【文档说明】[29883028]专题4.13 探索三角形相似的条件（知识讲解）九年级-九年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）.docx，共(13)页，293.242 KB，由envi的店铺上传

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专题4.13探索三角形相似的条件（知识讲解）【学习目标】1、了解相似三角形的概念，掌握相似三角形的表示方法及判定方法；2、进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力.【要点梳理】要点一：相似三角形有有关概念在和中，如果我们

就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”.特别说明：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′；(2)对于相似比，要注意顺序

和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.要点二：相似三角形的判定1．判定方法（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.2．判定方法（2）：如果

两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.3．判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.特别说明：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.4．判定方法（

4）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.特别说明：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.【典型例题】类型

一、选择或补充条件说明两个三角形相似1．如图，△ABC与△ADE中，∠C＝∠E，∠1＝∠2；（1）证明：△ABC∽△ADE．（2）请你再添加一个条件，使△ABC≌△ADE．你补充的条件为：．【分析】(1)由∠1=∠2,证出∠BAC=∠DAE.再由∠C=∠E,即

可得出结论;(2)由AAS证明△ABC≌△ADE即可.证明：(1)∵∠1=∠2，∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，∴∠BAC=∠DAE．∵∠C=∠E，∴△ABC∽△ADE．(2)补充的条件为：AB=AD（答案不唯一）；理由如下

：由(1)得：∠BAC=∠DAE，在△ABC和△ADE中，BACDAECEABAD===，∴△ABC≌△ADE；故答案为AB=AD（答案不唯一）．【点拨】本题主要考查全等三角形的判定及相似三角形的判定.【变式1】如图，已知等边三角形ABC，点M为BC边的中点，连

接AM，请利用直尺和圆规在边AB上找一点P，使得△MPB∽△AMC．（保留作图痕迹，不写做法）【分析】根据相似三角形的判定即可画图．解答：如图所示：作MP⊥AB于点P，则点P即为所求作的点．∵ABC等边三角形60,BC==

90BPMAMC==∴△MPB∽△AMC．【点拨】本题主要结合相似三角形的判定方法考查尺规作图，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.【变式2】如图，90ACBCDB==，在线段CD上求作一点P，使A

PCCDB:.(不写作法，保留作图痕迹)【分析】根据等角的余角相等可知：∠ACD=∠B，所以只要过点A作AP⊥CD于点P即可.解答：如图所示，点P即为所求.【点拨】本题考查了相似三角形的判定和尺规作已知线段的垂线，难度不大，属于基本题型，熟练掌握基本作图和相似三角形

的判定是解题关键.【变式3】如图，在ABC中，AD是角平分线，请用尺规作图法，求作ADE，使得ABDADE∽△△，且点D与E对应，点E在AC上．（保留作图痕迹，不写作法）【分析】作∠ADE=∠B，使DE交AC于点E，问题可解．解答：如图，ADE即为所求．【点拨

】本题考查尺规作图，三角形相似的判定，作一角等于已知角是解本题的关键．2．如图，在RtABC中，90ACB=，过点C任作一直线l，过点A作ADl⊥于点D，过点B作BEl⊥于点E．（1）指出图中的一对相似三角形并证明；（2）当ABCCBE时，需添加一个条件，这个条件

可以是___(只要求写出一种情况即可)【答案】（1）ACDCBE，证明见解析；（2）BACBCE=（答案不唯一）【分析】（1）根据相似三角形的判定定理即可证明；（2）根据相似三角形的判定定理，已知一组对应角相等，需要

再添加另一组对应角相等或者夹这组角的两边对应成比例，即可得到两三角形相似．解答：ACDCBE证明：ADl⊥于点,DBEl⊥于点E90ADCCEB==90ACB=90DACDCABCEDCA+=+=DACECB=.ACDCBE∽()2

BACBCE=,,ACBCABCCBECEBE==答案不唯一∵BE⊥DE∴∠BEC=90°=∠ACB，再添加BACBCE=根据两角对应相等的两个三角形相似，得到ABCCBE；∵∠BEC=90°=∠ACB，再添加ACBCCEBE=根据两边对应成比例且夹角相等

