【文档说明】4.1指数（解析版）-【帮课堂】2022-2023学年高一数学同步精品讲义（人教A版2019必修第一册）.docx，共(19)页，748.689 KB，由envi的店铺上传

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4.1指数思维导图新课标要求通过对有理指数幂(0,1,,0)mnaaamnn>且为整数，且、实数指数幂xa（a>0,且，a≠1，x∈R）含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质。知识梳理一、n次方根、n次根式1．a的

n次方根的定义一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.2．a的n次方根的表示n的奇偶性a的n次方根的表示符号a的取值范围n为奇数na[来源:学|科|网]a∈Rn为偶数±na

[0，＋∞)3.根式式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．二、根式的性质1.n0＝0(n∈N*，且n>1)．2．(na)n＝a(a≥0，n∈N*，且n>1)．3.nan＝a(n为大于1的奇数)．4.nan＝|a|＝a，a≥0，－a，a<0

(n为大于1的偶数)．三、分数指数幂的意义分数指数幂[来源:学.科.网Z.X.X.K][来源:学|科|网][来源:Z&xx&k.Com]正分数指数幂规定：mna＝nam(a>0，m，n∈N*，且n>1)[来源:学*科*网]负分数指数幂规定：1mnmnaa−=

＝1nam(a>0，m，n∈N*，且n>1)0的分数指数幂0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义四、有理数指数幂的运算性质整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：(1)aras＝ar＋s(a>0，r，

s∈Q)；(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．五、无理数指数幂一般地，无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．六、实

数指数幂的运算性质[来源:学,科,网Z,X,X,K]1．aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)．2．(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)．3．(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)．名师导学知识点1由根式的意义求范围对于na，当n为偶数时，要注意

两点(1)只有a≥0才有意义．(2)只要na有意义，na必不为负．【例1-1】求使等式(a－3)(a2－9)＝(3－a)a＋3成立的实数a的取值范围．解(a－3)(a2－9)＝(a－3)2(a＋3)＝|a－3|a＋3，要使|a－3|a＋3＝(3－a)a＋3成立，需

a－3≤0，a＋3≥0，解得a∈[－3,3]．【变式训练1-1】（2022·全国·高一课时练习）若62344112aaa−+=−，则实数a的取值范围是（）A．aRB．0a=C．12aD．12a„【答案】D【分析】把等式左边变形为3|21|a−，结合33|21|12aa−=−，可得21

0a−„，则答案可求.【详解】解：由622363441(21)|21|12aaaaa−+=−=−=−，可得210a−„，即12a„．实数a的取值范围是12a„．故选：D．【变式训练1-2】（2021·江苏·高一专

题练习）()32344112aaa−+=−若，则实数a的取值范围_________．【答案】12−，【分析】由二次根式的化简求解【详解】由题设得()224412121aaaa−+=−=−，()3

31212aa−=−，所以2112aa−=−所以120a−，12a．故答案为：12−，知识点2利用根式的性质化简求值正确区分nan与(na)n(1)(na)n已暗含了na有意义，根据n的奇偶性可知a的范围．(2)nan中的a可以是全体实数

，nan的值取决于n的奇偶性．【例2-1】（2022·湖南·高一课时练习）求下列各式的值：(1)()336−；(2)()27−；(3)()4422−；(4)()55xy−．【解】(1)()3366−=−

.(2)()27|7|7−=−=.(3)()4422|22|22−=−=−.(4)()55xyxy−=−.【变式训练2-1】化简下列各式：(1)5(－2)5＋(5－2)5；(2)6(－2)6＋(62)6；(3)4(x＋2)4.解(1)原式＝(－2

)＋(－2)＝－4.(2)原式＝|－2|＋2＝2＋2＝4.(3)原式＝|x＋2|＝x＋2，x≥－2，－x－2，x<－2.【变式训练2-2】（2021·全国·高一课时练习）已知01x，化简：221144xx

xx−+−+−．【解】因为01x，所以11x，所以110,0xxxx+−，2222221111442424xxxxxxxx−+−+−=+−+−++−222222111111222x

xxxxxxxxxxxx=++−+−=+−−=++−=.知识点3根式与分数指数幂的互化（重点）根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的

