【文档说明】《历年高考数学真题试卷》2013年上海高考数学真题（理科）试卷（word解析版）.docx，共(15)页，665.040 KB，由envi的店铺上传

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绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（理工农医类）（满分150分，考试时间120分钟）考生注意1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.2.作答前，在答题纸正面填写

姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或

圆珠笔作答非选择题.一、填空题1．计算：20lim______313nnn→+=+2．设mR，222(1)immm+−+−是纯虚数，其中i是虚数单位，则________m=3．若2211xxxyyy=−−，则______xy+=4．已知

△ABC的内角A、B、C所对应边分别为a、b、c，若22232330aabbc++−=，则角C的大小是_______________（结果用反三角函数值表示）5．设常数aR，若52axx+的二项展开式中7

x项的系数为10−，则______a=．6．方程1313313xx−+=−的实数解为________7．在极坐标系中，曲线cos1=+与cos1=的公共点到极点的距离为__________．8．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编

号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示）9．设AB是椭圆的长轴，点C在上，且4CBA=，若AB=4，2BC=，则的两个焦点之间的距离为________10．设非零常数d是等差数列12319,,

,,xxxx的公差，随机变量等可能地取值12319,,,,xxxx，则方差_______D=11．若12coscossinsin,sin2sin223xyxyxy+=+=，则sin()________xy+=．12．设a为实常数，()yfx=是定义在R上的奇函数，当0x时，2()9

7afxxx=++，若()1fxa+对一切0x成立，则a的取值范围为________13．在xOy平面上，将两个半圆弧22(1)1(1)xyx−+=和22(3)1(3)xyx−+=、两条直线1y=和1

y=−围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分．记D绕y轴旋转一周而成的几何体为，过(0,)(||1)yy作的水平截面，所得截面面积为2418y−+，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得

出的体积值为__________14．对区间I上有定义的函数()gx，记(){|(),}gIyygxxI==，已知定义域为[0,3]的函数()yfx=有反函数1()yfx−=，且11([0,1))

[1,2),((2,4])[0,1)ff−−==，若方程()0fxx−=有解0x，则0_____x=二、选择题15．设常数aR，集合{|(1)()0},{|1}AxxxaBxxa=−−=−，若ABR=，则a的取值

范围为（）(A)(,2)−(B)(,2]−(C)(2,)+(D)[2,)+16．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）(A)充分条件(B)必要条件(C)充分必要条件(D)既非充分也非必要条件17．在数列{}na中，21nna=−，若一个7行12列的矩

阵的第i行第j列的元素,ijijijaaaaa=++，（1,2,,7;1,2,,12ij==）则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（）(A)18(B)28(C)48(D)6318．在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分

别为12345,,,,aaaaa；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,ddddd.若,mM分别为()()ijkrstaaaddd++++的最小值、最大值，其中{,,}{1,2,3,4,5}ijk,{,,}{1,2,3,4,5}rst,则,mM满足

（）.(A)0,0mM=(B)0,0mM(C)0,0mM=(D)0,0mM三、解答题19.（本题满分12分）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AD=1,A1A=1，证明直线BC1平行于平面

DA1C，并求直线BC1到平面D1AC的距离.20．（6分+8分）甲厂以x千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求110x），每小时可获得利润是3100(51)xx+−元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；(2)要

使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.D1C1B1A1DCBA21．（6分+8分）已知函数()2sin()fxx=，其中常数0；（1）若()yfx=在2[,]43−上单调递增，求的

取值范围；（2）令2=，将函数()yfx=的图像向左平移6个单位，再向上平移1个单位，得到函数()ygx=的图像，区间[,]ab（,abR且ab）满足：()ygx=在[,]ab上至少含有30个零点

，在所有满足上述条件的[,]ab中，求ba−的最小值．22．（3分+5分+8分）如图，已知曲线221:12xCy−=，曲线2:||||1Cyx=+，P是平面上一点，若存在过点P的直线与12,CC都有公共点，则称P为“C1—C2型点”．(

1)在正确证明1C的左焦点是“C1—C2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；(2)设直线ykx=与2C有公共点，求证||1k，进而证明原点不是“C1—C2型点”；(3)求证：圆2212xy+=内的点都不是“C1—C2

型点”．23．（3分+6分+9分）给定常数0c，定义函数()2|4|||fxxcxc=++−+，数列123,,,aaa满足*1(),nnafanN+=.（1）若12ac=−−，求2a及3a；（2）求证：对任意*1,

nnnNaac+−，；（3）是否存在1a，使得12,,,naaa成等差数列？若存在，求出所有这样的1a，若不存在，说明理由.2013年上海高考理科数学（参考答案）一．填空题1.132.－23.04.1arccos3