的两个三角形相似，得到ABCCBE【点拨】本题考查了相似三角形的判定定理，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．【变式1】已知：如图，ABC中，P是AB边上的一点，连接CP．满足________时ACPABC∽．（添加一个条件即可）．【答案】APCACB=

，或ACPABC=，或APACACAB=【分析】欲证△ACP∽△ABC，通过观察发现两个三角形已经具备一组角对应相等，即∠A＝∠A，此时，再求夹此对应角的两边对应成比例或另一组对应角相等即可．解答：∵

∠A＝∠A，∴当∠APC＝∠ACB，或∠ACP＝∠ABC，或APACACAB=时，△ACP∽△ABC．故答案为：APCACB=，或ACPABC=，或APACACAB=．【点拨】本题考查了相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要

掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边成比例、对应角相等．【变式2】已知：如图，在△ABC中，点D在AC上（点D不与A，C重合）．若再添加一个条件，就可证出△ABD∽△ACB．（1）你添加的条件是；（2）根据题目中的条件和添加上的

条件证明△ABD∽△ACB．【答案】（1）∠ABD=∠C（或∠ADB=∠ABC或ABADACAB=，答案不唯一）；（2）见解析【分析】（1）根据图形得到△ABD与△ACB有一公共角，故添加另一组对应角相等或是添加公共角的两边对应成

比例即可；（2）根据条件证明即可.解答：（1）∵△ABD与△ACB有一公共角∠A，∴当∠ABD=∠C时，△ABD∽△ACB，或∠ADB=∠ABC时，△ABD∽△ACB，或ABADACAB=时，△ABD∽△ACB，故答案为：∠ABD=∠C（或∠ADB=∠ABC或ABADACAB=，答案不唯

一）；（2）∵∠ABD=∠C，∠A=∠A,∴△ABD∽△ACB；∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A∴△ABD∽△ACB；∵ABADACAB=，∠A=∠A，∴△ABD∽△ACB.【点拨】此题考查相似三角形的判定定理，熟记定理并运用解题是关键.【变式

3】如图，要使AFEABC∽，需要添加一个条件，请添加条件并给出证明过程．【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理进行解答即可．解答：可添加条件：AEFACB=．证明如下：∵FAEBAC=，AEFACB=，∴AFEABC∽．【点拨】此题考查了相似三角形的判定，常用的判定方法有：①有

两个对应角相等的三角形相似；②有两组对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．类型二、证明两个三角形相似2．．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．【答案】证明见解析．【分析】根据等腰三角形三线合一的

性质可得AD⊥BC，然后求出∠ADB=∠CEB=90°，再根据两组角对应相等的两个三角形相似证明．解答：∵在△ABC中，AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC．又∵CE⊥AB，∴∠ADB=∠CEB=90°，又∵∠B=∠B，∴△ABD

∽△CBE．【点拨】本题考查了相似三角形的判定，正确找到相似的条件是解题的关键．【变式1】如图，已知AD•AC＝AB•AE．求证：△ADE∽△ABC．【分析】由AD•AC＝AE•AB，可得ADAEABAC=,从而根据“两边对应成比例并且夹角相等的两个三角形相似”

可证明结论成立.证明：∵AD•AC＝AE•AB，∴ADAB＝AEAC在△ABC与△ADE中∵ADAB＝AEAC，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADE【变式2】如图，AB•AE=AD•AC，且∠1=∠2，求证：△ABC∽△ADE．【分析】先由已知条件

得到：ACABAEAD=，∠BAC=∠DAE；根据两边及其夹角的三角形相似的判定定理求解即可.证明：如图，∵AB•AE=AD•AC，∴=ABACADAE．又∵∠1=∠2，∴∠2+∠BAE=∠1+∠BAE，即∠BAC=∠DAE，∴△ABC∽△AED．【点拨】本题考查了相似三角形的判定：（1）

