【文档说明】2009年高考试题——数学文（山东卷）解析版.doc，共(14)页，1.421 MB，由envi的店铺上传

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2009年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)文科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页，满分150分，考试时间120分钟。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试

卷规定的位置上.，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区

域内作答;不能写在试题卷上;如需改动，先画掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸,修正带,不按以上要求作答的答案无效。4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤.。参考公式：柱体的体积公式V=Sh，其中S是柱体的底面积，h是锥体的高。锥体的体积公式V

=13Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高。第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.集合0,2,Aa=,21,Ba=,若0,1,2,4,16AB=,则a的值为()A.0B.1C.2D.4【

解析】:∵0,2,Aa=,21,Ba=,0,1,2,4,16AB=∴2164aa==∴4a=,故选D.答案:D【命题立意】:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题属于容易题.2.复数31ii−−等于（）.A．i21+B.12i−C.2i+D.

2i−2.【解析】:223(3)(1)324221(1)(1)12iiiiiiiiiii−−++−+====+−−+−,故选C.答案:C【命题立意】:本题考查复数的除法运算，分子、分母需要同乘以分母的共轭复数，把分母变为实数，将除法转变为乘法进行运算.3.将函数sin2yx=的图象向左平

移4个单位,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是().w.w.w.k.s.5.u.c.o.mA.22cosyx=B.22sinyx=C.)42sin(1++=xyD.cos2yx=3.【解析】:将函数sin2yx=的图象向左平移4个单

位,得到函数sin2()4yx=+即sin(2)cos22yxx=+=的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为21cos22cosyxx=+=,故选A.答案:A【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化

简解析式的基本知识和基本技能,学会公式的变形.4.一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为().A.223+B.423+C.2323+D.2343+【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的

,圆柱的底面半径为1,高为2,体积为2,四棱锥的底面边长为2，高为3，所以体积为()21232333=所以该几何体的体积为2323+.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m答案:C【命题立意】:本题考查了立体几何中的空间想象能力,由三视图能够想象

得到空间的立体图,并能准确地计算出.几何体的体积.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m22侧(左)视图222正(主)视图俯视图5.在R上定义运算⊙:a⊙baabb++=2,则满足x⊙)2(−x<0的实数x的取值范围为().A.(0

,2)B.(-2,1)C.),1()2,(+−−D.(-1,2)w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【解析】:根据定义x⊙02)2(2)2()2(2−+=−++−=−xxxxxxx,解得12−x,所以所求的实数x的取值范

围为(-2,1),故选B.答案:B.【命题立意】:本题为定义新运算型,正确理解新定义是解决问题的关键,译出条件再解一元二次不等式.6.函数xxxxeeyee−−+=−的图像大致为().w.w.w.k.

s.5.u.c.o.m【解析】:函数有意义,需使0xxee−−,其定义域为0|xx,排除C,D,又因为22212111xxxxxxxeeeyeeee−−++===+−−−,所以当0x时函数为减

函数,故选A.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m答案:A.【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.7.定义在R上

的函数f(x)满足f(x)=−−−−0),2()1(0),4(log2xxfxfxx，则f（3）的值为()A.-1B.-2C.1D.2【解析】:由已知得2(1)log5f−=,2(0)log42f==,2(1)(0)(1)2log5fff=−−=−,2(2)(1)(0)log5f

ff=−=−,22(3)(2)(1)log5(2log5)2fff=−=−−−=−,故选B.答案:B.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m1xy1OAxyO11BxyO11Cxy11DO【命题立意】:本题考查对数函数的运算以及推理过程..8.设P是△ABC所在平面内的一点

，2BCBABP+=，则（）A.0PAPB+=B.0PBPC+=C.0PCPA+=D.0PAPBPC++=【解析】:因为2BCBABP+=，所以点P为线段AC的中点，所以应该选B。答案：B.【命题立意】:本题考查了向量的加法运算

和平行四边形法则，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m可以借助图形解答。9.已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“⊥”是“m⊥”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件w.w.w.

