【文档说明】贵州省黔南布依族苗族自治州都匀市、贵定县2025届高三上学期第一次模拟考试数学试题 Word版含解析.docx，共(15)页，1.147 MB，由envi的店铺上传

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黔南州2025届高三年级第一次模拟考试数学注意事项：1、本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.2、答题前将姓名、准考证号、座位号准确填写在答题卡指定的位置上.3、选择题须使用2B铅笔将答题卡相应题号对应选项涂黑，若需改动，须擦净另涂；非选择题在答题卡上对应位置用黑色墨水笔或

黑色签字笔书写.在试卷、草稿纸上答题无效.一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知全集1,2,3,4,5,6,7U=，集合()()|130Axxx=−−=，则UA=ð（）A.1,3B

.2,4,5,6,7C.1,3,5,7D.2,4,6【答案】B【解析】【分析】用列举法表示集合A，再利用补集的定义求出结果.【详解】依题意，{1,3}A=，所以2,4,5,6,7UA=ð

.故选：B2.已知向量()1,4a=−，()3,bx=.若ab⊥，则x=（）A.12−B.34−C.34D.12【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用向量垂直的坐标表示列式计算得解.【详解】向量()1,4a=−，()3,bx=，由ab⊥，得340abx=−+=，所以34x=.故选：C3

.样本数据：11，12，15，13，17，18，16，22，36，30的第70百分位数是（）A.16B.19C.20D.22【答案】C【解析】【分析】利用百分位数的定义进行求解.【详解】共有10个数，1070%7=，故从小到大排列，选择第7个数和第8个数的平均数作

为第70百分位数，即20为第70百分位数.故选：C.4.曲线()lnfxx=在点(1,(1))f处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（）A.12B.1C.e2D.e【答案】A【解析】【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，进而求出三角形面积.【详解】由()

lnfxx=，求导得1()fxx=，则(1)1f=，而(1)0f=，因此曲线()lnfxx=在点(1,(1))f处的切线为01yx−=−，该切线交x于点(1,0)，交y轴于点(0,1)−，所以该切线与两坐标轴围成三角形的面积111122S==

.故选：A5.若M为圆22(1)2xy++=上的动点，则点M到直线30xy+−=的距离的最小值为（）A.2B.32−C.22D.32【答案】A【解析】【分析】求出圆心到直线的距离，再利用圆的性质求出最小值.【详解】圆22(1)2xy

++=的圆心(1,0)C−，半径2r=，点(1,0)C−到直线30xy+−=的距离|103|2222d−+−==，即直线30xy+−=与圆22(1)2xy++=相离，又点M在该圆上，所以点M到直线30xy+−=的距离的最小值为2dr−=.故选：

A6.若π3cos()35+=，则πcos(2)3−=（）A.2425−B.725−C.725D.2425的【答案】C【解析】【分析】利用诱导公式及二倍角余弦公式计算得解.【详解】由π3cos()35+=，得ππ3cos[()]6

25−+=，即π3sin()65−−=，解得π3sin()65−=−，所以22πππ37cos(2)cos2()12sin()12()366525−=−=−−=−−=.故选：C7.三次函数32()fxaxbxc

xd=+++的图象如图所示.下列说法正确的是（）A.0a，0b，0c，0dB.0a，0b，0c，0dC.0a，0b，0c，0dD.0a，0b，0c，0d【答案】D【解析】【分析】求出函数()fx的导数，结合函数的图象特征确定各项系数的正负.【详解】函数32

()fxaxbxcxd=+++，求导得2()32fxaxbxc=++，观察函数图象，得函数()fx有异号两个极值点12,xx，且12202xx−，函数()fx在12(,),(,)xx−+上单调递增，在12(,)xx上单

调递减，(0)0df=，排除A；由1222(,),2(,)xxx−+，得则(2)1240(2)1240fabcfabc−=−+=++，8(2)(2)0bff=−−，得0b

，排除C；由不等式2320axbxc++的解集为12(,)(,)xx−+，得30a，即0a，排除B；又12,xx是方程2320axbxc++=的二根，1203cxxa=，则0c，选项D符合题意.故选：D8.通常用24小时内降水在平地上的积水厚度（单位：mm）来判断降雨量的大小，如下表

：降雨等级小雨中雨大雨暴雨大暴雨特大暴雨的积水厚度（mm）()0,10)10,25)25,50)50,100)100,250)250,+某同学用如图所示的圆台形容器接了24小时雨水，则这24小时内降雨的等级是（）A.中雨B.