−5.－26.3log47.152+8.13189.46310.30d²11.2312.87a−13.2216+14.2二．选择题题号15161718代号BBAD三．解答题19.【解答】因为ABCD-A1B1C1D1为长方体，故1111//,ABCDABCD=，故ABC

1D1为平行四边形，故11//BCAD，显然B不在平面D1AC上，于是直线BC1平行于平面DA1C；直线BC1到平面D1AC的距离即为点B到平面D1AC的距离设为h考虑三棱锥ABCD1的体积，以ABC为底面，可得111(12)1323V==而1

ADC中，115,2ACDCAD===，故132ADCS=所以，13123233Vhh===，即直线BC1到平面D1AC的距离为23．20．【解答】(1)根据题意，33200(51)30005140xxx

x+−−−又110x，可解得310x(2)设利润为y元，则4290031161100(51)910[3()]612yxxxx=+−=−−+故6x=时，max457500y=元．21．【解答】(1)因为0

，根据题意有34202432−−(2)()2sin(2)fxx=，()2sin(2())12sin(2)163gxxx=++=++1()0sin(2)323gxxxk=+=−=−或7,12xkkZ=−，即()g

x的零点相离间隔依次为3和23，故若()ygx=在[,]ab上至少含有30个零点，则ba−的最小值为2431415333+=．23.【解答】：（1）C1的左焦点为(3,0)F−，过F的直线3x=−

与C1交于2(3,)2−，与C2交于(3,(31))−+，故C1的左焦点为“C1-C2型点”，且直线可以为3x=−；（2）直线ykx=与C2有交点，则(||1)||1||||1ykxkxyx=−==+，若方程组有解，则必须||1k；直线ykx=与

C2有交点，则2222(12)222ykxkxxy=−=−=，若方程组有解，则必须212k故直线ykx=至多与曲线C1和C2中的一条有交点，即原点不是“C1-C2型点”。（3）显然过圆2212xy+=内一点的直线l若与曲线C1有交点

，则斜率必存在；根据对称性，不妨设直线l斜率存在且与曲线C2交于点(,1)(0)ttt+，则:(1)()(1)0lytkxtkxytkt=+=−−++−=直线l与圆2212xy+=内部有交点，故2|1|221tktk+−+化简得，221(1)(1)2tt

kk+−+。。。。。。。。。。。。①若直线l与曲线C1有交点，则2222211()2(1)(1)10212ykxkttkxktktxtktxy=−++−++−++−+=−=22222214(1)4()[(1)1]0(1)2(1)2ktktktkttkt

k=+−−−+−++−−化简得，22(1)2(1)tktk+−−。。。。。②由①②得，222212(1)(1)(1)12kttkkk−+−+但此时，因为2210,[1(1)]1,(1)12ttkk+−

+，即①式不成立；当212k=时，①式也不成立综上，直线l若与圆2212xy+=内有交点，则不可能同时与曲线C1和C2有交点，即圆2212xy+=内的点都不是“C1-C2型点”．23.【解答】：（1）因为0c，1(2)ac=−+，故2111()2|4|||2afaacac==++−+=，

3122()2|4|||10afaacacc==++−+=+（2）要证明原命题，只需证明()fxxc+对任意xR都成立，()2|4|||fxxcxcxcxc+++−++即只需证明2|4|||+xcxcxc++++若0xc+，显然有2|

4|||+=0xcxcxc++++成立；若0xc+，则2|4|||+4xcxcxcxcxc+++++++显然成立综上，()fxxc+恒成立，即对任意的*nN，1nnaac+−（3）由（2）知，若{}na为等差数

列，则公差0dc，故n无限增大时，总有0na此时，1()2(4)()8nnnnnafaacacac+==++−+=++即8dc=+故21111()2|4|||8afaacacac==++−+=++，即1112|4|||8acacac++=++++

，当10ac+时，等式成立，且2n时，0na，此时{}na为等差数列，满足题意；若10ac+，则11|4|48acac++==−−，此时，230,8,,(2)(8)naacanc==+=−+也满足题意；综上，满足题意的1a的取值范围是[,){8

}cc−+−−．2013年上海市秋季高考理科数学一、填空题1．计算：20lim______313nnn→+=+【解答】根据极限运算法则，201lim3133nnn→+=+．2．设mR，222(1)immm+−+−是纯虚数，