k.s.5.u.c.o.m【解析】:由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线,m⊥,则⊥,反过来则不一定.所以“⊥”是“m⊥”的必要不充分条件w.w.w.k.s.5.u.c.o.m.答案:B.【命题立意】:本题主要考查了立体几何中垂直关系的判定和充分必要

条件的概念.10.设斜率为2的直线l过抛物线2(0)yaxa=的焦点F,且和y轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为().w.w.w.k.s.5.u.c.o.mA.24yx=B.28yx=C.24yx=D.28yx=【解析】:抛物线2

(0)yaxa=的焦点F坐标为(,0)4a,则直线l的方程为2()4ayx=−,它与y轴的交点为A(0,)2a−,所以△OAF的面积为1||||4242aa=,解得8a=.所以抛物线方程为28yx=,故选B.w.w.w.k.s.5.u

.c.o.m答案:B.【命题立意】:本题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标以及直线的点斜式方程和三角形面积的计算.考查数形结合的数学思想,其中还隐含着分类讨论的思想,因参数a的符号不定而引发的抛物线开口方向的不定以及焦点位置的相应变化有两种情况,这里加绝对值号可以做到合二为一.ABCP第8题图

11.在区间[,]22−上随机取一个数x，cosx的值介于0到21之间的概率为().A.31B.2C.21D.32w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【解析】:在区间[,]22−上随机取一个数x,即[,]22x−时,要使cosx的值介于

0到21之间,需使23x−−或32x，区间长度为3，由几何概型知cosx的值介于0到21之间的概率为313=.故选A.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m答案:A【命题立意】:本题考查了三角函数的值域和几

何概型问题,由自变量x的取值范围,得到函数值cosx的范围,再由长度型几何概型求得.12.已知定义在R上的奇函数)(xf，满足(4)()fxfx−=−,且在区间[0,2]上是增函数,则().w.w.w.k.s.5.u.c.o.mA.(25)(11)(80)fff−B.(80)(11

)(25)fff−C.(11)(80)(25)fff−D.(25)(80)(11)fff−【解析】:因为)(xf满足(4)()fxfx−=−,所以(8)()fxfx−=,所以函数是以8为周期的周期函数,则)1()25(−=−ff,)0()80(ff=,)3()1

1(ff=,又因为)(xf在R上是奇函数，(0)0f=,得0)0()80(==ff,)1()1()25(fff−=−=−,而由(4)()fxfx−=−得)1()41()3()3()11(fffff=−−=−−

==,又因为)(xf在区间[0,2]上是增函数,所以0)0()1(=ff,所以0)1(−f,即(25)(80)(11)fff−,故选D.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m答案:D.【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、周期性等性质,运用化归的数学思想

和数形结合的思想解答问题.第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。13.在等差数列}{na中,6,7253+==aaa,则____________6=a.【解析】:设等差数列}{na的公差为d,则由已知得++=+=+6472111dadada解得132ad==,

所以61513aad=+=.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m答案:13.【命题立意】:本题考查等差数列的通项公式以及基本计算.14.若函数f(x)=ax-x-a(a>0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【解析】:设函数(0

,xyaa=且1}a和函数yxa=+,则函数f(x)=ax-x-a(a>0且a1)有两个零点,就是函数(0,xyaa=且1}a与函数yxa=+有两个交点,由图象可知当10a时两函数只有一个交点,不符合,

当1a时,因为函数(1)xyaa=的图象过点(0,1),而直线yxa=+所过的点（0，a）一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是}1|{aa.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m答案:}1|{aa【命题立意】:本题考查了指数

函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象进行解答.15.执行右边的程序框图，输出的T=.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【解析】:按照程序框图依次执行为S=5,n=2,T=2;S=10,n=4,T=2+4=6;S=15,n=

6,T=6+6=12;S=20,n=8,T=12+8=20;S=25,n=10,T=20+10=30>S,输出T=30答案:30【命题立意】:本题主要考查了循环结构的程序框图,一般都可以反复的进行运算直到满足条件结束,本题中涉及到三个变量,注意每个变量的运行结果和执行情