平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应

相等的两个三角形相似.【变式3】如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且∠BAC=∠BDC=∠DAE．求证：△ABE∽△ACD．【分析】先由∠BAC=∠BDC，∠AOB=∠DOC，得出∠ABE=∠A

CD，再根据∠BAC=∠DAE可得出∠DAC=∠EAB，故可得出结论．证明：∵∠BAC=∠BDC，∠AOB=∠DOC，∴∠ABE=∠ACD又∵∠BAC=∠DAE∴∠BAC+∠EAC=∠DAE+∠EAC∴∠DAC=∠EAB∴△AB

E∽△ACD．【点拨】考查了相似三角形的判定．①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．3．如图，已知∠BAE＝∠CAD，AB＝18，AC＝48，AE＝15，AD＝40．求证：△ABC∽△AED

．【分析】由∠BAE=∠CAD知∠BAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC，即∠BAC=∠EAD，再根据线段的长得出65ABACAEAD==，据此即可得证．证明：∵∠BAE＝∠CAD，∴∠BAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，即∠BAC＝∠

EAD，∵AB＝18，AC＝48，AE＝15，AD＝40，∴65ABACAEAD==，∴△ABC∽△AED．【点拨】本题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应

相等的两个三角形相似．【变式1】如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=2，以AC为边作△ACE，∠ACE=90°，AC=CE，延长BC至点D，使CD=5，连接DE．求证：△ABC∽△CED．【分析】由已知易证∠BA

C=∠ECD，在Rt△ABC中由已知可得AC=2225ABBC+==CE，结合AB=4，CD=5，可证得ABCEACCD=，由此即可由“两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似”得到△ABC∽△CED．证明：∵∠B=90°，AB=4，BC=2，∴2225ACABB

C=+=.∵CE=AC，∴25CE=.∵CD=5，∴ABACCECD=.∵∠B=90°，∠ACE=90°，∴∠BAC+∠BCA=90°，∠BCA+∠DCE=90°.∴∠BAC=∠DCE.∴△ABC∽△CED.【变式2】如

图，在正方形ABCD中，E是CD上的一点，F是BC的延长线上的一点，且CE=CF，BE的延长线交DF于点G，求证：△BGF∽△DCF．【分析】先根据正方形的性质得出DC=BC，∠DCB=∠DCF=90°，由CE=C

F可得出△DCF≌△ECB，故∠CDF=∠CBE，再根据∠F为公共角即可得出结论．证明：∵正方形ABCD∴∠DCB=∠DCF=90，DC=BC∵CE=CF∴△DCF≌△ECB∴∠CDF=∠CBE∵∠CDF＋∠F=90

∴∠CBE＋∠F=90∴∠BGF=90=∠DCF∴△BGF∽△DCF【点拨】本题考查的是相似三角形的判定，熟知有两组角对应相等的两个三角形相似是解答此题的关键．【变式3】已知：如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延

长线上，且OEOB=，连接DE．（1）求证：DEBE⊥；（2）如果OECD⊥，求证：BDCECDDE=．【答案】（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析【分析】（1）由平行四边形的性质得到BO=12BD，由等量代换推出OE=1

2BD，根据平行四边形的判定即可得到结论；（2）根据等角的余角相等，得到∠CEO=∠CDE，推出△BDE∽△CDE，即可得到结论.证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=OD，∵OE=OB，∴OE=OD，∴∠OBE=∠OEB，∠OED=∠ODE，∵∠OBE+∠OE

B+∠OED+∠ODE=180°，∴∠BEO+∠DEO=∠BED=90°，∴DE⊥BE；（2）∵OE⊥CD∴∠CEO+∠DCE=∠CDE+∠DCE=90°，∴∠CEO=∠CDE，∵OB=OE，∴∠DBE=∠CDE，∵∠BED=∠BED，∴△BDE∽△DCE，∴BDDE

CDCE＝，∴BD•CE=CD•DE．