【文档说明】2021-2022学年高中数学人教A版必修1讲义：1.1.3　第2课时　补集及综合应用 含解析.doc，共(6)页，330.500 KB，由envi的店铺上传

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第2课时补集及综合应用学习目标核心素养1.了解全集的含义及其符号表示．(易混点)2.理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集．(重点、难点)3.会用Venn图、数轴进行集合的运算．(重点)1．通过补集的运算

提升数学运算素养．2．借助集合思想对实际生活中的对象进行判断归类，培养数学抽象素养.1.全集(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．(2)记法：全集通常记作U.思考：全集一定是实数集

R吗？提示：全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z.2．补集文字语言对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA

符号语言∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}图形语言1．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3,5}，则∁UA等于()A．{1,3,5}B．{2}C．{4}D．{2,4}D[∁UA＝{2,4}，故选D.]2．已知全集U＝{0,1,2}，且∁UA＝{2}，则A＝()A．{0}B

．{1}C．∅D．{0,1}D[∵U＝{0,1,2}，∁UA＝{2}，∴A＝{0,1}，故选D.]3．若集合A＝{x|x>1}，则∁RA＝________.{x|x≤1}[∵A＝{x|x>1}，∴∁RA＝{x|x≤1}．]补集的运算【例1】(教材改编题)(1)已知全集

U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁UA＝________；(2)已知全集为U，集合A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，∁UB＝{1,4,6}，则集合B＝________.(1){x|x<－3或x＝5}(2){2,3

,5,7}[(1)将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示．由补集的定义可知∁UA＝{x|x<－3或x＝5}．(2)因为A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，所以U＝{1,2,3,4,5,6,7}．又∁UB＝{1,4,6}，所以B＝{2,3,5,7}．]求集合的补集

的方法(1)定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解.(2)Venn图法：借助Venn图可直观地求出全集及补集.(3)数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点问题.[跟进训练]1.(1)设集合A＝{x∈N*|x≤6}，B＝{2,4}，则∁AB

等于()A．{2,4}B．{0,1,3,5}C．{1,3,5,6}D．{x∈N*|x≤6}(2)已知U＝{x|x>0}，A＝{x|2≤x<6}，则∁UA＝________.(1)C(2){x|0<x<2，或x≥6}[(1)因为A＝{x∈N*|x≤6}＝{1,2,3,

4,5,6}，B＝{2,4}，所以∁AB＝{1,3,5,6}．故选C.(2)如图，分别在数轴上表示两集合，则由补集的定义可知，∁UA＝{x|0<x<2，或x≥6}．]集合交、并、补集的综合运算【例2】设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，求∁RB，∁R(A∪B

)及(∁RA)∩B.[解]把集合A，B在数轴上表示如下：由图知∁RB＝{x|x≤2，或x≥10}，A∪B＝{x|2<x<10}，所以∁R(A∪B)＝{x|x≤2，或x≥10}．因为∁RA＝{x|x<3，或x≥7}，所以(∁RA)∩

B＝{x|2<x<3，或7≤x<10}．解决集合交、并、补运算的技巧(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn图来求解.(2

)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题.[跟进训练]2．全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A⊆U，B⊆U，(∁UB)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}，(∁UA)∩

(∁UB)＝{4,6,7}，求集合A，B.[解]法一(Venn图法)：根据题意作出Venn图如图所示．由图可知A＝{1,3,9}，B＝{2,3,5,8}．法二(定义法)：(∁UB)∩A＝{1,9}，(∁UA)∩(∁UB)＝{4,6,7}，∴∁UB＝{1,4,6,7,9}．又U＝{1,2,3,4,5

,6,7,8,9}，∴B＝{2,3,5,8}．∵(∁UB)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}，∴A＝{1,3,9}．3．设集合U＝{0,1,2,3,4}，A＝{1,2}，B＝{2,3}，则(∁UA)∩(∁UB)＝()A．{0,4}B．{4}C．{1,2,3}D．∅A[因为U＝{

0,1,2,3,4}，A＝{1,2}，B＝{2,3}，所以∁UA＝{0,3,4}，∁UB＝{0,1,4}，所以(∁UA)∩(∁UB)＝{0,4}．]与补集有关的参数值的求解[探究问题]1．若A，B是全集U的子集，且(∁UA)∩

B＝∅，则集合A，B存在怎样的关系？提示：B⊆A.2．若A，B是全集U的子集，且(∁UA)∪B＝U，则集合A，B存在怎样的关系？提示：A⊆B.【例3】设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全

集U＝R，且(∁UA)∩B＝∅，求实数m的取值范围．思路点拨：法一：由A求∁UA――――→结合数轴∁UA∩B＝∅建立m的不等关系法二：(∁UA)∩B＝∅――→等价转化B⊆A[解]法一(直接法)：由A＝{x|x＋m≥0}＝{x|x≥－m}，得∁UA＝{x|x<－m}．因为B＝{x|－2<x<

4}，(∁UA)∩B＝∅，所以－m≤－2，即m≥2，所以m的取值范围是m≥2.法二(集合间的关系)：由(∁UA)∩B＝∅可知B⊆A，又B＝{x|－2<x<4}，A＝{x|x＋m≥0}＝{x|x≥－m}，结合数轴：得－m≤－

2，即m≥2.1．(变条件)将本例中条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UA)∩B＝B”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？[解]由已知得A＝{x|x≥－m}，所以∁UA＝{x|x<－m}，又(∁UA)∩B＝B，

所以－m≥4，解得m≤－4.2．(变条件)将本例中条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UB)∪A＝R”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？[解]由已知A＝{x|x≥－m}，∁UB＝{x|x≤－2或x≥4}．又(∁UB

)∪A＝R，所以－m≤－2，解得m≥2.由集合的补集求解参数的方法(1)如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义并结合知识求解.(2)如果所给集合是无限集，与集合交、并、补运算有关的求参数问题时，一般利用数轴分析法求解.1．核心要点：求某一集合的补集的前提必须明确全

集，同一集合在不同全集下的补集是不同的．2．数学思想：补集作为一种思想方法，为我们研究问题开辟了新思路，在正向思维受阻时，改用逆向思维，如若直接求A困难，则使用“正难则反”策略，先求∁UA，再由∁U(∁UA)＝A求A.1.思考辨析(正确的打

“√”，错误的打“×”)(1)全集一定含有任何元素．()(2)集合∁RA＝∁QA.()(3)一个集合的补集一定含有元素．()[答案](1)×(2)×(3)×2．U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(∁UA)∪B为(

)A．{1,2,4}B．{2,3,4}C．{0,2,3,4}D．{0,2,4}D[∵∁UA＝{0,4}，B＝{2,4}，∴(∁UA)∪B＝{0,2,4}．]3．设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(∁RS)∪T等于()A．{x|－2<x

≤1}B．{x|x≤－4}C．{x|x≤1}D．{x|x≥1}C[因为S＝{x|x>－2}，所以∁RS＝{x|x≤－2}．而T＝{x|－4≤x≤1}，所以(∁RS)∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1

}＝{x|x≤1}．]4．已知全集U＝{2,0,3－a2}，U的子集P＝{2，a2－a－2}，∁UP＝{－1}，求实数a的值．[解]由已知，得－1∈U，且－1∉P，因此3－a2＝－1，a2－a－2＝0，解得a＝2.当a＝

2时，U＝{2,0，－1}，P＝{2,0}，∁UP＝{－1}，满足题意．因此实数a的值为2.