x时，()(1)fxxx=−.若对任意(,]xm−，都有8()9fx−，则m的取值范围是A．9,4−B．7,3−C．5,2−D

．8,3−【答案】B【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决．【详解】(0,1]x时，()=(1)fxxx−，(+1)

=()fx2fx，()2(1)fxfx=−，即()fx右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当23x时，()=4(2)=4(2)(3)fxfxxx−−−，令84(2)(3)9xx−−=−，整理得：2945560xx−+=，1278(37)(38)0,,33x

xxx−−===（舍），(,]xm−时，8()9fx−成立，即73m，7,3m−，故选B．【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模

能力．【变式训练5-2】．（2020·全国高三（理））已知函数32,02()32,02xxxfxx−−=−…，若()()312fmfm−−，则实数m的取值范围为__________．

【答案】13(,)24−【分析】画图分析可得函数是偶函数，且在(0,)+上单调递减，利用偶函数性质()()fxfx=和单调性可解.【详解】作出函数()fx的图如下所示，观察可知，函数()fx为偶函数，且在(),0−上单调递增，在(0,)+上单调递减，故()(2)

|31||2|31fmmfmm−−−−213823024mmm−−−，故实数m的取值范围为13(,)24−.故答案为：13(,)24−【点睛】本题考查利用函数奇偶性及单调性解不等式.函数奇偶性的常用结论

：(1)如果函数()fx是偶函数，那么()()fxfx=．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．【变式训练5-3】、（2022·全国·模拟预测）已知函数()fx的定义域为R，()()1fxfx−=，且()fx在1,2

+上单调递减，则关于x的不等式()()123fxfx+−的解集为（）A．()1,1,4−−−+B．1,14C．()1,1,4−+D．11,4−−【答案】C【分析】由()(

)1fxfx−=可得函数()fx的图象关于直线12x=对称，进而得到()fx在1,2−上单调递增，数形结合将()()123fxfx+−转化为()()1112322xx+−−−，解不等式即可.

【详解】因为()()1fxfx−=，1111222fxfxfx−+=+=−，所以函数()fx的图象关于直线12x=对称，又()fx在1,2+上单调递减，所以()fx在

1,2−上单调递增，结合草图可知：要使()()123fxfx+−，则1x+到12的距离小于23−x到12的距离，故不等式()()123fxfx+−等价于()()1112322xx+−−−，两边同时平方后整理得24510xx

−+，解得1x或14x.故选：C．【变式训练5-4】．（2021·全国高三专题练习（文））定义在R上的函数()fx满足()()0fxfx-+=，当0x时，2()fxx=.若不等式()214fax+(3)0fx−对任意xR恒成立，则实数a的最小值

为___________.【答案】16【分析】利用()fx满足()()0fxfx-+=得到函数解析式，由解析式探究出函数的性质，结合性质将不等式()214fax+(3)0fx−转化为21(3)2faxfx−，进而得到2260axx−+对任意xR

恒成立，讨论a得到范围.【详解】由已知得22,0(),0xxfxxx=−，由函数式可得222222,0(),0()()(),0(),0xyxyxyxyfxfyfxyxyxyxyxy===−−，所以不等式()21(3)04faxfx+−可化为()21()

(3)02ffaxfx+−，得到21(3)2faxfx−.因为()fx是R上的增函数，所以2132axx−，即2260axx−+对任意xR恒成立，当0a=时显然不满足260x−+对任意xR恒成立，所以04240aa=−，即16a.故答

案为：16四、迁移应用A组基础巩固1．（2021·长春市基础教育研究中心（长春市基础教育质量监测中心）高三（文））已知函数3()32fxxx=−−，若()4fa=，则()fa−=（）A．2−B．4−C．6−D．

8−【答案】D【分析】可求得()()4fafa+−=−，即可得出.【详解】()()33()()32324fafaaaaa+−=−−+−−−−=−Q，所以()8fa−=−.故选：D.2．（2020·江西·南昌二中一模（理））已知函数()()2,211,22xaxxfxx−

=−，满足对任意的实数12xx，都有()()12120fxfxxx−−成立，则实数a的取值范围为（）A．()1,+B．13,8−C．13,8−D．13,8+【答案】B【解析】由题意可知函数(

)yfx=为R上为减函数，可知函数()2yax=−为减函数，且()212212a−−，由此可解得实数a的取值范围.【详解】由题意知函数()yfx=是R上的减函数，于是有()22012212aa−−−，解得

138a，因此，实数a的取值范围是13,8−．故选：B.【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数，一般要分析每支函数的单调性，同时还要考虑分段点处函数值的大小关系，考查运算求解能力，属于中等题.3．（2021·云南昆明一中高三（理））已知函数()sinx

xfxeex−=−+，若()()130ftft+−，则实数t的取值范围是（）A．1,2+B．1,2−C．1,4+D．1,4−【答案】A【分析】求出函数()fx的定义域，分析函数()fx的奇偶性与单调性，将不等式变形为(

