【文档说明】2008年高考试题——数学文（辽宁卷）.doc，共(11)页，860.000 KB，由envi的店铺上传

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2008年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供文科考生使用）第Ⅰ卷（选择题共60分）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。考试结束后，将本试卷和答

题卡一并交回。参考公式：如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B)S=4πR2如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径P(A·B)=P(A)·P(B)球的体积公式如果事件A

在一次试验中发生的概率是P，那么V=43πR3n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径Pn(k)=CknPk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.(1)已知集合M=｛x|-3＜x＜1|,N={x|x≤-3},则M=N(A)(B){x|x≥-3}(C){x|x≥1}(D){x|x＜1|(2)若函数()()1yxxa=+−为偶函数，则

a=(A)2−(B)1−(C)1(D)2(3)圆221xy+=与直线2ykx=+没有公共点的充要条件是(A)2,2(−k)(B)3,3(−k)(C)k),2()2,(+−−(D)k),3()3,(+−−(4)已知0＜a＜1,log2log3aax=+,1log5,lo

g21log32aaayz==−,则(A)x＞y＞z(B)z＞y＞x(C)y＞x＞z(D)z＞x＞y(5)已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且ADBC2=,则顶点D的坐标为(A)(2,27)(B)(2,－

21)(C)(3,2)(D)(1,3)(6)设P为曲线2:23Cyxx=++上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为4,0，则点P横坐标的取值范围为(A)−−21,1(B)[-1,0](C)[0,1](D)1,21(7)4张卡片上分

别写有数字1,2,3,4从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为(A)31(B)21(C)32(D)43(8)将函数y=2x+1的图象按向量a平移得到函数y=2x+1的图象，则(A)a=(-1,-1)(B)a=(1

,-1)(C)a=(1,1)(D)a=(-1,1)(9)已知变量,xy满足约束条件+−−−−+,01,013,01xyxyxy则2zxy=+的最大值为(A)4(B)2(C)1(D)4−(10)一生产过

程有4道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有(A)24种(B)36种(C)48种(D)72种

（11）已知双曲线()222910ymxm−=的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则m=(A)1(B)2(C)3(D)4（12）在正方体1111ABCDABCD−中，EF、分别为棱11,AACC的中点，则在空间中

与三条直线A1D1、EF、CD都相交的直线()A不存在(B)有且只有两条(C)有且只有三条(D)有无数条第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.（13）函数23()xyex+=−+的反函数是.（14）在体积为43的

球的表面上有A、B、C三点，AB=1,BC=2，A、C两点的球面距离为33，则球心到平面ABC的距离为.（15）3621(1)()xxx++展开式中的常数项为.（16）设(0,)2x，则函数22sin1s

in2xyx+=的最小值为.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）在△ABC中，内角,,ABC，对边的边长分别是,,abc.已知2,3cC==.（Ⅰ）若△ABC的面积等

于3，求,ab;（Ⅱ）若sin2sinBA=，求△ABC的面积.（18）（本小题满分12分）某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：周销售量234频数205

030（Ⅰ）根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率;（Ⅱ）若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求（i）4周中该种商品至少有一周的销售量为4吨的概率;（ii）该种商品4周的销售量

总和至少为15吨的概率.（19）（本小题满分12分）如图，在棱长为1的正方体ABCDABCD−中，AP=BQ=b（0＜b＜1），截面PQEF∥A′D，截面PQGH∥AD′.（Ⅰ）证明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直;（Ⅱ）证明：截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值，并求

出这个值;（Ⅲ）若12b=，求D′E与平面PQEF所成角的正弦值.（20）（本小题满分12分）已知数列{an},{bn}是各项均为正数的等比数列，设(N*)nnnbcna=.（Ⅰ）数列{cn}是否为等比数列？证明你的结论;（Ⅱ）设数列ln,lnnnab的前n项和分别为,n

nST.若12,,21nnSnaTn==+求数列{cn}的前n项和.(21)（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，点P到两点（0，－3）、（0，3）的距离之和等于4.设点P的轨迹为C.(Ⅰ)写出C的方程；(Ⅱ)设直线

y=kx+1与C交于A、B两点.k为何值时?OBOA⊥此时|AB|的值是多少？(22)（本小题满分14分）设函数()322()31fxaxbxaxabR=+−+、在12,xxxx==处取得极值，且122xx−=.(Ⅰ)若a=1，求b的值，并求f(x)的单调区间；(Ⅱ)若a＞

0，求b的取值范围.答案一、选择题1.答案：D解析：本小题主要考查集合的相关运算知识。依题意31,Mxx=−3Nxx=−„，∴{|1}MNxx=.2.答案：C解析：本小题主要考查函数的奇偶性。(

1)2(1),fa=−(1)0(1),ff−==1.a=3.答案：B解析：本小题主要考查直线和圆的位置关系。依题圆221xy+=与直线2ykx=+没有公共点2211dk=+(33).k−，4.答案：C解析：本小题主要考查对数的运算。log6,ax=log5,ay=log