运算性质解题．【例3-1】将下列根式化成分数指数幂的形式：(1)aa(a>0)；(2)13x(5x2)2(x>0)；(3)23243b−−(b>0)．解(1)原式12·aa＝32a＝1322a＝34a.(2)原

式＝22531·xx＝4351·xx＝9351x＝19351x＝351x＝35x−.(3)原式＝213243b−−＝212343b−−＝19b.【变式训练3-1】（2021·全国·高一课前预习）将下列各式用分数指

数幂的形式表示：(1)243819；(2)3231.5；(3)334(a0).aaa【解】(1)原式42711144336244[3(3)](3)3+===.(2)原式111125113323362323()23232−+===.(3)原式113173(1)

341234aaaaa−+−===.【变式训练3-2】（2020·广东·洛城中学高一期中）下列各式正确的是（）A．382−=−B．4312(3)3−=−C．33344()xyxy+=+D．2122nnmm=【

答案】A【分析】根据根式的性质，结合分数幂指数与根式的互化公式、指数幂的公式进行逐一判断即可.【详解】A：因为3(2)8−=−，所以382−=−，因此本选项正确；B：因为43124123(3)3−==，所以本选项不正确；C：因为1333334

44()()xyyxyx++=+，所以本选项不正确；D：因为222nnmm−=，所以本选项不正确，故选：A【变式训练3-3】（多选）（2022·湖北·江夏一中高一阶段练习）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（）A．21()xx−=−B．1263(0)yyy=C．33441(0)x

xx−=D．314232()(0)xxx−=【答案】BC【分析】根据分数指数幂的定义判断．【详解】12xx−=−，A错；212663(0)yyyy==，B正确；3334441xxx−−==，C正确

；3143232432(()()()0)xxxx=−−=−，D错．故选：BC．知识点4利用分数指数幂的运算性质化简求值（重点）指数幂运算的常用技巧(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算．(2)负指

数幂化为正指数幂的倒数．(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用指数幂的运算性质．【例4-1】（2021·全国·高一课前预习）化简下列各式：(1)733333815312aa

aaaa−−−−；(2)4133332233381224aabbaaaabb−−++．【解】(1)解：733333815312aaaaaa−−−−815733133332222aaaaaa−−−−=733223aaa−=()127122333aa

a−=272363aaa−=272363aa−−=1223a−+=166aa==．(2)解：4133332233381224aabbaaaabb−−++()11133322111113333381222aabbaaaabb−=−

++()111333221111113333338222aabaaabaabb−=−++()11133333113382aabab++−=−

a=．【例4-2】（2022·全国·高一专题练习）计算：(1)20.53221820.756427−−−+；(2)()31211033320.25216224−−−−−−+．【解】（1）原式12223222333123312391912

436324363216364−−=−+=−+=−+=．（2）原式()()1112222233110.52122242212324−−−=−−+=−+=−+=

.【变式训练4-1】（2022·江苏·高一）化简31221()(3)()3aaa−(a>0)等于（）A．6aB．－aC．－9aD．9a2【答案】C【分析】根据指数运算法则进行运算.【详解】3122211()(3)()3(

)933aaaaaa−=−=−故选：C【变式训练4-2】（2022·全国·高一专题练习）计算：011244(12)38−−=___________________．【答案】2【分析】利用根式、指数运算性质化简求值即可.【详解】原式=122

441222234−=−=.故答案为：2【变式训练4-3】（2022·全国·高一课时练习）化简：(1)11111113536622622634abababab−−−

；(2)()2365340,0xyxyxy；(3)()236330,0yxyxyxyx．【解】（1）()()115111111115111136636326322662222634263416abababababa−+−++−

−−−=−−=,（2）121523211333363421253653464xyxyxyxyxyxy−−−−===,（3）方法一（从外向里化简）23633yxyxyx=3211122236263333yxyyxyxyxx

yx==112111223613122362433yxyyxyxyxxyx==33354443441221

411412yxyxyyxyxxy==．方法二（从里向外化简）12362323323633yxyyxyxyxxyxyxyxyx==()1222yxyx=1152224yxyyx==．知识点5整体替换法求分数指数幂【例5-1】(