)()31ftft−，根据函数()fx的单调性可得出关于实数t的不等式，由此可解得实数t的取值范围.【详解】因为函数()sinxxfxeex−=−+的定义域为R，()()()()sinsinsinxxxxxxfxeexeexee

xfx−−−−=−+−=−−=−−+=−,所以，函数()fx为奇函数；()cos2cos2cos0xxxxfxeexeexx−−=+++=+，所以函数()fx在R上单调递增，因为()()130ftft+−，所以

()()()1331ftftft−−=−，所以，31tt−，解得12t.故选：A.【点睛】思路点睛：根据函数单调性求解函数不等式的思路如下：（1）先分析出函数在指定区间上的单调性；（2）根据函数单调性将函数值的关系转变为自变量之间的关系，并注意定义域；（3）求

解关于自变量的不等式，从而求解出不等式的解集.4．（2021·嘉峪关市第一中学高三（文））函数sinxxxxyee−+=+的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】判断函数的奇偶性，再判断函数值的正负，从而排除错误选项，得正确选项.【详解】因为()s

inxxxxyfxee−+==+所以()()+sinsinxxxxxxxxfxeeee−−−−−−−==++.得()()fxfx=−−，所以sinxxxxyee−+=+为奇函数，排除C；在[0,)+，设()singxxx=+，()1cos0gxx=+，()gx单调递增，因此()(0)0

gxg=，故sin0xxxxyee−+=+在[0,)+上恒成立，排除A、D，故选：B.5．（2022·河北邯郸·二模）已知函数()1lnfxxxx=−，且23af=，45bf=，()ecf=，则（）.A．abcB．cabC．acbD

．cba【答案】B【分析】利用导数的性质判断函数的单调性，结合函数的单调性进行判断即可.【详解】由()()22111lnln(1)(1)fxxxfxxxxx=−=++−，当(0,1)x

时，()0,()fxfx单调递减，因为()111e()(e)2eeff==−，所以1ecf=，因为1240135e，所以124()()()35efff，故cab，故选：B【点睛】关键点睛：得到()1e()eff=是解题的关键.6．（2019·武邑宏达学校高一期中）

已知函数()fx在[3,)+上单调递减，且(3)fx+是偶函数，则1.1(0.3)af=，0.5(3)bf=，(0)cf=的大小关系是（）A．abcB．bcaC．cbaD．bac【答案】D【分析】先根据

条件得到()fx的图象关于直线3x=对称，且在(,3−上单调递增，然后通过比较1.10.50,0.3,3到对称轴距离的大小可得所求结果．【详解】由()3fx+是偶函数可得其图象的对称轴为0x=，所以函数()fx的图象

关于直线3x=对称．又函数()fx在)3,+上单调递减，所以函数()fx在(,3−上单调递增．因为1.10.500.333，所以()()()1.10.500.33fff，即bac．故选D．【点睛

】比较函数值大小的常用方法：（1）将自变量转化到同一单调区间上，然后根据函数的单调性进行比较；（2）对于图象有对称轴的函数来讲，可将函数值的大小问题转化为自变量到对称轴的距离的大小的问题求解．7．（2022·

黑龙江·大庆实验中学模拟预测）已知函数()()1lne12xfxx=+−(e为自然对数的底数)，若()()21fafa−，则实数a的取值范围是（）A．1,3−B．[1，+∞)C．1,13D．)1,1,3−+【答案】C【分析】利用导数判断函数(

)fx的单调性，再判断函数的奇偶性，利用函数的性质解不等式可得.【详解】因为()()1lne12xfxx=+−，所以()e1e1=e122(e1)xxxxfx−=−++，所以0x时，()0fx，函数(

)fx在(0,)+上为单调递增，0x时，()0fx，函数()fx在(,0)−上为单调递减，又()()()11lne1=lne1lne()22xxxfxxxfx−−=+++−+=，所以函数()fx为偶函数，所以()()()fxfxf

x=−=，所以()()21fafa−可化为()()21fafa−，所以21aa−，所以23410aa−+，所以113a，故实数a的取值范围是1,13，故选：C.8．（2022·全国（文））奇函数()fx满足()()2fxfx−=，当0,1

x时，()()2logafxx=+，则()2021f=（）A．0B．1C．2D．1−【答案】B【分析】由()00f=计算得出实数a的值，推导出函数()fx的周期为4，可得出()()20211ff=，即可得解.【详解】因为函数()fx为奇函数，则()20log0fa==，解得1

a=，所以，当0,1x时，()()2log1fxx=+，由已知条件可得()()()()224fxfxfxfx=−=−−=−，所以，函数()fx是以4为周期的周期函数，则()()220211log21ff===.故选：B.【点睛】结论点睛：对称性与周期性之间

的常用结论：（1）若函数()fx的图象关于直线xa=和xb=对称，则函数()fx的周期为2Tab=−；（2）若函数()fx的图象关于点(),0a和点(),0b对称，则函数()fx的周期为2Tab=−；（3）若函数()fx的图象关于直线xa

=和点(),0b对称，则函数()fx的周期为4Tab=−.9．（2020·内江市市中区天立学校）已知函数()2221xfxx−=++，若()2fm=，则()fm−=（）A．2B．0C．2−D．4−【答案】D【分析】验证()()fx

fx+−为定值，然后求解()fm−.【详解】因为()222222112xxxfxxx−−−−=−=−++，则()()222222222212121xxxxxfxfxxx−−−−+−=++−==−+++，则有(

