【文档说明】2.5.1 直线与圆的位置关系（学案）-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）.docx，共(9)页，116.314 KB，由envi的店铺上传

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2.5直线与圆、圆与圆的位置关系2.5.1直线与圆的位置关系【学习目标】课程标准学科素养1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离．(重点)2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系．(难点)3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题．(难点)1、

直观想象2、数学运算3、逻辑推理【自主学习】一．直线与圆的三种位置关系位置关系交点个数相交有公共点相切只有公共点相离公共点二．直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断位置关系相交相切相离公共点个数判定方法几何法：设圆心到直线的距离d＝|Aa＋

Bb＋C|A2＋B2代数法：由Ax＋By＋C＝0，(x－a)2＋(y－b)2＝r2，消元得到一元二次方程的判别式Δ思考：几何法、代数法判断直线与圆的位置关系各有什么特点？【小试牛刀】1.思辨解析(正确的打“√”，错误的打“

×”)(1)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交.()(2)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线和圆相交或相切.()(3)若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解.()(4)过不在

圆内的一点一定能做两条切线.()2.直线3x＋4y－5＝0与圆M：x2＋y2＝1的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.无法判断【经典例题】题型一直线与圆的位置关系点拨：直线与圆位置关系判断的三种方法(1)几何法：由圆心到直线的距离

d与圆的半径r的大小关系判断．(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．例1已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2

y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线：(1)有两个公共点；(2)只有一个公共点；(3)没有公共点．【跟踪训练】1已知直线l：x－2y＋5＝0与圆C：(x－7)2＋(y－1)2＝36，判断直线l与圆C的位置关系.题型二圆的切线方程点拨

：1.求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－1k，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.2.求圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程：①几何法：设切线方程为y－y0

＝k(x－x0)．由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就得切线方程．②代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切线方程．提醒：切线的斜率不存在的情况，不要漏解．

例2（1）求过圆x2＋y2－2x－4y＝0上一点P(3,3)的切线方程。（2）求过点P(2,3)且与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的直线的方程。【跟踪训练】2(1)已知直线l：ax＋by－3＝0与圆M：x2＋y2＋4x－1＝

0相切于点P(－1,2)，则直线l的方程为________．(2)由直线y＝x＋1上任一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则该切线长的最小值为()A.1B.22C.7D.3题型三直线与圆相交点拨：求直线与圆相交时的弦长有三种

方法①交点法：将直线方程与圆的方程联立，求出交点A，B的坐标，根据两点间的距离公式|AB|＝√(𝑥1−𝑥2)2+(𝑦1−𝑦2)2求解.②弦长公式：如图所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，

y2)，则|AB|＝√(𝑥1−𝑥2)2+(𝑦1−𝑦2)2＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2|y1－y2|(直线l的斜率k存在且不为0).③几何法：如图，直线与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r

，弦长为|AB|，则有|AB|22＋d2＝r2，即|AB|＝2r2－d2.通常采用几何法较为简便.例3(1)求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长|AB|.(2)过

点(－4,0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B两点，如果|AB|＝8，求直线l的方程．【跟踪训练】3圆心为C(2，－1)，截直线y＝x－1的弦长为22的圆的方程为______________.【当堂达标】1.直线y＝x＋

1与圆x2＋y2＝1的位置关系是()A.相切B.相交但直线不过圆心C.直线过圆心D.相离2.(多选)已知直线:20lkxyk−+=和圆22:16Oxy+=，则（）A.直线l恒过定点()2,0B.存在k使得直

线l与直线0:220lxy−+=垂直C.直线l与圆O相交D.若1k=−，直线l被圆O截得的弦长为43.已知圆x2＋y2＋2x＋2y＋k＝0和定点P(1，－1)，若过点P的圆的切线有两条，则k的取值范围是()A．(－2，＋∞)B．(－∞

，2)C．(－2,2)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)4.若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为________．5.过圆x2＋y2＝8内的点P(－1,2)作直线l交圆于A，B两点．若直线l的倾斜角为135°，则弦AB的长为．6.已知圆C经过点

A(2,0)，B(1，－3)，且圆心C在直线y＝x上．(1)求圆C的方程；(2)过点1，33的直线l截圆所得弦长为23，求直线l的方程．【参考答案】【自主学习】两个一个没有两个一个零个d＜rd＝rd＞rΔ＞0Δ＝0Δ＜0思考：“几何法”侧重于图形的

几何性质，步骤较简洁；“代数法”则侧重于“坐标”与“方程”，判断直线与圆的位置关系，一般用几何法．【小试牛刀】1.×√√×2.B【经典例题】例1解：法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得，(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m

2＋4m＋4＝0.∵Δ＝4m(3m＋4)，(1)当Δ>0时，即m>0或m<－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；(2)当Δ＝0时，即m＝0或m＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；(3)当Δ<0时，即－43<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆

没有公共点．法二：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心为C(2,1)，半径r＝2.圆心C(2,1)到直线mx－y－m－1＝0的距离d＝|2m－1－m－1|1＋m2＝|m－2|1＋m2.(

1)当d<2时，即m>0或m<－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；(2)当d＝2时，即m＝0或m＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；(3)当d>2时，即－43<m<0时，直线

与圆相离，即直线与圆没有公共点．【跟踪训练】1解：方法一(代数法)由方程组{(𝑥−7)2+(𝑦−1)2=36𝑥−2𝑦+5=0消去y后整理，得5x2－50x＋61＝0.∵Δ＝(－50)2－4×5×61＝1280>0，∴该方程组有两组不同的实数