其中i是虚数单位，则________m=【解答】2220210mmmm+−==−−．3．若2211xxxyyy=−−，则______xy+=【解答】2220xyxyxy+=−+=．4．已知△ABC的内角A、B、C所

对应边分别为a、b、c，若22232330aabbc++−=，则角C的大小是_______________（结果用反三角函数值表示）【解答】2222222323303aabbccabab++−==++，故11cos,arccos33CC

=−=−．5．设常数aR，若52axx+的二项展开式中7x项的系数为10−，则______a=【解答】2515()(),2(5)71rrrraTCxrrrx−+=−−==，故15102

Caa=−=−．6．方程1313313xx−+=−的实数解为________【解答】原方程整理后变为233238034log4xxxx−−===．7．在极坐标系中，曲线cos1=+与cos1=的公共点到极点的

距离为__________【解答】联立方程组得15(1)12−==，又0，故所求为152+．8．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示）【解答】9个数

5个奇数，4个偶数，根据题意所求概率为252913118CC−=．9．设AB是椭圆的长轴，点C在上，且4CBA=，若AB=4，2BC=，则的两个焦点之间的距离为________【解答】不妨设椭圆的标准方程为22214xyb+=，于

是可算得(1,1)C，得2446,233bc==．10．设非零常数d是等差数列12319,,,,xxxx的公差，随机变量等可能地取值12319,,,,xxxx，则方差_______D=【解答】10Ex=，2222222(981019)30||19dDd=+++++++=．11．

若12coscossinsin,sin2sin223xyxyxy+=+=，则sin()________xy+=【解答】1cos()2xy−=，2sin2sin22sin()cos()3xyxyxy+=+−=，故2sin()3xy+=．12

．设a为实常数，()yfx=是定义在R上的奇函数，当0x时，2()97afxxx=++，若()1fxa+对一切0x成立，则a的取值范围为________【解答】(0)0f=，故011aa+−；当0x时，2()971afxxax=+−+即6||8aa+，又1a−

，故87a−．13．在xOy平面上，将两个半圆弧22(1)1(1)xyx−+=和22(3)1(3)xyx−+=、两条直线1y=和1y=−围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分．记D绕y轴旋转一周而成的几何体为，过(0,)(||1)yy作的水

平截面，所得截面面积为2418y−+，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积值为__________【解答】根据提示，一个半径为1，高为2的圆柱平放，一个高为2，底面面积8的长

方体，这两个几何体与放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即的体积值为221228216+=+．14．对区间I上有定义的函数()gx，记(){|(),}gIyygxxI==，已知定义域为[

0,3]的函数()yfx=有反函数1()yfx−=，且11([0,1))[1,2),((2,4])[0,1)ff−−==，若方程()0fxx−=有解0x，则0_____x=【解答】根据反函数定义，当[0,1)x时，()(2,4]fx；[1,2)x时，()[0,1)

fx，而()yfx=的定义域为[0,3]，故当[2,3]x时，()fx的取值应在集合(,0)[1,2](4,)−+，故若00()fxx=，只有02x=．二、选择题15．设常数aR，集合{|(1)()0},{|1}AxxxaBxxa=−−=−，若ABR=，则a的取值

范围为（）(A)(,2)−(B)(,2]−(C)(2,)+(D)[2,)+【解答】集合A讨论后利用数轴可知，111aa−或11aaa−，解答选项为B．16．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）(A)充分条件(B)

必要条件(C)充分必要条件(D)既非充分也非必要条件【解答】根据等价命题，便宜没好货，等价于，好货不便宜，故选B．17．在数列{}na中，21nna=−，若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素,ijijija

aaaa=++，（1,2,,7;1,2,,12ij==）则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（）(A)18(B)28(C)48(D)63【解答】,21ijijijijaaaaa+=++=−，而2,3,,19ij+=

，故不同数值个数为18个，选A．18．在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,aaaaa；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,ddddd.若,mM分别为()()ijkrstaaaddd++++的最小值、最大值，

其中{,,}{1,2,3,4,5}ijk,{,,}{1,2,3,4,5}rst,则,mM满足（）.(A)0,0mM=(B)0,0mM(C)0,0mM=(D)0,0mM【解答】作图知，只有0AFDEABD

C=，其余均有0irad，故选D．三、解答题19.（本题满分12分）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AD=1,A1A=1，证明直线BC1平行于平面DA1C，并求直线BC1到平面D1AC的距离.【解答】因为AB