)()2fmfm+−=−，又由()2fm=，则()4fm−=−.故选：D.【点睛】本题考查根据函数的对称性求函数值，难度一般，关键是要找出()fx与()fx−的关系.10．（2022·河南平顶山·模拟预测（理）

）已知函数10cos()xfxx=，则其图象大致是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用排除法，先判断函数的奇偶性，再根据函数值的变化情况分析判断.【详解】函数的定义域为0xx，因为10cos()10cos()()xxfxfxxx−−=

=−=−−，所以10cos()xfxx=为奇函数，其图象关于原点对称，所以排除AC，当0x时，当0x→时，10cos10x→，1x→+，所以10cosxx→+，所以排除D，故选：B11．（2021·全国）若函数()314,025,0xxfxxxx+

=−−+，，当,1xmm+时，不等式()()2−+fmxfxm恒成立，则实数m的取值范围是A．(),4−−B．(),2−−C．()2,2−D．(),0−【答案】B【分析】先判断函数的单调性，然后解答不等式，在恒成立的条件下求出结果【详解】

依题意得：函数()314,025,0xxfxxxx+=−−+，在xR上单调递减，因为()()2−+fmxfxm，所以2mxxm−+，即2xm，在,1xmm+上恒成立，所以2(1

)mm+，即2m−，故选B．【点睛】本题考查了函数的单调性的应用，结合函数的单调性求解不等式，需要掌握解题方法12．（2019·黑龙江哈尔滨市·高考模拟（文））已知函数22,1()log,1axaxxfxxx−+−=在R上单调

递增，则实数a的取值范围是A．13a<?B．2aC．23aD．02a或3a【答案】C【分析】由二次函数和对数函数的单调性，结合单调性的定义，解不等式即可得到所求范围．【详解】当1x时，()22fxxax=−+−的对称轴为2ax=，由递增可得，1

2a，解得2a；当1x时，()logafxx=递增，可得1a；由xR，()fx递增，即有12log10aa−+−=，解得3a．综上可得，a的范围是23a，故选C．【点睛】本题考查分段函数的单调性的运用，注意运用定义，同时考查二次函数和对数函数的

单调性的运用，属于中档题.13．（2021·全国高三（理））函数()32sinxxxfxe−=的部分图象大致为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】判断函数的奇偶性，再代入特殊点，利用排除法进行判断即可．【详解】解：()()()()332sin2sinxxxxxxfxfxee−−−−−+−==

=−，则()fx是奇函数，故排除C，D，因为()52sin512550fe−=，故排除B.故选：B．14．（2022·广东茂名·模拟预测）已知函数()lg(||1)22xxfxx−=−++，则使不等式(1)(2)fx

fx+成立的x的取值范围是（）A．,1(),)1(−−+B．(2,1)−−C．(,3)(1,)−−+D．(,2)(1,)−−+【答案】D【分析】利用函数的单调性和奇偶性将抽象不等式转化为不等式组121121xxxx++即可解得答

案.【详解】由||10x−得()fx定义域为,1(),)1(−−+，)lg(||1)22()(xxfxfxx−+=−+−=，故()fx为偶函数，而lg(||1)yx=−，122xxy=+在(1,)+上单调递增，故()fx在(1,)+上单调递增，则(1)(2)

fxfx+可化为121121xxxx++，解得1x或2x−故选：D.15．（2017·天津高考真题（理））已知奇函数()fx，且()()gxxfx=在[0,)+上是增函数.若2(log5.1)ag=−，0.8(2)bg=，(3)cg=，则a，b，c的大

小关系为A．abcB．cbaC．bacD．bca【答案】C【详解】因为()fx是奇函数，从而()()gxxfx=是R上的偶函数，且在[0,)+上是增函数，22(log5.1)(log5.1)agg=−=，0.822，又45.18，则22log5.13，所以即0

.8202log5.13，0.82(2)(log5.1)(3)ggg，所以bac，故选C．【考点】指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函

数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.16．（2008·全国高考真题（理））设奇函数()fx在(0)+，上为增函数，且(1)0f=，则不等式()()0fxfxx−−的解集为A．

(10)(1)−+，，B．(1)(01)−−，，C．(1)(1)−−+，，D．(10)(01)−，，【答案】D【详解】由f(x)为奇函数可知，()()fxfxx−−＝()2fxx<0.而f(1)＝0，

则f(－1)＝－f(1)＝0.当x>0时，f(x)<0＝f(1)；当x<0时，f(x)>0＝f(－1)．又∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，∴奇函数f(x)在(－∞，0)上为增函数．所以0<x<1，或－1<x<0.选D点睛：解函数不

等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())fgxfhx的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()gx与()hx的取值应在外层函数的定义域内17．（2015·天津高考真题（理））已

知函数()21xmfx−=−为偶函数，记()0.5log3af=，()2log5bf=，()2cfm=，则,,abc的大小关系为()A．abcB．acbC．cabD．bca【答案】C【解析】试题分析：因为()fx为偶函数，所以()()fxfx−=，21210xmxmxm

xmm−−−−=−−−=−=()()21xfxfx=−在)0,+上单调递增，并且()()()()0.522log3log3,log5,0affbfcf====，因为220log3log5，cab，故选C．考点：函数的单调性【思路点睛】本题考察的是比较