解，即直线l与圆C相交.方法二(几何法)圆心(7,1)到直线l的距离为d＝|1×7−2×1+5|√12+(−2)2＝25.∵d<r＝6，∴直线l与圆C相交.例2（1）解析x2＋y2－2x－4y＝0的圆心为C(1,2)，kPC＝12

，∴切线的斜率k＝－2，∴切线方程为：y－3＝－2(x－3)，即2x＋y－9＝0.（2）解析P(2,3)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1外，∴过点P(2,3)与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的直线有两条.当斜率存在时，设切线的斜率为k，则切线方程为y－3＝k(x－2)即kx－y＋

3－2k＝0，∴|k－2＋3－2k|k2＋1＝1，∴k＝0，∴切线方程为y＝3，当斜率不存在时，切线方程为x＝2.∴切线方程为y＝3或x＝2.【跟踪训练】2(1)x＋2y－3＝0解析：根据题意，圆M：x2＋y2＋4x－1＝0，即(x＋2)2＋y2＝

5，其圆心M(－2,0)，直线l：ax＋by－3＝0与圆M：x2＋y2＋4x－1＝0相切于点P(－1,2)，则P在直线l上且MP与直线l垂直．kMP＝2−0(−1)−(−2)＝2，则有－ab＝－12，则有b＝2a，又由P在直线l上，则有－a＋2b－3＝0，可解得a＝1，b＝2

，则直线l的方程为x＋2y－3＝0.（2）C解析：圆心C(3,0)到y＝x＋1的距离d＝|3－0＋1|2＝22.所以切线的最小值为l＝(22)2－12＝7．例3(1)解法一：由3x＋y－6＝0，x2＋y2－2y－4＝0，得交点A(1,3)，B(2,0)，故弦AB的长为|

AB|＝(2－1)2＋(0－3)2＝10．解法二：由3x＋y－6＝0，x2＋y2－2y－4＝0，消去y，得x2－3x＋2＝0．设两交点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由根与系数的关系，得x1＋x2＝3，x1·x2＝2．∴|AB|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2＝

10[(x1＋x2)2－4x1x2]＝10×(32－4×2)＝10，即弦AB的长为10．解法三：圆C：x2＋y2－2y－4＝0可化为x2＋(y－1)2＝5，其圆心坐标(0,1)，半径r＝5，点(0,1)到直线l的距离为d＝|3×0＋

1－6|32＋12＝102，所以半弦长为|AB|2＝r2－d2＝(5)2－1022＝102，所以弦长|AB|＝10．(2)将圆的方程配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝25，由圆的性质可得，圆心到直线l的距离d＝252－822＝3.①当直线l的斜率不存在时，x

＝－4满足题意；②当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0.由点到直线的距离公式，得3＝|－k－2＋4k|1＋k2，解得k＝－512，所以直线l的方程为5x＋12y＋20＝0.综上所述，直线l的方程为x＋4＝0或5x＋12y＋20＝0.【跟踪训练】3(x－

2)2＋(y＋1)2＝4解析：设圆的半径为r，由条件，得圆心到直线y＝x－1的距离为d＝|2＋1－1|2＝2.又直线y＝x－1被圆截得的弦长为22，即半弦长为2，∴r2＝2＋2＝4，得r＝2，∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y

＋1)2＝4.【当堂达标】1.B解析：∵圆心(0,0)到直线y＝x＋1的距离d＝|0－0＋1|2＝22<1，∴直线与圆x2＋y2＝1相交，又(0,0)不在y＝x＋1上，∴直线不过圆心.2.BC解析：对于A、C，由:20lkxyk−+=，得(2)0kxy+−=，令200xy+=−=，解得20x

y=−=，所以直线l恒过定点(2,0)−，故A错误；因为直线l恒过定点(2,0)−，而()2220416−+=，即(2,0)−在圆22:16Oxy+=内，所以直线l与圆O相交，故C正确；对于B，直线0:220lxy−+=的斜率为1

2，则当2k=−时，满足直线l与直线0:220lxy−+=垂直，故B正确；对于D，1k=−时，直线:20lxy++=，圆心到直线的距离为22002211d++==+，所以直线l被圆O截得的弦长为()22222242214rd−=−=，故D错误.故选：

BC.3.A解析：因为方程x2＋y2＋2x＋2y＋k＝0表示一个圆，所以4＋4－4k＞0，解得k＜2．由题意知点P(1，－1)必须在圆的外部，则12＋(－1)2＋2×1＋2×(－1)＋k＞0，解得k＞－2．故－2＜k＜2，故选C．4.x＋2y－5＝0解析：由题意，得kOP＝2

－01－0＝2，则该圆在点P处的切线的斜率为－12，所以所求切线方程为y－2＝－12(x－1)，即x＋2y－5＝0.5.30解析：由题意知直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0，圆心O(0,0)到直线l的距离为d＝|－1|2＝22，则有|AB

|＝2r2－d2＝28－12＝30．6.解：(1)AB的中点坐标32，－32，AB的斜率为3.可得AB垂直平分线方程为23x＋6y＝0，与x―y＝0的交点为(0,0)，圆心坐标(0,0)，半径为2，所以圆C的方程为x2＋y2＝4.(2)直线的斜率存在时，设直线的斜率

为k，又直线l过1，33，∴直线l的方程为y－33＝k(x－1)，即y＝kx＋33－k，则圆心(0,0)到直线的距离d＝33－k1＋k2，又圆的半径r＝2，截得的弦长为23，则有

33－k1＋k22＋(3)2＝4，解得：k＝－33，则直线l的方程为y＝－33x＋233.当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝1，满足题意．∴直线l的方程为x＝1或y＝－33x＋233.