CD-A1B1C1D1为长方体，故1111//,ABCDABCD=，故ABC1D1为平行四边形，故11//BCAD，显然B不在平面D1AC上，于是直线BC1平行于平面DA1C；直线BC1到平面D1AC的距离

即为点B到平面D1AC的距离设为h考虑三棱锥ABCD1的体积，以ABC为底面，可得111(12)1323V==而1ADC中，115,2ACDCAD===，故132ADCS=所以，13123233Vhh===，即直线BC1到平面D1AC的距离为23．20．

（6分+8分）甲厂以x千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求110x），每小时可获得利润是3100(51)xx+−元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的

利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.【解答】(1)根据题意，33200(51)30005140xxxx+−−−又110x，可解得310x(2)设利润为y元，则4290031161100(51)910[3()]612yxxxx=+−=−−+故6x=时，

max457500y=元．21．（6分+8分）已知函数()2sin()fxx=，其中常数0；（1）若()yfx=在2[,]43−上单调递增，求的取值范围；（2）令2=，将函数()yfx=的图像向左平移6个单位，再向上平移1个单位，得到函数()ygx=

的图像，区间[,]ab（,abR且ab）满足：()ygx=在[,]ab上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[,]ab中，求ba−的最小值．D1C1B1A1DCBA【解答】(1)因为0，根据题意有34202432

−−(2)()2sin(2)fxx=，()2sin(2())12sin(2)163gxxx=++=++1()0sin(2)323gxxxk=+=−=−或7,12xkkZ=−，即()gx的零点相离间隔依次为3和23

，故若()ygx=在[,]ab上至少含有30个零点，则ba−的最小值为2431415333+=．22．（3分+5分+8分）如图，已知曲线221:12xCy−=，曲线2:||||1Cyx=+，P是平面上一点，若

存在过点P的直线与12,CC都有公共点，则称P为“C1—C2型点”．(1)在正确证明1C的左焦点是“C1—C2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；(2)设直线ykx=与2C有公共点，求证||1

k，进而证明原点不是“C1—C2型点”；(3)求证：圆2212xy+=内的点都不是“C1—C2型点”．【解答】：（1）C1的左焦点为(3,0)F−，过F的直线3x=−与C1交于2(3,)2−，与C2交于(3,(31))−+，故C1的左

焦点为“C1-C2型点”，且直线可以为3x=−；（2）直线ykx=与C2有交点，则(||1)||1||||1ykxkxyx=−==+，若方程组有解，则必须||1k；直线ykx=与C2有交点，则2222(12)222ykxkxxy=

−=−=，若方程组有解，则必须212k故直线ykx=至多与曲线C1和C2中的一条有交点，即原点不是“C1-C2型点”。（3）显然过圆2212xy+=内一点的直线l若与曲线C1有交点，则斜率必存在；根据对称性，

不妨设直线l斜率存在且与曲线C2交于点(,1)(0)ttt+，则:(1)()(1)0lytkxtkxytkt=+=−−++−=直线l与圆2212xy+=内部有交点，故2|1|221tktk+−+化简得，221(1)(1)2ttkk+−+。。。。。。。。。。。。①若直线l与曲线C1有

交点，则2222211()2(1)(1)10212ykxkttkxktktxtktxy=−++−++−++−+=−=22222214(1)4()[(1)1]0(1)2(1)2ktktktkttktk=+−−

−+−++−−化简得，22(1)2(1)tktk+−−。。。。。②由①②得，222212(1)(1)(1)12kttkkk−+−+但此时，因为2210,[1(1)]1,(1)12ttkk+−+

，即①式不成立；当212k=时，①式也不成立综上，直线l若与圆2212xy+=内有交点，则不可能同时与曲线C1和C2有交点，即圆2212xy+=内的点都不是“C1-C2型点”．23．（3分+6分+9分）给定常数0c，定义函

数()2|4|||fxxcxc=++−+，数列123,,,aaa满足*1(),nnafanN+=.（1）若12ac=−−，求2a及3a；（2）求证：对任意*1,nnnNaac+−，；（3）是否存在1a，使得12,,,naaa成等差数列？若存在，求出所有这样的1a，若不存在，说明理由.