大小相关知识点，一般比较大小我们可以采用作差法、作商法、单调性法和中间量法，本题的题设中有解析式且告诉我们为偶函数，即可求出参数m的值，所以我们采用单调性法，经观察即可得到函数的单调性，然后根据可以通过函数的奇偶性转化到同一侧，进而判断

出几个的大小，然后利用函数的单调性即可判断出所给几个值的大小．18．（2020·全国）已知函数()2log,423,4xxfxaxx=−对任意1x、2(,)x−+，都有()()12120fxfxxx−−，则实

数a的取值范围为______．【答案】50,8【分析】利用函数的单调性，结合分段函数，列出不等式组，求解即可．【详解】由题意，函数()2log,423,4xxfxaxx=−在R上单调递增，20832aa

−，解得508a．因此，实数a的取值范围是50,8.故答案为：50,8.【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数，考查计算能力，属于中等题．19．（2022·全国·模拟预测（理））已知定义在R上的函数()fx，对任意的xR，都有()(4)fxfx=−−，

且()(2)fxfx=−，则下列说法正确的是（）A．()fx是以2为周期的偶函数B．()fx是以2为周期的奇函数C．()fx是以4为周期的偶函数D．()fx是以4为周期的奇函数【答案】D【分析】由()(4)fxfx=−−可得()

(2)20fxfx++−=，结合()(2)fxfx=−可得出()(2)fxfx=−+，再由()(2)fxfx=−+即可求出()fx的周期，再由()()()(4)44fxfxfxfx=−−=−−+=−−，即可求出()fx为奇函数.【详解】()(4)fxfx=−−即()(4)0fxfx+−=①

，在①中将x变换为2x+，则()(2)420fxfx++−+=，则()(2)20fxfx++−=，又因为()(2)fxfx=−，所以()()20fxfx+=+，所以()(2)fxfx=−+②，在②将x变换为2x+，所以()

()2(4)fxfxfx+=−+=−，所以()(4)fxfx=+，所以()fx的周期为4.因为()()()(4)44fxfxfxfx=−−=−−+=−−，所以()()fxfx−=−，所以()fx为奇函数.故选：D.20．（2022·辽宁·东北育才双语学校一模）已知函数(1)yfx=+

的图象关于直线3x=−对称，且对Rx都有()()2fxfx+−=，当2(]0,x时，()2fxx=+.则(2022)f=___________.【答案】2−【分析】根据给定条件，推理论证出函数()fx的周期，再利用周

期性计算作答.【详解】因函数(1)yfx=+的图象关于直线3x=−对称，而函数(1)yfx=+的图象右移1个单位得()yfx=的图象，则函数()yfx=的图象关于直线2x=−对称，即(4)()fxfx−−=，而对Rx都有()()2fxfx

+−=，则(4)()2fxfx−−+−=，即Rx，(4)()2fxfx+=−+，有(8)(4)2fxfx+=−++[()2]2()fxfx=−−++=，因此函数()yfx=是周期函数，周期为8，又当2(]0,x时，()2fxx=+，

所以(2022)(25382)(2)2(2)242ffff=−=−=−=−=−.故答案为：2−21．（2021·云南昆明·模拟预测（文））设()fx是定义域为R的奇函数，且()()2fxfx+=−，当0,1x时，()41xfx=−，72f=

______．【答案】1−【分析】根据函数奇偶性和对称性，将所求函数值转化成已知解析式区间上的函数值，即可求解.【详解】因为()()2fxfx+=−，且()fx是定义在R上的奇函数所以733112()(2)

()22222fffff=+=−=−−=−，因为当0,1x时，()41xfx=−，所以71122ff=−=−.故答案为：1−22．（2022·辽宁·大连市普兰店区高级中学

模拟预测）已知函数()fx为定义在R上的函数，对任意的Rx，均有()()22fxfx+=−成立，且()fx在)2,+上单调递减，若()10f−=，则不等式()10fx−的解集为__________．【答案】0,6##06xx【分析】根据

函数的对称性及单调性之间的关系即可求解.【详解】由题意，因为函数()fx对任意的Rx均有()()22fxfx+=−，所以可得函数()fx的图象关于2x=对称，又由()fx在)2,+上单调递减，则()fx在(,2)−上单调递增，因为()10f−=，可得()()510ff=−=，

则不等式()10fx−，可得115x−−，解得06x，所以不等式()10fx−的解集为0,6.故答案为：0,6.23．（2021·全国·模拟预测）已知函数()2,13,1xxxfxx−=，若()()24

31fafa++，则实数a的取值范围是___________.【答案】()1,2−【分析】先利用指数的运算法则把()()2431fafa++转化为()()242fafa++，再利用()fx的单调性脱去“f”，把问题转化为关于a的一元二次不等式求解即可