1)已知12x＋12x−＝5，则x2＋x－2＝________.答案7解析将12x＋12x−＝5，两边平方得x＋x－1＋2＝5，则x＋x－1＝3，两边再平方得x2＋x－2＋2＝9，所以x2＋x－2＝7.(2)

已知x＋x－1＝7，求值：①12x＋12x−；②x2－x－2.解①设m＝12x＋12x−，两边平方得m2＝x＋x－1＋2＝7＋2＝9，因为m>0，所以m＝3，即12x＋12x−＝3.②设n＝12x－12x−，两边平方得n2＝x＋x－1－2＝7－2

＝5，因为n∈R，所以n＝±5，即12x－12x−＝±5.所以x－x－1＝(12x＋12x−)(12x－12x−)＝±35，x2－x－2＝(x＋x－1)(x－x－1)＝±215.【变式训练5-1】（2022

·全国·高一课时练习）已知13xx−+=，则下列结论正确的是（）A．227xx−+=B．11225xx−+=C．3315xx−+=D．2235xx−−=【答案】AB【分析】利用指数运算结合完全平方判断AB,D利用立方和公式逐项C,判断【详解】13xx−+=易知x>0(

)222127xxxx−−++−==，A正确；1221121255xxxxxx−−−+=+==++，B正确；()()()122318171xxxx−−+−+=−=，C错误；()()()212212

2113255,5xxxxxxxxxxxx−−−−−−+−==−=−−=+−=,D错误故选：AB【变式训练5-2】（2022·全国·高一专题练习）已知11225xx−−=,，则221xx+的值为______.【答案】47【分析】由11225xx

−−=两边平方得17xx+=，再两边平方可求出结果.【详解】由11225xx−−=，得125xx−+=，即17xx+=，所以21()49xx+=，则22147xx+=.故答案为：47.【变式训练5-3】（2022·全国·高一课时练习）（1）若221xa=−，求33xxxxaaaa−−−−的值；（2

）已知52xm−=+，求22331xxxxmmmm−−−++的值．【解】（1）()()3333xxxxaaaa−−−=−()()221xxxxaaaa−−=−++，则332211xxxxxxaaaaaa−−−=+

+−121122121=−++=+−．（2）()()33221xxxxxxmmmmmm−−−+=+−+，且52xm−=+,223311xxxxxxmmmmmm−−−−+==++115110255252==+++．名

师导练A组-[应知应会]1．（2022·四川省仪陇宏德中学高一开学考试）下列选项中，计算结果等于4a3的是（）A．3322aaB．45aa−C．3382aaD．333aa+【答案】D【分析】根据指数幂的运算法则，即可判断出答案.【详解】由

题意可得633422aaa=，A错误；0a时，43355(1)4aaaaa−=−，B错误；33824(0)aaa=，C错误；33334aaa+=，D正确，故选：D2．（2022·全国·高一单元测试）化简()()255abba−+−的结果是（）A．

0B．()2ba−C．0或()2ba−D．()2ab−【答案】C【分析】根据指数幂的运算化简，然后根据,ab的大小关系讨论即可.【详解】()()()255abbaabba−+−=−+−．当ab时，原式()0abba=

−+−=；当ab是，原式()()2bababa=−+−=−．故选:C．3．（2021·四川·成都市郫都区川科外国语学校高一开学考试）下列运算正确的是（）A．2193−=B．03201881−−=−C．()323260aaaa−=D．18126−=【答案】C【分析】根

据有理数指数幂的运算法则以及根式的化简，对选项中的算式一一计算，即可得答案.【详解】对于A，21319−=，故A错误；对于B，()0320188123−−=−−=，故B错误；对于C，()323(2)32660aaa

aa−+−==，故C正确；对于D，18123223−=−，故D错误，故选：C4．（2021·江苏·高一专题练习）化简423423−−+=（）A．23B．23−C．2D．2−【答案】D【分析】利用配方法将被开方数配凑成完全平方