大雨C.暴雨D.大暴雨【答案】A【解析】【分析】利用圆台的体积公式得到容器内的雨水体积，然后求降雨厚度判断降雨等级即可.【详解】作圆台的轴截面如图，由题意得200mmAB=，40CD=mm，402001202EF+==mm，所以容器

内雨水的体积2222314012040120520000πππππ100mm322223V=++=，所以24小时内降水在平地上的积水厚度为2520000π523mm3200π2=

，因为5210253，所以这24小时内降雨等级是中雨.故选：A.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知等差数列na的前n项和为nS，等比数列nb的前

n项和为nT.下列说法正确的是（）A.数列{}nSn为等差数列B.若22S=，612S=，则47S=C.数列1{}nb为等比数列D.若639TT=，则数列nb的公比为2【答案】ACD【解析】【分析】利用等差数列前n项和公式，结合定义判断A；利用等差数列片断和性质计算判断B；利用等比数列定义

及前n项和计算判断CD.【详解】对于A，令等差数列na公差为d，则1(1)2nnnSnad−=+，112nSnadn−=+，1111()1222nnSSnndadadnn+−−=+−+=+为常数，数列{}nSn为等差数列，A正确；对于B，等差数列na中，

24264,,SSSSS−−成等差数列，则442(2)212SS−=+−，解得46S=，B错误；对于C，令等比数列nb的公比为q，则11nnbaq−=，11111nnnnbbbqb++==为常数，数列1{}nb为等比数列，C正确；对于D

，等比数列nb的公比为q，由639TT=，得1234561239()aaaaaaaaa+++++=++，则3123123()8()qaaaaaa++=++，而21231(1)0aaaaqq++=++，解得2q=，D正确.

故选：ACD10.函数()()πsin0,2fxAx=+的部分图象如图所示.下列说法正确的是（）A.函数𝑦=𝑓(𝑥)在区间7π3π,62上单调B.函数𝑦=𝑓(𝑥)在区间7π,2π6上有两个极值点C.函数𝑦=𝑓

(𝑥)的图象关于点11π,06中心对称D.函数𝑦=𝑓(𝑥)的图象与直线1y=在区间π17π,212上有两个公共点【答案】BD【解析】【分析】根据图象得到()π2sin26f

xx=−，然后代入的方法判断ABC选项，将()fx的图象与直线1y=的交点个数转化为方程()1fx=的根的个数，然后解方程判断D选项.【详解】由图象可知，最小正周期ππ2π2π36T=−

−==，所以2=，将π,23，π,26−−代入()fx中得πsin223πsin226AA+=−+=−，结合π2，解得2π6A==

−，所以()π2sin26fxx=−，π3π,62x7，则13172,666x−πππ，因为2sinyx=在1317,66ππ上不单调，所以()fx在π3π,627上不单调，故A错；7,26xππ，则1323

2,666x−πππ，因为2sinyx=在135723,,,6226ππππ上单调递增，在5ππ,227上单调递减，所以()fx在7411,,,2636ππππ上单调递增，在4π

11π,36上单调递减，所以()fx在7,26ππ有两个极值点，故B正确；111172sin22sin26662f=−==−ππππ，所以11π,06不是()fx的对称中心，故C错；

令()π2sin216fxx=−=，解得π,Z6πkxk=+或ππ,Z2xkk=+，因为π17π,212x，所以7π6x=或π2，所以()fx的图象与直线1y=在π17π,212

上有两个公共点，故D正确.故选：BD.11.已知抛物线2:4Cxy=的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点.若抛物线C在点A，B处的切线的斜率分别为1k，2k，且抛物线C的准线与y轴交于点N，则下列说法正确的是（）A.AB的最

小值为4B.若AB4=，则NANB⊥C.若124kk+=，则直线AB的方程为10xy−+=D.直线AN倾斜角的最小值为π4【答案】ABD【解析】【分析】求出抛物线的焦点坐标及准线方程，设出直线l的方程，并与抛物线方程联立，

借助韦达定理求出关系式，利用抛物线定义结合基本不等式求解判断AB；利用导数求出切线斜率求解判断C；求出直线AN的斜率范围判断D.【详解】抛物线2:4Cxy=的焦点(0,1)F，准线方程为1y=−，(0,1)N−，显然直线l的斜率存在，设其方程为1ykx=+，112

2()AxyBxy,,(,)，的由214ykxxy=+=消去y得2440xkx−−=，显然0，12124,4xxkxx+==−，对于A，2212121221122444xxxxABAFBFyy+=+=+++=++=，当且仅当12xx=−时取等号，A正确；对于B，

由选项A知，||||2AFBF==，而||2NF=，因此NANB⊥，B正确；对于C，由214yx=，求导得=12yx，则211211,22xkkx==，由124kk+=，得128xx+=，则48k=，解得2k=

，直线AB的方程为210xy−+=，C错误；对于D，直线AN的斜率21111144ANyxkxx++==，221111244||14||4||ANxxkxx+==，当且仅当1||2x=时取等号，则1ANk−或1ANk，因此直线AN的倾斜