.【详解】()()222212211,313332aaafafa++++===+，由()2,13,1xxxfxx−=可得()fx在R上单调递增，∴()()()()2224314220fafafafaaa++++−−，解得－1＜a＜2.故答案为：()1,2−.24．（20

21·江西·新余市第一中学模拟预测（文））已知函数()()121,2,2xaxxfxax−−+=，对12,xxR，且12xx都有()()12120fxfxxx−−成立，则实数a的取值范围是________.【答

案】5,23【分析】由题得函数()()121,2,2xaxxfxax−−+=在R上单调递增，再解不等式组21201(2)21aaaa−−−+即得解.【详解】因为对12

,xxR，且12xx都有()()12120fxfxxx−−成立，所以函数()()121,2,2xaxxfxax−−+=在R上单调递增.所以函数()fx必须满足3个条件：（1）分段函数的上面一段是增函数；（2）分段

函数的下面一段是增函数；（3）上面一段函数的最大值小于等于下面一段函数的最小值.所以21201(2)21aaaa−−−+，解得523a.故答案为：5,2325．（2021·全国·模拟预测（文））已知函数()()2ln1xxfxxe

e−=+++，则不等式()()2210fxfx−−+的解集为___________.【答案】(1,3,3−−+【分析】首先根据题意得到()fx是偶函数，利用导数和奇偶性得到函数()fx的单调区间，再利用单调性和奇偶性解不等式即可.【详解】因

为()()2ln1xxfxxee−=+++，xR，所以()()()2ln1xxfxxeefx−+−=++=，所以()fx是偶函数.因为()22222111xxxxxxefxeexxe−==++−+−+当0x时，()0fx，所以()fx在()0,+

上单调递增.又因为()fx是偶函数，所以()fx在(),0−上单调递减.所以()()2210fxfx−−+，即()()221fxfx−+，所以221xx−+，即23830xx+−，解得3x−或13x.故答案为：(1,3,3−−+.26．（2022·山东·胜利一

中模拟预测）已知函数()fx满足(3)(1)9(2)fxfxf+=−+对任意Rx恒成立，又函数()9fx+的图象关于点(9,0)−对称，且(1)2022f=，则(45)f=_________．【答案】2022−【分析】根据题意先求出(2)0f=，再根据条件分析得到函数()fx的周期，再求解

计算即可.【详解】因为函数()fx满足(3)(1)9(2)fxfxf+=−+对任意Rx恒成立，所以令1x=−，即(2)(2)9(2)fff=+，解得(2)0f=，所以(3)(1)fxfx+=−对任意Rx恒成立，又函数()9fx+的图象关于点(9,0)−对称，将函数()9fx

+向右平移9个单位得到()fx，所以()fx关于点(0,0)，即()fx为R上的奇函数，所以()()fxfx=−−，又(3)(1)fxfx+=−对任意Rx恒成立，令3xx=−−，得()(4)fxfx−=+，即()(4)fxfx−=+

，再令4xx=+，得(+4)(8)fxfx−=+，分析得()(8)fxfx=+，所以函数()fx的周期为8，因为(1)2022f=，所以在(3)(1)fxfx+=−中，令0x=，得(3)(1)2022ff==，所以()()()(45)6833

32022ffff=−=−=−=−.故答案为：2022−.B组能力提升27．（2021·广东广州·高二期中）已知函数()()2coslg1xfxxx=++，则其图像可能是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】

通过函数奇偶性的定义来判断函数的奇偶性，排除CD、.再利用特殊值进行函数值的正负的判断，从而确定函数的图像.【详解】()fx的定义域为0x,22222cos()coscos()()1lg(1)lg(1)lg()1+xxxfxfxxxxxxxxx−

−===−=−+−+−+−+所以()fx为奇函数，则CD、排除若0x,且0x→，则2cos1,lg(1)0,()xxxfx→++→→+若0x,且0x→，则2cos1,lg(1),()xxxfx→++→−→−cos1(1)=0lg

(21)f+，cos1(1)=0lg(21)f−−，0211−，lg(21)0−.故选：A【点睛】判断图像类问题，主要考虑以下几点：函数的定义域；函数的奇偶性；函数的单调性；图像中的特殊值.并且通常用到排除法.28．（2020·贵州毕节·高三（理）

）若函数()1fx+为偶函数，对任意1x，)21,x+且12xx，都有()()()21120xxfxfx−−，则有A．132323fffB．231323fffC．213332

fffD．321233fff【答案】A【分析】由已知可知()fx的对称轴为1x=，且在)1,+上为单调递减函数.由4

351323，可确定435323fff，从而可选择正确选项.【详解】解：因为函数()1fx+为偶函数，所以()fx的对称轴为1x=；又对任意1x，)21,x+且12xx

有()()()21120xxfxfx−−，则()fx在)1,+上为单调递减函数.因为1152333fff=−=，2242333fff=−=，4351323

，所以435323fff，即132323fff.故选:A.【点睛】本题考查了函数的对称性，考查了函数的单调性.本题的关键是由已知条件分析出函数的对称轴以及函数的单调区间.29．（2021·全国高三专题练