形式即可求解.【详解】解：()22423423(31)(31)31312−−+=−−+=−−+=−，故选：D．5．（2021·江苏·高一专题练习）若14xx+=，则2421xxx=++（）A．10B．15C．115D．116【答案】C【分析】将已知

等式两边平方，利用完全平方公式化简求出221xx+的值，原式分子分母除以2x变形后，将221xx+代入计算即可．【详解】因为14xx+=，两边平方得22211216xxxx+=++=，即22114

xx+=，所以原式221111141151xx===+++，故选：C6．（2021·山东济宁·高一期中）化简111123224(0,0)ababab结果为（）A．aB．bC．abD．ba【答案】A【分析】根据实数指数幂的运算法则运算，即可求解.【详解】根据实数指数幂

的运算公式，可得：1111311131112322424242244abababababa−−===.故选：A.7．（2022·全国·高一课时练习）已知0m，则1522mmm化为（）A．54mB．52mC．mD．1【答案】C

【分析】把根式化为分数指数幂进行运算．【详解】0m，151511133222222222mmmmmmmmmmmm=====.故选：C．8．（2021·江苏·高一专题练习）（多选题）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（）A．21()xx−=−B．1262(0)yyy=C．3131(0)xxx−

=D．143232()(0).xxx−=【答案】CD【分析】计算得选项AB错误；计算得选项CD错误.【详解】解：对于选项A，因为()120xxx−=−，而()()120xxx−=−，所以A错误；对于选项B，因为()12630yyy=−，所以B

错误；对于选项C，因为()13310xxx−=成立，所以C正确；对于选项D，当0x时，()3131132422334234xxxx−=−==，所以D正确.故选：CD.9．（2022·山东枣庄·高一期末）(多选)下列根式与分数指数幂的互化正确的是（）A．1

263(0)yyy=B．()33441()0xxx−=C．()1330xxx−=−)D．()314232(0)xxx−=【答案】BD【分析】根据根式与分数指数幂的互化公式确定正确选项.【详解】A选项，由于0y，所以1326(

0)yyy=−，A选项错误.B选项，()33434411()0xxxx−==正确，B选项正确.C选项，()13310xxx−=，C选项错误.D选项，3214423323()(0)xxxx−==，D选项正确.故选：BD10

．（2021·广东茂名·高一期中）（多选）以下化简结果正确的是（字母均为正数）（）A．11353621aaa=B．()269463abab−−−=C．113324115324153525abcacabc−

−−=−D．12211133342423424xyxyxyy−−−−=【答案】BD【分析】根据指数运算公式直接计算即可.【详解】A选项：1135113553623621aaaaa++==，A选项错误；B选项：()()222696946333abab

ab−−−−−−==，B选项正确；C选项：11311113532422233441153241533365525abcabcacacabc−−−−−−−−−=−=−−，C选项错误；D

选项：1221221111113333334244242342424xyxyxyxyy−−++−−+−−==，D选项正确；故选：BD.11．（2022·全国·高一专题练习

）化简()()201920202332−+的结果为________【答案】32+【分析】直接将()202032+表示成()()20193232++，结合平方差公式即可得结果.【详解】()()()()()2019202020192332=[233232]32−+−

=+++.故答案为：32+.12．（2022·全国·高一专题练习）计算：12023211323(1.5)488−−−−−+=___．【答案】12【分析】应用有理指数幂的运算法则化简求值即可.

【详解】原式12232927334411()14822992−−=−−+=−−+=.故答案为：1213．（2022·全国·高一专题练习）已知526x=−，则2101xx−+的值为_______【答案】0【分析】将52

6x=−代入代数式，然后根据二次根式混合运算法则进行化简计算.【详解】当526x=−时，2101xx−+2(526)10(526)1=−−−+2520624502061=−+−++0=，故答案为：0.14．（2022·全国·高

一课时练习）已知214mna+=，256mna−=，0a，且1a，则4mna+=______．【答案】4【分析】由题设可得22ma=、62na−=，根据指数幂运算，代入目标式求值即可.【详解】因为22124mna+−==，82562mna−==，所以两式相乘得362ma

