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第13讲人造卫星宇宙速度人造卫星沿圆周轨道运行规律1.[2021·海南卷]2021年4月29日,我国在海南文昌用长征五号B运载火箭成功将空间站天和核心舱送入预定轨道.核心舱运行轨道距地面的高度为400km左右,地球同步卫星距地面的高度接近36000km.则该核心舱的(C)A.角速度比

地球同步卫星的小B.周期比地球同步卫星的长C.向心加速度比地球同步卫星的大D.线速度比地球同步卫星的小[解析]核心舱和地球同步卫星都是由万有引力提供向心力而做匀速圆周运动,有G𝑀𝑚𝑟2=m𝑣2𝑟=m(2π�

�)2r=ma=mω2r,可得ω=√𝐺𝑀𝑟3,T=2π√𝑟3𝐺𝑀,a=𝐺𝑀𝑟2,v=√𝐺𝑀𝑟,而核心舱运行轨道距地面的高度为400km左右,地球同步卫星距地面的高度接近36000km,有r舱<r同,故有ω舱>ω同,T舱<

T同,a舱>a同,v舱>v同,即核心舱角速度比地球同步卫星的大,周期比地球同步卫星的短,向心加速度比地球同步卫星的大,线速度比地球同步卫星的大,故A、B、D错误,C正确.2.(多选)地球同步卫星离地心的距离为r,运行速

率为v1,向心加速度大小为a1,地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度大小为a2,地球的第一宇宙速度为v2,地球半径为R.下列关系式正确的是(BC)A.𝑎1𝑎2=𝑟2𝑅2B.𝑎1𝑎2=𝑟𝑅C.𝑣1𝑣2=√𝑅𝑟D.𝑣1𝑣2=𝑟𝑅[解析]因

为地球同步卫星的角速度和地球赤道上的物体随地球自转的角速度相同,根据公式a=ω2r,则有𝑎1𝑎2=𝑟𝑅,故A错误,B正确;对于地球同步卫星和以第一宇宙速度运动的近地卫星,由万有引力提供做匀速圆周运动所需向心力得到G𝑀𝑚𝑟2=m𝑣2𝑟,所以𝑣1𝑣2=√𝑅𝑟,故C正确,

D错误.地球的三个宇宙速度3.“玉兔号”月球车与月球表面的第一次接触实现了中国人“奔月”的伟大梦想.“玉兔号”月球车在月球表面做了一个自由下落试验,测得物体从静止自由下落h高度的时间为t,已知月球半径为R,自转周期为T,引力常量为G.求:(1)

月球表面重力加速度大小;(2)月球的质量和月球的第一宇宙速度大小;(3)月球同步卫星离月球表面高度.[答案](1)2ℎ𝑡2(2)2𝑅2ℎ𝐺𝑡2√2ℎ𝑅𝑡2(3)√T2R2h2𝜋2t23-

R[解析](1)由自由落体运动规律有h=12gt2解得g=2ht2(2)月球的第一宇宙速度为近月卫星的运行速度,根据重力提供向心力有mg=mv12R解得v1=√gR=√2hRt2在月球表面的物体受到的重力等于万有引力,即mg=GMmR2解得M=2R2hGt2(3)月球同步卫星绕月球做匀速圆周运动,

根据万有引力提供向心力,有GMm(R+h)2=mv2R+h=m(R+h)4𝜋2T2解得h=√𝑇2𝑅2ℎ2π2𝑡23-R天体的“追及相遇”问题4.(多选)如图所示,有A、B两颗卫星绕地心O做圆周运动,运动方向相反.A卫星的运动周期为T1,B卫星的运动周期为T2,在某一时刻两卫星相距

最近,则(引力常量为G)(AB)A.两卫星下一次相距最近需经过时间t=𝑇1𝑇2𝑇1+𝑇2B.两颗卫星的轨道半径之比为√T12T223C.若已知两颗卫星相距最近时的距离,可求出地球的密度D.若已知两颗卫星相距最近时的

距离,可求出地球表面的重力加速度[解析]两卫星运动方向相反,设经过时间t再次相遇,则有2𝜋T1t+2𝜋T2t=2π,解得t=T1T2T1+T2,A正确;根据万有引力提供向心力得GMmr2=m4𝜋2T2r,所以两颗卫星的轨道半径之比为√𝑇12𝑇223

,B正确;若已知两颗卫星相距最近时的距离,结合两颗卫星的轨道半径之比可以求出两颗卫星的轨道半径,根据万有引力提供向心力得𝐺𝑀𝑚𝑟2=m4π2𝑇2r,可求出地球的质量,但不知道地球的半径,所以不能求出地球的密度和地球表面的重力加速度,故C、D错误.5.(多选)如图所示,行星a、b的质量分别

为m1、m2,中心天体c的质量为M(M远大于m1及m2),在万有引力作用下,a、b在同一平面内绕c沿逆时针方向做匀速圆周运动,已知轨道半径之比为ra∶rb=1∶4,则下列说法中正确的是(AD)A.a、b运动的周期之比为Ta∶Tb=1∶8B.a、b运动的周期之比

为Ta∶Tb=1∶4C.从图示位置开始,在b转动一周的过程中,a、b、c共线12次D.从图示位置开始,在b转动一周的过程中,a、b、c共线14次[解析]根据开普勒第三定律:周期的平方与半径的三次方成正比,则a、b运动的周期之比为1∶8,A正确,B错误;设图示位置夹角为θ<π

2,b转动一周(圆心角为2π)的时间为t=Tb,则a、b相距最远时,2π𝑇𝑎Tb-2π𝑇𝑏Tb=(π-θ)+n·2π(n=0,1,2,3,…),可知n<6.75,n可取7个值;a、b相距最近时,2π𝑇𝑎Tb-2π𝑇𝑏Tb=(2π-θ)+m·2π(m=0,1,2,

3,…),可知m<6.25,m可取7个值,故在b转动一周的过程中,a、b、c共线14次,D正确,C错误.