习（理））已知定义在R上的奇函数()yfx=满足，()()2fxfx+=−，若12,0,1xx且12xx时，都有11222112()()()()xfxxfxxfxxfx++，则下列结论正确的是（）A．()yfx=图象关于直线2020

x=对称B．()yfx=图象关于点()2020,0中心对称C．()yfx=在2019,2021上为减函数D．()yfx=在2020,2022上为增函数【答案】B【分析】由()yfx=是定义在R上的奇函数，则()()fxfx−=

−结合()()2fxfx+=−可得函数()yfx=的图像关于直线1x=对称和函数为周期函数，从而可判断A,B选项，由条件可得()1212()()0xxfxfx−−，则所以()yfx=在0,1上为增函数，结合函数的对称性和周期性可判断C,D.【详解】由()yfx=是定义在R上的奇函数

，则()()fxfx−=−所以()()()2fxfxfx+=−=−，则函数()yfx=的图像关于直线1x=对称.又()()2fxfx+=−，则()()()42fxfxfx+=−+=所以函数()yfx=为周期函数，4为函数()yfx=的一个周期.所以()yfx=的对称轴方程为：14,x

kkZ=+，2020x=不满足，故A不正确.由()yfx=是定义在R上的奇函数,则图像关于点()0,0成中心对称.所以()yfx=的对称中心满足：()4,0,kkZ，所以()2020,0是函数的一个对称中心，故B正确.由1

2,0,1xx且12xx时，都有11222112()()()()xfxxfxxfxxfx++，则()()()()112212xfxfxxfxfx−−，即()1212()()0xxfxfx−−所

以()yfx=在0,1上为增函数,由()yfx=是定义在R上的奇函数所以()yfx=在1,0−上为增函数，且()00f=，所以()yfx=在1,1−上为增函数由()yfx=的图像关于直线1x=对称，所以()yfx=在1,3上为减函数，又4为函数()yfx=的一个周期.则()yf

x=在41,41,kkkZ−+上单调递增，在41,43,kkkZ++上单调递减.所以()yfx=在2019,2021上为增函数，故C不正确.()yfx=在2020,2021上为增函数,在2021,2022为减函数，故D不正确.故

选：B【点睛】关键点睛：本题考查抽象函数的周期和单调性对称性的综合应用，解答本题的关键是先由函数为奇函数结合()()2fxfx+=−，得到()()()2fxfxfx+=−=−和()()()42fxfxfx+=−+=，从而得到函数的对称性和周期性，根据条件得出()1212()()0xxfxf

x−−，得到函数的单调性，属于中档题.30．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）已知函数()fx满足(3)(1)9(2)fxfxf+=−+对任意xR恒成立，又函数(9)fx+的图象关于点(9,0)−对称，且(1)2022,f=则(45)f=（）A．2021B．2021−C．202

2D．2022−【答案】D【分析】首先利用赋值法求出()20f=，代入等式赋值得到(4)()fxfx+=−，即对称轴为2x=，再根据函数图象的平移规律判断函数为奇函数，进一步求得函数周期，进而得到(45)(3)(3)(1)ffff

=−=−=−，则可求出结果.【详解】因为对任意xR，都有(3)(1)9(2),fxfxf+=−+令1,x=−得(2)(2)9(2),fff=+解得(2)0,f=则(3)(1),fxfx+=−即(4)(),fxfx+=−所以函数()f

x的图象关于直线2x=对称.又函数(9)fx+的图象关于点(9,0)−对称，则函数()fx的图象关于点(0,0)对称，即函数()fx为奇函数，所以(4)()(),fxfxfx+=−=−所以(8)(4)(),fxfxfx+=−+=所以8是函数(

)fx的一个周期，所以(45)(683)(3)(3)(1)2022,fffff=−=−=−=−=−故选：D.31．（2021·全国高三专题练习（文））定义在(1,1)−上的函数()fx满足()()()2fxgxgx=−−+，对任意的1x，2(

1,1)x−，12xx，恒有()()()12120fxfxxx−−，则关于x的不等式(31)()4++fxfx的解集为（）A．1,4−+B．1,04−C．1,4−−

D．2,03−【答案】B【分析】构造函数()()2()()hxfxgxgx=−=−−，由题设及单调性和奇偶性的知识易得()hx为奇函数，且在(1,1)−上为增函数，不等式(31)()4++fxfx等价于

(31)2()20fxfx+−+−，即(31)()0hxhx++，最后利用()hx的单调性和奇偶性列出不等式组求解即可.【详解】设()()2()()hxfxgxgx=−=−−，因为对任意的1x，2(1,1)x−，12xx，恒有()()()12120fxfxxx−

−，所以函数()fx在(1,1)−上为增函数，则()hx在(1,1)−上为增函数，又()()()hxgxgx−=−−，而()()()hxgxgx=−−，所以()()0hxhx+−=，所以()hx为奇函数，综上

，()hx为奇函数，且在(1,1)−上为增函数，所以不等式(31)()4++fxfx等价于(31)2()20fxfx+−+−，即(31)()0hxhx++，亦即(31)()()hxhxhx+−=−，可得1311,11,

31,xxxx−+−+−，解得104x−.故选：B．【点睛】关键点睛：本题的解题关键是合理构造函数()()2()()hxfxgxgx=−=−−，从而得出新函数的单调性和奇偶性，最后列出不等式组进行求解.32．（2020·六安市城南中学高三月考（理））设定义在R上的偶