=，则22ma=．将22ma=代入82mna−=，得62na−=，所以()()44442622224mnmnmnaaaaa+−=====．故答案为：415．（2021·江苏省江阴市第一中学高一期中）已知25xa=，则33xxxxaaaa−−−=−___________.【答

案】315【分析】根据3322=()(1)xxxxxxaaaaaa−−−−−++对原式化简计算即可.【详解】332222()(1)1311=51=55xxxxxxxxxxxxaaaaaaaaaaaa−−−−−−

−−++==++++−−.故答案为：315.16．（2022·全国·高一单元测试）（1）化简：()314211113643,01645xyxyxyxy−−−−−；（2）计算：()()112026112853

8100−−−−−+．【答案】（1）10y−；（2）3【分析】（1）分数指数幂的运算法则进行计算；（2）分数指数幂与根式运算法则进行计算.【详解】（1）原式14223431310310xyyxy−−−==−−．（2）原式()()()1111132262100218

2100218210183−−=−−−+=−+−+=+−=．17．（2022·湖南·益阳市箴言中学高一开学考试）化简下列各式：(1)()23322−+−(2)若103x=，102y=，求210xy+．【答案】(1)0(2)12【分析】（

1）根据根式的性质计算可得；（2）根据指数幂的运算法则计算可得.(1)解：()23322−+−348=+−()220=+−=(2)解：因为103x=，102y=，所以()222210101010103212xyxyxy+====18．（2021

·全国·高一专题练习）求解下列问题：(1)已知12,9xyxy+==，且xy，求11221122xyxy−+.(2)已知15aa−+=，求22aa−+和1122aa−+的值.【答案】(1)33−(2)2223aa−+=，11227aa−+=【分析】（1）通过平方再开方的运算，

化简求得所求表达式的值.（2）通过平方的方法求得所求表达式的值.(1)xy，()2111112222226xyxyxyxy−=−−=−+−=−，()21111122222232xyxyxyxy+=+=++=，112

2112263332xyxy−−==−+.(2)15aa−+=，2212()225223aaaa−−+=+−=−=.112122()2527aaaa−−+=++=+=，11220aa−+，11227aa−+=.B组-[素养提升]1．（2022·江苏·南京师大附中高一期末）

设p、Nq，满足()()0,1qppqaaaaa=，则qp的值为___________.【答案】1【分析】利用指数幂的运算可得出()()111pq−−=，根据已知条件求出p、q的值，即可得解.【详解】由()qppqaaa=可得pqpqaa+=，因

为0a且1a，可得pqpq=+，则()()111pq−−=，由p、Nq可知1p−、1Nq−，则111pq−=−=或111pq−=−=−，则2pq==或0pq==.当0pq==时，qp无意义；当2pq==时，1qp=.综上所述，1qp=.故答案为：1.

2．已知m＝2，n＝3，则3m2n－3n·3m－2÷mn－4nm－23的值是________．答案227解析m＝2，n＝3，则原式＝32312322213····mnmnnmnm−−−−＝34531322···mnmn−−

＝m·n－3＝2×3－3＝227.3．（2022·江苏·高一）已知12x=，13y=，求xyxyxyxy+−−−+的值.【答案】46【分析】先化简xyxyxyxy+−−−+，再将12x=，13y=代入计算求解即可.【详解

】化简()()()()224+−−+−−==−−+−+xyxyxyxyxyxyxyxyxyxy，因为12x=，13y=，所以111444236=46111236+−−===−−+−xyxyxyxyxyxy.4．对于正整数a，

b，c(a≤b≤c)和非零实数x，y，z，ω，有ax＝by＝cz＝70ω，1ω＝1x＋1y＋1z，求a，b，c的值．解∵ax＝70ω，且x，ω为非零实数，∴()1xxa＝()170x，∴1a＝170x.同理，可得1b＝1

70y，1c＝170z.∴1a·1b·1c＝170x·170y·170z，即()1abc＝11170xyz++.又1x＋1y＋1z＝1ω，a，b，c为正整数，∴abc＝70＝2×5×7.∵a≤b≤c，∴a＝2，b＝5，c＝7.