角πππ3π[,)(,]4224，直线AN的倾斜角的最小值为π4，D正确.故选：ABD三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知i是虚数单位，复数z满足()1i1iz−=+，则z=___________.【答案】i−

【解析】【分析】利用复数的除法法则计算得到z，然后求z即可.【详解】()()()2111211112z+++−====−−+iiiiiii，所以iz=−.故答案为：i−.13.62xx+的展开式

中，常数项为___________.(用数字作答)【答案】60【解析】【分析】求得二项展开式的通项，结合通项确定r的值，代入即可求解.【详解】由题意二项式62xx+展开式的通项为63621662()()2rrrrrrrTCxCxx−−+==，令2r=，可得展开式的常数项为

2236260TC==.故答案为：60.14.已知集合{|kAxx=为不超过k的正整数}，*kN.若kkxA，160nkkx==，则n的最大值与最小值之和为___________.【答案】71【解析】【分析】根据题意，分析可得对于n的最小值，要尽可能让每

一项kx取较大值，对于n的最大值，要尽可能让每一项kx取较小值，结合等差数列的求和公式代入计算，分别求得n的最小值以及最大值，即可得到结果.【详解】由题意可得，1,2,3,,,NkAkk=，且k

kxA，160nkkx==，对于n的最小值，要尽可能让每一项kx取最大值；对于n的最大值，要尽可能让每一项kx取最小值；当kx尽可能取大的值时，n会取到最小值，当,1kkkxAx=时，n取到最大值，

最大值为60；当kxk=时，因为1015560kk==，1116660kk==，所以取()111,2,,10,5kxkkx===时，160nkkx==，.此时n恰好取到最小值，综上n的最大值为60，n的最小值

为11，则n的最大值与最小值之和为71.故答案为：71【点睛】关键点睛：本题主要考查了集合定义的理解以及数列求和的内容，难度较大，解答本题的关键在于分析出对于n的最小值，要尽可能让每一项kx取较大值，

对于n的最大值，要尽可能让每一项kx取较小值，即可得到结果.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知ABCV的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinAcosA+=

30，7a=，3b=.（1）求A和c；（2）已知点D在线段BC上，且AD平分BAC，求AD的长.【答案】（1）2π3A=，5c=（2）158AD=.【解析】【分析】（1）弦化切求出A，再利用余弦定理求出c.（2）由（1）的结论，利

用三角形面积公式列式求出AD.【小问1详解】在ABCV中，由sinAcosA+=30，得tan3A=−，而0πA，则2π3A=，由余弦定理，得2222cosabcbcA=+−，即24993cc=++，即23400cc+−=，而0c

，所以5c=.【小问2详解】由（1）知，2π3A=，由AD平分BAC，得ADCBDCABCSSS+=，即1π1π12πsinsinsin232323bADcADbc+=，则()bcADbc+=，即815AD=，所以158AD=.16.已知函数()e1()xfxaxa=−+R.（1）讨论函

数()fx单调性；的（2）若当0a时，函数()fx有两个不同的零点，求实数a的取值范围.【答案】（1）答案见解析.（2）20ea−【解析】【分析】（1）求出函数()fx的导数，再按0,0aa分类讨论导数值正负即可.（2）由（1）

可得()fx的最小值，再结合函数值的变化情况求出最小值小于0的a的范围.【小问1详解】函数()e1xfxax=−+的定义域为𝑅，求导得()e1xfxa=−，当0a时，()0fx，函数()fx在𝑅上单调递减；当0a

时，由()0fx，得lnxa−；由()0fx，得lnxa−，即函数()fx在(,ln)a−−上单调递减，在(ln,)a−+上单调递增，所以当0a时，函数()fx的单调递减区间是(,)−+；当0a

时，函数()fx的单调递减区间是(,ln)a−−，单调递增区间是(ln,)a−+.【小问2详解】由（1）知，当0a时，min()(ln)2lnfxfaa=−=+，当x→−时，()fx→+；当x→+时，()fx→+，要函数()fx有两个不同的零点，当且仅当2ln0a+，解得2

0ea−，所以实数a的取值范围20ea−.17.如图，四棱锥PABCD−的底面ABCD为平行四边形，PA⊥底面ABCD，90ABD??.（1）求证：平面PAB⊥平面PBD；（2）若PAABBD==，求平面PBD与平面PDC的夹角的余弦值.【答案】（1

）证明见解析；（2）12.【解析】【分析】（1）利用线面垂直的性质、判定，面面垂直的判定推理得证.（2）过B作直线//BzPA，以点B为原点建立空间直角坐标系，求出平面PBD与平面PDC的法向量，再利用面面角的向量求法求解.【小问1详解】在四棱锥PABCD−中，由PA⊥底面ABCD