况.16.某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品1

40件,所需租赁费最少为__________元.开始S=0,T=0,n=0T>SS=S+5n=n+2T=T+n输出T结束是否【解析】:设甲种设备需要生产x天,乙种设备需要生产y天,该公司所需租赁费为z元,则200300zxy=+，甲、乙两种设备生产A,B两类产品的情况为下表所示:w

.w.w.k.s.5.u.c.o.m产品设备A类产品(件)(≥50)B类产品(件)(≥140)租赁费(元)甲设备510200乙设备620300则满足的关系为565010201400,0xyxyxy++即:61052140,0xyxyxy++,作出不等式表

示的平面区域,当200300zxy=+对应的直线过两直线6105214xyxy+=+=的交点(4,5)时，目标函数200300zxy=+取得最低为2300元.答案:2300【命题立意】:本题是线性规划的实际应用问题,需要通过审

题理解题意,找出各量之间的关系,最好是列成表格,找出线性约束条件,写出所研究的目标函数,通过数形结合解答问题..三、解答题：本大题共6小题，共74分。17.(本小题满分12分)设函数f(x)=2)0(sin

sincos2cossin2−+xxx在=x处取最小值.(1)求.的值;(2)在ABC中,cba,,分别是角A,B,C的对边,已知,2,1==ba23)(=Af,求角C..解:（1）1cos()2sincossinsin2fxxxx+=+−sinsinc

oscossinsinxxxx=++−sincoscossinxx=+sin()x=+因为函数f(x)在=x处取最小值，所以sin()1+=−,由诱导公式知sin1=,因为0,所以2=.所以()sin()cos2

fxxx=+=w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（2）因为23)(=Af,所以3cos2A=,因为角A为ABC的内角,所以6A=.又因为,2,1==ba所以由正弦定理,得sinsinabAB=,也就是sin12sin222bABa===,因为ba,所以4=B或4

3=B.当4=B时,76412C=−−=;当43=B时,36412C=−−=.【命题立意】:本题主要考查了三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式和三角函数的性质,并利用正弦定理解得三角形中的边角.注意本题中的两种情况都符合.18.（本小题满分12分）如图，

在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E、E1分别是棱AD、AA1的中点.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（1）设F是棱AB的中点,证明：

直线EE1//平面FCC1；（2）证明:平面D1AC⊥平面BB1C1C.证明:（1）在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，取A1B1的中点F1，连接A1D，C1F1，CF1，因为AB=4,CD=2,且AB//CD，所以CD=//A1F1，A1F1CD为平行四边形，

所以CF1//A1D，又因为E、E1分别是棱AD、AA1的中点，所以EE1//A1D，所以CF1//EE1，又因为1EE平面FCC1，1CF平面FCC1，所以直线EE1//平面FCC1.（2）连接AC,在直棱柱中，CC1⊥平面ABCD,AC平面ABCD,所以C

C1⊥AC,因为底面ABCD为等腰梯形，AB=4,BC=2,F是棱AB的中点,所以CF=CB=BF，△BCF为正三角形，60BCF=,△ACF为等腰三角形，且30ACF=所以AC⊥BC,又因为BC与CC1都在平面BB1C1C内且交于点C,所以AC⊥平面BB1C1C,而AC平面D

1AC,所以平面D1AC⊥平面BB1C1C.EABCFE1A1B1C1D1DF1EABCFE1A1B1C1D1DEABCFE1A1B1C1D1D【命题立意】:本题主要考查直棱柱的概念、线面平行和线面垂直位置关系的判定.熟练掌握平行和垂直的判定

定理.完成线线、线面位置关系的转化.19.（本小题满分12分）一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆):轿车A轿车B轿车C舒适型100150z标准型300450600按类型分层抽样的方法在这个月生产

的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆.（1）求z的值.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（2）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率;（3）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测