【解答】：（1）因为0c，1(2)ac=−+，故2111()2|4|||2afaacac==++−+=，3122()2|4|||10afaacacc==++−+=+（2）要证明原命题，只需证明()fxxc+对任意xR都成立，

()2|4|||fxxcxcxcxc+++−++即只需证明2|4|||+xcxcxc++++若0xc+，显然有2|4|||+=0xcxcxc++++成立；若0xc+，则2|4|||+4xcxcxcxcxc+++++++显然成立综上，()fxxc+恒成立，即对任意的*nN，1

nnaac+−（3）由（2）知，若{}na为等差数列，则公差0dc，故n无限增大时，总有0na此时，1()2(4)()8nnnnnafaacacac+==++−+=++即8dc=+故21111()2|4|||8afaacacac==++−+=++，即111

2|4|||8acacac++=++++，当10ac+时，等式成立，且2n时，0na，此时{}na为等差数列，满足题意；若10ac+，则11|4|48acac++==−−，此时，230,8,,(2)(8)naacanc==+=−+也满足题意；综上，满足题意的1a的取值范围

是[,){8}cc−+−−．22．（本题满分16分）本题共有3个小题．第1小题满分6分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．如图，已知双曲线1C：2212xy−=，曲线2C：||||1yx=+．P是平面内一点，若存在过点P的直线与1C、2C都有

公共点，则称P为“1C−2C型点”．（1）在正确证明1C的左焦点是“1C−2C型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（2）设直线ykx=与2C有公共点，求证||1k，进而证明原点不是“1C−2C型点；（3）求证

：圆2212xy+=内的点都不是“1C−2C型点”．22．解：（1）C1的左焦点为(3,0)F−，过F的直线3x=−与C1交于2(3,)2−，与C2交于(3,(31))−+，故C1的左焦点为“C1-

C2型点”，且直线可以为3x=−；（2）直线ykx=与C2有交点，则(||1)||1||||1ykxkxyx=−==+，若方程组有解，则必须||1k；直线ykx=与C2有交点，则2222(12)22

2ykxkxxy=−=−=，若方程组有解，则必须212k故直线ykx=至多与曲线C1和C2中的一条有交点，即原点不是“C1-C2型点”。（3）显然过圆2212xy+=内一点的直线l若与曲线C

1有交点，则斜率必存在；根据对称性，不妨设直线l斜率存在且与曲线C2交于点(,1)(0)ttt+，则:(1)()(1)0lytkxtkxytkt=+=−−++−=直线l与圆2212xy+=内部有交点，

故2|1|221tktk+−+化简得，221(1)(1)2ttkk+−+。。。。。。。。。。。。①若直线l与曲线C1有交点，则2222211()2(1)(1)10212ykxkttkxktktxtktxy=−++−++−++−+=−=22222214(1)4()[(1)1]0

(1)2(1)2ktktktkttktk=+−−−+−++−−化简得，22(1)2(1)tktk+−−。。。。。②由①②得，222212(1)(1)(1)12kttkkk−+−+但此时，因为2210,[1(1)

]1,(1)12ttkk+−+，即①式不成立；当212k=时，①式也不成立综上，直线l若与圆2212xy+=内有交点，则不可能同时与曲线C1和C2有交点，即圆2212xy+=内的点都不是“C1-C2型点”。23．（本题满分18分）本题共有3个小题．第1小题满分3分

，第2小题满分6分，第3小题满分9分．给定常数0c，定义函数()2|4|||fxxcxc=++−+．数列1a，2a，3a，…满足1(),*nnafanN+=．（1）若12ac=−−，求2a及3a；（2）求证：对任意*nN，1nna

ac+−；（3）是否存在1a，使得1a，2a，3a，…，na…成等差数列？若存在，求出所有这样的1a；若不存在，说明理由．23．解：（1）因为0c，1(2)ac=−+，故2111()2|4|||2afaacac==++−+=，3122()2|4|||10afaacacc==++−+=+（2

）要证明原命题，只需证明()fxxc+对任意xR都成立，()2|4|||fxxcxcxcxc+++−++即只需证明2|4|||+xcxcxc++++若0xc+，显然有2|4|||+=0xcxcxc++++成立；若0xc+，则2|4|||+4xcxcxcxcxc++

+++++显然成立综上，()fxxc+恒成立，即对任意的*nN，1nnaac+−（3）由（2）知，若{}na为等差数列，则公差0dc，故n无限增大时，总有0na此时，1()2(4)()8nnnnnafaacacac+==++−+=++即8dc=+故21111()2|

4|||8afaacacac==++−+=++，即1112|4|||8acacac++=++++，当10ac+时，等式成立，且2n时，0na，此时{}na为等差数列，满足题意；若10ac+，则11|4|48acac++==−−，此时，230,8,,(2)(8)naacan

c==+=−+也满足题意；综上，满足题意的1a的取值范围是[,){8}cc−+−−。