，BD底面ABCD，得PABD⊥，由90ABD??，得ABBD⊥，而,,PAABAPAAB=平面PAB，则BD⊥平面PAB，又BD平面PBD，所以平面PAB⊥平面PBD.【小问2详解】过B作直线//BzPA，由PA⊥底面ABCD，得Bz⊥底面ABCD，直线,,

BDBABz两两垂直，以点B为原点，直线,,BDBABz分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系，令1AB=，又ABCD为平行四边形，则(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,1)BDCP−，(1,0,0),(0,1,0),(1,1,1)BDCDDP=

==−，设平面PBD的法向量为(,,)mabc=，则00mBDamDPabc===−++=，取1c=，得(0,1,1)m=−，设平面PDC的法向量为(,,)nxyz=，则00nCDynDPxyz===−++=，取1

z=，得(1,0,1)n=，所以平面PBD与平面PDC的夹角的余弦值为||11|cos,|2||||22mnmnmn===.18.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左、右焦点分别为1(3,0)F−，

2(3,0)F，且椭圆C经过点1(3,)2D.过点(,0)(2)Ttt且斜率不为0的直线交椭圆C于A，B两点，过点A和(1,0)M的直线AM与椭圆C的另一个交点为N.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线BN的倾斜角为90°，求t

的值.【答案】（1）2214xy+=；（2）4t=.【解析】【分析】（1）利用椭圆的定义求出a，进而求出b得C的标准方程.（2）根据已知可得直线AM不垂直于坐标轴，设其方程并与椭圆方程联立，结合韦达定理求出直线AB与x轴交点的横坐标即可.【小问1详解】椭圆2222:1xyC

ab+=的二焦点为1(3,0)F−，2(3,0)F，点1(3,)2D在椭圆C上，则2212112||||(23)()422aDFDF=+=−++=，解得2a=，则222(3)1b=−=，所以椭圆C的标准方程为2214xy+=.【小问2详解】依题意，点,AB不在x轴上，即直线AM不垂直于y轴，且直

线AM不垂直于x轴，否则,AB重合，设直线AM方程为1xky=+，0k，由22144xkyxy=++=消去x得，22(4)230kyky++−=，显然0，设1122(,),(,)AxyNxy，由直线BN的倾斜角为90°，得点22,()Bxy−，则12122223,44kyyyykk+=

−=−++，所以12123()2yykyy+=，直线AN的方程为121112()yyyyxxxx+−=−−，当0y=时，1121121211121212()()211423yxxykykykyytxkykyyyyyy−−=−=+−=+=++，所以4t=.19.若无穷正项数列na同

时满足下列两个性质：①na为单调数列；②存在实数0A，对任意*nN都有naA成立，则称数列na具有性质T.（1）若21nan=+，1()2nnb=，判断数列na，nb是否具有性质T，并说

明理由；（2）已知离散型随机变量X服从二项分布(,)Bnp，*nN，1(0,)2p，记X为奇数的概率为nP.（ⅰ）当14p=时，求2P，3P；（ⅱ）求nP，并证明数列nP具有性质T.【答案】（1）na不具有，nb具有，理由见解析；（2）（ⅰ）238P=，3716

P=；（ⅱ）1(12)2nnpP−−=，证明见解析.【解析】【分析】（1）利用给定的定义分别判断数列na，nb即可.（2）（ⅰ）利用二项分布的概率公式求出2P，3P；（ⅱ）利用二项式定理求出数列nP的通项公式，再判断是否满

足条件①②.【小问1详解】由21nan=+，得120nnaa+−=，即na是递增数列，而随着n的增大，na无限增大，不存在正数A，对任意*nN都有naA成立，数列na不具有性质T；由1()2nnb=，得1112nnbb+=，又0nb，则1nn

bb+，数列nb是递减数列，对任意*nN，112nbb=，即存在实数12A，对任意*nN都有naA成立，所以nb具有性质T.【小问2详解】（ⅰ）当14p=时，()1221131C1448PPX===−=，()()2313333111713C1

C44416PPXPX==+==−+=.（ⅱ）随机变量X的所有可能取值为*0,1,,,()nnN，若X为奇数的概率为,nPX为偶数的概率为nc，1[(1)]nnnPcpp+==−+0011

12220C(1)C(1)C(1)C(1)nnnnnnnnnpppppppp−−=−+−+−++−，()()()()()()()()()0112200121C1C1C1C1nnnnnnnnnnnnPcpppppppppp−−−+=−−=−−+−−+−−++−−，两式相减得1(1

2)2nnpP−−=，当102p时，0121p−，数列}(12{)np−单调递减，因此数列nP单调递增，且12nP，所以数列nP具有性质T.【点睛】关键点点睛：本题第2问，利用二项式定

理的展开式求出nP是关键.