它们的得分如下:9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.解:(1).设该厂本月生产轿车为n辆,由题意得,5010100300n=+,所以n=2000.z=2000-1

00-300-150-450-600=400(2)设所抽样本中有m辆舒适型轿车,因为用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本,所以40010005m=,解得m=2也就是抽取了2辆舒适型轿车,3

辆标准型轿车,分别记作S1,S2;B1,B2,B3,则从中任取2辆的所有基本事件为(S1,B1),(S1,B2),(S1,B3)(S2,B1),(S2,B2),(S2,B3),((S1,S2),(B1,B2),(B

2,B3),(B1,B3)共10个,其中至少有1辆舒适型轿车的基本事件有7个基本事件:(S1,B1),(S1,B2),(S1,B3)(S2,B1),(S2,B2),(S2,B3),((S1,S2),所以从中任取2辆,至

少有1辆舒适型轿车的概率为710.(3)样本的平均数为1(9.48.69.29.68.79.39.08.2)98x=+++++++=,那么与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的数为9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0这6个数,总的个数为8,所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的

概率为75.086=.【命题立意】:本题为概率与统计的知识内容,涉及到分层抽样以及古典概型求事件的概率问题.要读懂题意,分清类型,列出基本事件,查清个数.,利用公式解答.20.（本小题满分12分）等比数列{na}的前n项和为nS，已知对任意的nN+，点(,)nnS，

均在函数(0xybrb=+且1,,bbr均为常数)的图像上.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（1）求r的值；（11）当b=2时，记1()4nnnbnNa++=求数列{}nb的前n项和nT解:因为对任意的nN+,

点(,)nnS，均在函数(0xybrb=+且1,,bbr均为常数)的图像上.所以得nnSbr=+,当1n=时,11aSbr==+,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m当2n时,1111()(1)nnnnnnnnaSSbrbrbbbb−−−−=−=

+−+=−=−,又因为{na}为等比数列,所以1r=−,公比为b,所以1(1)nnabb−=−（2）当b=2时，11(1)2nnnabb−−=−=,111114422nnnnnnnba−++++===则234123412222nnnT++=++

++3451212341222222nnnnnT+++=+++++w.w.w.k.s.5.u.c.o.m相减,得23451212111112222222nnnnT+++=+++++−31211(1)112212212nnn−+−++−−1231142

2nnn+++=−−所以113113322222nnnnnnT++++=−−=−【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知nS求na的基本题型,并运用错位相减法求出一等比数列与一等差数列对应项乘积所得新数列的前n项和nT.21.（本小题满分1

2分）已知函数321()33fxaxbxx=+++,其中0aw.w.w.k.s.5.u.c.o.m（1）当ba,满足什么条件时,)(xf取得极值?（2）已知0a,且)(xf在区间(0,1]上单调递增,试用a表示出b的

取值范围.解:(1)由已知得2'()21fxaxbx=++,令0)('=xf,得2210axbx++=,)(xf要取得极值,方程2210axbx++=必须有解,所以△2440ba=−,即2ba,此时方程2

210axbx++=的根为2212442bbabbaxaa−−−−−−==,2222442bbabbaxaa−+−−+−==,所以12'()()()fxaxxxx=−−w.w.w.k.s.5.u.c.o.m当0a时,x(-∞,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+∞

)f’(x)＋0－0＋f(x)增函数极大值减函数极小值增函数所以)(xf在x1,x2处分别取得极大值和极小值.当0a时,w.w.w.k.s.5.u.c.o.mx(-∞,x2)x2(x2,x1)x1(x1,+∞)f’(x)－0＋0－f(x)减函数极小值增函数极大值减函数所以)(xf在x1,x2

处分别取得极大值和极小值.综上,当ba,满足2ba时,)(xf取得极值.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(2)要使)(xf在区间(0,1]上单调递增,需使2'()210fxaxbx=++在(0,1]上恒成立.即1,(0,1]22a

xbxx−−恒成立,所以max1()22axbx−−设1()22axgxx=−−,2221()1'()222axaagxxx−=−+=,令'()0gx=得1xa=或1xa=−(舍去),w.w.w.k.s.5.u.c.o.m当1a时,101a,当1(0,)xa时'()0gx,1(