函数()fx满足：()(4)fxfx=−，且当[0,2]x时，()1xfxxe=−+，若(2018)af=，(2019)bf=，(2020)cf=，则a，b，c的大小关系为A．cbaB．abcC．cabD．bac【答案】B【分析

】由定义在R上的偶函数()fx满足()()4fxfx=−可得函数()fx是周期为4的函数，然后将问题转化到同一单调区间上进行比较大小，从而可得所求结论．【详解】因为()fx为R上的偶函数，所以()()fxfx−=，所以()()()4fxfxf

x−==−，所以函数()fx是周期为4的函数，所以()()20182aff==，()()()()20193431bffff===−=，()()20200cff==．又当0,2x时，()1xfxxe=−+，所以()

'10xfxe=−，所以当0,2x时，()fx单调递减，所以()()()210fff，即abc．故选B．【点睛】解题时注意两点：一是知道函数的奇偶性、对称性和周期性中的两个性质可推出第三个性质；二是比较函

数值的大小时，可将问题转化到同一个单调区间上进行研究，利用单调性得到函数值的大小关系．33．（2020·福建省长乐第一中学高三月考）已知函数24,0()(01log1,0axaxfxaxx+=+−且1)a在R上单调递增，且关于x的方程()3fxx=+恰有两个不相等的实

数解，则a的取值范围是___________．【答案】1313,4416【分析】由题意可知()fx在两段上均为增函数，且()fx在(0,)+上的最小值大于或等于(0)f，作出|()|f

x和3yx=+的图象，根据交点个数判断4a与3的大小关系，以及直线和抛物线相切的条件，列出不等式组解出．【详解】()fx是R上的单调递增函数，1log|1|ayx=+−在(−，0]上单调递增，可得01a，

且0410a++…，即114a„，作出|()|yfx=和3yx=+的函数草图如图所示：由图象可知|()|3fxx=+在(0,)+上有且只有一解，可得43a„，或243xax+=+，即有△14(43)0a=−−=，即有1344a剟或1316a=；

由1log|1|0ax+−=，解得13x=−−„，即0x„时，有且只有一解．则a的范围是1[4，313]416．故答案为1[4，313]416．【点睛】本题考查分段函数的单调性，函数零点的个数判断，结合函数图象判断端点值的大小是关键，属于中档题．34．

（2020·合肥市第十中学高三月考（理））已知函数()yfx=是R上的偶函数，对于xR都有()()()63fxfxf+=+成立，且()42f−=−，当12,0,3xx，且12xx时，都有()()12120fxfxxx−−．则给出下列命题：①()20082f=−；②

函数()yfx=图象的一条对称轴为6x=−；③函数()yfx=在[﹣9，﹣6]上为减函数；④方程()0fx=在[﹣9，9]上有4个根；其中正确的命题序号是___________.【答案】①②④【分析】①赋值3x=−，结合奇偶性可得()30f=，可得()()

6fxfx+=，得()()200842ff==−；②由()()6fxfx−+=−，()()6fxfx+=，可得()()66fxfx−−=−+，可得直线6x=−是函数()yfx=的图象的一条对称轴；③函数()yfx=在0,3上为减函数，

()fx周期为6，从而函数()yfx=在9,6−−为增函数；④()()30,ffx=的周期为6，()()()()93390ffff−=−===.【详解】①对于任意xR，都有()()()63fxfxf+=+成立，令3x=−，则()()()3633fff−+=−+，又()

fx是R上的偶函数，()30f=，()()6fxfx+=，()()()200844fff==−，又由()42f−=−，故()20082=−f，故①正确；②由①知()()6fxfx+=，()fx的周期为6，又

()fx是R上的偶函数，()()6fxfx+=−，而()fx的周期为6，()()()()66,6fxfxfxfx+=−+−=−−，()()66fxfx−−=−+，直线6x=−是函数()yfx=的图象的一条对称轴，故②正

确；③当12,0,3xx，且12xx时，都有()()12120fxfxxx−−，函数()yfx=在0,3上为减函数，()fx是R上的偶函数，函数()yfx=在3,0−上为增函数，而()fx周期为6，函数()yfx=在9,6−−为

增函数，故③不正确；④()()30,ffx=的周期为6，()()()()93390ffff−=−===，函数()yfx=在9,9−有四个零点，故④正确，所以，正确的命题序号是①②④，故答案为①②④.【点睛】本题主要通过对

多个命题真假的判断，主要综合考查函数的单调性、函数的奇偶性与周期性、函数的对称性，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然

后集中精力突破较难的命题.35．（2019·甘肃高三（理））已知定义在R上的偶函数()fx，满足()()()42fxfxf+=+，且在区间0,2上是增函数，①函数()fx的一个周期为4；②直线4x=−是函数()fx图象

的一条对称轴；③函数()fx在)6,5−−上单调递增，在)5,4−−上单调递减；④函数()fx在0,100内有25个零点；其中正确的命题序号是_____（注：把你认为正确的命题序号都填上）【答案】①②④【分析】先求得()()220ff=−=，由此函