7,az=由01a知其为减函数,yxz5.答案：A解析：本小题主要考查平面向量的基本知识。(4,3),BC=(,2),ADxy=−且2BCAD=，22472432xxyy==−==6.答案：A

解析：本小题主要考查利用导数的几何意义求切线斜率问题。依题设切点P的横坐标为0x,且0'22tanyx=+=（为点P处切线的倾斜角），又∵[0,]4，∴00221x+，∴01[1,].2x−−7.答案：C解析：本小题主要考查等可能事件概率求解问题。依题要使取出的2张

卡片上的数字之和为奇数，则取出的2张卡片上的数字必须一奇一偶，∴取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率11222342.63CCPC===8.答案：A解析：本小题主要考查函数图像的平移与向量的关系问题。依题由函数21xy=+的图象得到函数12xy+=的图象，需将函数21xy=+的图象向左

平移1个单位，向下平移1个单位；故(11).=−−，a9.答案：B解析：本小题主要考查线性规划问题。作图(略)易知可行域为一个三角形,其三个顶点为(01),，(10),，(12),−−，验证知在点(10)，时取得最大值2.10.答案：B解析：本小题主要考查排列组合知识。

依题若第一道工序由甲来完成，则第四道工序必由丙来完成，故完成方案共有2412A=种；若第一道工序由乙来完成，则第四道工序必由甲、丙二人之一来完成，故完成方案共有12A2424A=种；∴则不同的安排方案共有

21242436AAA+=种。11.答案：D解析：本小题主要考查双曲线的知识。2221191(0),,3ymxmabm−===取顶点1(0,)3,一条渐近线为30,mxy−=221|3|1392

54.59mmm−=+==+12.答案：D解析：本小题主要考查立体几何中空间直线相交问题，考查学生的空间想象能力。在EF上任意取一点M,直线11AD与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交

点N,当M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N,而直线MN与这3条异面直线都有交点的.如右图：二、填空题13.答案：1(ln1)(0)2yxx=−解析：本小题主要考查反函数问题。21121ln(l

n1),2xyexyxy+=+==−所以反函数是1(ln1)(0).2yxx=−14.答案：32解析：本小题主要考查立体几何球面距离及点到面的距离。设球的半径为R,则34433VR==,∴3.R=设A、C两点对球心张角为，则333ACR===,∴3=,∴3AC=,∴A

C为ABC所在平面的小圆的直径，∴90ABC=,设ABC所在平面的小圆圆心为'O，则球心到平面ABC的距离为'dOO=2'22333().22RBO=−=−=15.答案：35解析：本小题主要考查二项式定理中求特定项问题。考查621x

x+的通项公式,66316621(),rrrrrrTCxCxx−−+==所以展开式中的常数项共有两种来源:①630,2,rr−==2615;C=②633,3,rr−=−=3620;C=相加得15+20=35.16.答案：3解析：本小题主要考查三角函数的最

值问题。22sin12cos2,sin2sin2xxykxx+−===取(0,2),A22(sin2,cos2)1Bxxxy−+=的左半圆,作图(略)易知mintan603.k==三、解答题17.本小题主要考查三角形的边角关系等基础知识，考查综合计算能力．满分12分

．解：（Ⅰ）由余弦定理得，224abab+−=，又因为ABC△的面积等于3，所以1sin32abC=，得4ab=．························4分联立方程组2244ababab+−==，，解得2a=，2b=．··············

································6分（Ⅱ）由正弦定理，已知条件化为2ba=，························································8分联立方程组2242ababba+−==，，解得233a=，43

3b=．所以ABC△的面积123sin23SabC==．······················································12分18.本小题主要考查频率、概率等基础知识,考查

运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分．解：（Ⅰ）周销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2，0.5和0.3．····························4分（Ⅱ）由题意知一周的销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别

为0.2，0.5和0.3，故所求的概率为（ⅰ）4110.70.7599P=−=．·······················································································

·8分（ⅱ）334240.50.30.30.0621PC=+=．······························································12分19.本小题主要考查空间中的线面关系和面面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力

与逻辑思维能力．满分12分．解法一：（Ⅰ）证明：在正方体中，ADAD⊥，ADAB⊥，又由已知可得PFAD∥，PHAD∥，PQAB∥，所以PHPF⊥，PHPQ⊥，所以PH⊥平面PQEF．所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直．·

··········································································4分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知22PFAPPHPA==，，又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，所

以截面PQEF和截面PQGH面积之和是(22)2APPAPQ+=，是定值．···············································································8分（Ⅲ

）解：设AD交PF于点N，连结EN，因为AD⊥平面PQEF，所以DEN∠为DE与平面PQEF所成的角．因为12b=，所以PQEF，，，分别为AA，BB，BC，AD的中点．可知324DN=，32DE=．所以3224sin322DEN==∠．···············