)22axgxx=−−单调增函数;当1(,1]xa时'()0gx,1()22axgxx=−−单调减函数,所以当1xa=时,()gx取得最大,最大值为1()gaa=−.所以ba−当01a时,11a,此时'()0gx在区间(0,1]恒成立,所以1()22axgxx=−

−在区间(0,1]上单调递增,当1x=时()gx最大,最大值为1(1)2ag+=−,所以12ab+−综上,当1a时,ba−;当01a时,12ab+−w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【命题立意】:本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数

的最值,函数在区间上为单调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数研究最值.运用函数与方程的思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题.22.（本小题满分14分）设mR,在平面直角坐标系中,已知向量(,1)amx

y=+,向量(,1)bxy=−,ab⊥,动点(,)Mxy的轨迹为E.（1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;（2）已知41=m,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个

交点A,B,且OAOB⊥(O为坐标原点),并求出该圆的方程;(3)已知41=m,设直线l与圆C:222xyR+=(1<R<2)相切于A1,且l与轨迹E只有一个公共点B1,当R为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值.解:（1）因为ab⊥,(,

1)amxy=+,(,1)bxy=−,所以2210abmxy=+−=,即221mxy+=.当m=0时,方程表示两直线,方程为1=y;当1m=时,方程表示的是圆当0m且1m时,方程表示的是椭圆;当0m时,方

程表示的是双曲线.(2).当41=m时,轨迹E的方程为2214xy+=,设圆心在原点的圆的一条切线为ykxt=+,解方程组2214ykxtxy++==得224()4xkxt++=,即222(14)8440kxktxt+++−=,要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B,则使△=2222

226416(14)(1)16(41)0ktktkt−+−=−+,即22410kt−+,即2241tk+,且12221228144414ktxxktxxk+=−+−=+22222222212121212222(44)84()()()141414k

tkttkyykxtkxtkxxktxxttkkk−−=++=+++=−+=+++,要使OAOB⊥,需使12120xxyy+=,即222222224445440141414ttktkkkk−−−−+==+++,所以225440tk−−=,即22544tk=+且224

1tk+,即2244205kk++恒成立.所以又因为直线ykxt=+为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为21trk=+,222224(1)45115ktrkk+===++,所求的圆为2245xy+=.当切线的斜率不存在时,切线为552=x,与2214xy+=交于点)552,552

(或)552,552(−也满足OAOB⊥.综上,存在圆心在原点的圆2245xy+=，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OAOB⊥.(3)当41=m时,轨迹E的方程为2214xy+=,设直线l的方程为ykxt=+,因为直线l与圆C:222xyR+=(1<R<2)相切于A1,由（

2）知21tRk=+,即222(1)tRk=+①,因为l与轨迹E只有一个公共点B1,由（2）知2214ykxtxy++==得224()4xkxt++=,即222(14)8440kxktxt+++−=有唯

一解则△=2222226416(14)(1)16(41)0ktktkt−+−=−+=,即22410kt−+=,②由①②得2222223414RtRRkR=−−=−,此时A,B重合为B1(x1,y1)点,由1222122814

4414ktxxktxxk+=−+−=+中21xx=,所以,222122441616143tRxkR−−==+,B1(x1,y1)点在椭圆上,所以22211214143RyxR−=−=,所以22211124||5OBxyR=+=−,在直角三角形OA1B1中,222221111224

4||||||55()ABOBOARRRR=−=−−=−+因为2244RR+当且仅当2(1,2)R=时取等号,所以211||541AB−=,即当2(1,2)R=时|A1B1|取得最大值,最大值为1.【命题立意】:本题主要考查了直线与圆的方程和位置关系,以

及直线与椭圆的位置关系,可以通过解方程组法研究有没有交点问题,有几个交点的问题.徐洪艳制作