数的周期性.通过证明()()44fxfx−+=−−求得函数的对称轴，根据奇偶性、周期性和单调性画出函数的图像，由此判断③④的真假.【详解】令2x=−得()()()2422fff−+=−+，即()20f−=，由于函数为偶函数，故()()220ff=−=.所以()()4fxfx+=，

所以函数是周期为4的周期函数，故①正确.由于函数为偶函数，故()()()()44484fxfxfxfx−+=−=−−=−−，所以4x=−是函数图像的一条对称轴，故②正确.根据前面的分析，结合函数在区间0,2上是增函数，画出函数图像如下图所示.由图可知，函数在)6,

4−−上单调递减，故③错误.根据图像可知，()()()()2610980ffff=====，零点的周期为4，共有25个零点，故④正确.综上所述正确的命题有①②④.【点睛】本小题主要考查函数的周期性、单调性、对称性等性质，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.36．（2020·

辽宁辽阳·（理））已知函数()sincosfxxx=−，给出以下四个命题：①()fx的图象关于y轴对称；②()fx在,0−上是减函数；③()fx是周期函数；④()fx在,−上恰有两个零点.其中真命题的序号

是______.（请写出所有真命题的序号）【答案】①③④【分析】对于①利用奇偶性定义判断.对于②，根据,0x−，去掉绝对值得到()()sincos2sin4fxxxx=−+=−+，再利用正弦函数的性质判断.对于③利用周期性定义判断.对于④根据奇偶性，只研究

当,0x−时即可.【详解】对于①，函数()sincosfxxx=−的定义域为R，且满足()()fxfx−=，所以()fx是定义域在R上的偶函数，其图象关于y轴对称，①为真命题；对于②，当,0x−时，sin0x，()()sincos2sin4fxxxx

=−+=−+，对于2sin4yx=+，3,444x+−，所以在,0−上先减后增，那么()fx在,0−上先增后减，②为假命题；对于③，因为()()()()2sin2cos2sincosfxxxx

xfx+=+−+=−=，函数()fx是周期为2的周期函数，③为真命题；对于④，当,0x−时，sin0x，()()sincos2sin4fxxxx=−+=−+，且3,444x

+−，()fx在,0−上恰有一个零点是4−，又由①知道()fx是定义在R上的偶函数，所以在(0,上有一个零点是4，则④为真命题.故答案为：①③④【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于

中档题.37．（2017·江苏高考模拟）已知函数()fx是定义在R上的奇函数，若对任意给定的实数12,xx，11221221()()()()xfxxfxxfxxfx++恒成立，则不等式(1)(12)0

xfx+−的解集是_________.【答案】112−，【分析】整理题中不等式可得()()()12120xxfxfx−−，从而得函数()fx是R上的减函数，由函数()fx是定义在R上的奇函数，有()00f=

，结合函数单调性，不等式转化为()10120xfx+−或()10120xfx+−，从而得解.【详解】对任意给定的实数12,xx，()()()()11221221xfxxfxxfxxfx++恒成立，整理得：()()()()112212xfxfx

xfxfx−−，即()()()12120xxfxfx−−.从而得函数()fx是R上的减函数.又函数()fx是定义在R上的奇函数，有()00f=.所以当0x时，()0fx，当0x时，()

0fx.所以不等式()()1120xfx+−，有：()10120xfx+−或()10120xfx+−.即10120xx+−或10120xx+−.解得：112

x−.故答案为112−，.【点睛】本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称

区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.38．（2019·四川石室中学）在研究函数22()41240fxxxx=+−−+的性质时，某同学受两点间距离公式启发将()fx变形为，2222()(0)(02)(6)(02)fxxx=−+−−−+−，并给出关于函数()fx以下五个描述：①函数()f

x的图像是中心对称图形；②函数()fx的图像是轴对称图形；③函数()fx在[0,6]上是增函数；④函数()fx没有最大值也没有最小值；⑤无论m为何实数，关于x的方程()0fxm−=都有实数根.其中描述正确的是__________.【答案】①③④【解析】由()2241240fxxx

x=+−−+得()()()()22664612640fxxxx−=−+−−−−+()2212404xxxfx=−+−+=−，故函数()fx的图象关于()3,0对称，故①正确；由意义知当3x时，()0fx，当3x

时，()0fx，故函数()fx的图像是轴对称图形不成立，故②不正确；当0,6x时，24yx=+单调增,21240yxx=−+单调减，故()2241240fxxxx=+−−+单调增，故③正确；设(),0Px，()0,2A，()6,2B，

由其几何意义可得()fx表示PAPB−，故当3x时，06PAPBAB−=，当3x时，06PAPB−−，故函数()fx没有最大值也没有最小值，故④正确；当6m时，由④可知，方程()0fxm−=

无解，则⑤错误；故答案为①③④.点睛：本题综合考查了函数的性质，综合性较强，运算量较大，综合考查学生的分析能力，解题时要注意等价转化思想的合理运用；利用中心对称和轴对称的定义和性质可准确判断出①②的正确性；利用函数单调性的定义可得增减型，结合三角形中两边之差小于第三边，可得到

后三者的准确性.