············································································12分解法二：以D为原点，射线DA，DC，DD′分别为x，y，z轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系D－xy

z．由已知得1DFb=−，故(100)A，，，(101)A，，，(000)D，，，(001)D，，，(10)Pb，，，(11)Qb，，，(110)Eb−，，，(100)Fb−，，，(11)Gb，，，(01)Hb，，．（Ⅰ

）证明：在所建立的坐标系中，可得(010)(0)PQPFbb==−−，，，，，，(101)PHbb=−−，，，(101)(101)ADAD=−=−−，，，，，．因为00ADPQADPF==，，所以AD是平面PQEF的法

向量．ABCDEFPQHABCDyxzGABCDEFPQHABCDGN因为00ADPQADPH==，，所以AD是平面PQGH的法向量．因为0ADAD=，所以ADAD⊥，所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直．

…4分（Ⅱ）证明：因为(010)EF=−，，，所以EFPQEFPQ∥，=，又PFPQ⊥，所以PQEF为矩形，同理PQGH为矩形．在所建立的坐标系中可求得2(1)PHb=−，2PFb=，所以2PHPF+=，又1PQ=，所以截面PQEF和截面PQGH面积

之和为2，是定值．··································8分（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知(101)AD=−，，是平面PQEF的法向量．由P为AA中点可知，QEF，，分别为BB，BC，AD的中点．所

以1102E，，，1112DE=−，，，因此DE与平面PQEF所成角的正弦值等于2|cos|2ADDE=，．···································

···································································12分20.本小题主要考查等差数列，等比数列，对数等基础知识，考查综合运用数学知

识解决问题的能力．满分12分．解：（Ⅰ）nc是等比数列．····································································································

··2分证明：设na的公比为11(0)qq，nb的公比为22(0)qq，则11121110nnnnnnnnnncbabaqcabbaq+++++===，故nc为等比数列．·······································5分（Ⅱ）

数列lnna和lnnb分别是公差为1lnq和2lnq的等差数列．由条件得1112(1)lnln22(1)21lnln2nnnaqnnnnbq−+=−++，即11122ln(1)ln2ln(1)ln21anqnbnqn+−=+−+．·····························

·························································7分故对1n=，2，…，212111211(2lnln)(4lnln2lnln)(2lnln)0qqnaqbqnaq−+−−++−=．于是121112112ln

ln04lnln2lnln02lnln0.qqaqbqaq−=−−+=−=，，将12a=代入得14q=，216q=，18b=．·························································

···············10分从而有11816424nnnnc−−==．所以数列nc的前n项和为24444(41)3nn+++=−…．·················································

···············································12分21.本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．满分1

2分．解：（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(03)(03)−，，，为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴222(3)1b=−=，故曲线C的方程为2214yx+=．···········································

·······································4分（Ⅱ）设1122()()AxyBxy，，，，其坐标满足22141.yxykx+==+，消去y并整理得22(4)230kxkx++−=，故1212222344kxxx

xkk+=−=−++，．·················································································6分OAOB⊥，即12120xxyy+=．而2121212(

)1yykxxkxx=+++，于是222121222223324114444kkkxxyykkkk−++=−−−+=++++．所以12k=时，12120xxyy+=，故OAOB⊥．·····································

··························8分当12k=时，12417xx+=，121217xx=−．2222212121()()(1)()ABxxyykxx=−+−=+−，而22212112()()4xx

xxxx−=+−23224434134171717=+=，所以46517AB=．············································································

·····································12分22.本小题主要考查函数的导数，单调性、极值，最值等基础知识，考查综合利用导数研究函数的有关性质的能力．满分14分解：22()323fxaxbxa=+−．①·····························

·····························································2分（Ⅰ）当1a=时，2()323fxxbx=+−；由题意知12xx，为方程23230

xbx+−=的两根，所以2124363bxx+−=．由122xx−=，得0b=．·············································································

···························4分从而2()31fxxx=−+，2()333(1)(1)fxxxx=−=+−．当(11)x−，时，()0fx；当(1)(1)x−−+∞，，∞时，()0fx．故()fx在(11)−，单调递减，在(1)−−∞，，(1)+，∞单调

递增．·········································6分（Ⅱ）由①式及题意知12xx，为方程223230xbxa+−=的两根，所以23124363baxxa+−=．

从而221229(1)xxbaa−==−，由上式及题设知01a≤．·························································································

············8分考虑23()99gaaa=−，22()1827273gaaaaa=−=−−．·······································10分故()ga在203

，单调递增，在213，单调递减，从而()ga在(01，的极大值为2433g=．又()ga在(01，上只有一个极值，所以2433g=为()ga在(01，上的最大值，且最小值为(1)0g=．所以240

3b，，即b的取值范围为232333−，．14分